Soluciones

UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica
de sistemas de dos y de tres incógnitas
Soluciones
Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
1
3x + 5y = –1 °
¢
–x + 2y = 4 £
Resolución
(
3
–1
5
2
–1
4
)
(1.ª)
3 · (2.ª) + (1.ª)
(
3
0
5 –1
11 11
)
ÄÄÄÄ8 3x + 5 = –1 8 x = –2
8 y=1
El sistema es compatible determinado.
Son dos rectas que se cortan en el punto (–2, 1).
2
7x + 3y = – 4 °
¢
14x + 6y = – 8 £
Resolución
(
7
14
3
6
–4
–8
)
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(
7
0
3
0
–4
0
)
El sistema es compatible indeterminado.
Es una recta (las dos rectas coinciden).
3
x – 5y = – 4 °
¢
3x + 5y = 8 £
Resolución
(
1
3
–5 –4
5 8
)
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(
1
0
)
–5 –4 ÄÄÄÄ8 x – 5 = –4 8 x = 1
20 20 8 y = 1
El sistema es compatible determinado.
Son dos rectas que se cortan en el punto (1, 1).
4
7x + 3y = 8 °
§
x + 5y = – 8 ¢
§
x + y = 0£
Resolución
(
7
1
1
3
5
1
8
–8
0
)
(1.ª) – 7 · (3.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
(
0 –4
0 4
1 1
8
8
0
)
las dos primeras
Ä8
dicen lo mismo
4y = –8 ° 8 y = –2
¢
x + y = 0£ 8 x = 2
El sistema es compatible determinado.
Son tres rectas que se cortan en el punto (2, –2).
(
0
1
4
1
–8
0
)
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UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica
de sistemas de dos y de tres incógnitas
Soluciones
5
5x + 3y = 7 °
¢
15x + 9y = 18 £
Resolución
(
5
15
3
9
7
18
)
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.ª)
(
5
0
3
0
7
–3
)
(
0
9
0
2
0
5
)
El sistema es incompatible.
Son dos rectas paralelas.
6
18x + 4y = 10 °
¢
9x + 2y = 5 £
Resolución
(
18
9
4
2
10
5
)
(1.ª) – 2 · (2.a)
(2.ª)
El sistema es compatible indeterminado.
Es una recta (las dos rectas coinciden).
7
3x + 2y = 13 °
¢
–2x + 5y = –15 £
Resolución
(
3
–2
2
5
13
–15
)
(1.ª)
3 · (2.ª) + 2 · (1.ª)
(
3
0
2
19
13
–19
)
El sistema es compatible determinado.
Son dos rectas que se cortan en el punto (5, –1).
8
3x + 6y = 13 °
¢
–2x – 4y = –5 £
Resolución
(
3 6
–2 –4
13
–5
)
(1.ª)
3 · (2.ª) + 2 · (1.ª)
El sistema es incompatible.
Son dos rectas paralelas.
(
3
0
6
0
13
11
)
ÄÄÄÄ8 3x = 15 8 x = 5
8 y = –1
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1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica
de sistemas de dos y de tres incógnitas
Soluciones
9
3x + 2y – z = 2 °
§
6x – y + z = 7 ¢
§
–3x – 5y + 4z = 1 £
Resolución
(
(
3 2 –1
6 –1 1
–3 –5 4
2
7
1
3 2 –1
0 –5 3
0 0 6
2
3
6
)
)
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) + (1.ª)
(
3 2 –1
0 –5 3
0 –3 3
2
3
3
)
(1.ª)
(2.ª)
5 · (3.ª) – 3 · (2.ª)
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 3x = 3 8 x = 1
ÄÄÄÄ8 –5y = 0 8 y = 0
8 z=1
El sistema es compatible determinado.
Son tres planos que se cortan en el punto (1, 0, 1).
2x – 5y + 3z = 6 °
§
10 2x + 3y – z = 2 ¢
§
– 4x – y – 5z = –2 £
Resolución
x
(
2 –5 3 6
2 3 –1 2
–4 –1 –5 –2
x
(
z
)
(1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.ª) – 2 · (1.ª)
(
x
6
–4
10
)
(1.ª)
(2.ª)
4 · (3.ª) + (2.ª)
z
2 –5 3
0 8 –4
0 –11 1
y
2 3 –5
0 –4 8
0 1 –11
y
(
z
6
–4
10
)
y 5z
ÄÄÄ8
y
3 3 –5
0 –4 8
0 0 –36
6
–4
36
)
8
° ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 2x – 3 + 6 = 6 8 x = 2
§
¢ ÄÄÄÄ8 –4z – 8 = –4 8 z = –1
§
£ 8 y = –1
El sistema es compatible determinado.
Son tres planos que se cortan en el punto (2, –1, –1).
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UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica
de sistemas de dos y de tres incógnitas
Soluciones
x – y + 3z = 8 °
§
11 3x + y + 5z = 16 ¢
§
–2x + 3y – z = 0 £
Resolución
(
(
1 –1 3
3 1 5
–2 3 –1
1 –1 3
0 0 –24
0 1 5
8
16
0
)
8
–72
16
(1.ª)
(2.ª) – 3 · (1.a)
(3.ª) + 2 · (1.ª)
)
(
1 –1 3
0 4 –4
0 1 5
8
–8
16
)
(1.ª)
(2.ª) – 4 · (3.a)
(3.ª)
ÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = 8 + 1 – 9 8 x = 0
ÄÄÄÄ8 z = 3
8 y=1
El sistema es compatible determinado.
Son tres planos que se cortan en el punto (0, 1, 3).
x – y + z = 3°
§
12 2x + y – 2z = 3 ¢
§
3x – 2y – z = 0 £
Resolución
(
(
)
1 –1 1
2 1 –2
3 –2 –1
3
3
0
1 –1 1
0 3 –4
0 0 –8
3
–3
–24
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.ª)
)
(
1 –1 1
0 3 –4
0 1 –4
3
–3
–9
)
(1.ª)
(2.ª)
3 · (3.ª) – (2.ª)
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = 3
ÄÄÄÄ8 3y = 9 8 y = 3
8 z=3
El sistema es compatible determinado.
Son tres planos que se cortan en el punto (3, 3, 3).
x – 2y + 2z = – 6 °
§
13 5x + 3y + z = 0 ¢
§
y – z = 2£
Resolución
(
(
1 –2 2
5 3 1
0 1 –1
1 –2 2
0 13 –9
0 0 –4
–6
0
2
)
–6
30
–4
(1.ª)
(2.ª) – 5 · (1.a)
(3.ª)
)
(
1 –2 2
0 13 –9
0 1 –1
–6
30
2
)
ÄÄÄÄÄÄÄÄ8 x = –2
ÄÄÄÄ8 y = 3
8 z=1
El sistema es compatible determinado.
Son tres planos que se cortan en el punto (–2, 3, 1).
(1.ª)
(2.ª)
13 · (3.ª) – (2.ª)
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1. Ejercicios de refuerzo: interpretación geométrica
de sistemas de dos y de tres incógnitas
Pág. 5 de 5
Soluciones
–x + 3y
= 6°
§
14 2x + y – z = 1 ¢
§
–3x + 2y + z = 5 £
Resolución
(
(
–1 3 0
2 1 –1
–3 2 1
6
1
5
)
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.a)
(
–1 3 0 6
0 7 –1 13
0 –7 1 –13
)
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
)
–1 3 0 6
0 7 –1 13
0 0 0 0
El sistema es compatible indeterminado.
Son tres planos con una recta común.
x – 3y + z = 1 °
§
15 2x – 7y + 3z = 2 ¢
§
3x – 10y + 4z = 5 £
Resolución
(
1 –3 1
2 –7 3
3 –10 4
1
2
5
)
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 3 · (1.a)
(
1 –3 1
0 –1 1
0 –1 1
1
0
2
)
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
(
1 –3 1
0 –1 1
0 0 0
1
0
2
)
El sistema es incompatible.
Son tres planos sin ningún punto común. Cada dos de ellos se cortan en una recta. Por tanto, las tres rectas de corte son paralelas.