Diferenciabilidad - Facultad de Ingeniería

Diferenciabilidad de una función f : \ 2 → \
Luis Villamizar Facultad de Ingeniería
Definición:
2
Una función f : \ → \ se dice diferenciable en X 0 , si:
1. X 0 es un punto interior del dominio de f
2. Existe una transformación afín (función afín) que aproxima a f cerca de X 0 . Es decir
existe una función lineal A : \ 2 → \ tal que:
lim
X →X0
f ( X ) − A( X )
=0
X − X0
La función A : \ 2 → \ se le llama la transformación afín aproximante (TAA) y viene dada
por la expresión:
A( X ) = f ( X 0 ) + d X 0 f ( X − X 0 )
donde d X 0 f es el diferencial de la función en X 0 , el cual puede ser obtenido mediante el
siguiente teorema:
Teorema:
Si la función
f : \ 2 → \ es diferenciable en X 0 , entonces su diferencial d X 0 f está
determinado unívocamente y su matriz es la matriz jacobiana de f . Es decir:
(d f ) = ( J
X0
X0
f
)
Por lo que:
⎛ x − x0 ⎞
A( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + d X 0 f ⎜
⎟
⎝ y − y0 ⎠
⎛ x − x0 ⎞
⎜
⎟
⎝ y − y0 ⎠
= f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 ) ⋅ ( y − y0 )
= f ( x0 , y0 ) + ( f x
fy )
( x0 , y0 )
Esto significa que cerca de X 0 , podemos escribir:
f ( x, y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 ) ⋅ ( y − y0 )
Entonces el cambio absoluto de
f
si nos movemos de ( x0 , y0 ) a un punto cercano
( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , viene dado por:
∆f = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) ⋅ ∆x + f y ( x0 , y0 ) ⋅ ∆y
y el cambio porcentual de f , es:
∆f
⋅ 100
f ( x0 , y0 )
Ejemplo:
El volumen V = πr 2 h de un cilindro circular recto va a calcularse a partir de los valores
medidos de r y h . Supongamos que r se mide con un error de no más de 2 % y h con un
error de no más de 0.5 %. Estime el porcentaje de error resultante en el cálculo de V .
Solución:
Tenemos:
∆r
⋅ 100 ≤ 2 y
r0
∆h
⋅ 100 ≤ 0.5
h0
Como:
∆V Vr (r0 , h0 ) ⋅ ∆r + Vh (r0 , h0 ) ⋅ ∆h 2πr0 h0 ∆r + πr02 ∆h
=
=
V0
πr02 h0
πr02 h0
=2
∆r ∆h
+
r0
h0
Por lo que:
∆V
∆r
∆h
∆r
∆h
⋅ 100 = 2 ⋅ 100 +
⋅ 100 ≤ 2 ⋅ 100 + +
⋅ 100
V0
r0
h0
r0
h0
≤ 2 ⋅ 2 + 0.5 = 4.5
Esto significa que la estimación en el cálculo del volumen del cilindro no es más de 4.5 %