Discusi n sistema lineal por el m todo de Gauss

IES PADRE FEIJOO
2º BHCS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
DISCUSIÓN DE UN SISTEMA LINEAL POR EL MÉTODO DE GAUSS
Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Si después de reducirlo a la forma triangular:
a) Se obtiene alguna ecuación de la forma 0 = c , con c ≠ 0 , el sistema es incompatible, no
admite solución. Aquí se termina la discusión del sistema.
b) Si no es así, el sistema es compatible.
En este caso, si llamamos r al número de ecuaciones no triviales ( que no sean 0 = 0 )
que tiene el sistema en su forma triangular:
b1)
Si r = n, hay solución única (es sistema compatible y determinado). (SCD)
b2 )
Si
r < n,
presenta infinitas soluciones, y cada una de ellas depende de
n – r
parámetros (es sistema compatible e indeterminado). (SCI)
CASO DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todos sus términos independientes son
iguales a cero.
Todo sistema homogéneo admite siempre la solución trivial (0, 0, 0, ...,0).
Dicha solución carece realmente de interés, por lo que hay que investigar las posibles soluciones
distintas de la trivial.
Aplicando el criterio de Gauss anterior, considerando los mismos conceptos para r, número de
ecuaciones no triviales, y n, número de incógnitas, con sistemas homogéneos pueden presentarse dos
posibilidades:
a) Si r = n, sólo admite la solución trivial (es sistema compatible y determinado). (SCD)
b) Si r < n,
aparecen infinitas soluciones (es sistema compatible e indeterminado). (SCI)