Metodo de Gauss. Apuntes

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Método de reducción o de Gauss
1º DE BACHILLERATO
DPTO DE MATEMÁTICAS
COLEGIO MARAVILLAS
AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS.
 a1x  b1y c1
.
a2 x  b2 y c 2
Dado un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas que tiene la forma 
Resolver dicho sistema consiste en hallar un par de valores (x, y) que hagan que se cumplan las dos ecuaciones
simultáneamente.
Se puede resolver el sistema algebraicamente por cualquiera de los métodos conocidos : reducción, igualación
o sustitución.
Al resolver un sistema nos podemos encontrar con una de estas tres situaciones :
a) Que tenga una única solución, es decir un valor de x y otro de y que satisfagan ambas ecuaciones. Se dice
entonces que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. GEOMÉTRICAMENTE, significa que las
dos rectas se cortan en un punto.
Ejemplo :
3x  2 y  1

 x  6 y 7
 3x  2 y  1
 
 -20 y = -20  y = 1  x = 1 la solución es única,
3x  18 y  21
sería el punto (1,1) y geométricamente significa que las dos rectas se cortan en dicho punto. Es compatible
determinado.
b) Que el sistema tenga infinitas soluciones , es decir, que existan infinitos valores de x y de y que cumplen
ambas ecuaciones. En este caso , se dice que el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO.
GEOMÉTRICAMENTE, significa que ambas rectas son iguales , y sus ecuaciones proporcionales.
Todos los puntos de una recta son también de la otra. Ejemplo :
6 x  2 y  14
 6 x  2 y 14

 0x +0y = 0 , para encontrar las infinitas soluciones procederemos de

6 x  2 y  14
 3x  y  7
la siguiente forma : Nos quedamos con la ecuación 3x –y = 7 , y a una de las incógnitas le llamamos  , por
ejemplo , x=  , y l a otra incógnita se despeja en función de  ,
y = 3x-7  y = 3  -7. La solución sería (  ,3  -7 ), lo que significa que para cada valor diferente de  ,
obtenemos un x e y diferente, por lo que habrá infinitas soluciones. Geométricamente, significa que las dos
rectas estarían superpuestas una sobre la otra.
c) Que el sistema no tenga solución, en este caso, se dice que el sistema es INCOMPATIBLE.
GEOMÉTRICAMENTE, significa que las dos rectas no tienen ningún punto en común, no se cortan,
6 x  2 y  9
 6x  2 y  9
es decir , son PARALELAS. Ejemplo: 

 0x +0y = -11  0= -11,
 3x  y  10
6 y  2 y  20
lo que es imposible, el sistema por lo tanto, no tiene solución, y las rectas son paralelas.
 a1 x  b1 y  c1
de la siguiente forma:
a2 x  b2 y  c2
Se puede clasificar el sistema 
a) Es COMPATIBLE DETERMINADO si
a1 b1
 .
a2 b2
b) Es COMPATIBLE INDETERMINADO si
c) Es INCOMPATIBLE si
a1 b1 c1
  .
a2 b2 c2
a1 b1 c1
  .
a2 b2 c2
Método de Gauss
Es una generalización del método de reducción para un número mayor de ecuaciones y de incógnitas.
Consideremos un sistema lineal con un número cualquiera de ecuaciones m y de incógnitas n que se escribe
de la siguiente forma:
 a11 x1  a12 x2  ......  a1n xn b1
 a x  a x  ......  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

 .............................................
am1 x1  am 2 x2  ......  amn xn  bm
donde x1, x2, x3,..... son las incógnitas, aij son los coeficientes,
i indica la fila a la que pertenece el elemento, y j , la columna a la que pertenece el elemento; bi
son los términos independientes.
Una solución del sistema será un conjunto de valores, x1, x2, x3,..... , que sustituidos en cada ecuación,
verifican todas las igualdades.
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se puede comprobar fácilmente
que las siguientes TRANSFORMACIONES ELEMENTALES , convierten un sistema en otro
equivalente. Éstas son:
1. Se puede cambiar el orden de las ecuaciones.
2. Se pueden multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número no nulo y ésta no
cambia.
3. Se puede sumar o restar a una ecuación otra de las ecuaciones, multiplicada por un número, y el
resultado no varía .
El Método de Gauss se basa en utilizar transformaciones elementales para convertir el sistema en otro
equivalente en el que se pueda ver directamente cómo son sus soluciones.
Las transformaciones elementales que aplicamos a las ecuaciones sólo influyen en los coeficientes numéricos;
por eso se acostumbra a colocar ordenadamente dichos coeficientes en una tabla, que se llama matriz.
Los números que en la matriz ocupan un lugar con igual número de fila que de columna forman la diagonal
principal.
La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se trata
de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera
una. Se obtiene así un sistema llamado triangular o en cascada,cuya resolución es ahora inmediata; basta
calcular z de la tercera ecuación, llevarla a la segunda para obtener y, y así despejar x de la primera
ecuación.
La ventaja del método de Gauss consiste en que es fácilmente generalizable a sistemas con cualquier
número de ecuaciones y de incógnitas.
El método de Gauss consiste en ir haciendo transformaciones elementales, hasta llegar a un
sistema equivalente que sea escalonado, de tal manera que consigamos que sean ceros los
coeficientes de las incógnitas situadas por debajo de los elementos de igual subíndice (a dichos
elementos se les llama diagonal principal). En resumen, el sistema debe adquirir una forma
triangular, que nos permita ir despejando incógnitas escalonadamente.
Acostumbramos a escribir ordenadamente sólo los coeficientes y términos independientes del
sistema en una tabla que llamamos matriz.
 x  2 y  5 z  13 


Ejemplo 1: Resolver por Gauss: 2 x  5 y  z  19 
 x  3 y  2 z  4 


 1 2 5

Lo escribimos así :  2 5 1
 1 3 2

13 

19  e indicamos a la izquierda las transformaciones que
4 
vamos haciendo para obtener los ceros. Empezando por 1º: a31 ,2º: a21 , y 3º: a32 .
 1 2 5

 2 5 1
 1 3 2

13 

19  F3  F1
4 
Con lo que obtenemos:
 1 2 5

 2 5 1
 0 5 7

13 

19  F2  2 F1
17 
 1 2 5
13 


 0 1 9 7  F3 5 F2
 0 5 7 17 


 1 2 5

 0 1 9
 0 0 52

13 

7 
52 
 0 x  0 y  52 z  52  z 
52
1
52
  y  9 z  7   y  9  7   y  2  y  2
 x  2 y  5 z  13  x  2.  2   5.1  13  x  4  5  13  x  13  9  x  4
Y el sistema es, por lo tanto, compatible determinado, tiene una única solución:
x  4

 y  2
z  1

CASO I
Como hemos visto en este primer caso: compatible determinado; el sistema y su matriz


asociada adopta finalmente la forma:  0

 0




 donde vamos obteniendo, de abajo


0 

a arriba, un valor numérico para cada incógnita de forma escalonada. Los símbolos 
representan números distintos de 0, y
números cualesquiera.
CASO II




Si el sistema adopta al final una forma como la que sigue:  0

 la última ecuación


0 0
0
 0


sería 0 x  0 y  0 z  0 , que no aporta nada y que por lo tanto se suprime. En este caso, hay
menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más (por ejemplo la z) se
pasa al segundo miembro y se le llama  ; así, las demás en la solución quedarán en función de
 . El sistema por lo tanto, sería compatible indeterminado, tiene  soluciones, una diferente
para cada valor que le demos a  .
x  y  z  7

Ejemplo 2: Resolver por Gauss:  x  y  3z  1
2 x  y  4 z  5

Escribimos:
 1 1 1

 1 1 3
 2 1 4

7

1  F3  2 F1
5 
 1 1 1

 1 1 3
 0 3 6

7

1  F2  F1
9 
 1 1 1 7 


 0 2 4 6  3 F2  2 F3
 0 3 6 9 


 1 1 1

 0 6 12
 0 6 12

7 

18 
18 
 1 1 1
7 


  0 6 12 18  ecuación que da lugar a 0 x  0 y  0 z  0 y se suprime. Nos
0 0
0
0  

quedamos con 6 y 12 z  18  simplifando entre 6  y  2 z  3  llamamos z   y nos
queda y  3  2 z  y  3  2
Y la x  x  y  z  7  x  7  y  z  7   3  2     7  3  2    x  4  
x  4  

Solución:  y  3  2 es compatible indeterminado, tiene  soluciones, una diferente para
z  

cada valor que le demos a  .
CASO III


Si el sistema adopta al final una forma como la que sigue:  0

 0


0
0


 Si aparece una fila

 
de ceros excepto el último número, que es distinto de cero, quiere decir que se ha llegado a una
ecuación de tipo: 0 x  0 y  0 z  n0 , dicha igualdad no puede ocurrir nunca. El sistema, por lo
tanto, será incompatible. No tiene solución.
 x  2 y  z  13

Ejemplo 3: Resolver por Gauss: 3x  4 y  2 z  1
2 x  2 y  z  0

 1 2 1 13 
 1 2 1
13 
 1 2 1
13 
 1 2 1
13 








1  F2 3 F1  0 2 1 38  F3  F2  0 2 1 38 
 3 4 2 1  F3 2 F1  3 4 2
 2 2 1 0 
 0 2 1 26 
 0 2 1 26 
0 0 0
12 







Llegaremos a una ecuación de la forma: 0 x  0 y  0 z  12  0  12 , que no puede ocurrir. El
sistema será incompatible. No tiene solución.
EJEMPLOS RESUELTOS
x  2 y  2z  2

1. Resolver por Gauss:  x  2 y  z  3
 x  3 y  1

1 2 2

1 2 1
 1 3 0

2

3  F3  F1
1 
1 2 2

1 2 1
0 5 2

2

3  F2  F1
3 
1 2 2

 0 0 1
0 5 2

2

1   Intercambiamos las filas 2 y 3, y nos
3 
1 2 2 2


queda   0 5 2 3  Ya podemos asegurar que el sistema es compatible determinado, y
 0 0 1 1 


su solución:
 z  1  z  1
5 y  2 z  3  5 y  3  2  1  5  y  1
x  2  2 y  2z  2  2  2  2  x  2
x  2

Solución:  y  1
 z  1

2 . Resolver por Gauss:
2 x  5 y  3z  4

x  2 y  z  3
5 x  y  7 z  11

x  2 y  z  3

Intercambiamos las dos primeras ecuaciones: 2 x  5 y  3z  4
5 x  y  7 z  11

 1 2 1

 2 5 3
5 1 7

3

4  F2  2 F1
11 F3 5 F1
 1 2 1

 0 1 1
 0 11 2

3

2  F3 11F2
4 
 1 2 1

 0 1 1
 0 0 13

3 

2  
26 
13z  26  z  2
x  5

 y  z  2   y  2  (2)  0  y  0 Sistema compatible determinado. Solución:  y  0
 z  2

x  3  2 y  z  3  0  (2)  5  x  5
 x  3 y  7 z  10

3. Resolver por Gauss: 5 x  y  z  8
 x  4 y  10 z  11

 1 3 7
10 
 1 3 7
10 
 1 3 7
10 






8  F2 5 F1  0 14 34 42  2 F3  0 14 34 42  F3  F2
 5 1 1
 1 4 10 11 F3  F1  0 7 17 21 
 0 14 34 42 






Esta ecuación corresponde a 0 x  0 y  0 z  0 , que se elimina, y nos queda:
 1 3 7

 0 14 34
0 0
0

10 

42 
0 
z
14 y  34 z  42  7 y  17 z  21  7 y  21  17  y 
x  10  3 y  7 z  10  3(3 
21 17
17
   y  3  
7
7
7
17
51
2
 )  7  10  9    7  1  
7
7
7
2

x  1 7 

17

El sistema es compatible indeterminado, tiene  soluciones. Y se escribe: Solución  y  3  
7

z  


x  3y  2z  7

4 . Resolver por Gauss: 2 x  y  15 z  3
 x  8 y  21z  11

 1 3 2
7


3  F2  2 F1
 2 1 15
 1 8 21 11 F3  F1


 1 3 2

 0 5 19
 0 5 19

7 

11 F3  F2
4 
 1 3 2

 0 5 19
0 0 0

7 

11 La última ecuación tiene la
7 
forma 0 x  0 y  0 z  7  0  7 , lo cual es imposible, por lo tanto, el sistema es incompatible:
No tiene solución.