# Eje central - Web del Profesor

Anuncio
```Eje central

&iquest;Como obtener un punto “A” que pertenece al eje
central?
To
To = TA + OA &times; R
R

TA = To − OA &times; R
Si el punto “A” pertenece al eje central.
TA = λR
To − OA &times; R = λR

Ec. I
Multiplicando la Expresi&oacute;n Ec. I vectorialmente por
el vector R.
Eje central

Se obtiene:
(
)
T &times; R − (OA &times; R )&times; R = 0
Ec. II
T &times; R = (OA &times; R )&times; R
To &times; R − OA &times; R &times; R = λR &times; R
o
o
Recordando el producto vectorial entre tres vectores,
se obtiene:
D &times; (B &times; C ) = (D • C )⋅ B − (D • B )⋅ C
(B &times; C )&times; D = − D &times; (B &times; C ) = −(D • C )⋅ B + (D • B )⋅ C
Eje central

Desarrollando el producto vectorial
(OA &times; R )&times; R
(OA &times; R )&times; R = (R • OA )⋅ R − (R • R )⋅ OA
(OA &times; R )&times; R = (R • OA )⋅ R − R ⋅ OA
2

Sustituyendo en la expresi&oacute;n Ec. II se obtiene:
(
)
T &times; R = (R • OA )⋅ R − R
To &times; R = OA &times; R &times; R
o
2
⋅ OA
Eje central

Si OA es perpendicular a R se cumple que (R • OA )⋅ R = 0

Por ende: To &times; R = − R ⋅ OA
To
2
R
Eje
central
O

Despejando el vector OA se tiene:
A
To &times; R
OA = −
R2
R &times; To
Punto “A” del eje central.
A
,
A
,
A
OA =
=
x
y
z
2
R
[
]
Eje central
Se puede definir la ecuaci&oacute;n del eje central
mediante:
X − Ax Y − Ay Z − Az
Eje central
=
=
Rx
Ry
Rz
To
R
O
R
A
Eje
central
Ejemplo

La resultante de un sistema fuerza-par en el punto “o” es:
R = [20 20 − 40]Tn. ; TO = [− 140 250 80]Tn. − m.
Obtener la ecuaci&oacute;n del eje central.
Soluci&oacute;n
[
]
R &times; To
R= 2400 tn. ; OA = R 2 = Ax , Ay , Az ;
 5 10 
OA :=  5, , 
RxTo = [ 12000, 4000, 8000 ]
 3 3
∴
X − Ax Y − Ay Z − Az
=
=
Rx
Ry
Rz
Finalmente la ecuaci&oacute;n del eje central es:
5
10
X −5 Y − 3 Z − 3
=
=
20
20
− 40
```