ejersisgau22

sistemas de ecuaciones
lineales / Gauss
SCI y SI
Ejemplo
Sist. de ecs. lineales: AX = B
SCD: Sist. Compatible Determinado
2 x + 5 y − 3 z = 4

 x + 6 y + 7 z = −8
5 x + 16 y + z = 0

SCI: Sist. Compatible Indeterminado
SI: Sist. Incompatible
Pasos:
Solución:
7 M − 8  1 6 7 M − 8 
 1 6 7 M − 8  1 6

 
 

( AM B) =  2 5 − 3 M 4  ≈  0 − 7 − 17 M 20  ≈  0 7 17 M − 20 
 5 16 1 M 24   0 − 14 − 34 M 40   0 0 0 M 0 

 
 

rangA = rang( AM B) = n ⇒ SCD
rangA = rang( AM B) < n ⇒ SCI
rangA < rang( AM B) ⇒ SI
 x + 6 y + 7 z = −8
64 + 53z
− 20 − 17 z
⇒y=
⇒ x = −8 − 6 y − 7 z =

7
7
 7 y + 17 z = −20
Por tanto, si z es un valor cualquiera λ , es
solución cualquier terna de valores del tipo:
Nº
3
4
5
1º ) Hallar el rango de A y de A|B
y aplicar el Teor. de Rouché
2º ) Si es incompatible, no tiene
solución.
3º ) Si es indeterminado, se
despejan unas incógnitas en
función de las otras.
Teorema de Rouché: AX = B
rangA = rang ( A M B ) = 2 < 3 ⇒ Sistema Compatible Indeterminado
2
hoja 2
Ayudas
Resolver el sistema:
1
nivel 2
A, matriz de los coeficientes
A|B, matriz ampliada,
n, número de incógnitas
 64 + 53λ − 20 − 17λ

,
, λ

7
7


Resolver los sistemas:
a)
− 2 x − 2 y − 5 z = −24

3 x − 4 y + 3 z = −8
− 12 x + 2 y − 21z = −54

Soluciones
b)
4 x − 5 z = 14

− 13 x + 3 y + 17 z = −41
3 x − y − 4 z = 9

a)
2 x − 5 y − 3 z = −27

− 2 y − 5 z = −42
2 x − y + 7 z = 57

b)
− 4 + y + z = 7

 4 x − y − z = −7
− 2 x − 5 y + 3 z = −33

a)
− 4 x − 2 y + 2 z = 4

 x + z = 12
− 3 x − 2 y + 3 z = 23

b)
− 8 x − 6 y = −39

4 x + 3 y = 16
a)
4 x + 4 y − z = 24

4 x + 4 y − z = 24
− 4 x − y = −17

b)
2 x + 2 y + 2 z = 26

− 4 x + 3 y − 4 z = −24
a)
 − 2 x − 2 y = −4
 − x − y − z = −6


z = 4
− 2 x − 2 y = −4
b)
4 x + 3 y + 4 z = 55
 2 x − 5 y + 2 z = −5


6 x − 15 y + 6 z = −15
8 x − 20 y + 8 z = −20
curso
nombre
Comprob.
SI
 14 + 5λ 6 − λ
,
,λ

4
 4
 156 − 19λ 42 − 5
,

4
2

 1 + 4λ 73 + 5λ
,
,λ

11
 11
SI
SI
 44 − λ 7 + λ 
,
,λ

3
 12

(9 − λ ,4, λ )
(2 − λ , λ ,4)
 260 − 26λ 65 
, ,λ 

26
13 

fecha
/
/
puntos
xms/algebra/sistemas/gauss/ejer22