Examen Ordinario Análisis de varias variables Problema 1 (20

Examen Ordinario
Análisis de varias variables
Problema 1 (20 puntos). Indica si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos.
1. Si f : Rn → Rm es continua en cada variable, entonces es continua.
2. Si A es conexo, entonces es convexo.
3. Si A es simplemente conexo, entonces en convexo.
4. Si f : Rn → Rm es diferenciable y U ⊂ Rn es abierto, entonces f (U ) es abierto en Rm .
5. Si f : Rn → Rn es diferenciable y U ⊂ Rn es abierto, entonces f (U ) es abierto en Rn .
6. Si f : Rn → Rn es diferenciable, det f 0 (x) 6= 0 en todo x ∈ Rn y y U ⊂ Rn es abierto,
entonces f (U ) es una variedad en Rn .
7. Si f, g : R → R son Riemann integrables en el rectángulo R ⊂ Rn , entonces |f g| es
Riemann integrable.
8. Si f : A → R es integrable en el conjunto abierto A ⊂ Rn y F es una partición de la
unidad para A, entonces
Z
XZ
ϕ|f |.
|f | =
A
ϕ∈F
A
9. Si A es convexo, entonces toda forma cerrada en A es exacta.
10. Si ∂M es orientable, entonces M es orientable.
Problema 2 (16 puntos). Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → R diferenciable tal
que sus derivadas parciales son acotadas en U . Muestra que f es de Lipchitz en U , es decir,
que existe una constante M > 0 tal que, para x, y ∈ U ,
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|.
Problema 3 (16 puntos).
1. Enuncia el teorema de la función inversa.
2. Muestra que si f : Rn → Rn satisface las hipótesis del teorema de la función inversa,
entonces f es abierta, es decir, si U ⊂ Rn es abierto, entonces f (U ) es abierto.
Problema 4 (16 puntos). Sea A ⊂ Rn abierto, f : A → Rn continua casi en todos lados y
localmente acotada, y F una partición de la unidad para A. Muestra que si f ≥ 0,
XZ
ϕf < ∞
ϕ∈F
A
y G es otra partición de la unidad para A, entonces
XZ
ψf < ∞.
ψ∈G
A
Problema 5 (16 puntos). Muestra que S 2 = {x ∈ R3 : |x| = 1} es una variedad diferenciable
de dimensión 2 en R3 .
Problema 6 (16 puntos). Muestra que S 2 es orientable.
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