PRUEBA A PROBLEMAS PR-1. a) Discutir en función de los valores

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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los
siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la
naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo
de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.
DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el
uso d e memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas.
OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres
puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER
UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1. a) Discutir en función de los valores de m:
2x − 3y = 0 

x− y + z =0 
(2 puntos)

x + 2 y + mz = m
b) Resolver en los casos de compatibilidad el sistema anterior. (1 punto)
PR-2. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función
f ( x ) = ( x − 2) 2 ( x + 2) , el eje OX y las rectas x = −3, x = 2.
(3 puntos)
CUESTIONES
C.1. Se consideran las matrices:
 1 3


B =  m 0
 0 2


donde m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es
inversible.
(1 punto)
1 2 m 
A = 
 ;
1 − 1 − 1
C.2. Hallar un vector de módulo uno que sea ortogonal a los vectores (2, 2, 1) y
(2, 0, −1).
(1 punto)
C.3. Calcular lím x(ln( x + 1) − ln x) .
x→ ∞
(1 punto).
C.4. Hallar los puntos de la gráfica de f ( x ) = x 3 − 3x 2 + x en los que la tangente a la
curva es paralela a la recta y = x.
(1 punto)
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PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1. Dadas las rectas r y s:
x − 2 z = 0
 x+ y =5
r ≡
;
s≡
 y− z = 2
x + 2z = a
a) Hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.(1,75 puntos)
b) Hallar la ecuación de dicho plano.
(1,25 puntos)
PR-2. a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cos x
siendo 0 ≤ x ≤ π /2 con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es
máxima.
(1,5 puntos)
b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cos x, y la recta y = 1 en el
intervalo [−π /2, π /2].
(1,5 puntos)
CUESTIONES
C.1. Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B2, ¿cuándo se puede
asegurar que A = B?
(1 punto)
C.2. ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX?
(1 punto)
C.3. Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función
f ( x ) = x x − 1 en x = 1.
(1 punto)
C.4. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y que es
tangente a la recta 4x + 3y − 2 = 0.
(1 punto)
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SOLUCIÓN A LA PRUEBA A
Problema 1
a) Para discutir el sistema hay que estudiar los rangos de la matriz de coeficientes, A, y de la
matriz ampliada, M:
2 −3 0

A =  1 −1 1
1 2 m

0

0= M
m 
2 −3 0
El determinante de A, A = 1 − 1 1 = m − 7
1 2 m
Luego:
• si m ≠ 7 ⇒ r(A) = 3 = r(M). El sistema será compatible determinado.
2 −3 0

• si m = 7, las matrices quedan: A =  1 − 1 1
1 2 7

0

0 = M .
7 
−3 0 0
2 −3
Siendo r(A) = 2 y r(M) = 3, pues: A1 =
≠ 0 y M 1 = − 1 1 0 = −21 ≠ 0
1 −1
2 7 7
Por tanto si m = 7 el sistema es incompatible.
b) Si m ≠ 7, la solución del sistema es:
0
0
x=
m
−3 0
−1 1
2
A
m
2
1
=
0
0
0
1
2 −3
1 −1
1 m m − 2m
1
− 3m
; y=
=
; z=
m− 7
A
m−7
2
A
0
0
m
=
m
m−7
Problema 2
Para calcular el área pedida es necesario conocer, al menos, el signo de la función en el
intervalo [−3, 2]. Nosotros haremos un esbozo de su gráfica.
La función f ( x ) = ( x − 2) 2 ( x + 2) = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 corta al eje OX en los puntos x = −2
y x = 2.
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Si x < −2, el signo de la función es negativo. Luego entre x = −3 y x = −2 la gráfica está por
debajo del eje OX.
Si x > −2, el signo de la función es positivo (o cero en x = 2). Luego a partir de x = −2, la
gráfica está por encima del eje.
También podemos estudiar sus máximos y mínimos.
f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 ⇒ f ´( x) = 3 x 2 − 4 x − 4 ⇒ f ´´( x) = 6 x − 4
La derivada primera se anula en x = −2/3 y en x = 2.
Como f ´´(−2 / 3) < 0 y f ´´(2) > 0 , en x = −2/3 se da un máximo y en x = 2 se da un
mínimo.
La gráfica de la función es aproximadamente como sigue:
El área es la del recinto sombreado, que viene dada por:
A= −
−2
∫
−3
( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) dx +
∫ (x
2
−2
−2
3
− 2 x 2 − 4 x + 8)dx =
2
 x4 2 3

 x4 2

= − 
− x − 2 x 2 + 8 x  +  − x 3 − 2 x 2 + 8 x  =
 4 3
 −3  4 3
 −2
44 15 20 44 129
=
− +
+
=
3
4
3
3
4
Cuestión 1
 1 3
  1 + 2m 3 + 2m 
1 2 m  
· m 0  = 

A·B = 
1 
1 − 1 − 1  0 2   1 − m


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La matriz AB es inversible si su determinante es distinto de cero:
A·B =
1 + 2m 3 + 2 m
= 2m 2 + 3m − 2
1− m
1
Como 2 m2 + 3m − 2 = 0 si m = −2 o m = 1/2, para cualquier valor de m ≠ −2 y 1/2, la
matriz AB será inversible.
Cuestión 2
r
r
r r
Si v = (2, 2, 1) y w = (2, 0, −1) un vector ortogonal común a ambos es v × w ; mientras que
r r
v×w
el correspondiente vector unitario será: r r .
v×w
r r
u1 u 2
r r
Como v × w = 2
2
r
u3
2 1 = ( −2, 4, − 4) ,
0 −1
r r
v×w
(−2,4,−4)
 −1 2 − 2 
el vector pedido es r r =
= , ,

v×w
4 + 16 + 16  3 3 3 
Cuestión 3
x +1 
lím x(ln( x + 1) − ln x) = [∞ · (∞ − ∞)] = lím x ln
 = [∞ · ln 1] = [∞ · 0] =
x→ ∞
x→ ∞ 
x 

 ln
= lím 
x→ ∞ 


x+1 

x  =  0  = (Por la regla de L´Hôpital) =
1   0 

x 
1
1
−
x2
= lím x + 1 x = lím 2
=1
x→ ∞
1
x→ ∞ x + x
− 2
x
Cuestión 4
Para ser paralela a la recta y = x, la pendiente de la tangente pedida debe valer 1.
Como la pendiente de la tangente viene dada por el valor de la derivada en el punto de
tangencia, debe cumplirse que:
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f ´( x ) = 3x 2 − 6 x + 1 = 1 ⇒ x = 0 o x = 2.
Los puntos de la gráfica serán (0, 0) y (2, −2)
NOTA: Las rectas tangentes son y = x, que coincide con la dada, e y = x − 4.
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