λ μ π λ λ μ π π λ λ λ

Matemáticas II -.Recta y plano Soluciones
2008/09
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1º.a) Demostrar que los puntos A(2, −1, −5) ,B(1,1, −2) ,C (0, −1, −3) ,D(−2,0,0) y E (−1,2,1) ,
pueden ser los vértices de un pentágono
b) Encontrar la recta perpendicular al lado AB que pasa por el punto C
Solución:
a)
Para poder dibujar un pentágono con los puntos dados, todos ellos tiene que estar en el
mismo plano.
JJG
JJJG
El punto C, por ejemplo, y los vectores AB= [1,2,3] y AC = [ −2,0,2] , determinan el
plano:
⎧ x = λ − 2μ
⎪
π : ⎨y = −1 + 2λ
⇔ x − y + z + 2 = 0
⎪ z = −2 + 3λ + 2μ
⎩
Es fácil ver que esas ecuaciones se cumplen en los puntos D y E ,
π D : −2 − 0 + o + 2 = 0 y π E : −1 − 2 + 1 + 2 = 0
luego todos los puntos están en el mismo plano.
b)
⎧x = 2 − λ
⎪
Recta AB : ⎨y = −1 + 2λ ; vector que une el punto C con cualquier ponto de AB y que
⎪ z = −5 + 3λ
⎩
⎛1⎞
4
⎜ ⎟
sea perpendicular a AB [2 − λ 2λ −2 + 3λ ] ⎜ 2 ⎟ = 0 ⇒ λ = , luego el punto en la
7
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎛ 10 1 23 ⎞
recta AB que es el pie de la perpendicular desde C es ⎜ , , − ⎟ de donde la recta
⎝ 7 7 7 ⎠
⎡ 10 8 2 ⎤
perpendicular contiene como vector director : ⎢ , , − ⎥ ⇔ [ 5,4, −1] ; luego la altura
⎣ 7 7 7⎦
⎧ x = 5η
⎪
buscada tiene por ecuación ⎨y = −1 + 4η
⎪ z = −3 − η
⎩
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2º.-Calcular el ortocentro del triángulo de vértices A(0,1,1) , B(2,0,3) y C(4,2,-1)
Solución:
a) método primero:
El ortocentro del triángulo es la intersección de las alturas. Cada altura está situada en
un plano perpendicular al lado correspondiente y que pasa por el vértice opuesto. De
donde deducimos que el ortocentro está en el punto de intersección de dos de dichos
planos con el plano que forma el triángulo (Observar que no podemos emplear los tres
planos perpendiculares porque sus vectores normales no son linealmente
independientes, ya que están en el mismo plano)
Plano ⊥ a AB y que pasa por C : 2 x − y + 2z + DC = 0 ⇒ 2 x − y + 2z − 4 = 0
Plano ⊥ a BC y que pasa por A : 2 x + 2y − 4 z + DA = 0 ⇒ x + y − 2z + 1 = 0
x −4 2 1
Δ
Plano del ABC y − 2 −1 1 = 0 ⇔ 2y + z − 3 = 0
z + 1 2 −2
⎧
⎧2 x − y + 2z − 4 = 0 ⎪ x = 1
⎪
⎪
De donde el orto centro es el punto: ⎨ x + y − 2z + 1 = 0 ⇒ ⎨ y = 4 5
⎪2y + z − 3 = 0
⎪
⎩
⎪⎩ z = 7 5
b) método segundo:
Si calculamos dos de las alturas, el ortocentro será el punto de corte de ambas:
- Calculo de altura sobre el lado AB :
⎧ x = 2λ
JJG
⎪
AB = [2, −1,2] ; ecuación de la recta AB : ⎨y = 1 − λ
⎪ z = 1 + 2λ
⎩
Vector que une C con AB ⇒ [2λ − 4, −λ − 1,2 + 2λ ] ; como ha de ser perpendicular
JJG
a AB :
⎛2⎞
1
(2λ − 4 −λ − 1 2 + 2λ ) ⎜⎜ −1 ⎟⎟ = 0 ⇒ λ =
3
⎜2⎟
⎝ ⎠
⎡ 10 4 8 ⎤
Luego el vector perpendicular a AB que pasa por C es ⎢ − , − , ⎥ ⇔ [ 5,2, −4 ]
⎣ 3 3 3⎦
⎧ x = 4 + 5α
⎪
Y la ecuación de la altura sobre AB : hAB = ⎨y = 2 + 2α (1)
⎪ z = −1 − 4α
⎩
-
Calculo de la altura sobre el lado BC :
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⎧ x = 2 + 2μ
JJG
⎪
BC = [2,2, −4 ] , ecuación de la recta BC = ⎨y = 2μ
⎪z = 3 − 4μ
⎩
Vector que une A con BC ⇒ [2 + 2η ,2η − 1,2 − 4η ] ; como ha de ser perpendicular
JJG
a BC :
⎛ 2 ⎞
1
(2 + 2η 2η − 1 2 − 4η ) ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 0 ⇒ η =
4
⎜ −4 ⎟
⎝ ⎠
⎡5 1 ⎤
Luego el vector perpendicular a BC que pasa por A es ⎢ , − ,1⎥ ⇔ [ 5, −1,2]
⎣2 2 ⎦
⎧ x = 5β
⎪
Y la ecuación de la altura sobre BC : hBC = ⎨y = 1 − β (2)
⎪ z = 1 + 2β
⎩
3
1
Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) , obtenemos α = − y β = ; de
5
5
⎛ 4 7⎞
donde el ortocentro es: ⎜ 1, , ⎟
⎝ 5 5⎠
⎧x + y − z + 3 = 0
3º.-Estudiar la posición relativa de la recta de la recta r : ⎨
y el plano
⎩x − y + z + 1 = 0
⎧x = 2 + λ + μ
⎪
π : ⎨y = 1 − λ − μ y determinar la figura geométrica que representa
⎪z = λ − μ
⎩
Solución:
⎧ x = −2
⎧x + y − z + 3 = 0 ⎪
r:⎨
⇒ ⎨y = −1 + λ
⎩ x − y + z + 1 = 0 ⎪z = λ
⎩
y
⎧x = 2 + λ + μ
⎪
π : ⎨y = 1 − λ − μ ⇒ x + y + D(2,1,0) = 0 ⇒ x + y − 3 = 0
⎪z = λ − μ
⎩
Luego:
−2 + (−1 + λ ) − 3 = 0 ⇒ λ = 6 , la recta y el plano se cortan en ( −2,5,6 )
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