CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y
PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una
puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con
un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y
DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1. a) Enunciar el Teorema de Rouché −Fröbenius. (1 punto)
b) Analizar en función del parámetro a el sistema de ecuaciones:
x − 2 y − z = −1
ax − y + 2 z = 2
x + 2 y + az = 3
c) Resolver el sistema cuando a = 3, a = 0.
(1 punto)
(1 punto)
PR-2. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la
1
región plana limitada por la curva y = x − 1 y la recta y = ( x − 1) .
2
a) Calcular el área de la parcela.
(1,25 puntos)
b) Deciden dividir la parcela, en partes iguales, mediante una recta de la forma y = a,
(a > 0). Hallar el valor de a.
(1,75 puntos)
CUESTIONES
C.1. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando que 2 · A2 = A. Calcular
razonadamente los posibles valores del determinante de A.
(1 punto)
r r
C.2. Si u y v son vectores ortogonales y de módulo 1, hallar los posibles valores del
r
r r r
parámetro real a para que los vectores u + av y u − av formen un ángulo de 60º.
(1 punto)
2
e x −1
C.3. Calcular lím
x→ 0 cos x − 1
(1 punto).
C.4. Dados los puntos A(-5, -1), B(2, 4), C(0, 2), sea M el punto medio del segmento
BC. Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AM.
(1 punto).
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Solución
PRUEBA A
Problema 1
a) Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si el rango de la matriz de los coeficientes
de las incógnitas (A) es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos
independientes (M), y recíprocamente. Esto es:
el sistema es compatible ⇔ rango de A = rango de M
• Si ambos rangos son iguales al número de incógnitas, el sistema es compatible
determinado: tiene una única solución.
• Si ambos rangos son iguales pero menores que el número de incógnitas, el sistema es
compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
b) Las matrices asociadas al sistema son:
1 − 2 −1
A = a −1 2
1 2
a
− 1
2 =M
3
1 − 2 −1
El determinante de A, A = a
1
−1
2
2 = 2 a 2 − 3a − 9 = 2(a + 3/2)(a − 3)
a
Luego:
• Si a ≠ −3/2 y 3 ⇒ r(A) = 3 = r(M). El sistema será compatible determinado.
• Si a = −3/2, el rango de A es 2: r(A) = 2.
1
−2
−1
Además: A = − 3 / 2 − 1
2
1
2 − 3/2
2
−1
Como el menor M 1 = − 1
2
2 − 3/ 2
− 1
2=M .
3
−1
2 = 18 − 7 + 5 / 2 ≠ 0 ⇒ r(M) = 3.
3
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Por tanto, si a = −3/2 el sistema es incompatible.
1 − 2 − 1
• Si a = 3, se tiene: A = 3 − 1 2
1 2
3
− 1
2 =M .
3
Observamos que la columna de los términos independientes coincide con la de coeficientes de
la z; luego, r(A) = 2 = r(M). El sistema será compatible indeterminado.
c) Para a = 3, el sistema resulta equivalente a
x − 2 y − z = −1
3x − y + 2 z = 2
⇔
x − 2 y = −1 + z
3 x − y = 2 − 2 z
cuya solución (restamos E1 − 2E2 y sustituimos) es:
x =1− t
y =1−t
z =t
Para a = 0, el sistema queda:
x − 2 y − z = −1
− y + 2z = 2
x + 2y = 3
Aplicando Cramer:
−1 − 2 −1
2 −1 − 2
x=
3
2
A
0
1 −1 −1
0 2 −2
=
− 15 5
=
−9 3
1 − 2 −1
0 −1 2
z=
1
2
A
3
=
− 12 4
=
−9 3
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y=
1
3
A
0
=
−6 2
=
−9 3
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Problema 2
Cortes de curva con recta:
1
( x − 1) ⇒ 4( x − 1) = x 2 − 2 x + 1 ⇒ x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇒ x = 1, x = 5
2
a) El área es la del recinto sombrado en la siguiente figura.
x −1 =
Su valor es:
5
x −1
1
2
4
2
A = ( x −1 −
) dx = ( x − 1) 3 / 2 − ( x − 1) 2 = ·8 − 4 =
2
4
1
3
3
1 3
∫
5
b) Cortes de la recta y = a con la curva y la recta: puntos P y Q.
P: a =
x − 1 ⇒ x = 1 + a2
Q: a =
1
( x − 1) ⇒ x = 1 + 2a
2
2
, luego:
3
1+a 2
1+ 2 a
x −1
x −1
AAPQ =
( x −1 −
) dx + ( a −
) dx =
2
2
2
1
1+a
El área del triángulo mixtilíneo APQ debe valer
∫
∫
1+a 2
1
2
= ( x − 1) 3 / 2 − ( x − 1) 2
4
3
1
1+ 2 a
1
1
+ ax − ( x − 1) 2
= − a3 + a2
4
3
1+ a 2
Como debe ser que:
1
2
− a3 + a2 =
⇒ a = 1 o a =1+ 3
3
3
La última solución no es válida, pues sale fuera de la región sombreada. Por tanto, la solución
buscada es a = 1.
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CUESTIONES
Cuestión 1
Si 2 · A2 = A ⇒ 2 A 2 = A
Por las propiedades de los determinantes, se tiene:
2
2 A 2 = A ⇒ (por ser A de orden 2) 2 2 A = A ⇒ A (4 A − 1) = 0 ⇒
⇒
A =0, A =
1
4
Cuestion 2
r r
Los vectores u y v forman base ortogonal. Entonces, podemos expresar:
r
r
u + av = (1, a),
r r
u − av = (1, −a)
Como
r
r r r
cos( u + av , u − av ) =
(1, a)·(1,− a)
1 + a2
1− a2
1
=
= cos 60º =
⇒
2
2
1 + ( −a ) 2 1 + a
⇒ 2 − 2a2 = 1+ a2 ⇒ 3a2 = 1 ⇒ a = ±
1
3
Cuestión 3
Es un límite indeterminado, que resolveremos por L´Hôpital.
L´H
L´H
2
2
2
2
e x −1 0
2 xe x
2e x + 4 x 2 e x
0
lím
= = lím
= = lím
= −2
x→ 0 cos x − 1
x→ 0 − senx
x→ 0
− cos x
0
0
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Cuestión 4
2+0 4+2
Punto M: M =
,
= (1, 3)
2
2
Si su diámetro es el segmento AM, el centro está en el punto medio de ese segmento, O:
− 5 +1 −1 + 3
O =
,
= (−2, 1)
2
2
El radio es la distancia de O a A: r =
( −2 + 5) 2 + (1 + 1) 2 = 13
Por tanto, la ecuación de la circunferencia pedida es:
( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 = 13
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0
