∑ ∑ ∑ × ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. MOMENTOS Y SISTEMAS EQUIVALENTES
2.1. Sistemas equivalentes de fuerzas
En los temas anteriores se vio que cualquier sistema de fuerzas que actúe sobre
un cuerpo rígido puede ser reducido a un sistema de fuerza-par equivalente se
caracteriza completamente el efecto del sistema dado sobre el cuerpo rígido. Por
consiguiente, dos sistemas de fuerzas son equivalente si pueden ser reducidos al
mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.. Recordando que el sistema
fuerza-par en O se define por las relaciones
R = ∑ F y M OR = ∑ M O = ∑ (r × F ) establecemos:
Dos sistemas de fuerzas F1,F2,F3,F4,F5 etc. .y F´1,F´2,F´3, etc., son equivalentes, si
y solamente si la sumas de las fuerzas y la sima de los momentos de las fuerzas
con respecto a un punto dado O de los dos sistemas de fuerzas son
respectivamente iguales..
Expresadas matemáticamente, las condiciones necesarias y suficientes para que
dos sistemas de fuerzas sean equivalentes son
∑ F = ∑ F´
y
∑M
o
= ∑ M o´
Obsérvese que , para verificar que dos sistemas de fuerzas son equivalente, la
segunda de las relaciones anteriores descritas, necesita ser establecida con
respecto solamente a un punto O. Sin embargo, será válida con respecto a
cualquier punto, si los dos sistemas son equivalentes.
Descomponiendo las fuerzas y los momentos de las relaciones anteriores en sus
componentes rectangulares, podemos expresar algebraicamente las condiciones
necesarias y suficientes para que dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un
cuerpo rígido sean equivalentes , de la siguiente manera:
∑ F = ∑ F´
∑M = ∑M
x
x
∑ F = ∑ F´
∑M = ∑M
y
x
x
´
y
∑ F = ∑ F´
∑M = ∑M
z
y
y
´
z
z
z
´
Estas ecuaciones tienen un significado físico sencillo. Expresan que dos sistemas
de fuerzas son equivalentes si tienden a impartir al cuerpo rígido:
1.- la misma traslación en las direcciones x, y, y z. respectivamente.
2.-el mismo movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y, y z.
respectivamente.
2.2. Momento de una fuerza con respecto a un punto
pág. 1
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector
posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M=r×F
La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a
entender el significado físico de la magnitud momento,
y a determinar correctamente el módulo, la dirección y
el sentido del momento de una fuerza:
•
•
•
El módulo es el producto de la fuerza por su
brazo (la distancia desde el punto O a la recta de
dirección de la fuerza). M=Fd
La dirección perpendicular al plano que contiene
la fuerza y el punto, la que marca el eje del
tornillo.
El sentido viene determinado por el avance del
tornillo cuando hacemos girar a la llave.
Ejemplo
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada
por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las
siguientes preguntas:
•
•
•
¿En qué situaciones se introduce el tornillo?
¿En que situaciones se saca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza
en una dirección perpendicular al plano
de la página, y hacia el lector. El módulo
del momento es F·d.
En la segunda figura, el tornillo avanza
en una dirección perpendicular al plano
de la página, y hacia dentro (sentido
contrario al anterior). El módulo del
momento es F·2d. Con una llave más
larga estamos en una situación más
favorable que disponiendo de una llave
más corta.
En la tercera figura, el tornillo avanza en
una dirección perpendicular al plano de
pág. 2
la página, y hacia el lector. El módulo del
momento es F·sen30·2d=F·d. Esta
situación es equivalente a la primera.
•
•
Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave
gira en sentido contrario a las agujas del reloj.
Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de
las agujas del reloj.
Supongamos una barra de masa
despreciable, que está sujeta por su extremo
O.
Si colocamos un peso P a una distancia x del
origen. El momento de esta fuerza respecto
del origen O es P·x.
Para que la barra está en equilibrio la fuerza
F deberá ser tal que el momento total sea
nulo. -F·d+P·x=0, de modo que F=P·x/d.
2.3. Teorema de Varignon para fuerzas concurrentes
La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el
momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2, 3, se
aplican al mismo punto A ver figura (a)
z
F4
F3
A
r
O
F2
F1
x
x
figura 1
y
y si llamamos r al vector de posición de A , de la formula P × (Q1 + Q2 ) = P × Q1 + P × Q2
se concluye inmediatamente que
r × (F1 + F2 + K) = R × F1 + R × F2 + L
pág. 3
En palabras , el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias
fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al
mismo punto O. Esta propiedad fue originalmente establecida por el matemático francés
varignon(1654-1722) mucho antes de la introducción del algebra vectorial, y se conoce
como el teorema de varignon.
La relación(fig1) hace posible la determinación del momento de una fuerza F por el
calculo de los momentos de dos ó mas fuerzas componentes. Como se vera en la
sección siguiente, F podrá generalmente descomponerse en componentes
paralelas a los ejes coordenados . sin embargo en algunos casos puede lograrase
más rápidez al descomponerse F en componentes no paralelas a los ejes
coordenados
Ejemplo
Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 pies como se
muestra en la figura. Determinar el momento de la fuerza con respecto a O.
20°
30lb
3P
O
50°
Solución reemplazamos la fuerza por dos componentes, una componente P en la
dirección OA y otra componente Q perpendicular a OA. Como O está sobre la
línea de acción de P el momento de P con respecto a O es cero y el momento dela
fuerza de 30 lb se reduce al momento de Q , cuyo sentido es el movimiento de las
aguas del reloj y por tanto se representa por un escalar negativo.
Q=(30lb)sen 20°=10.26 lb
Mo=-Q(3P)=-(10.26lb)(3P)=-30.8lbP
Como el valor encontrado para el escalar Mo es negativo, el momento Mo entra al
plano . Escribimos
Mo=30.8lbp
pág. 4
2.4. Componentes rectangulares del momento de una fuerza
Se define Momento de una Fuerza, como el efecto de giro que produce ésta sobre un
cuerpo y que se puede cuantificar como:
r r r
M = r×F
Ecuación 1
En palabras, el efecto de giro que produce una fuerza sobre
r un cuerpo se mide como el
r
r
F
producto vectorial del vector posición ( ), por la fuerza ( ), y podemos calcularlo
mediante el determinante:
r r r
M = r×F =
s
i
r
j
rx
ry
rz
FX
FY
FZ
r
k
Donde rx, ry, rz y FX, FY, FZ,
son las componentes del
vector posición y de la fuerza,
respectivamente.
En general, el vector Momento se puede expresar en función de sus componentes
rectangulares:
r
r
r
r
M = M X i + MY j + M Z k
Ecuación 2
Por definición de producto vectorial de dos vectores, el vector Momento tiene:
r
r
r y F.
*
Dirección: perpendicular al plano formado por
*
Sentido: dado por la regla de la mano derecha, esto es, cerrando
los dedos en el
r
r
sentido de giro, o bien tratando de hacer colineal r con F , y el pulgar indicará el
sentido.
*
Módulo:
M = M X2 + M Y2 + M Z2
Ecuación 3.
O
bien:
r r
M = r × F = r ⋅ F ⋅ sen θ
Donde “r” y “F” son los módulos de
vectores.
Ecuación 4
r
r
r y F , respectivamente y “ “ es el ángulo entre los
Las dimensiones del Momento son: M L2 T -2.
r
F
Analicemos un poco más el ejemplo
de la figurar4. Dibujemos la línea de
acción de F , y desde el centro de
giro (punto “A”), tracemos una
θ
P
r
r
pág. 5
A
θ
perpendicular hasta la línea de
r
acción de F . Podemos observar
que esa distancia (“b”), es igual a:
b = r sen
Ecuación 5
Esta distancia recibe el nombre de
Brazo de la Fuerza.
Figura 5
Si observamos la ecuación 4, entonces el módulo del Momento lo podemos escribir como:
M=bF
Ecuación 6
De aquí podemos concluir que el efecto de giro o Momento de una fuerza, no depende del
punto de aplicación de ésta, sino de la menor distancia de su línea de acción al centro de
giro (brazo), y del módulo y dirección – sentido de la fuerza.
En efecto, si retomamos el ejemplo de la figura 1, podemos, abrir o cerrar la puerta desde
dentro o desde fuera; además, mientras menor sea la distancia desde la cerradura al
punto “B” (brazo de la fuerza), mayor debe ser el módulo de la fuerza para producir el
mismo efecto.
Considerando todo lo expuesto hasta ahora, podemos inferir que el Momento será cero si:
*
*
La línea de acción de la fuerza, pasa por el centro de giro, ya que en este caso el
brazo es cero (no existe). Esto es lo mismo que si tratásemos de abrir o cerrar una
puerta empujando por las bisagras.
r
F es cero (evidentemente).
Podemos calcular también el módulo del Momento de la siguiente manera: por definición,
sabemos que:
M = r F sen 
Descompongamos la fuerza en dos direcciones perpendiculares, como se muestra en la
figura 6:
r
FP
r
F
*
θ
r
r
A
Figura 6
pág. 6
P
r
Fr
Una en la dirección del vector
r
F
posición: r , de módulo Fr = F cos  ,
y cuyo Momento respecto a “A” es
Cero (¿Por qué?)
*
Otra en dirección Perpendicular al
r
F
vector posición: P , de módulo:
Fp = F sen
Ecuación 7
Podemos también
observar en la figura 6, que el módulo del vector posición, coincide con
r
el brazo de FP (por ser ambos vectores perpendiculares entre sí), y así podemos calcular
el módulo del Momento como:
Ecuación 8
M = r FP
En el desarrollo que hemos hecho hasta ahora, hemos supuesto implícitamente que el
origen de nuestro sistema de referencia coincide con el centro de giro. Esto no tiene
porque ser cierto. Supongamos un cuerpo cualquiera que puede girar sobre un punto “A”,
como se observa en la figura 7.
Z
r
F
r
∆r
r
A este punto asociamos el vector rA (vector
con origen en el origen de coordenadas y
extremo en el punto “A”).
B
A
r
rA
r
rB
En el punto “B” del cuerpo se encuentra
r
aplicada la fuerza F ; también a este punto,
Y
r
asociamos un vector rB .
X
Figura 7
Según la definición que hemos dado de vector de posición de la fuerza (vector con origen
en el centro de giro y extremo en el punto de aplicación de la fuerza), podemos observar
r
en la figura 7, que en este caso, el Vector de Posición de la Fuerza es el Vector ∆r , el
cual es igual a:
r
∆r = rB − rA
Ecuación 9
Así el Momento lo podemos calcular como:
r
i
r r r
M = r×F =
r
k
(BX-AX) (BY-AY) (BZ-AZ)
FX
pág. 7
r
j
FY
FZ
Donde AX, AY, AZ Y BX,
BY, BZ, son las
r
componentes de rA y
r
rB , respectivamente.
2.5. Momento de una fuerza con respecto a un eje y momento de un par
Retomando el concepto de momento
de una fuerza con respecto a un punto
se puede hacer notar que las
componentes rectangulares [Fig. 116], que representan la tendencia a la
rotación alrededor de los ejes
coordenados se obtienen proyectando
el momento
ejes así:
sobre cada uno de los
Figura 1-16
Donde
son los cósenos directores del vector
.
En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:
Para determinar el momento de una fuerza
con respecto a cualquier otro eje, por
ejemplo el eje OL, que pasa por O, [Fig. 117], se proyecta el momento
eje tal que:
Figura 1-17
pág. 8
sobre el
O en forma vectorial:
Donde
es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así
definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo
como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así:
[1-14]
Para hallar una expresión más general del
momento de una fuerza con respecto a un
eje consideremos la figura 1-18. Sea P un
punto cualquiera sobre el eje OL, como:
Figura 1-18
[1-15]
De la figura se ve que
Como
y que
entonces:
es cero, resulta que
[1-16]
pág. 9
Pero
es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el
con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del
momento de una fuerza
momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje.
Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:
No se puede afirmar, desprevenidamente,
que
sea igual a
que el momento de
, esto es;
respecto a O sea
igual al momento de
con respecto a P. Lo
que las ecuaciones [1-15] y [1-16] indican
y
sobre el
es que la proyección de
eje OL son iguales.Para entender esto,
véase la figura 1-19.
Figura 1-19
Para comprender mejor física y
geométricamente el momento de una
fuerza con respecto a un eje,
consideremos la figura 1-20. Por un
punto A sobre la línea de acción de la
Entonces el momento con respecto al eje será
de magnitud
donde d es la distancia
perpendicular entre
y OL.Ahora bien, la
se puede trazar un plano P
fuerza
perpendicular al eje OL. En general la componente
se puede descomponer, en general,
fuerza
se puede descomponer en
dos fuerzas
y
, siendo
en una componente radial
y una componente
; obviamente
no produce momento
tangencial
con respecto a OL, entonces podemos concluir que la
paralela al eje y
la componente única fuerza que produce momento respecto a un eje
perpendicular al eje contenida en el
es la componente tangencial y que el valor de dicho
plano P. Como ya se mencionó, la
momento es
.
componente
no produce momento
respecto a OL.
pág. 10
Figura 1-20
Un par de fuerzas, o simplemente un par, son dos fuerzas iguales, de sentido contrario y no
colineales.
En la figura 1-14 se representa un par de
fuerzas actuando sobre un cuerpo y los
y
en dos puntos
vectores de posición
sobre sus respectivas líneas de acción. El
momento con respecto a O del par de fuerzas
será:
Figura 1-14
pág. 11
En la figura 1-15 se puede ver que el momento de
un par es un vector perpendicular al plano definido
por las rectas de acción de las fuerzas y su sentido
cumple con la regla de la mano derecha. La
magnitud del momento del par es
Figura 1-15
Como el efecto de traslación de un par es nulo ya que
son dos fuerzas iguales y de sentido contrario, el único
efecto de un par es tender a rotar el cuerpo alrededor
de un eje perpendicular al plano definido por las
que lo es, por esto se dice que el fuerzas. Por esta razón un par de fuerzas se especifica
momento de un par de fuerzas es un habitualmente por el momento que produce, a este
vector libre.
momento se le designa simplemente par.
Es importante anotar que el
momento del par es independiente
del origen de coordenadas puesto
2.6. Sistemas equivalentes de fuerzas y sistemas equipolentes de vectores
Cuando dos sistemas vectoriales satisfacen las ecuaciones
∑ F = ∑ F´ y ∑ M o = ∑ M o ´
Es decir , cuando sus resultantes y sus momentos resultantes con respecto a un
punto arbitrario O son respectivamente iguales, se dice que los dos sistemas son
equipolentes . el resultado obtenido enla sección anterior puede volverse a
establecer de la siguiente manera: Si dos sistemas de fuerzas que actúan sobre
un cuerpo rígido son equipolentes, también son equivalentes.
Es importante notar que esta afirmación no es aplicable a cualquier sistema de
vectores. Consideraremos, por ejemplo, un sistema de fuerzas que actúa sobre las
mismas partículas puede que sea equipolente al primero, es decir, puede que
tenga la misma resultante y el mismo momento resultante. Pero como ahora
actúan fuerzas diferentes sobre diferentes partículas, sus efectos sobre estas
partículas serán distintos, los dos sistemas de fuerzas, aunque son equipolentes
no son equivalentes.
Resumiendo podemos establecer que dos sistemas equipolentes de fuerzas que
actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes. Similarmente, dos sistemas
equipolentes de vectores no serán en general equivalentes.
pág. 12
Bibliografia
Alonso, M. Y Finn E. Física. Volumen I. Fondo Educativo Interamericano. México,
1989.
Alonso M. Y Rojo O. Mecánica y Termodinámica. Fondo Educativo
Interamericano. México, 1985.
Beer, Ferdinand y Johnston, E. Russell. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Ed.
Mc. Graw Hill. 4ta. Edición.
Nara, Harry R. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Volumen I: Estática. Editorial
Lumusa, México 1977.
Santaló, L. Vectores y Tensores con sus Aplicaciones. Editorial Universitaria de
Buenos Aires, 1961.
Sears F., Zemansky M. Y Young H. Física Universitaria. Sexta edición. Addison –
Wesley Iberoamericana. Wilmington, Delaware, USA. 1988.
Serway, Raymond A. Física. Cuarta edición. Editorial McGraw-Hill, México 1996.
Tipler, P. Física I. Tomo I. Editorial Reverté. Barcelona España, 1987.
pág. 13
Actividades adicionales
1.-
Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con
el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve
con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está
formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y
un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.
•
Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia
del choque y la energía perdida en el mismo.
Momentos de inercia: I varilla=ML2/12 respecto a un eje que pase por su c.m. perpendicular a la
varilla, I cilindro=MR2/2 respecto a un eje perpendicular a la base que pase por su c.m.
2.Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad
choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y
longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm
por debajo de su extremo superior. La varilla puede
girar libremente alrededor de un eje perpendicular al
plano del papel, que pasa por O.
pág. 14
Determinar la velocidad angular del sistema
varilla-bala inmediatamente después del choque.
¿Qué principio físico aplicas? ¿Por qué?
Calcular el máximo desplazamiento angular del
sistema varilla-bala.
Calcular el momento resultante de las fuerzas
aplicadas cuando el ángulo de desviación es de
120º. ¿Cuánto valdrá la aceleración angular en ese
punto?
Dato: el momento de inercia de la varilla respecto de
un eje perpendicular que pasa por el centro de masas
es Ic=ML2/12.