Problema 5

Problema realizado por Carlos Arrébola Rodríguez
Enunciado
Calcular el valor de m y n para que los vectores:
v
1r
uv = i + m j
2
y
v
2v
v
i +n j
v=
2
a) Sean unitarios
b) Sean ortogonales
Bases teóricas
•
Vector unitario: Es el vector cuyo módulo es la unidad
•
Vector ortogonal: es aquel que junto a otro forman un ángulo
perpendicular
•
Módulo:
v
x=
•
r r
v2
v2
a 2 ⋅ u + 2abu ⋅ v + b 2 ⋅ v
Caso particular:
Si la base es Ortonormal los módulos se calculan de la siguiente forma:
r r
Sea B = { i , j } base de R2
r r
r
x = a i +b j = (a, b) En este caso su módulo es la raíz cuadrada de la
primera componente del vector al cuadrado por la segunda componente
del vector al cuadrado.
v
x = a2 + b2
•
Producto escalar de dos vectores:
El producto de dos vectores es un número real que se obtiene de
multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que
forman dichos vectores.
r r r r
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
Si el producto escalar es igual a 0 puede ser por dos motivos.
r
r
a. Uno de los dos es el vector nulo: u = (0,0) o v = (0,0).
b. Siendo los vectores distintos del vector nulo, si forman un ángulo de
90º.
r r
u ⋅ v ⋅ cos 90 = 0
Cálculo
a) Sabiendo, según dice el enunciado, que el módulo de los vectores es 1 y
que el módulo de cualquier vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de sus
componentes al cuadrado, entonces se hace una ecuación relacionando estas
dos igualdades dejando como única incógnita m o n.
r
u =1
1
+ m2 = 12
4
3
m=
=
4
+
−
0,86
r
v =1
2
+ n2 = 12
4
1 +
n=
= − 0,7
2
b)
r r
u ⋅ v = 0; Porque el coseno de 90º es 0.
No depende ni de m ni de n. Por lo tanto hay infinitas soluciones.