Examen Junio 01, plan antiguo

EXAMEN MATEMÁTICAS II. 8 de Junio del 2001.
PLAN ANTIGUO
APELLIDOS........................................................................
NOMBRE.......................
LICENCITURA EN ............................................................
1.- Sea f : S ⊆ R n → R
un campo escalar diferenciable en x 0 ∈ S , demostrar que f
es continua en x 0 .
 x 2 − 4y 2

2.- Sea f(x, y) =  x 2 + 2y 2
0

a)
b)
c)
d)
e)
si x 2 + 2 y 2 ≠ 0
si x 2 + 2 y 2 = 0
Calcular el límite de f en el punto (0,0)
Estudiar si f es diferenciable en (0,0)
Calcular las derivadas parciales de f en (0,0)
Calcular por la definición la derivada de f en (0,0) en cualquier dirección.
Calcular la máxima derivada direccional en el punto (1,1)
3.- Sea el conjunto:
1 
1


S = (x, y) ∈ R 2 / x 2 − 1 ≤ y , x ≥ y , x <  (x, y) ∈ R 2 / x 2 − 1 ≤ y , y ≥ 0 , x ≥ , x ≥ y 
2 
2


a) Representar gráficamente el conjunto S. Calcular S , Fr (S), Ad(S), Ac(S), puntos
aislados de S.
b)Razonar si es abierto, cerrado, acotado y compacto.
c)Calcular gráficamente y si es posible los extremos de la función f(x, y) = y - x 2 en
S utilizando las curvas de nivel.
4.- a) Comprobar analíticamente si el siguiente conjunto es convexo.
S={(x,y,z)∈R3 / x-y-z=0}
¿ Podría ser cóncavo?. Razonar la respuesta.
b) Comprobar analíticamente si el siguiente conjunto es un cono.
S={x∈Rn / A t x = α , A∈Rn , α ∈ R}
En caso de no ser un cono ¿cual sería la condición para que lo fuera?
5.- Resolver
Min − 3x − 3 y
1
s.a. 2 x − y ≤
2
− 3x + 3 y ≤ 3
4
x + y ≥ −2
3
45
15
−
x− y≤5
9
3