Introducción a la Geometr´ıa Diferencial

Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 1
Introducción a la Geometrı́a Diferencial
curso 2010
(1) Sea M una variedad topológica. Probar que para que una estructura diferencial en M defina la topologı́a
de M es condición necesaria y suficiente que las parametrizaciones sean homeomorfismos locales.
Analizar el caso siguiente: M = R2 con su topologı́a usual (variedad topológica de dimensión 2) y la
estructura diferencial (unidimensional) dada por la siguiente familia de parametrizaciones continuas
F = ϕx : R → R2 , ϕx (y) = (x, y) | x ∈ R .
(2) Si M1 , . . . , Mn son variedades diferenciables, probar que M1 ×· · ·×Mn admite una estructura diferencial
(variedad producto) tal que para toda variedad Z y toda función f : Z → M1 × · · · × Mn se cumple
que: f es diferenciable si y sólo si fi = pi ◦ f es diferenciable. Observar que la topologı́a que induce esa
estructura es la topologı́a producto.
(3) Sea M una variedad topológica y ∼ una relación de equivalencia en M que cumple que para todo x ∈ M
existe un entorno de Ux tal que:
(a) Si y ∈ Ux entonces [y] ∩ Ux = {y},
(b) Si z ∼ x entonces existe un homeomorfismo local hxz de un entorno de V de x en un entorno W
de z tal que hxz (y) ∼ y para todo y ∈ V .
Probar que el espacio topológico cociente es una variedad topológica de la misma dimensión.
Probar que si M es una variedad diferenciable, y los homeomorfismos hxz de la condición (b) son
difeomorfismos, entonces el espacio cociente admite una estructura diferenciable tal que la proyección
x 7→ [x] es un difeomorfismo local.
(4) Sea V : Rn → Rn un campo de vectores de clase C ∞ con la siguiente propiedades:
(a) V es completo, es decir la solución general de ẋ = V (x) define un flujo (ϕt )t∈R en Rn .
(b) Todo punto es errante para el flujo generado por V , i.e. para todo x ∈ Rn existe un entorno Ux y
Tx > 0 tal que ϕt (Ux ) ∩ Ux = ∅ siempre que | t| > Tx .
Probar que el espacio cociente (bajo la relación de equivalencia ”pertenecer a una misma órbita de
la ecuación diferencial”) admite una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión n − 1.
Sugerencia: Observar que el campo no tiene singularidades, y que las órbitas por puntos cercanos a un
punto dado x pueden parametrizarse utilizando una sección transversal al campo en x (ver teorema del
flujo tubular). Dar un ejemplo explı́cito de un tal campo de vectores en R2 tal que la variedad cociente
(espacio de órbitas) no es una variedad Hausdorff.
(5) Definir una estructura diferenciable en el conjunto G(k, n) de los subespacios de dimensión k ≤ n
de Rn que cumpla la siguiente propiedad: Cada vez que un conjunto de k vectores linealmente independientes (v1 (t), . . . , vk (t)) ∈ (Rn )k dependan diferenciablemente de t ∈ R, el espacio generado
S(t) = [v1 (t), . . . , vk (t)] defina una curva diferenciable para dicha estructura.
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