Examen Junio 01, plan nuevo

EXAMEN MATEMÁTICAS II. 8 de Junio del 2001.
PLAN NUEVO
APELLIDOS........................................................................
NOMBRE.......................
LICENCIATURA EN ............................................................
1.-a) Demostrar que si una sucesión es convergente su límite es único.
b) Sea f : S ⊆ R n → R
un campo escalar diferenciable en x 0 ∈ S , demostrar que f
es continua en x 0 .
2.- Hallar a y b para que f(x) sea derivable en el punto x=1.
x + 3x - 2
f(x) =  2
ax + bx + 1
si x ≤ 1
si x > 1
3.- Estudiar el carácter de la siguiente serie según los valores del parámetro “a”.
∞
(n + a )! ⋅ a n
∑ a!⋅ (n + 1)!⋅ 6
n =1
n
 x 2 − 4y 2

4.- Sea f(x, y) =  x 2 + 2y 2
0

a)
b)
c)
d)
e)
si x 2 + 2 y 2 ≠ 0
si x 2 + 2 y 2 = 0
Calcular el límite de f en el punto (0,0)
Estudiar si f es diferenciable en (0,0)
Calcular las derivadas parciales de f en (0,0)
Calcular por la definición la derivada de f en (0,0) en cualquier dirección.
Calcular la máxima derivada direccional en el punto (1,1)
5.- Sea el conjunto:
1 
1


S = (x, y) ∈ R 2 / x 2 − 1 ≤ y , x ≥ y , x <  (x, y) ∈ R 2 / x 2 − 1 ≤ y , y ≥ 0 , x ≥ , x ≥ y 
2 
2


a) Representar gráficamente el conjunto S. Calcular S , Fr (S), Ad(S), Ac(S), puntos
aislados de S.
b) Razonar si es abierto, cerrado, acotado y compacto.
c)Calcular gráficamente y si es posible los extremos de la función f(x, y) = y - x 2 en S
utilizando las curvas de nivel.