Sean a y b enteros, b diferente de cero

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1. Hallar el vector v coplanario a a  2, 1,1 y b 1,0,3  y ortogonal a c  2,3,0 .
Sea v  x, y, z  tal que:
a) Es coplanario con a  2, 1,1 y b 1, 0,3 .
x
y
z
2 1 1  0  3x  5 y  z  0 1
1 0 3
b) Es ortogonal a c  2,3,0 , es decir:
 2,3,0   x, y, z   0  2 x  3 y  0
2
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones:
3x  5 y  z  0

 2x  3 y  0
Se observa la variable z libre:
 3 5 1  1
 1 5 3 1 3 
 1 5 3 1 3 

  f1  f1 
  2 f1  f 2  f 2 

0 
 2 3 0 3
2 3
 0 1 3 2 3 
 1 5 3 1 3 
 1 5 3 1 3   3 5 1 

  3 f2  f2 


2   0 1 2 
 0 1 3 2 3 
0 1
Reescribiendo el sistema en forma algebraica:
3x  5 y  z  0
; z  t  0

 y  2z  0
t  5 y 9t

 x  3  3  3t


y  2t

z t


Soluciones: v  3t , 2t, t 
Todos los vectores de esta forma cumplen las condiciones.
2. Sea la recta r . Para que punto P de r , determina la ecuación de la recta que
pasa por P y corta perpendicularmente al eje 0Z:
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 x  y 1  0
r:
2 x  z  3  0
Despejando y y z en función de x se tiene:
 x  y 1  0
 y  1  x
r:
r:
2 x  z  3  0
 z  3  2x
Parametrizando x , obtenemos:
 xt

r :  y  1  t
 z  3  2t

Los puntos P de r son de la forma  t , 1  t ,3  2t  .
Las rectas perpendiculares al eje 0Z, deben estar en un plano de ecuación
z  k (paralelos a la base del triedro cartesiano). Por lo tanto, la perpendicular
que pasa por P debe cortar al eje 0Z en el punto  0,0,3  2t  ; la coordenada z
de ambos puntos es la misma, constante.
En consecuencia, el vector dirección de las rectas pedidas son
QP   t , 1  t ,3  2t    0,0,3  2t    t , 1  t ,0  .
Las rectas pedidas quedan determinadas por el punto Q y el vector QP . La
ecuación, para cada valor de t , será:
 x  t

recta  P, Q  :  y   1  t  
 z  3  2t

Por ejemplo: El parámetro de éstas rectas es  , mientras que t determina
cada punto P de r . Por ejemplo, para t  1 , el punto P  1, 2,5 , el punto
Q   0,0,5 , y la ecuación de la recta perpendicular al eje 0Z que pasa por P
será:
 x

s :  y  2
 z 5

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3. Un plano pasa por el punto A  3,1, 1 , es perpendicular al plano
2 x  3 y  z  4 , y un entercepto z es igual a -3, hallar la ecuación.
Con base en la ecuación del plano  1 : 2 x  3 y  z  4 , puedo deducir que el
vector normal utilizado para deducir dicha formula fue  2, 3,1 .
Siendo  2 el plano por calcular.
Siendo  1   2 , lo que implica que que n1  n2 .
El intercepto z con  2 es -3, entonces B  0,0, 3 es un punto del plano  2 .
Los puntos A y B pertenecen a  2 . Y esta contenido en el plano  2 , por lo

tanto AB   0, 0, 3   3,1, 1   3, 1, 2 
Para obtener el vector n2 , normal al plano  2 , aplico el producto cruz entre

n1 y AB .

n2  n1  AB
ˆj kˆ
iˆ
n2  2 3 1
3 1 2
n2  iˆ  6  1  ˆj  4  3  kˆ  2  9 
n2  7iˆ  ˆj  11kˆ  n2   7,1, 11
 X  P   n2  0
 x, y, z   3,1, 1   7,1, 11  0
 x  3, y 1, z  1   7,1, 11  0
7  x  3   y  1  11 z  1  0
7 x  21  y  1  11z  11  0
7 x  y  11z  33  0
 2 : 7 x  y  11z  33  0
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4. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z  2 , que contenga al
punto  2, 2, 2  y que haga un ángulo de 60º con el plano 3x  2 y  3z  2  0 .
La ecuación del plano pedido es de la forma  2 : ax  by  d  0 , puesto que
es perpendicular al plano z  2 , paralelo al plano xy .
El vector normal del plano  2 es n2   a, b,0 .
Si  1 : 3x  2 y  3z  2  0 , de donde n1   3, 2, 3 .
El ángulo formado por  1 y  2 es de 60º que es dado por:
cos  
n1  n2
n1 n2
cos 60º 
cos 60º 
1

2
 a, b, 0   
 a, b, 0 

 3, 2, 3
3, 2, 3
3a  2b
a 2  b2 3  4  9
3a  2b
a 2  b 2 16
3a  2b
4 a 2  b2

1
2
3a  2b  2 a 2  b2

3a  2b
  2
2
a 2  b2

2
3a 2  4 3ab  4b 2  4a 2  4b 2
4 3ab  a 2
a  4 3b 1
Como la coordenada  2, 2, 2  pertenece al plano  2 , esto implica que:
 2 : 2a  2b  d  0 2
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De la ecuación 1 y la ecuación 2 , se tiene:


2 4 3b  2b  d  0
8 3b  2b  d  0
d  8 3b  2b


d  8 32 b 3
Reemplazando 1 y 3 en la ecuación del plano  2 :
ax  by  d  0


b  4 3x  y  8 3  2    0
4 3x  y  8 3  2   0
 : 4 3x  y  8 3  2   0
4 3bx  by  8 3  2 b  0 , siendo b diferente de cero:
2
5. Su número de código se puede representar por los siguientes literales
abcdefg; por ejemplo siendo el código 0384048, se puede deducir que a=0,
b=3, c=8; d=4: e=0, f=4 y g=8. Con base en lo descrito anteriormente y
tomando como referencia su código de estudiante, calcule la mínima
distancia entre el punto y plano dados:
 : gx  fy  ez  d  0 y P  a, b, c 
Debo buscar un vector director de la recta que pasa por la coordenada
encontrada e intercepta al plano  en un punto en forma perpendicular.
El vector director que voy a utilizar es el vector normal de  , pues siendo la
recta perpendicular al plano, ésta sería vector normal del plano  . Por lo
tanto:
gx  fy  ez  d  0  n   g ,  f , e 
Ya tengo disponible la información para obtener la línea recta que pasa por
el punto  a, b, c  e intercepta perpendicularmente al plano  .
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d   g ,  f , e 
 X  P   dt 
 a, b, c 
 x, y, z    a, b, c    g ,  f , e  t
 x  a, y  b, z  c    gt,  ft, et 

 x  a  gt

 y  b  ft
 z  c  et

Reemplazando las ecuaciones paraméticas en la ecuación del plano  ,
obtendré la magnitud del parámetro t donde, con la cual obtendré las
coordenadas del punto donde la recta intercepta al plano de forma
perpendicular.
gx  fy  ez  d  0
g  a  gt   f  b  f   e  c  et   d  0
ga  g 2t  fb  f 2  ec  e 2t  d  0
g 2t  f 2  e 2t   ga  fb  ec  d
t  g 2  f 2  e 2    ga  fb  ec  d
t
 ga  fb  ec  d
g 2  f 2  e2
Con base en el valor obtenido de t , la coordenada de intercepción de la línea
recta que pasa por el punto  a, b, c  y corta el plano  en la coordenada
 a  gt , b  ft , c  et  .
Ya dispongo de las dos coordenadas necesarias para calcular la distancia,
para lo cual, deduzco un vector entre las dos coordenadas y posteriormente
calculo la distancia entre los planos, que corresponde a la magnitud de dicho
vector, lo que obtendré aplicando la norma del vector:
 a  gt, b  ft, c  et    a, b, c    gt ,  ft , et 
 gt,  ft, et 

 gt,  ft, et    gt,  ft, et 
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 gt ,  ft , et 

 gt     ft    et 
2
2
2
Por lo tanto, la distancia más corta entre los dos planos es:
 gt     ft    et 
2
2
2