Solución

Matemáticas II
Septiembre 2011
PROBLEMA B.2. Se da la recta
x − 4 y = 0
y el plano π α : (2 + 2α ) x + y + α z − 2 − 6α = 0 , dependiente del
r:
y − z = 0
parámetro real α .
Obtener razonadamente:
π α que pasa por el punto ( 1 , 1 , 0 ). (3 puntos)
b) La ecuación del plano π α que es paralelo a la recta r . (4 puntos)
c) La ecuación del plano π α que es perpendicular a la recta r (3 puntos).
a) La ecuación del plano
Solución:
a) Como el punto ( 1 , 1 , 0 ) pertenece al plano πα:
(2+2α).1+1+α.0–2–6α=0
2+2α+1–2–6α=0
–4α+1=0
−1 1
–4α= –1 → α =
=
−4 4
Por lo que la ecuación del plano pedido será:
1
1
1

2 + 2  x + y + z − 2 −6 = 0
4
4
4

1
1
3

2 +  x + y + z − 2 − = 0
2
4
2

5
1
7
x+ y+ z− =0
2
4
2
10 x + 4 y + z − 14 = 0
Solución: πα : 10 x 4 y + z – 14 = 0
→
→
b) Como πα debe ser paralelo a la recta r, nπ α ⊥ vr
→
nπ α = ( 2 + 2α , 1 , α )
→
Calculemos el vector director de la recta r, v r
Como r :  x − 4 y = 0 →  x = 4 y
y − z = 0
z = y
→
 x = 4λ

→ y = λ
z = λ

→
→ vr = ( 4 , 1 , 1 )
→
Puesto que debe ser nπ α ⊥ vr → ( 4 , 1 , 1 ) . ( 2 + 2 α , 1 , α ) = 0
8 + 8 α + 1 + α = 0; 9 + 9 α = 0; 9 α = – 9;
α=
Sustituyendo el valor de α en el plano πα :
(2+2.(–1))x+y+(–1)z–2–6(–1)=0
(2–2)x+y–z–2+6=0
y–z+4=0
La ecuación del plano πα será: y – z + 4 = 0
−9
= −1
9
→
→
c) Como πα debe ser perpendicular a la recta r, nπ α // vr
Por lo tanto debe cumplirse:
2 + 2α 1 α
= =
4
1 1
→
Luego α = 1
Sustituyendo el valor de α en el plano πα :
(2+2.1)x+y+1.z–2–6.1=0
4x+y+z–8=0
4x+y–z–8=0
La ecuación del plano πα será: 4 x + y – z – 8 = 0
2 + 2α 1
=
→ 2 + 2α = 4 → 2α = 2 → α = 1
4
1
1 α
=
→ α =1
1 1