TEOREMA DE ROUCHE FROBENIUS

Teorema de Rouché-Frobenius
Alumno: Fernando Hernandez Martinez
March 16, 2023
El teorema de Rouché-Frobenius es un método que nos permite clasificar los
sistemas de ecuaciones lineales. Es decir, el teorema de Rouché-Frobenius sirve
para saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones sin necesidad de
resolverlo.
Hay 3 tipos de sistemas de ecuaciones:
ˆ Sistema Compatible Determinado (SCD): el sistema tiene una única solución.
ˆ Sistema Compatible Indeterminado (SCI): el sistema tiene infinitas soluciones.
ˆ Sistema Incompatible (SI): el sistema no tiene solución.
El teorema de Rouché-Frobenius dice que A es la matriz formada por los coeficientes de las incognitas de un sistema de ecuaciones. Y la matriz A´o matriz
ampliada, es la matriz formada por los coeficientes de las incognitas de un sistema de ecuaciones y los términos independientes.
El teorema de Rocuhé-Frobenius nos permite saber que tipo de sistema de ecuaciones se trata segun el rango de matrices A y A´:
ˆ Si rango (A) = rango (A´) = número de incógnitas → Sistema Compatible Determinado (SCD)
ˆ Si rango (A) = rango (A´) < número de incógnitas → Sistema Compatible Indeterminado (SCI)
ˆ Si rango (A) ̸= rango (A´) → Sistema Incompatible (SI)
Ejemplo de Sistema Compatible Determinado (SCD)


2x + y − 3z
x + 2y − z


4x − 2y + z
La matriz

2
A = 1
4
A y la matriz
 ampliada

1 −3
2
2 −1  A´ =  1
−2 1
4
=0
=1
=3
A´del sistemason:
1 −3 0
2 −1 1 
−2 1 3
1
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determi2 1 −3
nante de toda la matriz es diferente de |A| = 1 2 −1 = 25 ̸= 0
4 −2 1
Como la matriz tiene un determinante 3x3 distinto de 0, la matriz A es de
rango 3:
rg (A) = 3
Una vez que sabemos el rango de A, calculamos el rango de A´, que será como
minimo de rango 3 porque acabamos de ver que dentro tiene un determinante
de orden 3 diferente de 0. A parte, no puede ser de rango 4, ya que no podemos
hacer ningún determinante de orden 4. Por lo tanto la matriz A´tambien es de
rango 3 :
rg (A´) = 3
De manera que, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz
A´y al numero de incognitas del sistema (3), sabemos por el teorema de Rouché
Frobenius que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):
rg (A) = 3
rg (A´) = 3
Numero de incognitas = 3
rg (A) = rg (A´) = n = 3 → SCD
Ejemplo de Sistema Compatible Indeterminado (SCI)


2x − y + 2z
3x + 2y + z


2x + 3y − z
=1
=5
=4
La matriz
A y la matriz
A´del sistemason:

 ampliada

1 −1 2
1 −1 2 1
1  A´ =  3 2
1 5 
A = 3 2
2 3 −1
2 3 −1 4
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:
1 −1 2
1 =0
|A| = 3 2
2 3 −1
El determinante de toda la matriz A da 0, por lo que no es de rango 3. Para
ver si es de rango 2. tenemos que encontrar una submatriz dentro de A cuyo
determinante sea distinto de 0. Por ejemplo el de la esquina superior izquierda:
1
3
−1
2
= 5 ̸= 0
2
Como la matriz tiene un determinante de 2x2 distinto de 0, la matriz A es de
rango 2:
1 −1 1
3 2 5 =0
2 3 4
1
3
2
2
1
−1
−1
2
3
1
5
4
2
1
−1
=0
1
5
4
=0
Todos los determinantes 3x3 de la matriz A´son por 0, por tanto, la matriz
A´tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro de sı́ que tiene determinantes
de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:
1
3
−1
2
= 5 ̸= 0
Ası́ que la matriz A´ será de rango 2:
rg (A´) = 2
El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A´ pero estos son más
pequeños que el número de incógnitas del sistema (3) . Por lo tanto, según el teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema Compatible Indeterminando
(SCI):
rg (A) = 2
rg (A´) = 2
rg (A) = rg (A´) = 2 < n = 3 −→ SCI
Ejemplo de Sistema Incompatible


2x + y − 2z
3x − 2y + z

x + 4 − 5z
(SI)
=3
=2
=3
La matriz
 A y la matrizampliada
 A´del sistema son:

2 1 −2
2 1 −2 3
A = 3 −2 1  A´ =  3 −2 1 2 
1 4 −5
1 4 −5 3
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante
de toda la matriz es diferente de 0:
3
2 1 −2
|A| = 3 −2 1 = 0
1 4 −5
El determinante de toda la matriz A da 0, por lo que no es de rango 3. Para
ver si es de rango 2, tenemos que encontrar una submatriz dentro de A cuyo
determinante sea distinto de 0. Por ejemplo el de la esquina superior izquierda:
2
3
1
−2
= −7 ̸= 0
Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A
es de rango 2:
rg (A) = 2
Una vez sabemos que el rango de A, calculamos el rango de A´.El determinante de las 3 primeras columanas ya sabemos que da 0, ası́ que ahora probamos,
por ejemplo, con el determinante de las 3 últimas columnas:
1
−2
4
−2
1
−5
3
2
3
= 3 ̸= 0
En cambio la matriz A´si que contiene un determinante cuyo resultado es
diferente de 0, de modo que la matriz A´,deducimos a partir del teorema de
Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Incompatible (SI):
rg (A) = 2
rg (A´) = 2
Número de incógnitas = 3
rg (A) = 2 ̸= rg (A´) = 3 −→ SI
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