Afternotes 10- The Matrix Reloaded: Valores y vectores propios

The Matrix Reloaded : valores y vectores propios
José Luis López Fernández
26 de octubre de 2011
Yo era entonces presa de las Matemáticas.
¡Tiempo oscuro! Niño conmovido por el escalofrío poético.
Se me entregaba vivo a las cifras, negros verdugos.
Se me obligaba a la fuerza a engullir el álgebra.
Se me retorcía desde las alas hasta el pico
en el horroroso potro de tortura de las x y las y.
Desgraciadamente, me atiborraban bajo los huesos maxilares
del teorema adornado con todos sus corolarios.
Sin embargo, se puede ser poeta y matemático
(¿Infierno o paraíso?, de Victor Hugo)
El objetivo de esta lección es construir, siempre que sea posible, las matrices
P y D que intervienen en la descomposición M = P DP −1 , donde M representa
la matriz de transición de estados (Pn 7→ Pn+1 ) asociada a un determinado
sistema biológico. Para ello es necesario saber resolver previamente el problema
consistente en encontrar todos los vectores x (distintos del nulo, que es aquel
que tiene todas sus componentes iguales a cero) y los números λ que verifican
la siguiente relación:
M x = λx .
 
0
 .. 
Es decir, se trata de encontrar todos aquellos vectores x 6=  .  tales que la
0
acción (multiplicativa) de la matriz M sobre ellos se traduce en un múltiplo de
ellos mismos. A poco que se piense, esta identidad equivale a
(M − λI)x = 0 ,
(1)
donde I denota la matriz identidad del mismo orden que M .1
Podemos extraer algunas conclusiones de antemano sobre el problema a abordar:
1 Uno puede sentir excesiva querencia al universo de los números y verse tentado a escribir
(M − λ)x = 0, cosa errónea ahora que estamos trabajando con matrices. De hecho, M es una
matriz y λ un número, luego la operación M − λ no tiene sentido. En este caso basta con
apercibirse de que x = Ix (es decir, la matriz identidad actuando sobre cualquier vector lo
deja inalterado) para poder reescribir correctamente la expresión anterior, pues λI sí es una
matriz y la expresión M − λI cobra entonces pleno sentido
1
En primer lugar, se trata de un sistema de ecuaciones lineales. En efecto, M − λI hace las veces de matriz de coeficientes de un sistema lineal
que tiene tantas ecuaciones e incógnitas como orden tiene la matriz. Por
ejemplo, si M fuese una matriz cuadrada de dimensiones 3 × 3, entonces
el sistema representado en (1) tendría tres ecuaciones y tres incógnitas.
El sistema de ecuaciones planteado en (1) es homogéneo,2 lo que en particular significa que el sistema en cuestión es siempre compatible.3 Se
pueden presentar, de hecho, los dos siguientes casos:
• El sistema es compatible determinado:4 En esta situación la única
solución de (1) ha de venir dada por el vector nulo, el cual había sido
desechado desde el principio para nuestro propósito (recuérdese el
fragmento de texto anterior destacado en negrita). Por consiguiente,
este caso queda automáticamente excluido de entre los que forman
parte de nuestros intereses.
• El sistema es compatible indeterminado:5 Es la única alternativa posible a la anterior, luego con la que nos quedamos. En esta situación
podemos afirmar que el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema ha de ser igual a cero, puesto que en caso contrario podríamos concluir que la matriz M − λI admite inversa (cf. The Matrix ),
a la que denotamos (M − λI)−1 , por lo que se tendría que
x = (M − λI)−1 (M − λI)x = (M − λI)−1 0 = 0
sin más que multiplicar la ecuación (1) por (M −λI)−1 por la izquierda, que –a la vista está– nos conduciría necesariamente al vector nulo
como solución.
En base a la disquisición anterior, lo que ha de quedarnos claro es que la
única opción para evitar el vector nulo como única solución posible del
sistema (1) es imponer que el determinante de la matrix M − λI
sea igual a cero, lo cual nos revelará aquellos valores del parámetro λ
para los que podemos garantizar la existencia de infinitas soluciones de
(1). Dichos valores admisibles de λ son los llamados valores propios de
M , en tanto que las infinitas soluciones de (1) asociadas a cada uno de
dichos valores reciben el nombre de vectores propios de M ; de donde
se desprende que cada valor propio de M tiene asociados infinitos
vectores propios.
Calcularemos a modo de ejemplo los valores y vectores propios de la siguiente
matriz:


−1 2 −1
M =  −6 7 −4  .
−6 6 −4
2 Es
decir, los términos independientes de las ecuaciones que lo componen son todos nulos
quiere decir que siempre admite solución: en efecto, el vector nulo es siempre solución
4 Es decir, admite una única solución
5 Es decir, admite infinitas soluciones
3 Esto
2
El primer paso consiste en escribir el sistema
que no es otro que

 
λ
 −1 2 −1
(M − λI)x =  −6 7 −4  −  0

−6 6 −4
0
(1) para nuestro caso particular,
0
λ
0
 
  
0 
x
0
0   y = 0 ,

λ
z
0
es decir,6

−1 − λ
 −6
−6
2
7−λ
6

  
−1
x
0
−4   y  =  0  .
−4 − λ
z
0
Basta entonces con imponer la condición

−1 − λ
2
7−λ
det  −6
−6
6
(2)

−1
−4  = 0
−4 − λ
y despejar λ. Resolviendo el determinante (por la primera columna) se obtiene
(−1 − λ)[(7 − λ)(−4 − λ) + 24] + 6[2(−4 − λ) + 6] − 6[−8 + (7 − λ)] =
(−1 − λ)[−28 − 7λ + 4λ + λ2 + 24] + 6[−2λ − 2] − 6[−1 − λ] =
(−1 − λ)[−4 − 3λ + λ2 ] + 12[−1 − λ] − 6[−1 − λ] =
(−1 − λ)[λ2 − 3λ + 2] ,
expresión que se anula si (y solamente si) λ toma los valores −1, 1 ó 2. Estos
son los tres valores propios de la matriz M .
Asociados a cada uno de los valores propios existen infinitos vectores propios
(las infinitas soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales), que
son los que pasamos a calcular a continuación:
Para λ = −1, el sistema

0
 −6
−6
a resolver es (cf. (2))

 

2 −1
x
0
8 −4   y  =  0  .
6 −3
z
0
Las infinitas soluciones de este sistema pueden describirse en términos de
un parámetro, de modo que si consideramos z = a ∈ R, las otras dos
incógnitas pasarán a valer
a
y = , x = 0,
2
6 Obsérvese que lo que pretendemos no es otra cosa que resolver el siguiente sistema de tres
ecuaciones lineales con tres incógnitas:
(−1 − λ)x + 2y − z
=
0,
−6x + (7 − λ)y − 4z
=
0,
−6x + 6y + (−4 − λ)z
=
0,
para aquellos valores de λ para los que podemos asegurar que existen infinitas soluciones. En
eso consiste exactamente calcular los valores y vectores propios de M
3
cualquiera que sea el valor del parámetro a. Es decir, las soluciones que
buscamos son todas de la forma


0
 a/2  , con a ∈ R .
a
Para el valor propio λ = 1, el sistema a resolver es ahora


 

−2 2 −1
x
0
 −6 6 −4   y  =  0  .
−6 6 −5
z
0
En este caso se tiene7
x = b,
y = b,
z = 0,
para cualquier b ∈ R.
Finalmente, si λ = 2 habremos de resolver el sistema

 


0
x
−3 2 −1
 −6 5 −4   y  =  0  ,
0
z
−6 6 −6
cuyas soluciones adoptan la forma


c
 2c  ,
c
con c ∈ R .
El resultado de los cálculos anteriores nos permite ya construir las matrices
P y D necesarias para efectuar la descomposición M = P DP −1 , que era nuestro
objetivo. Recordamos que la matriz D es la que contiene los valores propios de
M en la diagonal y ceros en todas las demás posiciones, esto es,


1 0 0
D =  0 −1 0  .
0 0 2
Por su parte, cada columna de la matriz P ha de contener un vector propio
asociado al valor propio que ocupa el lugar homólogo en la matriz D. Es decir,
la primera columna de P será un vector propio asociado al valor propio λ = 1,
por ejemplo
 
1
 1 
0
7 Al intentar resolverlo comprenderás que, en este caso, no puede elegirse la incógnita z
como parámetro, pues está obligada a valer 0
4
(que se obtiene considerando el valor b = 1 del parámetro); la segunda columna
de P resulta de elegir un vector propio asociado al valor propio λ = −1, por
ejemplo
 
0
 1 
2
(que se obtiene considerando el valor a = 2 del parámetro); finalmente, como
tercera columna de P elegiremos un vector propio cualquiera asociado a λ = 2,
por ejemplo
 
1
 2 
1
(que se obtiene considerando el valor c = 1 del parámetro). Lo único a tener en
cuenta en nuestras elecciones es que la matriz P resultante tenga determinante
no nulo, para garantizar de ese modo la existencia de su inversa, sin la cual no
podríamos llevar a cabo la descomposición pretendida.
Recopilando toda la información anterior, la matriz P así construida es la
siguiente:


1 0 1
P = 1 1 2 ,
0 2 1
cuyo determinante es igual a −1 (como ya verificamos en la lección anterior,
donde además calculamos su matriz inversa). Por consiguiente, podemos concluir
que8




1 0 0
3 −2 1
1 0 1
M = P DP −1 =  1 1 2   0 −1 0   1 −1 1  ,
0 0 2
−2 2 −1
0 2 1
de modo que si tuviésemos la intención de calcular P50 , que es igual a M 50 P0
si P0 es el vector que cuantifica la distribución inicial de los grupos en que está
estructurada la población, bastaría con escribir




1 0 1
1 0 0
3 −2 1
P50 =  1 1 2   0 1 0   1 −1 1  P0 ,
0 2 1
0 0 250
−2 2 −1
sin necesidad de tener que multiplicar la matriz M cincuenta veces por sí misma.
No obstante, para una buena parte de las conclusiones biológicas de interés que el usuario puede extraer de este tipo de modelos matemáticos, no será
necesario pasar por el cálculo de todos los valores propios de M , sino que bastará con conocer solo uno destacado de entre ellos: el llamado valor propio
dominante.
Pero esto será objeto de Matrix Revolutions.
8 Verifíquese
5