ejersisgau41

sistemas de ecuaciones
lineales / Gauss
con parámetros
Ejemplo
nivel 4
hoja 1
Ayudas
Discutir según los valores de k y resolver el sistema:
Pasos:
3y +
2 z = −2
 x−

5 y + ( k − 5) z = 4
− 2 x +
 x + (k − 3) y −
4z = k

1º ) Operar como con números,
buscando una matriz
equivalente triangular.
2º ) Analizar los resultados según
los valores del parámetro.
3º ) Resolver los casos posibles.
Solución:
−3
2
M − 2 1 2
3 M
6 
 1

 

( AM B) =  − 2
5
k − 5 M 4  ≈ 0 −1 k −1 M
0 ≈
 1 k − 3 − 4 M k  0 k
− 6 M k + 2 
 

3
6 
M
1 2


≈ 0 −1
0 
k −1
M
0
− 6 + k 2 − k M k + 2 

Se puede resolver, también por la
Regla de Cramer
k2 −k −6 =0 ⇒
k=
3
1 ± 1 + 24
=
2
−2
Estudio:
* Si k = 3 : rangA = 2 ≠ rang ( AM B) = 3 ⇒ SI : No hay solución
* Si k = –2 : rangA = 2 = rang ( AM B)
⇒ SCI :
 x − 3 y + 2 z = −2
⇒ y = −3 z ⇒ x = −2 − 11z , Soluciones:

 − y − 3z = 0
* Si k ≠
(−2 − 11λ , − 3λ , λ )
3
: rangA = rang ( A M B ) = 3 ⇒ SCD :
−2
 x − 3 y + 2 z = −2
k+2
k+2
k −1
k +1

1
=
=
⇒ y=
⇒x=
 − y + (k − 1) z = 0 ⇒ z =
2
k
k
k
k
−
+
−
−
k
− 3)
(
3
)(
2
)
(
3
)
(
3
)
(
(−6 + k − k )

2
k
k
z
k
−
+
−
=
+
(
6
)
2

La solución es, para cada valor de k:
Nº
1
2
 k +1
k −1
1 


,
,
 ( k − 3) (k − 3) (k − 3) 
Discutir y resolver los sistemas:
a)
x + 3 y = 6

2 x + my = 2m
a)
2 kx + t 3 x = 1

 x + 2ky = 0
b)
mx − y = 1

 x − my = 2m − 1
b)
x + y + z = 2

2 x + 3 y + z = 3
kx + 10 y + 4 z = 11

Soluciones
Comprob.
· · · à
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fecha
/
/
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xms/algebra/sistemas/gauss/ejer41