Hallar el punto de la curva y = , en que la recta tangente tiene

Halla el punto de la curva y =
x2  1
, en que la recta tangente tiene pendiente máxima.
x2  2
SOLUCIÓN:
La función que calcula las pendientes de las rectas tangentes es la primera derivada:
y’ =
2x
, por lo que esta función es la que se tiene que maximizar:
x 2
2
2x
.
x 2
P(x) =
2
Para calcular el valor máximo de P analizamos su primera derivada:
P’(x) =
x=-

  4x  2x x
 x  2
2
2 x2  2
2
2
yx=
3
4
2
  2 x  2  8x
 x  2
2
2
2
3
2

 6x 2  4
, que se anula para los valores:
(x 2  2)3
2
.
3
Como el signo de la derivada depende del numerador, que representa una parábola convexa:
si x < si -
2
yx>
3
2
<x<
3
En x =
2
, P’(x) < 0 por lo que P(x) será decreciente en estos subintervalos;
3
2
, P’(x) > 0 y P(x) será creciente.
3
2
2 5
, P(x) pasa de ser creciente a decreciente por lo que en el punto (
, ) se tendrá
3
3 8
la pendiente máxima.