Junio-2003

CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN
Cada pregunta de la 1 a 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre
un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro
preguntas.
Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la
argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a.
OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR
LAS PREGUNTAS DEL MISMO.
BLOQUE A
Pregunta 1A
Encuentra, si existen, matrices cuadradas A, de orden 2, distintas de la matriz
1 0  1 0 
identidad, tales que A
 = 
 A
1 1  1 1 
¿Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona tu respuesta.
Pregunta 2A
Halla el área del recinto de la figura siguiente:
sabiendo que el tramo curvo corresponde a una parábola que tiene un mínimo en el
punto (0, 1).
Pregunta 3A
Una máquina de llenado, está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con
el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la máquina, se eligen al azar 100
bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral fue de
297 gramos. Suponiendo que la variable peso tiene una distribución normal con
varianza 16, ¿es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel 0,05?
Pregunta 4A
Una moneda de 1 euro está lastrada de forma que la probabilidad de sacar cara es
0,6. Se lanza la moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una
cara y una cruz.
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BLOQUE B
Pregunta 1B
Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas,
120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas,
1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1
camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se venderá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer
de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará?
Pregunta 2B
Dada la función f ( x ) = 2 x 2 + ax + b :
a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (1, 3) y alcanza un
extremo en el punto de abscisa x = −2.
b) Representa gráficamente la función.
Pregunta 3B
Juan, María y Pablo quedan para ir al cine. Las probabilidades de llegar con retraso
son 0,3, 0,2 y 0,1, respectivamente. El retraso o no de uno de ellos no depende de los
otros dos. Calcula las probabilidades siguientes:
a) Ninguno se retrasa.
b) Sólo uno se retrasa.
c) Sabiendo que sólo uno se retrasó, ¿cuál es la probabilidad de que fuera Juan?
Pregunta 4B
Para una variable aleatoria X con distribución normal se sabe que la media es de
5000 y la P(X < 3000) = 0,1587. Determina la desviación típica.
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SOLUCIÓN A LAS PREGUNTAS DEL BLOQUE A
Pregunta 1
a b 
Sea A = 
 la matriz buscada. Entonces:
c d 
b 
 a b  1 0  1 0  a b 
a + b b  a


 = 

 ⇒ 
 = 
 ⇒
 c d  1 1  1 1  c d 
c + d d  a + c b + d 
 a+b = a

b=b

⇒
c + d = a + c
 d = b + d
⇒ b = 0; a = d.
a 0
− 4 0 
La matriz buscada es A = 
 , con a ≠ 1 o c ≠ 0. Por ejemplo, A = 

c a
 17 − 4 
Pregunta 2
La ecuación general de la parábola es y = ax 2 + bx + c . Por la figura se ve que pasa por los
puntos (0, 1) y (1, 2).
Como el eje de simetría de la parábola pasa por el vértice, otro punto de esa curva será (−1,
2). Así pues, tenemos tres puntos de la parábola: (0, 1), (1, 2) y (−1, 2).
Por pasar por (0, 1) se cumple:
Por pasar por (1, 2) se cumple:
Por pasar por (−1, 2) se cumple:
1=c
2=a+b+1
2 = a − b + 1 ⇒ a = 1 y b = 0.
La ecuación de la parábola es y = x 2 + 1 .
Calculamos ahora el área del recinto que, como vemos por la siguiente figura, se puede
descomponer en dos triángulos y en un trapecio mixtilíneo (sombreado).
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Por tanto, el área pedida, A, será igual a:
A = A1 + A2 + A3 =
1·1
=
+
2
1

1·2 1  x 3
1 1
17
( x + 1) dx +
= +  + x  + 1 = + + 1 + 1 =
0
2 2  3
2 3
6
0
1
∫
2
Pregunta 3
Hay que hacer un contraste de hipótesis para la media.
Los datos son: µ = 300; x = 297; σ2 = 16 ⇒ σ = 4; n = 100; α = 0,05 ⇒ Zα/2 = 1,96
Haremos un contrate de hipótesis bilateral
Hipótesis nula, H0: µ = x
Hipótesis alternativa, H1: µ ≠ x
Se rechaza la hipótesis nula si x − µ > Z α / 2
σ
.
n
En nuestro caso:
x − µ = 297 − 300 = 3
y
Zα / 2
σ
4
= 1,96·
= 0,784
n
100
Como 3 > 0,784, hay que rechazar la hipótesis nula. En consecuencia, se admite la hipótesis
alternativa: la máquina función mal; no llena bolsas con 300 g de cereales.
Pregunta 4
Como cada lanzamiento es independiente del anterior, se tienen las siguientes probabilidades:
P(C) = 0,6 ⇒ P(3 Caras) = 0,63
P(X) = 0,4 ⇒ P(3 Cruces) = 0,43
Con esto, la
P(de que salga al menos una cara y una cruz) = 1 − P(3 Caras) − P(3 Cruces) =
= 1 − 0,63 − 0,43 = 1 − 0,28 = 0,72
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