Ejercicio 1 Ejercicio 4 Sean (p, q) ∈ N

Calculó III - 2014
Guía 2
Ejercicio 1 Sean las funciones f y g a valores reales, denidas sobre R2
(resp. R3 ), dadas por
1. ∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = exy (x + y),
2. ∀(x, y, z) ∈ R3 , g(x, y, z) = xy + yz + zx.
Justicar que esas dos funciones son diferenciables y calcular los diferenciales.
Ejercicio 2 Denimos sobre R2 la función f a valores reales siguiente: para
cada (x, y) ∈ R2
(
xy
si (x, y) 6= (0, 0),
2
2
f (x, y) = x +y
0
sino.
1. ¾f es continua sobre R2 ?
2. ¾f tiene derividas parciales de primer orden con respecto a las variables
x e y sobre R2 ?
3. ¾f es diferenciable en (0, 0)?
Ejercicio 3
(x, y) ∈ R
2
Sea la función f : R2 → R denidas sobre R2 tal que para cada
(
2
2
xy xx2 −y
+y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) 6= (0, 0),
sino.
1. ¾f es continua sobre R2 ?
2. ¾f es C 1 (R2 ; R)?
3. ¾f es diferenciable sobre R2 ?
Ejercicio 4 Sean (p, q) ∈ N∗2 y la función f : R2 → R denidas sobre R2 tal
que para cada (x, y) ∈ R2
(
f (x, y) =
xp y q
x2 −xy+y 2
0
si (x, y) 6= (0, 0),
sino.
1. Demostrar que para cada (x, y) ∈ R2 , |xy| ≤ x2 − xy + y 2 .
2. ¾Cuales son los valores de p y q tales que f es continua?
3. Supongamos que p + q = 2. ¾f es difrenciable sobre R2 ?
1
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4. Supongamos que p + q = 3. Demostrar por el absurdo que f no es difrenciable en (0, 0).
(Indicaciones: Supongamos f diferenciable en (0, 0). Demostrar que existe a y b en R tales que f (x, y) = ax + by + o(k(x, y)k2 ). Estudiar, las
funciones x → f (x, 0) e y → f (0, y), luego concluir que a = b = 0. Finalmente, concluir que f no es diferenciable en (0, 0) con ayuda de la función
x → f (x, x).)
Ejercicio 5
Sean las functiones de R3 en R2 (resp. R2 → R3 ) deinidas por:
1. ∀(x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = (y sen(x), cos(x)),
2. ∀(x, y, z) ∈ R3 , g(x, y, z) = ( 21 (x2 − z 2 ), sen(x) sen(y)),
3. ∀(x, y) ∈ R2 , h(x, y) = (xy, 21 x2 + y, ln(1 + x2 ).
Justicar que esas funciones son diferenciables sobre R3 (resp. R2 ) y calcular
el Jacobiano.
Ejercicio 6
2 2
Sea la función f : R2 → R denidas sobre R2 , tal que para cada
(x, y) ∈ (R )
|f (x) − f (y)| ≤ kx − yk22 .
Demostrar que f es una función constante.
Ejercicio 7
tales que
Sean (n, m) ∈ N∗2 y la función f : Rn → Rm denidas sobre Rn
∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rn , f (λx) = λf (x).
1. Demostrar que f (0) = 0.
2. Demostrar que f es lineale.
Ejercicio 8
R2 por
Sean las aplicaciones f, g, h : R2 → R, dadas para cada (x, y) ∈
1. f (x, y) = ex cos(x),
2. g(x, y) = (x2 + y 2 ) cos(xy),
3. h(x, y) =
p
1 + x2 y 2 .
Justicar que esas aplicaciones tienen derivadas parciales y calcularlas.
Ejercicio 9
Mostrar que
Sean f : R → R y g : R2 → R dos aplicaciones diferenciables.
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Guía 2
h : R2
→ R
(x, y) 7→ f (x + g(x, y))
es diferenciable y calcular su diferencial en cada punto. Luego, hacer lo mismo
con
h : R2
→
(x, y) 7→
Ejercicio 10
R
f (xy 2 g(x, y))
Sea la función f : R2 → R denida sobre R × R+ por
(
y 2 ln(x)
f (x, y) =
0
si x 6= 0,
sino.
Mostrar que f no es continua en (0, 0) pero tiene derivadas parciales de primer
orden en (0, 0) de acuerdo a las dos variables.
Ejercicio 11 Determinar si las aplicaciones siguientes, denidas sobre R2 a
valores en R, son C 1 (R2 , R). Para cada (x, y) ∈ R2 ,
1.
2
(
2.
x3 +y 3
x2 +y 2
(
g(x, y) =
3.
(
h(x, y) =
2
x xx2 −y
+y 2
0
f (x, y) =
0
1
− x2 +y
2
e
0
3
si (x, y) 6= (0, 0),
sino.
si (x, y) 6= (0, 0),
sino.
si (x, y) 6= (0, 0),
sino.