Septiembre-2002

CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN
COMPLETO
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán
fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y
propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver.
Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y
coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.
DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora de “una línea”.
No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas.
OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos
problemas, PR-1 y PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema
tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo,
con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B,
Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1. Se consideran los planos π 1 ≡ x + y + z = 0 y π 2 ≡ x − y + z = 1. Se pide :
a) Hallar un plano perpendicular a ambos pasando por el punto (1, 2, − 1).
(1 punto)
b) Determinar una recta paralela a ambos pasando por el punto (2, 1, 1) (1 punto)
c) Calcular el ángulo que forman π 1 y π 2 (1 punto)
PR-2. a) Enunciar el teorema de los incre mentos finitos. (1 punto)
b) Una función f(x), derivable en toda la recta, verifica:
f(0) = − 2,
f(2) = 6
b1) Aplicando el teorema anterior, probar que existe un punto c en el intervalo (0,
2) tal que f ´(c) = 4.
(1 punto)
b2) Si además f(x) tiene derivada continua y f ´(0) = 0, probar que hay un punto en el
intervalo (0, 2) en el que la derivada de f toma el valor 3.
(1 punto)
CUESTIONES
 1 1
 3 1
C.1. Dadas las matrices A = 
 y B = 
 , hallar para qué valores de m la
 2 0
 2 2
matriz B + mA no tiene inversa.
(1 punto)
C.2. Calcular el valor de a para que el producto vectorial de los vectores (a, − a, 2) y
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(2, a, 1) sea proporcional al vector (1, 1, 0).
C.3. Calcular lím
x →0
C.4. Calcular
∫
(1 punto)
1 + x − 1− x
senx
x
1 + 2x2
(1 punto)
dx
(1 punto)
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1. La circunferencia x 2 + ( y + 4) 2 = 25 corta al eje OX en los puntos F1 y F2
a) Hallar las coordenadas de los puntos F1 y F2.
(1 punto)
b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son F1 y F2 y cuyo eje mayor es igual al
diámetro de la circunferencia anterior.
(2 puntos)
PR-2. La gráfica de la función y = cos x en el intervalo [0, π /2] determina con los ejes
de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la
función y = sen x. Determinar el área de cada una de esas partes.
(3 puntos)
CUESTIONES
C.1. Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales,
calcular el determinante de A. ¿Existe la matriz inversa de A? (1 punto)
C.2. Hallar el plano que contiene a la recta
x − y − z + 2 = 0
recta 
,
 y − 2z −1 = 0
x − 3 y − 2 z −1
=
=
y es paralelo a la
1
2
3
(1 punto)
senx + sen( x + 1)
en el intervalo [0, π /2], demostrar,
cos x − cos( x + 1)
calculando su derivada, que f(x) es constante.
(1 punto).
C.3. Dada la función f ( x ) =
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C.4. Hallar a, b y c para que la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tome el valor 0 para x
= 1, presente un máximo relativo en x = − 1 y un mínimo relativo en x = 0.
(1 punto)
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Solución PRUEBA A
Problema 1:
a) El plano pedido está definido por los vectores característicos de los planos π 1 y π 2 y por
el punto (1, 2, −1).
r
vπ 1 = (1, 1, 1);
r
vπ 2 = (1, −1, 1)
 x =1+t + h

Las ecuaciones paramétricas del plano son: π :  y = 2 + t − h
z = − 1 + t + h

x −1 1
1
Siendo la ecuación implícita: y − 2 1 − 1 = 0 ⇒ x − z − 2 = 0
z +1 1 1
r
b) El vector característico de π, vπ = (1, 0, −1), es el de dirección de la recta. Luego:
x = 2 + λ

r: y=1
 z = 1− λ

c) El ángulo (π 1, π 2) es el mismo que el que forman sus vectores característicos.
Como
r
v ·v
1 −1 + 1 1
cos (vð 1 , vð 2 ) = ð 1 ð 2 =
=
vð 1 · vð 2
3
3 3
se tiene que ángulo (π 1, π 2) = arccos 1/3 ≈ 70,5º
Problema 2:
a) El teorema de los incrementos finitos (o del valor medio) dice:
Si f (x) es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un
punto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f ( a)
= f ´(c )
b−a
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b1) Como f(x) es derivable en toda la recta, en particular lo es en el intervalo (0, 2), se tiene
que:
f ( 2) − f ( 0)
6+ 2
= f ´(c) ⇒
= 4 = f ´(c)
2−0
2
b2) Ahora se aplica el teorema de los valores intermedios: “toda función continua en un
intervalo [a, b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b)”. Este resultado se
aplica a f ´(x), que es la función continua en este caso:
Como f ´(0) = 0 y f ´(c) = 4, siendo 0 < c < 2, entonces, por el teorema, existe otro punto x0,
(0 < x0 < c < 2), tal que f ´(x0) = 3, ya que 3 está comprendido entre f ´(0) y f ´(c).
Cuestión 1:
 3 1
 1 1  3 + m 1+ m 
B + mA = 
 + m
 = 

2 
 2 2
 2 0  2 + 2m
Esta matriz no tiene inversa cuando su determinante vale 0.
B + mA =
3 + m 1+ m
= −2m 2 − 2m + 4 = 0 ⇒ m = −2 o m = 1
2 + 2m
2
La matriz B + mA no tiene inversa cuando m = −2 o m = 1
Cuestión 2:
r
u1
r
u2
r
u3
(a, −a, 2)×(2, a, 1) = a
2
−a
a
2 = ( −3a, 4 − a, a 2 + 2a )
1
Para que este vector sea proporcional a (1, 1, 0) debe cumplirse que:
 − 3a = k

(−3a, 4 − a, a + 2a = k(1, 1, 0) ⇒  4 − a = k
a 2 + 2 a = 0

2
la tercera igualdad, a2 + 2a = 0, se cumple para a = 0 y a = −2.
El valor a = 0 hay que descartarlo, pues saldría: k = 0 y k = 4, sustituyendo en las dos
primeras ecuaciones.
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En cambio, si a = −2, se obtiene k = 6 en ambas ecuaciones. Por tanto, el valor pedido es a
= −2.
Cuestión 3:
Aplicando L´Hôpital:
1 + x − 1− x
0 
=  
senx
0 
lím
x →0
1
1
1 1
+
+
2
1
+
x
2
1
−
x
2
2 =1
= lím
=
x→0
cos x
1
Cuestión 4:
Se hace ajustando constantes.
∫
x
1 + 2x2
dx =
1
2
∫ 2 1 + 2x
4x
2
1
 1
f ´( x )
dx = 
dx  =
1 + 2x2 + c
 2 2 f (x )  2


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∫