SOLUCIONES PRUEBA 1

2º BACHILLERATO- MATEMATICAS II - SOLUCIONES PRUEBA 1- 2ª EVALUACIÓN
1.-Dado el plano π
2x-y+2z+1 = 0 , hallar las ecuaciones de los planos paralelos a π que se
encuentran a 3 unidades de π:
SOLUCIÓN: Planos paralelos :
2x – y + 2z + D1 =0 , π2 2x – y + 2z + D2 =0
1

*Un punto del plano π :

SOLUCIÓN:
1

=9 D-1 =
D1= -8 D2= 10
2x – y + 2z -8 =0 , π2 2x – y + 2z +10 =0
OTRA FORMA:
Sean (a,b,c) puntos del espacio que están a distancia 3 del plano 2x –y +2z+1= 0 
=3 –>
 2·a-b+2c +1 = 9 
Soluciones: Son las ecuaciones de dos planos:
2.- Dado el plano π
2x-y+2z-8= 0 , 2x-y+2z+10=0
, se pide:
a)Calcular el punto simétrico P del punto O(0,0,0) respecto del plano π.
b)Calcular el coseno del ángulo α que forman el plano π , y el plano x=0.
c)Calcular el volumen del tetraedro T determinado por el plano π , y los planos
x=0, y=0, z=0.
SOLUCIÓN:
a) π
, Sea r una recta perpendicular a π y pasa por O  un vector director de
la recta r será un vector normal a π : r
; r corta a π en un punto Q que es el punto
medio del segmento que une O con su simétrico P
O
Q
P
Hallamos Q (punto de corte de r y π) λ+3·(3λ)+λ = 4  11λ = 4  λ=
Q es el punto medio del segmento OPsiendo P(a,b,c)
 Q=



P
)
b) Planos: x+3y+z -4 =0 y x=0  el ángulo que forman los planos es el mismo que forman
sus vectores normales : (1,3,1) y (1,0,0):
cosα=
c)volumen del tetraedro T:
los planos x=0, y= 0 y z=0 se cortan en los ejes coordenados, por lo que el tetraedro se forma
con el origen de coordenados y los puntos de corte del plano con los 3 ejees:
Puntos de corte A(4,0,0), B(0,
, C(0,0,4) y O(0,0,0,)  el volumen del tetraedro es del
valor absoluto del producto mixto formado por los vectores
3.- Dados el plano π
:
y la recta r
y el punto
P(-2,3,2), perteneciente al plano π, se pide:
a) Determinar la posición relativa de π y r.
b) Calcular la ecuación de la recta t contenida en π, que pasa por el punto P y que corta
perpendicularmente a r.
c) Sea Q el punto de intersección de r y t . Si S es la recta perpendicular al plano π y que
contiene a P , y R es un punto cualquiera de s, probar que la recta determinada por R
y Q es perpendicular a r.
SOLUCIÓN:
a) Ver posición relativa de π y r :
Observamos que el vector normal a
(1,2,-1) es perpendicular al vector director de
r(2,1,4) ya que: (1,2,-1)·(2,1,4)= 1·2+2·1-1·4 = 0  la recta es paralela a
o está
contenida en él, comprobamos:
r:
3+2λ+2·(
-(
= 3+2λ
-
=2 
r está contenida en π
b) Ecuación de t : está contenida en π , es perpendicular a r pasa por P.
Como su dirección es perpendicular a r y también al normal del plano por estar
contenida en él , la dirección de r es perpendicular a las dos a la vez entontes viene
dada por el producto vectorial de los dos vectores:
t :
c) Q punto de corte de t y r 
µ=-3-4λ 2+λ=3+6+8λ  -7=7λ 
λ=-1  µ=1  Q( 1,1,1)
 R(
S es perpendicular a π y contiene a P:
, ver que
,

=0
· (2,1,4) = 6 - 2λ – 2 - 2λ – 4 + 4λ = 0
4.- Los puntos A(0,0,4) y A’(2,4,0) son los extremos de un diámetro de una esfera.
a)Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera, y obtener su ecuación.
b)Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4).
SOLUCIÓN:
a) Centro es es punto medio del segmento AA’
=C
Radio Dist(A,C)=
Ecuación: (x-1)2+(y-2)2+(z-2)2=9 x2+1-2x +y2+4-4y + z2+4-2z-9=0
x2+ y2+ z2-2x -4y-2z +1 +4+4-9=0 x2+ y2+ z2-2x -4y-2z=0
b) Plano tangente a la esfera en P(2,4,4)
El vector que une el centro con el punto de tangencia es normal al plano tangente
plano: x + 2y + 2z + D = 0 contiene a P 2+2·4+2·4+D=0
2+8+8+D=0D=-18 ecuación del plano: x + 2y + 2z – 18 = 0