ejersiscra41

sistemas de ecuaciones
lineales / Cramer
con parámetros
Ejemplo
nivel 4
hoja 1
Ayudas
Discutir según los valores de k y resolver el sistema:
3y +
2 z = −2
 x−

5 y + ( k − 5) z = 4
− 2 x +
 x + (k − 3) y −
4z = k

Pasos:
1º ) Operar como con números,
calculando los determinantes
∆ y ∆ x, ∆ y, ∆ z.
2º ) Analizar los resultados según
los valores del parámetro.
3º ) Resolver los casos posibles.
Solución:
1
−3
2
3
1 ± 1 + 24
∆= −2
5
k − 5 = −k 2 + k + 6 = 0 ⇒ k =
=
−2
2
1 k −3 −4
Se puede resolver, también por el
Método de Gauss
Estudio:
* Si k ≠
3
: ∆ = A ≠ 0 ⇒ SCD La solución es:
−2
−2 −3
2
− (k + 2)(k + 1) k + 1
k − 5 = −k 2 − 2k − 3 = −(k + 2)(k + 1) ⇒ x =
∆x = 4
=
5
− (k + 2)(k − 3) k − 3
k k −3 −4
1 −2
2
− (k + 2)(k − 1) k − 1
∆ y = − 2 4 k − 5 = −k 2 − k + 2 = −(k + 2)(k − 1) ⇒ y =
=
− (k + 2)(k − 3) k − 3
k
−4
1
−3 −2
1
− (k + 2)
1
∆z = − 2
5
4 = −k − 2 = −(k + 2) ⇒ z =
=
− (k + 2)(k − 3) k − 3
1 k −3 k
* Si k = 3 : ∆ = A = 0 y ∆ x ≠ 0 ⇒ SI : No hay solución
* Si k = –2 : ∆ = A = 0 y ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 ⇒ SCI , pues no hay dos filas proporcionales, por lo que
rang A = rang (A|B) = 2.
(−2 − 11λ , − 3λ , λ )
Las soluciones
Nº
1
2
son:
Discutir y resolver los sistemas:
a)
x + 3 y = 6

2 x + my = 2m
a)
2 kx + t 3 x = 1

 x + 2ky = 0
b)
mx − y = 1

 x − my = 2m − 1
b)
x + y + z = 2

2 x + 3 y + z = 3
kx + 10 y + 4 z = 11

Soluciones
Comprob.
· · · à
curso
nombre
fecha
/
/
puntos
xms/algebra/sistemas/cramer/ejer41
sistemas de ecuaciones
lineales / Cramer
· · · à
con parámetros
b)
z= 5
 x− y +

 kx + y + 2k z = 1
 2k x + 2 y − 3 z = 5k + 1

b)
 kx+ y+ z= 1

 x+ k y + z = 1
 x + y +kz = 1

a)
 x + ky + (k − 1) z = 2k − 1

( k − 1) y + z = k
x + y = 1

a)
 x + ky + z = k + 2

 x + y + kz = −2(k + 1)
kx + y + z = k

a)
2 y + kz = k


y + 3z = 0
b)
( k − 2 ) x +

= 1− k
( k − 1) y

ax − y + z = 2 z

 x + 2ay − az = y
 x + ay − z = 0

a)
x + y + z = m + 1

mx + y + (m − 1) z = m
 x + my + z = 1

b)
(m + 2) x + y + z = m − 1

mx + (m − 1) y + z = m − 1
(m + 1) x + (m − 1) z = m − 1

a)
 x + y + kz = k

kx + ky + z = 1
 x + ky + z = k

b)
(7 + k ) x − 6 y + 6 z = 0

− 3 x + ( 2 − k ) y + 3 z = 0
− 6 x + 6 y + (5 − k ) z = 0

8
a)
 x + y = 7t

 y − z = 3 − 2t
 x − z = 3 + 5t

b)
ax + 20 y + 7 z = 1

3 y + z = 0
 x − ay = 1

9
a)
x + y + z = 1

x − 2 y + 2 z = a
b)
x + 2 y + z − m = 0

2 x − y − z + 2 = 0
10
a)
ax + y + z = a

 x + ay + z = a
 x + y + az = a

b)
y + 2z = 0

3 y + z = 0
my + z = 0

11
a)
− 2 x + 3 y + 4 z = 12

ax − (a + 4) y − 2az = 3a
b)
x + 2 y + z = 3

ax + (a + 3) y + 3 z = 1
a)
3 x − ay + 2 z − (a − 1) = 0

b)
2 x − 5 y + 3 z − 1 = 0
 x + 3 y − (a − 1) z = 0

3
4
5
6
7
12
curso
nombre
nivel 3
hoja 1
 x + ay = 1

ay − z = 1
x − z = b

fecha
/
/
puntos
xms/algebra/sistemas/cramer/ejer41