ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
Opción A
A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 × 2 A que cumple las siguientes
condiciones:
1) Coincide con su traspuesta.
2) Verifica la ecuación matricial
1 1 − 1 − 3 − 3
1
A
=
3
− 1 − 1 0 1 3
3) Su determinante vale 9.
[2,5 puntos]
A.2. Dada la recta de ecuaciones paramétricas
x = −1 + 2α
r : y = −1 + α
z =1
y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, –1, 2), se pide:
1) Encontrar la posición relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos].
2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el triángulo PQR es isósceles de
lados iguales PR y QR. [1 punto]
A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las gráficas de las
funciones
f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x 3 + c
pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos]
A.4. Un triángulo isósceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de
altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la
base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga
la mayor área posible [2,5 puntos]
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Solución
A.1
a b
Por 1) la matriz A debe ser simétrica: A =
b d
1 a
1
Por 2):
− 1 − 1 b
b 1 − 1 − 3 − 3
a + b − a + d − 3 − 3
=
⇒
=
d 0 1 3
3
3
− a − b a − d 3
a + b = −3
⇒
− a + d = − 3
Por 3): A = ad − b 2 = 9
Sustituyendo d y b en esta última ecuación se tiene: a = –2; b = –1; d = –5.
La matriz buscada es
− 2 −1
A =
−1 − 5
A.2
x=1
Ecuaciones de la recta PQ: s : y = 1 − 2t , con PQ = vs = (0, –2, 0).
z = 2
1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A ∈ r y P ∈ s, se
determina la posición relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; si
son l.d., están en el mismo plano.
Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, –2, 0); tomando A = (–1, –1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene que
AP = (2, 2, 1).
Con esto:
2
1
0
0 − 2 0 = −4
2 2 1
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Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, las
rectas r y s se cruzan.
2) Sea R un punto genérico de r : R = (–1 + 2α, –2 + α, –1). Entonces:
PR = (–2 + 2α, –2 + α, –1) y QR = (–2 + 2α, α, –1)
Como deben tener el mismo módulo:
( −2 + 2α ) 2 + (−2 + α ) 2 + ( −1) 2 = ( −2 + 2α ) 2 + α 2 + ( −1) 2 ⇒ α = 1
El punto pedido es R = (1, 0, 1).
A.3
Debe cumplirse:
f (1) = 2 = 1 + a + b
g (1) = 2 = 1 + c ⇒ c = 1
f ´( x ) = 2 x + a
g´( x ) = 3 x 2 → g´(1) = 3
Como f ´(1) = g´(1) , entonces:
2 · 1 + a = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = 0.
Las funciones son:
f (x ) = x 2 + x
y
g ( x) = x 3 + 1
A.4
El área del rectángulo es base por altura: A = b · a (Ver figura)
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Por Tales se tiene que:
x
5
=
⇒ a = 4x
a 20
Luego
A = b · a = (10 – 2x) · 4x = 40x – 8x2
Para que A sea máxima: A´= 0, A´´ < 0.
A´= 40 – 16 x = 0 ⇒ x = 2,5
A´´= –16 < 0.
Las dimensiones del rectángulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm.
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