ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Opción A A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 × 2 A que cumple las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta. 2) Verifica la ecuación matricial 1 1 − 1 − 3 − 3 1 A = 3 − 1 − 1 0 1 3 3) Su determinante vale 9. [2,5 puntos] A.2. Dada la recta de ecuaciones paramétricas x = −1 + 2α r : y = −1 + α z =1 y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, –1, 2), se pide: 1) Encontrar la posición relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos]. 2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el triángulo PQR es isósceles de lados iguales PR y QR. [1 punto] A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las gráficas de las funciones f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x 3 + c pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos] A.4. Un triángulo isósceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible [2,5 puntos] www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Solución A.1 a b Por 1) la matriz A debe ser simétrica: A = b d 1 a 1 Por 2): − 1 − 1 b b 1 − 1 − 3 − 3 a + b − a + d − 3 − 3 = ⇒ = d 0 1 3 3 3 − a − b a − d 3 a + b = −3 ⇒ − a + d = − 3 Por 3): A = ad − b 2 = 9 Sustituyendo d y b en esta última ecuación se tiene: a = –2; b = –1; d = –5. La matriz buscada es − 2 −1 A = −1 − 5 A.2 x=1 Ecuaciones de la recta PQ: s : y = 1 − 2t , con PQ = vs = (0, –2, 0). z = 2 1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A ∈ r y P ∈ s, se determina la posición relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; si son l.d., están en el mismo plano. Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, –2, 0); tomando A = (–1, –1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene que AP = (2, 2, 1). Con esto: 2 1 0 0 − 2 0 = −4 2 2 1 www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, las rectas r y s se cruzan. 2) Sea R un punto genérico de r : R = (–1 + 2α, –2 + α, –1). Entonces: PR = (–2 + 2α, –2 + α, –1) y QR = (–2 + 2α, α, –1) Como deben tener el mismo módulo: ( −2 + 2α ) 2 + (−2 + α ) 2 + ( −1) 2 = ( −2 + 2α ) 2 + α 2 + ( −1) 2 ⇒ α = 1 El punto pedido es R = (1, 0, 1). A.3 Debe cumplirse: f (1) = 2 = 1 + a + b g (1) = 2 = 1 + c ⇒ c = 1 f ´( x ) = 2 x + a g´( x ) = 3 x 2 → g´(1) = 3 Como f ´(1) = g´(1) , entonces: 2 · 1 + a = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = 0. Las funciones son: f (x ) = x 2 + x y g ( x) = x 3 + 1 A.4 El área del rectángulo es base por altura: A = b · a (Ver figura) www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO Por Tales se tiene que: x 5 = ⇒ a = 4x a 20 Luego A = b · a = (10 – 2x) · 4x = 40x – 8x2 Para que A sea máxima: A´= 0, A´´ < 0. A´= 40 – 16 x = 0 ⇒ x = 2,5 A´´= –16 < 0. Las dimensiones del rectángulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm. www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM