Cálculo de la ecuación del plano Narrador Hernán Puentes: Vamos

Cálculo de la ecuación del plano
Narrador Hernán Puentes: Vamos a hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos
P0 = (2,-1,-1) y P1 = (1,2,3) y es perpendicular al plano 2x + 3y –5z - 6= 0.
Aquí vamos a recordar que la ecuación de un plano en un espacio tridimensional está dada
mediate la siguiente expresión A(X-X1) + B(Y-Y0) + C(Z-Z0)= 0; lo que se puede escribir como
AX+ BY + CZ + D = 0, donde A,B Y C son los números directores de esa recta que va a ser
perpendicular a ese plano, es decir a una recta que en notación vectorial será a = Ai + Bj + Ck. Es
decir que ese vector va a ser perpendicular a ese plano. Así es básicamente y eso puede
demostrarse facilmente haciendo uso del producto punto de dos
vectores para hacer la
demostración.
Eso es lo que nos dice la teoría, pero en el ejercicio tenemos dos puntos
P0 = (2,-1,-1) y P1 = (1,2,3) que es perpendicular al pllano 2x + 3y – 5z – 6= 0.
Entonces aquí vamos a encontrar lo siguiente que la ecuación 2x + 3y – 5z – 6= 0 que es
perpendicular al plano, va a ser paralelo a la linea recta de coodernadas Ai + Bj + Ck. Eso viendolo
desde esa perspectiva.
Si no nostros calculamos el vector r1 – r0 = (1-2)i + (2+1)j +(3+1)k; r1 – r0 = -i + 3j +4k
Ese vector va a ser pararelo al vector a= 2i + 3j-5k, porque recordemos que este plano cumple l
condición de AX+ BY + CZ + D = 0, donde A,B y C son 2, 3 y -5 para ese plano. Es decir que estos dos
vectores son paralelos al plano que nos piden.
Por otro lado si se cálcula el producto cruz de( r1 – r0 ) x a = vector normal o perpendicular al
plano que conocemos. Luego de ese producto cruz vamos a tener la solución de ecuación que nos
piden. También se puede denotar así : ( r1 – r0 ). [( r1 – r0 )x a ]= 0; es igual a cero porque el
producto puto de dos vectores perpendiculares es igual a cero. Realizando lo anterior tenemos:
Luego resolvemos el determinante que tenemos para puego relizar el producto punto.
El producto punto sería igual a:
( r1 – r0 ). [( r1 – r0 )x a ] = [(x-2) i  ( y +1) j + ( z + 1) k] . [(-15 -12) i – (5 – 8)j + (-3 -6) k ]
 [(x-2) i  ( y +1) j + ( z + 1) k] . [(-27) i + 3j -9 k ]  0
 -27 (x 2) + 3 (y +1) – 9(z+1) = 0
= -27x + 54 + 3y +3 -9z -9 = 0
=-27x +3y -9z + 48 = 0
Podemos divirdilo entre 3 porque es común a todos y nos quedaría así:
= -9x +y -3z + 16= 0, y múltiplicamos por -1 quedando así:
= 9x – y + 3z -16 = 0
esta sería nuestra ecuación del plano.