Producto punto o Escalar - Máster Sergio J. Navarro Hudiel

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
UNI-NORTE
E
ESSTTÁ
ÁTTIICCA
A
Resumen de clase
ELABORADO POR:
JONATHAN ALEXIS CASTRO GARCÍA
NESTOR OSVALDO LÓPEZ SALGADO
DOCENTE:
ING. SERGIO NAVARRO.
GRUPO:
2T1- IC
D -3
Estelí, 16 de septiembre de 2009.
Nestor Osvaldo sañ
H
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PRODUCTO PUNTO O ESCALAR
En estática se presenta el problema de encontrar el ángulo entre dos rectas, o las
componentes de una fuerza que sea una paralela y otra perpendicular a una recta
dada. En dos dimensiones estos problemas se resuelven por trigonometría.
Pero en tres dimensiones suele ser difícil tener una visión clara del problema y
consecuentemente deberán usarce métodos vectoriales para la solución.
El
producto punto define un método de “multiplicar” dos vectores.
El producto punto de los vectores A y B, lo que se escribe
y se lee “A punto
B”, se define como el producto de las magnitudes de A, de B y el coseno del
ángulo entre, los segmentos representativos en la figura 2.43. expresado en
forma de ecuación:
Donde
. El producto punto suele llamarse producto escalar de los
vectores porque el resultado es un escalar no un vector
Leyes de Operación:
1. Ley conmutativa:
2. Multiplicación por un escalar:
3. Ley distributiva:
Es
fácil
demostrar
las
dos
primeras
leyes
utilizando
la
ecuación
Formulación en términos de vectores Cartesianos
La ecuación
” puede usarse para encontrar el producto escalar
para el caso de los vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo:
e
Análogamente
Considérese el producto escalar de dos vectores en general, A y B expresados en
forma vectorial cartesiana. Tenemos:
Realizando la operación, el resultado final viene a ser:
Por tanto para determinar el producto escalar de dos vectores cartesianos, se
multiplican sus componentes correspondientes x, y, z y se suman estos productos
algebraicamente. Como el resultado es un escalar, deberá tenerse cuidado de no
escribir un vector unitario en el resultado.
Aplicaciones: El producto escalar tiene dos aplicaciones importantes en la
mecánica.
1) El ángulo que se forma entre dos vectores o recta con un punto en
común. El ángulo entre los vectores A y B en la figura 2.43 puede
determinarse con la ecuación:
y se escribe como :
Aquí
se calcula por medio de la ecuación
. En particular, debe observarse que si
de modo que A es perpendicular a B.
2) Las componentes paralela y perpendicular de un vector respecto a una
recta dada. La componente del vector A, paralela con la recta aa’ (fig.
2.44) es
. Esta es la proyección de A sobre la recta. Si la
dirección y el sentido de la recta se especifica con el vector unitario u
obtenemos
La componente
representada como vector es,
La componente de A perpendicular a la recta aa’ se obtiene de que
. Dos formas de obtener
serían determinar
del
producto escalar,
y entonces
. De manera
alternativa, si
es conocida, entonces por el teorema de Pitágoras
podemos escribir también
.
EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE FUERZAS SOBRE UNA
LÍNEA DE ACCIÓN
1. El cable de la torre está anclado en A por un perno. La tensión en el cable
es de 2500 N. Determine a) las componentes ,
y
de la fuerza que
actúa sobre el perno y b) los ángulos , y que definen la dirección de
la fuerza.
Las coordenadas de los puntos A y B son
y
Encontremos el vector de posición
, la magnitud de este vector es
El vector fuerza F se obtiene
Los ángulos directores de la fuerza F son


