Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos

CASTILLA Y LEÓN / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y
PR-2, y de cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una
puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con
un punto.
EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A O B, Y
DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.
Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I, donde I es la matriz
unidad.
a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A. (1,5 puntos)
1 
1 + m
b) Dada la matriz B = 
 , hallar para qué valores de m se verifica que
1 − m 
 1
B2 = 2B + I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. (1,5 puntos)
PR-2.
a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral. (1 punto).
b) Calcular una primitiva de la función x ln( 1 + x 2 ) . (1,5 puntos).
c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la
recta x = 1. (0,5 puntos)
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CUESTIONES
C.1. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que los tres vectores (a, b, 1), (–b, –1,
a) y (–a, b, a) estén sobre un mismo plano? (1 punto)
C.2. Dados los planos π 1: 3x + 4y + 5z = 0, π 2: 2x + y + z = 0 y el punto A(–1, 2, 1),
hallar el plano que pasa por el punto A y por la recta intersección de los planos π 1 y
π 2. (1 punto).
C.3. Calcular, simplificando el resultado todo lo posible, la derivada de la función:
f ( x ) = ln
1 − cos x
1 + cos x
(1 punto)
C.4. Hallar razonadamente la excentricidad de una elipse, sabiendo que los
segmentos que unen los extremos de su eje menor con cada uno de los focos forman
un cuadrado (1 punto).
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SOLUCIONES:
PROBLEMAS
1.
a) A2 = 2A + I ⇒ A2 – 2A = I ⇒ A(A – 2I) = I.
Luego, A–1 = A – 2I.

1  1+ m
1   (1 + m) 2 + 1
1+ m
2

b) B 2 = 
·
 = 
1− m   1
1− m  
2
(1 − m) 2 + 1
 1
2   1 0   3 + 2m
2 
 2 + 2m
B + 2 I = 
 − 
 = 

2 - 2m   0 1   2
3 − 2m 
 2
(1 + m) 2 + 1 = 3 + 2m
m 2 = 1
B2 = 2B + I ⇒ 
⇒
⇒
 2
2
(1 − m) + 1 = 3 − 2 m
m = 1
m = ±1
0 1
 0 1  2 0  − 2 1 
• Para m = –1, B = 
 ⇒ B −1 = B − 2 I = 
 − 
 = 

1 2
 1 2  0 2  1 0
•
 2 1
 2 1  2 0  0 1 
Para m = 1, B = 
 ⇒ B −1 = B − 2 I = 
 − 
 = 

 1 0
 1 0  0 2  1 − 2
2.
a) Teoría. Ver libro de texto. (Páginas 395 y 396 de Matemáticas 2, Vizmanos)
b) Hacemos
∫ x ln(1 + x )dx por partes:
2
u = ln( 1 + x 2 ) ⇒ du =
xdx = dv ⇒ v =
2x
dx
1 + x2
x2
2
Luego,
∫
x2
x3
x2
x 

2
x ln( 1 + x ) dx = ln( 1 + x ) −
dx =
ln( 1 + x 2 ) −  x −
 dx =
2
2
1+ x
2
 1+ x2 
∫
2
=
x2
x2 1
ln( 1 + x 2 ) −
+ ln( 1 + x 2 ) + c
2
2 2
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∫
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c) La función f ( x ) = x ln( 1 + x 2 ) es no negativa en todo el intervalo [0, 1]: salvo en x = 0, es
producto de dos números positivos. En consecuencia,
1
 x2

x2 1
1
2

A = x ln( 1 + x )dx =  ln( 1 + x ) −
+ ln( 1 + x 2 )  = ln 2 −
2 2
2
0
 2
0
1
∫
2
CUESTIONES
1.
a
b
1
Están en el mismo plano si − b − 1 a = 0
−a b a
Desarrollando el determinante se tiene que:
− a 2 (1 + 2b) + b 2 (a − 1) − a = 0
2.
Será el plano del haz
3x + 4y + 5z + m(2x + y + z) = 0
que pasa por el punto A(–1, 2, 1).
Para ello, sustituyendo:
–3 + 8 + 5 + m(–2 + 2 + 1) = 0 ⇒ m = –10.
Se obtiene:
17x + 6y + 5z = 0
3.
f ( x ) = ln
f ´( x ) =
1 − cos x
⇒ f ( x ) = ln( 1 − cos x) − ln( 1 + cos x)
1 + cos x
sen x
− sen x (1 + cos x ) sen x + (1 − cos x) sen x 2 sen x
2
−
=
=
=
2
2
1 − cos x 1 + cos x
1 − cos x
sen x sen x
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4.
Consideramos la elipse
x2 y 2
+
= 1 , centrada en O = (0, 0).
a2 b 2
Sean P = (–c, 0) y Q = (c, 0) los focos; y A = (0, b) y B = (0, –b) los extremos del eje
menor.
Si P, A, Q y B son los vértices de un cuadrado ⇒ AQ = a y c = b (OQ = OA).
Por otra parte:
a 2 = b 2 + c 2 ⇒ a 2 = 2c 2 ⇒ a = c 2
Por tanto, la excentricidad es:
e=
c
c
1
=
=
a c 2
2
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