Examen Parcial 1 Análisis de varias variables Problema 1. Indica si

Examen Parcial 1
Análisis de varias variables
Problema 1. Indica si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos.
1. Si A ∈ Rn es cerrado entonces es compacto.
2. Si f : A → R es continua y A es compacto, entonces toma un valor máximo.
3. Si f es lineal y A es convexo, entonces f (A) es convexo.
4. Si f es diferenciable en x0 , entonces sus derivadas parciales son continuas en x0 .
5. Si f es diferenciable en x0 , entonces f 0 (x0 ) = Df (x0 ).
6. Si det f 0 (x) = 0 para todo x ∈ Rn , entonces f es una función constante.
7. Si f es continuamente diferenciable y det f 0 (x) 6= 0 para todo x, entonces f es inyectiva.
8. Si f : Rn → Rm es continuamente diferenciable y las columnas de f 0 (x) son linealmente
independientes en todo x, entonces f es invertible.
9. Si f : Rn → Rm es continuamente diferenciable y f 0 (x) tiene rango máximo en todo x,
entonces existe una bola B ⊂ Rm tal que B ⊂ f (Rn ).
10. Si f : Rn → Rm es continuamente diferenciable y f 0 (x) tiene rango máximo en todo x,
entonces f (Rn ) es abierto.
Problema 2. Sea x0 ∈ Rn , c ∈ R y H ⊂ Rn el semiespacio
H = {x ∈ Rn : x · x0 > c}.
Muestra que H es convexo.
Problema 3. Muestra que una función lineal f : Rn → Rm es continua.
Problema 4. Utiliza el teorema de la función inversa para mostrar el siguiente enunciado:
Si f : Rn → Rn es inyectiva y continuamente diferenciable en el conjunto abierto A ∈ Rn tal
que det f 0 (x) 6= 0, entonces f (A) es abierto y la inversa f −1 : f (A) → A es continuamente
diferenciable.