Eje central - Web del Profesor

Eje central
„
¿Como obtener un punto “A” que pertenece al eje
central?
To
To = TA + OA × R
R
„
TA = To − OA × R
Si el punto “A” pertenece al eje central.
TA = λR
To − OA × R = λR
„
Ec. I
Multiplicando la Expresión Ec. I vectorialmente por
el vector R.
Eje central
„
Se obtiene:
(
)
T × R − (OA × R )× R = 0
Ec. II
T × R = (OA × R )× R
To × R − OA × R × R = λR × R
o
o
Recordando el producto vectorial entre tres vectores,
se obtiene:
D × (B × C ) = (D • C )⋅ B − (D • B )⋅ C
(B × C )× D = − D × (B × C ) = −(D • C )⋅ B + (D • B )⋅ C
Eje central
„
Desarrollando el producto vectorial
(OA × R )× R
(OA × R )× R = (R • OA )⋅ R − (R • R )⋅ OA
(OA × R )× R = (R • OA )⋅ R − R ⋅ OA
2
„
Sustituyendo en la expresión Ec. II se obtiene:
(
)
T × R = (R • OA )⋅ R − R
To × R = OA × R × R
o
2
⋅ OA
Eje central
„
Si OA es perpendicular a R se cumple que (R • OA )⋅ R = 0
„
Por ende: To × R = − R ⋅ OA
To
2
R
Eje
central
O
„
Despejando el vector OA se tiene:
A
To × R
OA = −
R2
R × To
Punto “A” del eje central.
A
,
A
,
A
OA =
=
x
y
z
2
R
[
]
Eje central
Se puede definir la ecuación del eje central
mediante:
X − Ax Y − Ay Z − Az
Eje central
=
=
Rx
Ry
Rz
To
R
O
R
A
Eje
central
Ejemplo
„
La resultante de un sistema fuerza-par en el punto “o” es:
R = [20 20 − 40]Tn. ; TO = [− 140 250 80]Tn. − m.
Obtener la ecuación del eje central.
Solución
[
]
R × To
R= 2400 tn. ; OA = R 2 = Ax , Ay , Az ;
 5 10 
OA :=  5, , 
RxTo = [ 12000, 4000, 8000 ]
 3 3
∴
X − Ax Y − Ay Z − Az
=
=
Rx
Ry
Rz
Finalmente la ecuación del eje central es:
5
10
X −5 Y − 3 Z − 3
=
=
20
20
− 40