Apéndice: Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

Apéndice: Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Vamos a centrar nuestra atencion en sistemas lineales de 2 ecuaciones con
2 incógnitas
De…nición:
Consideremos el sistema
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
donde a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; c1 ; c2 2 R y (a1 ; b1 ) 6= (0; 0) y c2 6= 0
Una solución de este sistema es por de…nición un punto del plano (x0 ; y0 ) 2
R2 , cuyas coordenadas x0 y y0 satisfacen las dos ecuaciones anteriores.
Observación:
Dependiendo de lo que valgan los valores de los coe…cientes
a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; c1 ; c2 2 R
, el sistema anterior:
1) Tendrá una única solución (Sistema Compatible Determinado SCD)
2) Tendrá In…nitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado SCI)
3) No tendrá ninguna solución (Sistema Incompatible SI)
Como cada una de las ecuaciones de nuestro sistema se puede interpretar
como la ecuación general de una recta resolver el sistema equivale a inversigar
la posicion relativa de las dos rectas , es decir que las condiciones 1), 2) y 3)
que hemos mencionado se traducen en el lenguaje geométrico de rectas de la
siguiente forma:
1) SCD: Las dos rectas se cortan en un único punto (hay una única solución
del sistema)
2) SCI : Las dos equaciones corresponden a una misma recta hay in…nitos
puntos en comun (in…nitas soluciones del sistema)
3) SI: La dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común (no
existe ninguna solución del sistema)
Teorema (Roché-Frobenius):
Consideremos el sistema siguiente:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
donde a1 ; a2 ; b1 ; b2 ; c1 ; c2 2 R y (a1 ; b1 ) 6= (0; 0) y c2 6= 0
Sea D := a1 b2
a2 b1 el llamado "Determinante del sistema"
1
Entonces se cumple:
1) Si D 6= 0 entonces aa12 6= bb21 y el sistema es compatible determinado
(existe una única solución , que se halla de forma usual usando los metodos de
substitución, igualación o reducción)
2) Si D = 0 entonces
En tal caso
a1
a2
=
b1
b2
=: I
I = cc12 =) SCI (in…nitas soluciones)
I 6= cc12 =) SI (no existe solución)
Demostración:
La haremos mas adelante en un caso mas general.
Observacion:
Notemos que dado un sitsema de 2 ecuaciones lineales con 2 incognitas , su
determinante D := a1 b2 a2 b1 mide la existencia o no de soluciones. Es lo
que en matemáticas se denomina invariante numérico : un numero real ( una
cosa muy sencilla) asociado a un objeto matemático "complejo" ( en este caso
un sistema de ecuaciones lineales) que mide el comportamiento de ese objeto
matemático. Es muy usual en matemáticas y física el uso de los invariantes
numéricos , de forma que el estudio de un sistema más o menos complicado se
reduce al estudio de su invariante numérico asociado, asi el exito de una gran
parte de modelos teóricos de matemáticas y física consiste en haber encontrado
un buen invariante numérico que clasi…que los objetos de la teoria , es decir
la mayoria de modelos teóricos que son mas útiles y dan muchos frutos de
cara a las aplicaciones son aquellos que tienen muchos invariantes numéricos.
Ejemplos son I := aa21 = bb12 (índice de incompatibilidad) que hemos de…nido en
el Teorema anterior que mide si el sistema de ecuaciones lineals es incompatible
o compatible indeterminado , energia de un sistema de particulas , el momento
angular, el momento lineal, el discriminante de un polinomio, la resultante de
dos polinomios , el determinante de una aplicacion lineal , etc, etc, etc.
2
Ejemplo (SCD):
Consideremos en siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
5x 3y = 2
x + 2y = 1
Su determinante és
D = 2 5 (1 ( 3)) = 10 + 3 = 13 6= 0 ) SCD existe una única solución
Vamos a hallarla por el metodo de redución
* Para hallar la x aniquilemos la y :
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3
2 (5x 3y = 2)
3 (x + 2y = 1)
10x 6y = 4
3x + 6y = 3
13x + 0
=7
=) x =
7
13
* Para hallar la y aniquilemos la x :
Multiplicamos la primera ecuación por 1 y la segunda por -5
1 (5x 3y = 2)
5 (x + 2y = 1)
5x 3y = 2
5x 10y = 5
0
13y
=
3 =) y =
3
13
=
3
13
Por tanto la solución del sistema es
7
3
x = 13
; y = 13
La representación grá…ca de las rectas asociadas a cada ecuación es :
1
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
x
Recordemos que dada una recta de ecuación ax + by = c , entonces si b 6= 0
a
la pendiente de esta recta es
b
La recta roja es la de ecuación x + 2y = 1 pendiente 12 < 0 ) decreciente
5
5
La recta azul es la de ecuación 5x 3y = 2 pendiente
3 = 3 > 0 )
creciente
vemos que estas dos rectas se cortan en un punto , ese punto del plano R2
7
3
es el punto ( 13
; 13
)
Ejemplo (SCI):
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
2x y = 3
6x + 3y = 9
Su determinante es
D = 2 3 ( 6 ( 1)) = 6
6=0
Por tanto por el Teorema de Roché Frobenius el sistema es o bien compatible
indeterminado ( in…nitas soluciones) o bien incompatible (no existe solución)
2
Para saber qual de las dos situaciones se cumple hemos de estudiar el invarib1
b1
ante numérico I = aa12 = b2
( el echo de que aa12 = b2
nos lo asegura el Teorema
al ser el determinante zero)
b1
= 31
I = b2
c1
3
c2 = 9 =
1
3
Por tanto como I = cc21 = 31 por el Teorema tenemos que nuestro sistema
es compatible indeterminado (existen in…nitas soluciones). Las dos ecuaciones
de nuestro sistema representan a la misma recta en el plano , por tanto las
soluciones del sistema son todos los in…nitos puntos de esa recta . Pillamos la
ecuación mas sencilla de nuestro sistema en este caso la primera:
2x y = 3
La solución del sistema es la recta
r := (x; y) 2 R2 j 2x
y = 3 = (x; y) 2 R2 j y = 2x
y
3 = f(x; 2x
3) j x 2 Rg
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
.
3
2
3
4
5
x
Ejemplo (SI) :
Consideremos el sistema
2x y = 3
4x 2y = 4
Su determinante es
D = ( 2) 2 (4 ( 1)) =
4+4=0
Por tanto por el Teorema el sistema o bien es SCI o bien es SI
I=
c1
c2 =
1
1
2 = 2
3
4
Como I 6= cc12 por el Teorema , nuestro sistema es incompatible (SI) no
existe solución, geométricamente esto es debido a que las rectas asociadas a las
equaciones del sistema son paralelas , en efecto las dos tienen pendiente 2
Grá…camente lo vemos (la recta azul corresponde a la primera ecuación y la
recta roja corresponde a la segunda ecuación)
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
una caso muy sencillo es cuando los coe…cientes de la derecha son los dos
zero en este caso el sistema se denomina homogeneo
Sistemas homogeneos:
4
De…nición-Proposición:
Una sistema de ecuaciones lineales de la forma
a1 x + b1 y = 0
a2 x + b2 y = 0
con a1 ; a2 ; b1 ; b2 2 R y (a1 ; b1 ) 6= (0; 0)
se llama homogneno ( los coe…cientes c1 y c2 son zero )
Un sistema homogeneo o bien es compatible interterminado o bien es compatible determinado y en tal caso la unica solucion es la trivial ( es decir
(x; y) = (0; 0) )
Los sistemas homogeneos son muy faciles de reslover ya que solo tienes que
calcular el determinante del sistema para ver si es SCD o SCI.
5