Junio-2002

CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán
fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y
propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver.
Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y
coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.
DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora de “una línea”.
No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas.
OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos
problemas, PR-1 y PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema
tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo,
con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B,
Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la
relación
A · X · B = I, siendo I la matriz unidad.
a) Si el determinante de A vale − 1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el
determinante de X. (1,5 puntos)
 2 3
 1 − 2
b) Calcular de forma razonada la matriz X si A = 
 y B = 
 (1,5 puntos)
 3 4
 2 − 3
PR-2. Dada la función F ( x) =
∫
x
(t 2 − 1) e −t dt , definida para todo x ∈ R,
2
0
a) Calcular F´(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar las abscisas de sus máximos
y mínimos relativos. (1,5 puntos)
b) Calcular F´´(x), estudiar la concavidad y convexidad de F(x) y hallar las abscisas
de sus puntos de inflexión. (1,5 punto)
CUESTIONES
r r
r r
r r
C.1. Si u y v son vectores del plano con u = v , probar que los vectores (u + v ) y
r r
(u − v ) son ortogonales. (1 punto)
C.2. Calcular la distancia ente el plano π 1 ≡ x + y − z − 1 = 0 y el plano π 2., que es
paralelo a π 1 y pasa por el punto (4, 3, 7). (1 punto)
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C.3. Calcular
∫ sen x dx
cos x
3
(1 punto).
C.4. Calcular la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de
x2 y2
coordenadas y pasa por los focos de la elipse
+
=1
(1 punto)
25 9
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1. a) Hallar la recta que corta a las rectas
x + 2y + 2 = 0
x y − 2 z −1
r≡ =
=
y s≡
,
2
−3
3
2 y + z − 5 = 0
y pasa por el punto A(−
− 2, 0, − 7). (1,75 puntos)
b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. (1,25 puntos)
PR-2. a) Enunciar la regla de Barrow. (1 punto)
b) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas y = x 2 , y = x 2 / 2 y la recta
y = 2 x . (2 puntos)
CUESTIONES
C.1. Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que verifica la igualdad
 1 2 3  2 0 0 

 

A 0 2 3  =  0 2 0  (1 punto)
 0 0 3  0 0 2 

 

C.2. Calcular el ángulo que forma la recta
2x − 5y + 7z − 11 = 0. (1 punto)
x − 3 y + 1 z −1
=
=
con el plano
−1
2
5
C.3. Dadas las funciones f ( x ) = 3 x 2 + x + 1 y g ( x) = ln( x + 8) , escribir la función
g o f y calcular su derivada. (1 punto)
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C.4. Calcular lím
x →∞
x +1
ex
(1 punto)
Solución PRUEBA A
Problema 1:
a) Se sabe que A· X ·B = A · X · B , entonces:
A· X ·B = I ⇒ A · X · B = 1 ⇒ − 1· X ·1 = 1 ⇒ X = −1
b) A · X · B = I ⇒ X = A−1 · B−1, en el supuesto de que A y B sean no singulares; que
son, pues A = −1 y B = 1 .
Cálculo de las inversas de A y B.
( A ) =  −43
− 3
 →
2 
(B ) =  −23
− 2
 − 3 2
 → B −1 = 

1 
 − 2 1
ij
ij


− 4 3 
A−1 = 

 3 − 2
Luego,
 − 4 3   − 3 2  6 − 5
X = 
·
 = 

 3 − 2  − 2 1  − 5 4 
Problema 2:
Por el teorema fundamental
F ( x) = G (t ) 0 = G( x ) − G( 0) ,
x
siendo G(t) una primitiva de f (t ) = (t 2 − 1)e − t (⇒ G´(t ) = f (t ) )
2
Como F´( x ) = G´( x) − G´(0) = G´( x ) ⇒ F´( x ) = f ( x) = ( x 2 − 1)e − x
F´( x ) = ( x 2 − 1) e − x = 0 ⇒ x = −1 o x = 1
2
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2
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• Si x < −1, F ´(x) > 0 ⇒ F(x) es creciente
• Si −1 < x < 1, F ´(x) < 0 ⇒ F(x) es decreciente
• Si x > 1, F ´(x) > 0 ⇒ F(x) es creciente
Como la función crece a la izquierda de x = −1 y decrece a sus derecha, en x = −1 hay un
máximo.
Análogamente, como la función decrece a la izquierda de x = 1 y crece a su derecha, en x = 1
hay un mínimo.
b) F´´( x) = 2 xe− x + ( x 2 − 1)( −2 x) e − x = ( −2 x 3 + 4 x) e − x = 2 x( 2 − x 2 ) e − x
2
2
2
2
F ´´(x) se hace 0 en x = 0 y en x = ± 2 . Entonces:
•
•
•
•
Si
Si
Si
Si
x < − 2 , F ´´(x) > 0 ⇒ F(x) es cóncava (∪)
− 2 < x < 0 , F ´´(x) < 0 ⇒ F(x) es convexa (∩)
0 < x < 2 , F ´´(x) > 0 ⇒ F(x) es cóncava (∪)
x > 2 , F ´´(x) < 0 ⇒ F(x) es convexa (∩)
Como la función cambia su curvatura en los puntos x = 0 y x = ± 2 , en esos tres puntos hay
inflexión.
Cuestión 1:
Haciendo el producto escalar se tiene:
r r
r r
rr rr rr rr r2 r2
(u + v ) · (u − v ) = u ·u + v ·u − u ·v − v ·v = u − v = 0
r r
r r
Luego, los vectores (u + v ) y (u − v ) son perpendiculares.
Hemos tenido en cuenta que:
r r rr
• el producto escalar es conmutativo → v ·u = u ·v
rr r2
• u ·u = u , para cualquier vector
r r
• u =v.
Cuestión 2:
La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto de uno de ellos al
otro plano. Entonces:
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d(π 1, π 2) = d(P(4, 3, 7), π 1) =
4 + 3− 7 −1
12 + 12 + 12
=
1
3
Cuestión 3:
Puede hacerse mediante el cambio:
sen x = t ⇒
cos x dx = dt
Sustituyendo se tiene:
∫
cos x
dx =
sen 3 x
∫
1
− 1 −2
−1
dt = t − 3 dt =
t +c =
+c
3
t
2
2sen 2 x
∫
Cuestión 4:
La elipse también está centrada en el origen.
Sus semiejes son a = 5 y b = 3, pues a2 = 25; b2 = 9.
Como a 2 = b 2 + c 2 ⇒ c = a 2 − b 2 = 16 = 4 → Focos: F1 = (−4, 0), F2 = (4, 0).
La situación es la siguiente.
La circunferencia pedida tiene radio 4 y centro (0, 0). Su ecuación es x 2 + y 2 = 16
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