λ λ BA BA = . A A 1 1 5 1 10 1 50 23.2 3 1 24.2 4 1 28.2 8 )3( 1 )4( 1
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Matemáticas II Junio 2002 EJERCICIO B PROBLEMA 1. Para cada número real λ , M (λ ) 4 3 λ M (λ ) = 2 1 2 λ λ − 1 es la matriz Se pide: Obtener el determinante de la matriz M (λ ) , y justificar que para cualquier número real λ existe la matriz M (λ ) −1 inversa de M (λ ) . (1,3 puntos). Calcular la matriz M(0)-1 (1 punto) Si A=M(8), B=M(4) y C=M(3), calcúlese, razonadamente el determinante de la matriz producto A B-1 C-1 . (1 punto) i) ii) iii) Solución: i) 4 3 λ M (λ ) = 2 1 2 = −4 + 2λ2 + 6λ − λ2 − 8λ + 6 = λ2 − 2λ + 2 λ λ −1 Veamos para que valores de λ2 − 2λ + 2 = 0 → λ = λ M (λ ) = 0 2 ± 4 − 4 .1. 2 2 .1 Es decir que para cualquier valor de = λ ∈ℜ 2± −4 2 no tiene soluciones M (λ ) ≠ 0 reales por lo que ∀λ ∈ ℜ ∃ M (λ ) −1 ii) 4 3 0 M (0) = 2 1 2 0 0 − 1 M (0) = 0 2 − 2 . 0 + 2 = 2 1 0 4 3 0 αi j 3 2 1 2 → 0 0 0 − 1 3 1 → M (0) −1 2 2 2 −1 0 0 −1 4 0 −1 0 0 −1 4 0 2 2 2 −1 6 −1 3 2 1 = 2 − 4 − 8 = 1 2 0 2 0 0 2 1 0 0 0 6 −1 − 2 0 −1 2 −1 3 Ai j Aj i 4 3 = − 3 − 4 0 → 3 − 4 0 → 2 − 4 − 8 0 0 6 − 8 − 2 0 6 8 − 2 0 2 4 3 2 1 3 3 2 − 2 − 4 0 − 1 iii) A. B = A B Aplicando que y que A . B −1 . C −1 = A B −1 C −1 = A (8 2 −2.8+ 2 )4 1 2 A −1 = 1 1 1 1 = M (8) = B C M (4) M (3) 1 2 1 A − 2. 4+ 2 3 − 2.3+ 2 = 50 1 1 =1 10 5
