16
Gráficas.
E: Sea la función
f (x) =
x2
x
.
+1
Diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, determine los puntos de
inflexión y grafique.
D: H Calculemos primero la primera y la segunda derivada
x2 + 1 − 2x2
1 − x2
=
⇒
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
−2x(x2 + 1)2 − 2(x2 + 1)2x(1 − x2)
−2x(x2 + 1) − 4x(1 − x2)
=
=
f 00 (x) =
(x2 + 1)4
(x2 + 1)3
−2x3 − 2x − 4x + 4x3
2x3 − 6x
=
=
.
(x2 + 1)3
(x2 + 1)3
f 0 (x) =
Luego, los puntos de inflexión se encuentran cuando
√
2x3 − 6x = 2x(x2 − 3) = 0 ⇔ x = 0 & x = ± 3 .
El signo de la segunda derivada nos lo da esta misma expresión, pues el denominador (x2 + 1)3
siempre es positivo.
Determinemos el signo de la segunda derivada:
Intervalo
√
√
x < − 3(< 0 < 3)
√
√
− 3 < x < 0(< 3)
√
√
(− 3 <)0 < x < 3
√
√
(− 3 < 0 <) 3 < x
Signo de
√
√
x + 3 x x − 3 f 00(x) f (x) es cóncava hacia
−
−
−
−
abajo
+
−
−
+
arriba
+
+
−
−
abajo
+
+
+
+
arriba
√
√
√
√
Habida cuenta que 2x(x2 − 3) = 2x(x + 3)(x − 3) y su signo nos lo da x(x + 3)(x − 3).
Además:
Df = R ; la única raı́z de f es x = 0 & f es impar.
1
x
lı́m f (x) = lı́m
= 0, por lo que y = 0 es ası́ntota horizontal.
1
x→±∞
x→±∞
1+ 2
x
Los puntos crı́ticos de f son x = ±1 cuando f 0 (x) = 0.
16
canek.azc.uam.mx
1
2
El signo de f 0 (x) nos lo da 1 − x2 = (1 + x)(1 − x), luego:
Signo de
Intervalo
1 + x 1 − x f 0(x)
f (x) es
x < −1(< 1)
−
+
−
decreciente
−1 < x < 1
+
+
+
creciente
(−1 <)1 < x
+
−
−
decreciente
1
hay un máximo relativo pues f pasa de ser creciente a ser decreciente.
2
1
En x = −1, f (−1) = − hay un mı́nimo relativo pues f pasa de ser decreciente a ser creciente.
2
√
√
± 3
f (± 3) =
≈ ±0.4330127 ası́ como f (0) = 0 son las ordenadas de los puntos de inflexión.
4
Y con toda esta información la gráfica de f es: f (x)
En x = 1, f (1) =
1
2
0.433
√
− 3−1
1
x
√
3
−0.433
− 12
0
