Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 LÍMITE EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES TEOREMAS SOBRE LÍMITES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS OTROS LÍMITES OBJETIVOS: • • • • Definir Límites. Realizar demostraciones formales de límites. Describir gráficamente los límites. Calcular límites. 1 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.1 LÍMITE EN UN PUNTO El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio del análisis de los límites. 1.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra intención y el estudio de los límites va a permitir esto. Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspección concluir y tener una idea del concepto de límite. Ejemplo 1 Veamos como se comporta la función la cercanía de x = 2 . f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 : x y = 2x +1 1.90 4.80 1.95 1.99 4.90 4.98 " " 2.01 5.02 2.05 5.10 2.10 5.20 En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lím (2 x + 1) = 5 x→2 Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica: 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia f ( x) = x 2 + 5x − 6 , en la cercanía de x = 1 . x −1 Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos: x 0.90 y= x2 + 5x − 6 x −1 6.90 0.95 6.95 0.99 6.99 " " 1.01 7.01 1.05 7.05 1.10 7.10 Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x x 2 + 5x − 6 =7. x →1 x −1 se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación. Por otro lado, la regla de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?). correspondencia f ( x) = x 2 + 5x − 6 x −1 es equivalente a Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica: De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía, podemos emitir la siguiente definición: 3 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Una función f tiene límite L en un punto x0 , si f se aproxima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que lím f ( x) = L se denota como: x→ x0 Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones. 1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que x + 5x − 6 =7. x −1 x →2 2 lím x →1 Para esto, debemos garantizar formalmente el acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá en escribir matemáticamente, lenguaje formal, la metodología del proceso, lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definición formal de límite y no sólo para estos dos ejemplos, sino para cualquier función. Antes, de llegar a la definición requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir que punto x0 x toma valores próximos a un (que x está en torno a x0 ), bastará con considerarla perteneciente a ∂ (delta). Es decir: un intervalo o vecindad, centrado en cual denotaremos con la letra griega x0 , de semiamplitud muy pequeña, la x0 − ∂ < x < x 0 + ∂ Transformando la expresión anterior tenemos: x0 − ∂ < x < x0 + ∂ x0 − ∂ − x0 < x − x0 < x0 + ∂ − x0 − δ < x − x0 < δ x − x0 < δ 4 Restando " x0 " Empleando la definición de valor absoluto Moisés Villena Muñoz Y, para que Cap. 1 Límites de Funciones x no sea x0 , bastará con proponer que 0 < x − x0 < ∂ ¿POR QUÉ?. SEGUNDO, para decir que f está próxima a L (en torno a L ), podemos expresar que pertenece a un intervalo o vecindad, centrado en L de semiamplitud muy pequeña, la cual denotaremos con la letra griega ε (épsilon). Es decir: L − ε < f ( x) < L + ε Transformando la expresión anterior tenemos: L − ε < f ( x) < L + ε − ε < f ( x) − L < +ε Restando " L " f ( x) − L < ε Aplicando la definición de valor absoluto Con todo lo anterior, definimos formalmente límite de una función en un punto, de la siguiente manera: Sea f una función de variable real y sean ε y ∂ cantidades positivas muy pequeñas. Suponga que f se aproxima a L cuando x se aproxima a x0 , denotado por lím f ( x) = L , x→ x0 significa que para toda proximidad ε que se desee estar con f en torno a L , deberá poderse definir un intervalo en torno a x0 en el cual tomar x , sin que necesariamente x = x0 , que nos garantice el acercamiento. ( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − x Es decir: x → x0 0 < δ ⇒ f ( x) − L < ε La definición indica que para asegurar que una función tiene límite deberíamos establecer una relación entre ∂ y ε . Una manera de interpretar gráficamente lo mencionado es: 5 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Con esta definición, ya podemos realizar demostraciones formales. Ejemplo 1 Demostrar formalmente que lím (2 x + 1) = 5 . x→2 SOLUCIÓN: Cuando hicimos la tabla de valores, sólo para seis valores percibimos que el límite de esta función era 5, se trata ahora de demostrarlo. Debemos garantizar que cuando reemplacemos la x por cualquier número cercano a 2 el valor de y correspondiente es un números cercano a 5, y mientras la x esté más cerca de 2 la y estará más cerca de 5; esto quiere decir que la diferencia entre los valores que resultan en 2 x + 1 con 5 deberán ser cantidades muy pequeñas, menores que cualquiera tolerancia ε que nos fijemos. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 5 con y = 2 x + 1 , tanto como nos propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir: ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 2 < δ ⇒ (2 x + 1) − 5 < ε En la implicación, vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiará en el procedimiento a seguir: 0< x−2 <δ 0 < 2 x − 2 < 2δ Multiplicando por 2 (porque en el consecuente aparece 2x ) 0 < 2 ( x − 2 ) < 2δ Propiedades del valor absoluto 0 < 2 x − 2 < 2δ 0 < 2 x − 4 < 2δ 0 < 2 x − 4 + 5 − 5 < 2δ 0 < ( 2 x + 1) − 5 < 2δ Ahora, podemos decidir que δ = lo propuesto. ε 2 Sumando y restando 5 (debido a que aparece -5 en el consecuente) Agrupando ; es decir, que si tomamos 2 − ε2 < x < 2 + ε2 nos permite asegurar Suponga que ε = 0.1 ; es decir, si quisiéramos que y = 2 x + 1 esté a menos de 0.1 de 5, será posible 0.1 si tomamos a la que x , en torno a 2 a una distancia no mayor de δ = = 0.05 . Es decir para que f 2 esté entre 4.9 y 5.1 bastará con tomar a la x un número entre 1.95 y 2.05. 6 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones No olvide que proponer una relación entre ε y ∂ , garantiza que f estará tan cerca de L , como se 0.01 quiera estar. Veamos, más cerca ε = 0.01 , bastará con tomar a la x a no menos de δ = = 0.005 2 de 2. Es decir que si tomamos 1.995 < x < 2.005 garantiza que 4.99 < f ( x) < 5.01 . Ejemplo 2 Demostrar formalmente que lím x →1 SOLUCIÓN: Debemos asegurar que y = x2 + 5x − 6 =7. x −1 x2 + 5x − 6 se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la x esté x −1 x2 + 5x − 6 , tanto como nos x −1 propusiéramos estar (para todo ε ). Si esto es posible deberá poderse definir el correspondiente intervalo (existe ∂ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir: próxima de 1. Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con y = ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 1 < δ ⇒ x 2 + 5x − 6 −7 <ε x −1 Vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. La forma algebraica del consecuente nos guiará: 0 < x −1 < δ 0 < x −1+ 7 − 7 < δ 0 < ( x + 6) − 7 < δ ( x + 6 )( x − 1) − 7 x −1 <∂ x + 5x − 6 −7 <∂ x −1 2 Se suma y resta 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente) Agrupando ( x + 6 ) y dividiéndolo y multiplicándolo por ( x − 1) (debido a que el primer término del consecuente aparece dividido por ( x − 1) ) Con δ = ε , nos permite asegurar lo propuesto; es decir, tomando 1 − ε < x < 1 + ε Ejemplo 3 Demostrar formalmente que lím x 2 = 4 . x→2 SOLUCION: Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0< x−2 <δ Por lo tanto: Multiplicando por x + 2 (debido a que 0< x−2 <δ ⇒ x2 − 4 < ε 0< x−2 x+2 <δ x+2 el consecuente tiene una diferencia de cuadrados perfectos) 0 < x2 − 4 < δ x + 2 Propiedades del valor absoluto 0 < ( x − 2 )( x + 2 ) < δ x + 2 7 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Tomamos δ = ε x+2 . Pero ahora existe un inconveniente, la relación es función de x . Esto lo podemos salvar acotando a x . Suponga que a la x se la toma a una distancia no mayor de 1, en torno a 2, entonces 1 ≤ x ≤ 3 , que si tuviéramos que escoger un valor para x , el idóneo sería 3, para que satisfaga el hecho de que δ debe ser una cantidad pequeña. Por tanto, δ = ε ε = 3+ 2 5 ; es decir, tomar 2 − ε 5 < x<2+ ε 5 asegura lo que se quiere demostrar. Ejemplo 4 Demostrar formalmente que lím x = 2 . x→4 SOLUCION: Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que entonces: 0< x−4 <δ ( 0< ( 0< 0< )( x − 2) 0< x−4 <δ ) x +2 <δ diferencia de cuadrados x +2 Despejando Propiedades del valor absoluto δ x −2 < x −2 <ε Factorizando x − 4 para x +2 <δ x −2 ⇒ Tomamos δ = ε ⎛⎜ x + 2 ⎟⎞ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, ⎠ ⎝ entonces 3 ≤ x ≤ 5 , un valor idóneo sería 3. ¿Por qué?. ( ) Por lo tanto, δ = ε 3 + 2 ; es decir, si tomamos 4 − ε que se quiere demostrar. ( 3 + 2) < x < 4 + ε ( 3 + 2) aseguramos lo Ejemplo 5 Demostrar formalmente que lím 3 x = 3 . x → 27 SOLUCION: Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 27 < δ ⇒ 3 x −3 < ε Entonces: 0 < x − 27 < δ 0< 0< 0< ( ( ( 3 ) ( x) x − 3 27 ⎛⎜ ⎝ ) ⎛⎜⎝ ( x ) 3 x −3 3 x −3 < ⎛ ⎝ 3 3 ) (( ⎛ ⎜ ⎝ ) 2 ( x) 3 2 + 3 x 3 27 + ( + 3 3 x + 9 ⎞⎟ < δ ⎠ δ 2 + 3 3 x + 9 ⎞⎟ ⎠ ) 3 ) 2 27 ⎞⎟ < δ ⎠ Factorizando x − 27 para diferencia de cubos Propiedades del valor absoluto Despejando ⎞ + 3 3 x + 9 ⎟ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, ⎠ entorno a 27, entonces 26 ≤ x ≤ 28 , un valor idóneo sería 26. Tomamos δ = ε ⎜ 8 3 x 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones ⎛ Por lo tanto, δ = ε ⎜ ⎛⎜ ⎝⎝ ( ⎛ si tomamos 27 − ε ⎜ ⎜⎛ ⎝⎝ 3 ( 26 ) 2 ) ⎞ + 3 3 26 + 9 ⎞⎟ ⎟ o δ ≈ 27 ε ; es decir, ⎠⎠ ( ⎞ ⎛ + 3 3 26 + 9 ⎟⎞ ⎟ < x < 27 + ε ⎜ ⎜⎛ 3 26 ⎠⎠ ⎝⎝ 27 − 27ε < x < 27 + 27ε aseguramos lo que se quiere demostrar. 3 26 2 ) 2 ⎞ + 3 3 26 + 9 ⎟⎞ ⎟ o ⎠⎠ Ejemplo 5 Demostrar formalmente que lím x − 1 = 1 . x →1 x −1 SOLUCION: 2 Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x −1 < δ x −1 1 − <ε x −1 2 ⇒ La expresión algebraica del consecuente tiene una apariencia un tanto compleja, por tanto en este caso es mejor empezar analizando el consecuente, para tener referencia de los pasos a seguir para luego transformar el antecedente. x −1 1 − <ε x −1 2 ( ( ) x −1 )( x −1 ( 1 ) x +1 2− 2 ( ( − ( 1 <ε 2 1 <ε 2 ) x +1 ) x +1 1− x 2 2 ( ( 1− x <ε Destruyendo paréntesis x +1 2 <ε x +1 2 <ε 1− x ) ) x −1 Restando <ε ) ( ) <ε ( x + 1) (1 − x )(1 + x ) < ε 2 ( x + 1)(1 + x ) 2 Factorizando el denominador ( x − 1) para diferencia de cuadrados Simplificando x +1 2 − x −1 2 ) x +1 − 1 − x < ε ⎡2 ⎢⎣ ( Resolviendo la resta del 2 con el 1 ( Multiplicando y dividiendo por 1 + x ) Producto notable ) 2 x +1 ⎤ ⎥⎦ Aplicando propiedades del valor absoluto Despejando ¨ Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final: 9 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 0 < x −1 < δ 0 < 1− x < δ ( )( ) Propiedad del valor absoluto 0 < 1− x 1+ x < δ 0 < 1− x < 0< 0< 0< 0< 0< 1− x ( 2 1+ x 1− x ( δ 1+ x ) 2 1+ x < ) ( 2 1+ x 2− ( ( ) 2 1+ x ( < 2 2 1+ ) δ ( δ ( 2 1+ x ( δ 2 1+ x )< x +1 Despejando 2 1+ x 1+ x < 2 − x −1 Factorizando para diferencia de cuadrados ( δ ) ) 2 ) Transformando el 1 en 2 - 1 2 2 1+ x ) Agrupando ( x + 1) < δ x ) 2 (1 + x ) 2 (1 + x ) 2 − δ 1 < 2 2 1+ x (1 + x ) ( ) ( x − 1) − 1 < δ 0< (1 + x )( x − 1) 2 2 (1 + x ) ( x − 1) − 1 < δ 0< x −1 2 2 1+ x ( ) 0< − 1 Dividiendo todos los términos entre 2 (1 + x ) Separando en dos términos 2 Simplificando 2 Multiplicando por la conjugada 2 2 ( ) 2 Tomamos δ = ε ⎛⎜ 2 1 + x ⎞⎟ . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 1, ⎝ ⎠ ( ) 2 entonces 0 ≤ x ≤ 2 , un valor idóneo sería 0. Reemplazando tenemos δ = ε ⎛⎜ 2 1 + 0 ⎞⎟ = ε ( 2 ) ⎝ ⎠ Por lo tanto, δ = 2ε ; es decir, si tomamos 1 − 2ε < x < 1 + 2ε aseguramos lo que se quiere demostrar. Ejemplo 6 Demostrar formalmente que lím x − 4 = 4 . x→4 SOLUCION: x −2 Debemos garantizar que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < x − 4 < δ ⇒ Igual que en el ejemplo anterior primero vamos a analizar el consecuente: 10 x−4 −4 <ε x −2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones ( ( ( ( x−4 −4 <ε x −2 )( x −2 x +2 x −2 ) ) −4 <ε Factorizando el numerador ( x − 4 ) para diferencia de cuadrados x +2 −4 <ε x −2 <ε )( x −2 ( x +2 x +2 x−4 x +2 x−4 x +2 ) Simplificando ) ) <ε ( x −2 ) Restando Multiplicando y dividiendo por <ε ( x +2 ) Realizando el Producto Notable <ε Aplicando propiedades del valor absoluto x−4 <ε x +2 Despejando Ahora para transformar el antecedente, se sigue una secuencia como la anterior pero desde el final: 0< x−4 <δ 0< 0< x −2 ( )( δ x +2 x +2 x +2 ) x −2 < 0< x −2+4−4 < 0< 0< ( ( ( ( x +2 ) x +2 −4 < x +2 ( x−4 ) )( x −2 x −2 x −2 ) )< δ 0< 0< Tomamos δ = ε ( x−4 < x +2 ) −4 < Dividiendo todos los términos entre δ x +2 x +2 )−4 < δ x +2 ( x +2 ) Sumando y restando 4 δ x +2 x +2 Agrupando δ x +2 Multiplicando y dividiendo ( x −2 ) Realizando el Producto Notable x + 2 . Ahora bien, si tomamos a x a una distancia no mayor de 1, entorno a 4, entonces 3 ≤ x ≤ 5 , un valor idóneo sería 3. Por lo tanto, δ = ε ( ) 3 + 2 ; es decir, si tomamos 4 − ε aseguramos lo que se quiere demostrar. ) Factorizando ( x − 4 ) para diferencia de cuadrados Simplificando δ ( ( ) 3 +2 < x < 4+ε ( 3+2 ) Podría no ser tan sencillo encontrar un ∂ en función de ε , eso no significa que el límite no existe, todo depende de la regla de correspondencia de la función. 11 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejercicios Propuestos 1.1 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límite: a) b) c) d) 2. x2 − 9 =6 x →3 x − 3 lím ( 2 x − 5 ) = −1 lím x→2 x2 + 5x − 6 = −7 x →−6 x+6 x→1 2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3 x2 −1 =5 9x2 −1 = 2 , ε = 0.01 1 x → 3x − 1 lím x →1 x −1 x −1 =2 lím 3 x = 2 x →8 lím 3 x = 3 a h) b) c) lím x4 − a4 = 2a 2 x2 − a2 3 4. f) x→a Determine un número “ ∂ ” para el valor de “ ε ” dado, tal que se establezca el límite de la función: a) 3. x →2 g) lím lím lím 2 x = 2 e) lím x→a siempre que 0 < x − 9 < ∂ x →0 x x +1 −1 = 2, ε = 0.08 , ε = 10−8 Sea f : ℜ → ℜ tal que f ( x) = + lím x encuentre un valor de “ ∂ ” para que 2.99 < f ( x) < 3.01 Sea f ( x) = 3 x . Establezca un intervalo en el cual tomar " x " para que f (x ) esté a menos de 0.1 de 1 1.1.3 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE. Sea f una función de una variable real. Si f tiene límite en x = x0 , entonces este es único. Es decir, si lím f ( x) = L y x→ x lím f ( x) = M entonces L = M . x→ x 0 0 Demostración: Por CONTRADICCIÓN. Supongamos que efectivamente f tiene dos límites L y M , entonces tenemos dos hipótesis: H1 : lím f ( x) = L ≡ ∀ε 1 > 0, ∃δ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1 x → x0 H 2 : lím f ( x) = M ≡ ∀ε 2 > 0, ∃δ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < δ 2 ⇒ f ( x) − M < ε 2 x → x0 Como se dice para todo ε 1 y para todo ε 2 entonces supongamos que ε 1 = ε 2 = ε . Tomemos ∂ = min{∂1,∂ 2 } para estar con x , en la vecindad de 12 x0 . Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones ⎧⎪ f ( x) − L < ε ⎪⎩ f ( x) − M < ε Simultáneamente tenemos: ∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ ⎨ lo cual quiere decir también que: ∀ε > 0, ∃δ > 0 talque 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x) − L + f ( x) − M < 2ε M − f ( x) f ( x) − L + M − f ( x) ≤ f ( x) − L + M − f ( x) Por la desigualdad triangular a + b ≤ a + b , tenemos: a b a b entonces como M − L ≤ f ( x) − L + M − f ( x) < 2ε podemos decir que M − L < 2ε M −L <2 ε= 1 M −L 2 (12 M − L ) lo cual no es verdad. Por lo tanto, se concluye que L = M . Ahora bien, suponiendo que se produce una contradicción porque tendríamos L.Q.Q.D Ejemplo (una función que no tiene límite en un punto) Sea f ( x ) = sen ( 1x ) . Analicemos su comportamiento en la vecindad de “0” x −π 2 −π 1 − 32π 7 2 3π 1 π π 2 y = sen −1 (1x ) 0 1 7 −1 0 1 Se observa que la función en la vecindad de “0” tiene un comportamiento un tanto singular, sus valores son alternantes. Por tanto, se concluye que esta función no tiene límite en cero. Veamos su gráfica. ⎛1⎞ y = sen⎜ ⎟ ⎝ x⎠ 13 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.2 LÍMITES LATERALES Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto por una sola dirección. 1.2.1 LÍMITE POR DERECHA Cuando x se aproxima a tomar el valor de x0 , pero sólo por su derecha (x 0 < x < x 0 + ∂ ) , f se aproxima a tomar el valor de L1 ; significa que f puede estar tan cerca de L1 , tanto como se pretenda ( ∀ε ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir: ⎛ f ( x) = L1 ⎟⎞ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x) − L1 < ε ⎜ xlím + ⎝ → x0 ⎠ Ejemplo 1 Una función creciente en (x 0 , ∞ ) 14 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Una función decreciente en (x 0 , ∞ ) 1.2.2 LÍMITE POR IZQUIERDA. Cuando x se aproxima a tomar el valor de x0 , pero sólo por su izquierda ( x0 − ∂ < x < x0 ) , f se aproxima a tomar el valor de L2 ; significa que f puede estar tan cerca de L2 , tanto como se pretenda ( ∀ε ), para lo cual deberá existir el correspondiente ∂ , que indica el intervalo en el cual tomar x que nos garantice aquello. Es decir: ⎛ f ( x) = L2 ⎟⎞ ≡ ∀ε > 0, ∃∂ tal que 0 < x0 − x < ∂ ⇒ f ( x) − L2 < ε ⎜ xlím ⎝ → x0− ⎠ Ejemplo 1 Una función decreciente en (−∞,x 0 ) 15 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Una función creciente en (−∞,x 0 ) Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de límite en un punto que fue dada al comienzo. De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite surge el siguiente teorema. 1.2.3 TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE Si f es una función con límite en x0 entonces se cumple que tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir: (lím f ( x) = L)≡ lím f ( x) = L ∧ lím f ( x) = L x → x0 x → x0 + x → x0 − Si se da que lím+ f ( x ) ≠ lím− f ( x) , se dice que lím f ( x) no existe. x → x0 x → x0 Ejemplo 1 Sea f ( x) = SOLUCIÓN: 16 x−2 x−2 . Hallar lím f ( x ) : x→ 2 x→ x0 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, resulta: ⎧x−2 ; x>2 ⎪⎪ x − 2 ⎧ 1 =⎨ =⎨ f ( x) = − − x − 2 ⎪ (x 2) ⎩− 1 ; x<2 ⎪⎩ x − 2 x−2 ; x>2 ; x<2 Esto quiere decir que su gráfica es: De la gráfica observamos que lím f ( x) = 1 y x →2+ lím f ( x) = −1 ; entonces se concluye que x→2− lím f ( x) no existe . x→2 Ejemplo 2 ⎧2 x , x > 3 Demostrar formalmente que lím f (x ) = 6 si f (x ) = ⎪⎨4 , x = 3 x→3 ⎪3 x − 3 , x < 3 ⎩ SOLUCIÓN: Note que la función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 3 y otra diferente a la izquierda de 3, entonces es necesario demostrar que lím f (x ) = 6 y que lím f (x ) = 6 . ( ) x →3 + PRIMERO, lím+ 2 x = 6 ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que x →3 x →3 − 0 < x − 3 < ∂ ⇒ 2x − 6 < ε 0< x−3< ∂ 0 < 2 ( x − 3) < 2∂ Si ∂= ε ; es decir, tomando 3 < x < 3 + ( lím (3x − 3) = 6) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que 2 SEGUNDO, x →3− ε 2 0 < 2 x − 6 < 2∂ garantizamos la afirmación que lím 2 x = 6 . x →3+ 0 < 3 − x < ∂ ⇒ ( 3 x − 3) − 6 < ε 0< 3− x < ∂ 0 < 3 ( 3 − x ) < 3∂ 0 < 9 − 3 x < 3∂ 0 < 6 + 3 − 3 x < 3∂ 0 < − ( 3x − 3) + 6 < 3∂ Si ∂ = ε 3 ; es decir, tomando 3− ε 3 0 < − ⎡⎣( 3 x − 3) − 6⎤⎦ < 3∂ < x < 3 garantizamos que lím− ( 3 x − 3) = 6 . x →3 17 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 3 Demostrar formalmente que lím f (x ) no existe, si f (x ) = ⎨ ⎧x − 1 , x ≥ 2 ⎩x + 1 , x < 2 x→2 SOLUCIÓN: La función tiene regla de correspondencia con una definición a la derecha de 2 y otra diferente a la izquierda de 2, entonces es necesario demostrar que ambas definiciones convergen a distintos valores, es decir: lím f (x ) ≠ lím f (x ) . x→2+ x →2− Note que, lím+ ( x − 1) = 1 y que lím− ( x + 1) = 3 x→2 x →2 ( lím ( x −1) = 1) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que PRIMERO, x → 2+ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( x − 1) − 1 < ε 0< x−2<∂ 0 < x −1−1 < ∂ 0 < ( x − 1) − 1 < ∂ Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 < x < 2 + ε garantizamos que lím+ ( x − 1) = 1 . ( lím ( x + 1) = 3) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que SEGUNDO, x → 2− x→2 0 < 2 − x < ∂ ⇒ ( x + 1) − 3 < ε 0< 2− x<∂ 0 < 3 −1− x < ∂ 0 < 3 − (1 + x ) < ∂ 0 < − ⎡⎣( x + 1) − 3⎤⎦ < ∂ Si ∂ = ε ; es decir, tomando 2 − ε < x < 2 garantizamos que lím− ( x + 1) = 3 . x→2 Por lo tanto, al demostrar que f converge a distintos valores en la vecindad de 2 , estamos demostrando que lím f (x ) no existe x→2 Ejemplo 4 Demostrar formalmente que lím+ ( 2 x − a x b) = 2 ( lím ( 2x − a xb) = 2) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 tal que x→2 SOLUCIÓN: x → 2+ 0 < x − 2 < ∂ ⇒ ( 2 x − a x b) − 2 < ε No olvide que a la derecha de 2 el entero mayor de x es igual a 2, es decir a x b = 2 . Transformando el antecedente: ( 0 < x − 2 < ∂ ) ≡ 0 < 2 x − 4 < 2∂ ≡ 0 < 2 x − 4 + 2 − 2 < 2∂ ≡ 0 < 2 x − 2 − 2 < 2∂ ¨ Si ∂ = 18 ε 2 ≡ 0 < ( 2 x − a 2b) − 2 < 2∂ ; es decir, tomando 2 < x < 2 + ε 2 ( ) garantizamos que lím+ 2 x − a x b = 2 . x→2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejercicios Propuestos 1.2 1. Demostrar formalmente utilizando la definición de límites laterales: lím x = 0 a. x →0 ⎧2 x − 7 , x ≥ 2 lím f (x ) = −3 ; si f (x ) = ⎨ x →2 ⎩5 − 4 x , x < 2 b. ⎧2 x − 1 , x ≥ 2 lím f (x ) = 3 ; si f (x ) = ⎨ x→2 ⎩x + 1 , x < 2 c. lím ( 2 x − a x b) = 3 lím ( 3 x − a x b) = 6 d. x → 2− e. x → 3+ 2. Demostrar formalmente que lím f (x ) no existe, si f (x ) = ⎨ 3. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique. ⎧2 ⎪ f ( x ) = ⎨− 1 ⎪3 ⎩ a. f ( x) = b. ; lím f (x ) ,x =1 ,x >1 x →1 x+2 x+2 f ( x ) = x − a xb d. ; lím f ( x ) ; x →−2 ; lím f (x ) x →2 ; lím f (x ) , x→0− ⎧ x + a xb , x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ Sgn ( x − 3) , −1 < x ≤ 4 ⎪ ,x > 4 ⎩μ ( x ) e. lím f ( x ) x →2 lím f ( x ) x → 0+ ; lím f ( x ) x →−1 , lím f ( x ) x →− 5 2 Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes: • Dom f = R • • • • • • 5. ,x <1 ⎧2 x − 7 , x ≥ 2 f (x ) = ⎨ ⎩5 − 4 x , x < 2 c. 4. ⎧3 x − 1 , x ≥ 1 ⎩x + 2 , x < 1 x →1 f es decreciente en (−∞,−3) ∪ (0,2) f es creciente en (−3,0) ∪ (2,+∞ ) [ ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x + 3 < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 2 < δ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < −3 − x < δ ⇒ f ( x) − 2 < ε f (−3) = f (2 ) = 0 y f (0) = 5 Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes: Dom f = R • • • • • • • f es creciente en ( −∞,0 ) ∪ ( 0,3) f decreciente en (3, ∞ ) [ ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x < δ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x[0 < x − 3 < δ ⇒ f ( x) − 5 < ε ] ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x 0 < − x < δ ⇒ f ( x) − 3 < ε f (−3) = f (3) = f (6) = 0 y f (0) = 2 19 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE Sean f y g funciones con límite en x0 ; lím f ( x) = L es decir, suponga que x→ x0 lím g ( x) = M . Entonces: y x→ x0 1. lím k = k , ∀k ∈ R x → x0 2. lím x = x0 x → x0 3. lím kf ( x) = k lím f ( x) = kL , ∀k ∈ R x → x0 x → x0 4. lím [ f ( x) + g ( x)] = lím f ( x) + lím g ( x) = L + M x→ x x→ x x→ x 5. lím [ f ( x) − g ( x)] = lím f ( x) − lím g ( x) = L − M x→ x x→ x x→ x 0 0 0 6. lím [ f ( x) g ( x)] = lím f ( x) lím g ( x) = LM 0 0 x → x0 0 x → x0 x → x0 f ( x) L ⎡ f ( x) ⎤ xlím → x0 7. lím ⎢ = = x → x0 g ( x ) ⎥ g ( x) M ⎣ ⎦ xlím →x ;siempre que lím g ( x) ≠ 0 x → x0 8. lím [ f ( x)] = ⎡⎢ lím f ( x) ⎤⎥ = Ln , x → x0 ⎣ x→ x0 ⎦ 0 n n ∀n ∈ N 9. lím n f ( x) = n lím f ( x) = n L x → x0 x → x0 siempre que lím f ( x) ≥ 0 cuando n es par. x → x0 ( lím k = k ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x Demostraciones 1. x → x0 < ∂ ⇒ k −k <ε 0 El consecuente de la implicación es verdadero porque 0 < ε . Por tanto, la proposición es siempre verdadera. 2. ( lím x = x ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x x → x0 0 Si ∂ = ε la proposición es verdadera siempre. 20 0 < ∂ ⇒ x − x0 < ε Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 3. ( lím kf ( x) = kL ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x x → x0 0 k ( f ( x) − L ) < ε . Observe el consecuente, la expresión < ∂ ⇒ kf ( x) − kL < ε kf ( x) − kL < ε es equivalente a Por hipótesis, en la cercanía de x 0 , f se aproxima a L , por tanto kf se aproximará a kL . 4. Debemos demostrar que si lím f ( x) = L lím g ( x) = M entonces x → x0 Asegurar que x → x0 lím f ( x) = L significa que: x → x0 lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M x → x0 ∀ε 1 > 0, ∃∂ 1 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 1 ⇒ f ( x) − L < ε 1 lím g ( x) = M significa que: Y asegurar que x → x0 ∀ε 2 > 0, ∃∂ 2 > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ 2 ⇒ g ( x ) − M < ε 2 Lo cual quiere decir si tomamos ε 1 = ε 2 = ε y ∂ = min{∂1,∂ 2 } tenemos: ε ⎧ f ( x) − L < ⎪⎪ 2 ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ ⎪ g ( x) − M < ε 2 ⎩⎪ 2 Sumando término a término la desigualdad resulta: f ( x) − L + g ( x) − M < Por lo tanto ( f ( x) − L ) + (g ( x) − M ) ≤ ( f ( x ) + g ( x ) ) − (L + M ) < ε Y por la desigualdad triangular ε 2 + f ( x) − L + g ( x) − M ε 2 ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ( f ( x) + g ( x) ) − (L + M ) < ε Finalmente, se observar que: lo que nos asegura que lím [ f ( x) + g ( x)] = L + M x → x0 El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recíproco del teorema anterior es falso. Ejemplo ⎧1 ; x > 0 Suponga que se tiene f ( x ) = ⎨ ⎩0 ; x ≤ 0 y ⎧1 ; x ≠ 0 entonces ( f + g )( x) = ⎨ ⎩0 ; x = 0 ⎧0 ; x ≥ 0 g ( x) = ⎨ ⎩1 ; x < 0 Observe que: lím f ( x) no existe y que lím g ( x) tampoco existe, sin embargo lím ( f + g ) ( x) = 1 x →0 (existe). Es decir, “ Si asegurar que f y g (f + g) x →0 x →0 es una función con límite en un punto, entonces no podemos también tienen límite en ese punto” 21 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones. Ejemplo ( Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2 ) SOLUCIÓN: ( ) Aplicando el teorema principal de límites, tenemos: lim x 2 + 3x − 2 = lim x 2 + lim 3x − lim 2 (inciso 4 y 5) x→2 x→2 x→2 x→2 = ⎛⎜ lim x ⎞⎟ + 3 lim x − 2 (inciso 8, 3 y 1) x→2 ⎝ x→2 ⎠ 2 = 2 2 + 3(2) − 2 =8 Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta. 1.3.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN Sea f una función polinomial o una función racional, entonces lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0 siempre que f ( x0 ) esté definida y que el denominador no sea cero para el caso de una función racional. De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de sustitución. Ejemplo ( Calcular lim x 2 + 3 x − 2 x→2 SOLUCIÓN: ( ) ) Aplicando el teorema de sustitución, tenemos: lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3(2) − 2 = 8 x→2 Veamos el siguiente otro teorema, muy poco utilizado pero necesario en ciertas situaciones. 22 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.3.3 TEOREMA DEL EMPAREDADO Sean f , g y h funciones tales que g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) para toda x próxima a " x0 " con la posible excepción de " x0 ". Si lím g ( x) = L lím h( x) = L y x→ x0 lím f ( x) = L . x→ x0 entonces x→ x0 DEMOSTRACIÓN. ( lím g ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ g ( x) − L < ε ( lím h( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x < ∂ ⇒ h(x) − L < ε Tenemos tres hipótesis: H1 : H2 : H3 : x → x0 1 1 x → x0 2 2 0 0 1 ∃∂ 3 > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ 3 ⇒ g ( x ) ≤ f ( x) ≤ h( x) 2 1 2 Ahora, suponiendo que ε 1 = ε 2 = ε y tomando ∂ = min{∂1, ∂ 2 , ∂ 3} , tenemos: ⎧ g ( x) − L < ε ⎪⎪ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ h( x) − L < ε ⎪ ⎪⎩ g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) ⎧ L − ε < g ( x) < L + ε ⎪ que quiere decir que: ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ ⎨ L − ε < h( x) < L + ε ⎪ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ⎩ lo cual significa que: L − ε < g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) < L + ε , y de manera simplificada se podría decir que: L − ε < f ( x) < L + ε Por lo tanto ∀ε > 0, ∃∂ > 0 / 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) − L < ε , que no es otra cosa que lím f ( x) = L x → x0 L.Q.Q.D. Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea 1 − x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + 1 para toda x próxima a 0, excepto en 0. Hallar lím f ( x ) . x→ 0 SOLUCIÓN: Llamemos g ( x) = 1 − x 2 y h( x) = x 2 + 1 . Calculando límites tenemos: lím g ( x) = lím (1 − x 2 ) = 1 x →0 x →0 y lím h( x) = lím ( x 2 + 1) = 1 . x →0 x →0 23 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Y como g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) en la vecindad de x = 0 , por el teorema del emparedado se concluye que: lím f ( x) = 1 x →0 ( O más simplemente: lím 1 − x x →0 2 ) ≤ lím f ( x) ≤ lím ( x x →0 1 ≤ lím f ( x) ≤ 1 por lo tanto lím f ( x) = 1 x →0 2 + 1) x →0 x →0 Ejemplo 2 ⎛1⎞ ⎝x⎠ Use el teorema del emparedado para demostrar que: lím x sen⎜ ⎟ = 0 x →0 SOLUCIÓN: ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ No se puede aplicar la propiedad del producto de los límites debido a que lím ⎢sen ⎜ ⎟ ⎥ no existe. x →0 ⎣ ⎝ x ⎠⎦ También hacerlo en término de ∂ − ε , sería dificilísimo, ¿Por qué? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. ⎛1⎞ ⎛1⎞ La función f ( x) = sen⎜ ⎟ es acotada, es decir que 0 ≤ sen⎜ ⎟ ≤ 1 . x ⎝ ⎠ ⎝x⎠ ⎛1⎞ Al multiplicar por x tenemos: x 0 ≤ x sen⎜ ⎟ ≤ x 1 ; ⎝ x⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ luego tomando límite resulta lím 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ lím x , que equivale a 0 ≤ lím x sen⎜ ⎟ ≤ 0 x →0 x →0 x → 0 0 → x x ⎝ ⎠ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ y llegamos a lo que queríamos, es decir: lím x sen⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝x⎠ Ejemplo 3 Hallar lím x →0 Senx x SOLUCIÓN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la función f ( x) = Senx x R1 tg x 1 sen x x R3 cos x 1 24 R2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Del gráfico tenemos que: AreaR1 = (tg x )(1) 2 Observe que AR1 ≥ AR2 ≥ AR3 , entonces , AR2 = (cos x )(sen x) (1) 2 (x ) , AR3 = 2 2 (tg x )(1) ≥ (1)2 (x ) ≥ cos x sen x 2 2 2 PRIMERO: Si x → 0 . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 2(tg x )(1) 2( x ) 2 cos x sen x ≥ ≥ 2 sen x 2 sen x 2 sen x 1 x ≥ ≥ cos x cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que cos x ≤ ≤ cos x x sen x 1 tomando límite lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 + x →0 + x x → 0 + cos x sen x sen x entonces lím 1 ≤ lím ≤1 =1 x →0 + x x →0 + x + SEGUNDO: En cambio, si x → 0 − . Multiplicando por 2 y dividiendo para sen x resulta: 1 x ≤ ≤ cos x (Se invierte el sentido de la desigualdad porque sen x < 0 cos x sen x sen x 1 que es lo mismo que: cos x ≤ ≤ cos x x sen x 1 tomando límite: lím cos x ≤ lím ≤ lím x →0 − x →0 − x x →0 − cos x sen x sen x entonces 1 ≤ lím ≤1 lím =1 x →0 − x x →0 − x Finalmente lím x →0 sen x =1 x Observe la gráfica y= sen x x Note que en su gráfica se observa la conclusión anterior. 25 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejercicios Propuestos 1.3 1. Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de límite. 2. Use el teorema del emparedado para demostrar que: 3. lím x 4 Sen 2 a. x→ 0 b. x →1+ ⎣ 1 =0 x ⎡ lím ⎢(x − 1)2 sen 1 ⎤ ⎥=0 x −1 ⎦ Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA O FALSA, en caso de ser verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa dé un contraejemplo. a. b. c. d. e. lím ( f ( x ) ) = L ⇒ lím ( f ( x ) − L ) = 0 x → x0 x → x0 Si lím ( f ( x ) − g ( x) ) existe, entonces también existen lím f ( x ) y lím g ( x) x → x0 Si g (x ) + 5 ≤ 3(4 − x ) , entonces lím g (x ) = −5 2 x → x0 x → x0 x →4 Si f ( x0 ) no está definida, entonces el lím f ( x ) no existe x → x0 Si f ( x0 ) existe, entonces lím f ( x ) existe x → x0 f. Suponga que g es una función tal que lím g ( x) = 0 . Si f es una función cualquiera, g. Si f ( x) ≠ g ( x) para toda x , entonces el lím f ( x ) ≠ lím g ( x ) entonces lím ( fg )( x) = 0 x→0 x →0 x → x0 x → x0 1.4 CALCULO DE LÍMITES En el cálculo de límites, la aplicación del teorema de sustitución puede bastar. Ejemplo 1 Calcular lím+ ( x − a x b) x →1 SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución: lím ( x − a x b) = 1 − ced1+ fhg = 1 − 1 = 0 (El entero mayor de números ligeramente mayores que 1 es igual a 1) x →1+ Ejemplo 2 Calcular lím− ( x − a x b) x →1 SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de sustitución lím ( x − a x b) = 1 − ced1− fhg = 1 − 0 = 1 x →1− 26 (El entero mayor de números ligeramente menores que 1 es igual a 0) Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 3 Calcular lím− (a 2 x − 1b + Sgn ( x − 1) ) x →1 SOLUCIÓN: lím (a 2 x − 1b + Sng ( x − 1) ) = lím− (a 2 x − 1b) + lím− ( Sng ( x − 1) ) Aplicando el teorema principal de límites y el teorema de sustitución: = ced 2(1− ) − 1fhg + sng (1− − 1) x →1− x →1 x →1 = ced1− fhg + sng ( 0− ) = 0 −1 = −1 Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular: 1. 2. 3. 4. 5. 6. lím 2 x − 6 − 4 x →4+ x →3+ lím x − 4 −1 7. 3− x lím+ ( x − 2Sgnx ) 8. x →0 a xb − 3 lím x →3 + 9. 3− x x −1 lím x → 0+ a x b + 1 10. lím+ x →0 a tan x b + Sgn ( x 2 ) μ ( x) lím asen x b x→ π lím + ced cos ( x + π2 )fhg 2 x →− π lím ⎡⎣ μ ( x + 5 ) + μ ( x − 1) − μ ( x − 3) ⎤⎦ 2 x → 5+ c x 2 f − a x b2 ed hg lím x →1+ x2 − 1 En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema de sustitución, se requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de la forma: 0 0 ∞ ∞ ∞−∞ 0•∞ 1∞ 00 ∞0 27 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Los resultados de la forma mencionada son llamados indeterminaciones debido a que corresponden a cualquier valor. Por ejemplo, tomemos suponga que sea igual a una constante sería verdadera para todo 0 =c 0 c , es decir entonces 0 , 0 0 = 0c c . Analice el resto de indeterminaciones. Ejemplo 1 Calcular lím x →1 SOLUCIÓN: x2 + 5x − 6 x −1 Empleando el teorema de sustitución tenemos lím x →1 2 x 2 + 5 x − 6 1 + 5 (1) − 6 0 = = x −1 1−1 0 ( x + 6 )( x − 1) x2 + 5x − 6 = lím = lím ( x + 6 ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Y finalmente aplicando el teorema de sustitución: lím ( x + 6 ) = 1 + 6 = 7 indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir factorizando: lím x →1 Ejemplo 2 x 2 − 7 x + 10 x →2 x−2 SOLUCIÓN: Calcular lím Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 2 2 − 7(2) + 10 0 = (Indeterminación) 2−2 0 ( x − 2 )( x − 5 ) x 2 − 7 x + 10 = lím = lím( x − 5) x→2 x→2 x−2 ( x − 2) Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión: lím x →2 Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta: lím( x − 5) = 2 − 5 = 3 x →2 Ejemplo 3 Calcular lím x →4 x + 5 x − 14 x −2 SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 4 + 5 4 − 14 4 −2 = 0 (Indeterminación) 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, simplificamos le expresión: 28 una Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones lím x →4 x + 5 x − 14 x −2 = lím x →4 ( ( x +7 lím x →4 x −2 x −2 ) Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta: )( ) = lím x→2 ( x +7 ) x +7 = 4 +7 =9 SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: x = u 2 . Este caso u = x , y cuando x → 4 , u → 2 Por tanto el límite en la nueva variable sería: u 2 + 5u − 14 u →2 u−2 lím ( u + 7 )( u − 2 ) u 2 + 5u − 14 = lím = lím ( u + 7 ) = 9 2 u →2 u u →2 → u−2 u−2 Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución: lím Ejemplo 4 Calcular lím x →1 SOLUCIÓN: x −1 x −1 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando: 1 −1 0 = (Indeterminación) 1 −1 0 ⎡ x −1 x + 1⎤ x −1 • = lím lím ⎢ ⎥ = lím x →1 x → 1 x + 1⎦ ( x − 1) x + 1 x →1 ⎣ x −1 ( ) ( 1 ) x +1 = 1 2 Ejemplo 5 Calcular lím x →1 3 x −1 x −1 SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 −1 1 −1 3 = 0 (Indeterminación) 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, podemos aplicar uno de los siguientes métodos: PRIMER METODO: ( x) ( x) Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos: ⎡ x −1 x +1 ⎢ • • lím 3 x →1 ⎢ x −1 x +1 ⎢⎣ lím x →1 ( x − 1) (( ( x − 1) ( 3 x ) 2 3 3 ) = (( 1) + + 3 x +1 ) x +1 + 3 x + 1⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 + x + 1⎥ ⎦ 2 3 ( 2 3 )=3 1 +1 ) 1 +1 2 29 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: x = u 6 . Entonces Si x → 1 ⇒ u → 1 Reemplazando tenemos: lím u →1 3 u6 −1 u6 −1 u3 −1 u →1 u 2 − 1 = lím ( u − 1) ( u 2 + u + 1) ( u 2 + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 = lím u →1 u →1 2 ( u − 1)( u + 1) ( u + 1) (1 + 1) Y factorizando: lím Ejemplo 6 a3 x − 2 b x2 − 4 Calcular lím− x→2 SOLUCIÓN: 2− x ( ) ⎛⎝ Aplicando el teorema principal de límite consideramos lím− a3 x − 2b ⎜ lím− ( ) x→2 x→2 Entonces, para el primer límite tenemos: lím− a3 x − 2b = 3 ¿Por qué? Y para el segundo límite, resulta: 2− x = lím− 2− x x − 4 x →2 x − 4 −1 1 lím =− x →2 − ( x + 2 ) 4 x →2 lím− 2 Por lo tanto lím− x→2 a3 x − 2 b x −4 2 2− x 2 x→2 = lím− x →2 2− x ⎞ ⎟ x2 − 4 ⎠ − (x − 2 ) 2− x = = lím− (x − 2)(x + 2) x→2 (x − 2)(x + 2) 3 ⎛ 1⎞ = (3) ⎜ − ⎟ = − 4 ⎝ 4⎠ Ejercicios Propuestos 1.5 Calcular: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 30 x2 − 9 x →3 x − 3 2− x lím x→2 x2 − 4 lím x3 − 8 x →2 x − 2 x 2 − 9 x + 20 lim 2 x → 4 x − 3x − 4 3x 2 − x − 10 lim 2 x → 2 x + 5 x − 14 x3 + x 2 − 5 x + 3 lim 3 x →1 x + 2 x 2 − 7 x + 4 2 x 3 + x 2 − x + 10 lim x →−2 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 4 lím 8. x −2 lím x→4 x − 4 9. lim x→2 x −1 −1 x−2 3 10. x →8 11. lím 12. lím lím x −2 x −8 3 13. 14. 15. 16. x →1 x −1 x +x−2 x 2 − (1 + a )x + a x →1 x −1 ⎛ 3 x2 − 2 3 x +1⎞ ⎟ lim ⎜ 2 ⎟ x →1⎜ ( ) x 1 − ⎠ ⎝ ⎛ 3 2 ⎞ ⎟⎟ − lím⎜⎜ x →1⎝ 1 − x 1− 3 x ⎠ x →8 lím lím x → 2+ 2 7+3 x −3 x −8 a3 x − 2 b x2 − 4 2− x Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones sen x = 1 que en forma x →0 x Otros límites se calculan empleando la expresión lím sen u = 1; donde u = u ( x) u →0 u generalizada sería: lím Ejemplo 1 sen ( kx ) Calcular lím x →0 x SOLUCIÓN: sen ( k ( 0 ) ) = 0 (Indeterminación) 0 0 Para encontrar el valor de esta indeterminación, multiplicamos y dividimos por k , y luego aplicamos el Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: teorema principal de límites: lím k x →0 Se podría decir que lím u →0 sen ( kx ) sen kx = k lím = k (1) = k x →0 kx kx sen ( k u ) u 1 =k; k ∈\ Ejemplo 2 sen 3x sen 5 x SOLUCIÓN: Calcular lím x →0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: sen ( 3 ( 0 ) ) sen ( 5 ( 0 ) ) = 0 (Indeterminación) 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación dividimos el numerador y el denominador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de límites y la formula anterior: 3 sen 3x sen 3 x lím sen 3x x →0 x =3 = lím x = lím x → 0 sen 5 x x → 0 sen 5 x sen 5 x 5 lím x →0 x x 5 Ejemplo 3 1 − cos x x2 SOLUCIÓN: Calcular lím x →0 1 P 1 − cos 0 0 = (Indeterminación) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 02 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: 31 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ • = lím lím ⎢ 2 x →0 1 + cos x ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos x ) ⎣ x sen 2 x = lím x →0 ⎛ sen 2 x 1 sen 2 x ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ lím 2 ⎟ ⎜ lím ⎟ x (1 + cos x) ⎝ x → 0 x ⎠ ⎝ x → 0 1 + cos x ⎠ 2 sen x ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x →0 x ⎠ ⎝2⎠ 2 ⎝ 2 Ejemplo 4 Calcular lím x →0 1 − cos ( kx ) x2 SOLUCIÓN: 1 − cos ( k 0 ) 1 − cos ( 0 ) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 0 2 = 0 = 1−1 0 = (Indeterminación) 0 0 Ahora, para encontrar el valor de la indeterminación hacemos lo siguiente: sen 2 ( kx ) ⎡1 − cos ( kx ) 1 + cos ( kx ) ⎤ 1 − cos 2 ( kx ) • lím ⎢ ⎥ = lím x →0 1 + cos ( kx ) ⎥⎦ x → 0 x 2 (1 + cos ( kx ) ) x2 ⎢⎣ = lím x →0 sen 2 ( kx ) ⎛ ⎞ sen 2 ( kx ) ⎞ ⎛ 1 = lím ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ lím ⎟⎟ 2 2 ⎜ → → x x 0 0 1 + cos ( kx ) ⎠ x (1 + cos ( kx )) ⎝ x ⎠⎝ sen ( kx ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ k 2 ⎛ = ⎜ lím ⎟ ⎜ ⎟= x ⎝x →0 ⎠ ⎝2⎠ 2 2 Se puede decir que lím u →0 1 − cos ( k u ) u2 k k2 = 2 Ejemplo 5 1 − cos x x SOLUCIÓN: Calcular lím x →0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 − cos 0 0 = (Indeterminación) 0 0 Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: 1 − cos 2 x ⎡1 − cos x 1 + cos x ⎤ lím ⎢ • = lím ⎥ x →0 1 + cos x ⎦ x → 0 x (1 + cos x ) ⎣ x lím x →0 32 sen 2 x sen x sen x lím = lím x(1 + cos x) x → 0 x x → 0 1 + cos x 0 ⎞ ⎛ ⎞⎛ P sen x ⎟ ⎜ sen 0 ⎟ 0 ⎜ = ⎜ lím ⎟= =0 ⎟⎜ x →0 N0 ⎟ 2 ⎜ x ⎟ ⎜ 1 + cos 1 ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠ Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Se puede decir que lím u →0 1 − cos ( k u ) u =0 Ejemplo 6 Calcular lím x→a SOLUCIÓN: sen x − sen a x−a Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: PRIMER MÉTODO: sen a − sen a 0 = (Indeterminación) 0 a−a Cambiando variable u = x − a . Entonces si x → a , u → 0 y además x = u + a Reemplazando y simplificando tenemos: lím u →0 sen ( u + a ) − sen a u sen ( u + a ) ( sen u cos a + cos u sen a ) − sen a = lím u →0 u sen u cos a + cos u sen a − sen a = lím u →0 u sen u cos a + ( cos u − 1) sen a = lím u →0 u ( cos u − 1) sen a sen u cos a = lím + lím u →0 u →0 u u ⎡ ( cos u − 1) ⎤ sen u ⎤ ⎡ = cos a ⎢lím + sen a ⎢lím ⎥ u →0 u →0 u ⎥⎦ u ⎣ ⎣ ⎦ = cos a (1) + sena (0) = cos a 1 0 SEGUNDO MÉTODO: ⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎟ sen ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ sen x − sen a 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = lím lím x→a x→a x−a x−a Al denominador lo dividimos y multiplicamos por 2, y luego separamos los límites aplicando el teorema principal de límites (el límite del producto es el producto de los límites) ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ ⎛ x+a⎞ ⎛ x−a⎞ 2cos ⎜ 2cos ⎜ sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠ = lím lím lím → x→a x→a x a − x−a x a 2 2 2 2 Empleando la identidad: sen x − sen a = 2cos ⎜ = cos a 1 Ejemplo 7 Calcular lím x →1 SOLUCIÓN: 1 + sen ( 32π x ) ( x − 1) 2 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 1 + sen ( 32π ) (1 − 1) 2 = 1−1 0 = (Indeterminación) 0 0 33 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Haciendo cambio de variable: u = x − 1 entonces x = u + 1 y si x → 1 entonces u → 0 Reemplazando y simplificando: lím x →1 1 + sen ( 32π x ) ( x − 1) 2 = lím u →0 1 + sen ( 32π ( u + 1) ) = lím u →0 = lím u →0 = lím u →0 = lím u →0 1 + sen ( 32π u + 32π ) u2 1 + sen ( 32π u ) cos ( 32π ) + cos ( 32π u ) sen ( 32π ) u2 1 + sen ( 3π 2 u2 u ) ( 0 ) + cos ( 32π u ) ( −1) 1 − cos ( 32π u ) u2 u2 El último límite se lo puede calcular directamente con la formula lím u →0 1 − cos ( k u ) k ⎛P ⎞ 1 − cos ⎜ 32π u ⎟ ⎜ ⎟ ( 3π )2 9π 2 9π 2 ⎝ ⎠= 2 = 4 = lím u →0 u2 2 2 8 u2 = k2 2 El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lógico. Multiplicando por el conjugado y simplificando: ⎡1 − cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ 1 − cos 2 ( 32π u ) lím ⎣ lím = u →0 u → 0 u 2 ⎡1 + cos 3π u ⎤ u 2 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ( 2 )⎦ ⎣ = lím u →0 sen 2 ( 32π u ) u 2 ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎡ sen ( 32π u ) ⎤ 1 = lím ⎢ ⎥ lím 3π u →0 u → 0 u ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣⎡1 + cos ( 2 u ) ⎦⎤ 2 Multiplicando y dividiendo por 3π y obteniendo límite: 2 ⎡ 3π sen ( 3π u ) ⎤ 1 lím ⎢ 2 3π 2 ⎥ lím 0 u →0 u → ⎡⎣1 + cos ( 32π u ) ⎤⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 u 2 ⎡ sen ( 3π u ) ⎤ 2 1 = ( 32π ) lím ⎢ 3π 2 ⎥ lím u →0 u →0 ⎡ u ⎤ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢1 + cos ( 32π u ) ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ 2 ⎛ 3π ⎞ ⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ 9π 2 = 8 2 34 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 8 Calcular lím− x →0 SOLUCIÓN: x 1 − cos x 0− 1 − cos 0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: = 0− (Indeterminación) 0 Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando: x x 1 + cos x 1 + cos x lím = lím− x → 0− 1 − cos x x 0 → 1 + cos x 1 − cos 2 x = lím− x→0 x 1 + cos x sen 2 x 1 + cos x = lím− x→0 sen 2 x x 1 + cos x = lím− x→0 sen 2 x x 1 + cos x = lím− sen x x→0 − x 1 + cos 0 N 1 = sen x − x N =− 2 1 Ejercicios propuestos 1.6 Calcular: 1. 2. 3. 4. 5. 6. lím x → 0+ sen 2 x + tan 3x x x sen x lím x →0 2 − 2 cos x 1 + sen 3 x lím x → π2 x − π 2 2 + ( ) lím (1 − x ) tan π2 x x →1 lím x →−2 tan (π x ) x+2 ⎛π ⎞ cos ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ lím x →1 1 − x 7. π⎞ ⎛ sen ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ lím π 1 − 2cos x x→ ⎛π ⎞ cot ⎜ − x ⎟ 2 ⎝ ⎠ lím x →0 tan ( 2 x ) 3 8. 9. 10. arcsen x x arctan 2 x lím x → 0 sen 3 x lím x→0 35 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Otro tipo de límite interesante, cuyo resultado nos va ha resultar útil en el 1 cálculo de otros límites, es el de f ( x) = (1 + x ) x cuando x tiende a “ 0 ”. Hagamos una tabla de valores: x − 0.10 − 0.05 y = (1 + x ) x 2.86797 1 2.7895 − 0.01 2.7319 7 0.01 7 2.7048 0.05 2.65329 0.10 2.5937 Se observa que: lím (1 + x ) x = e ¡HAY QUE DEMOSTRARLO! x →0 1 y = (1 + x ) e Más generalmente tenemos que lím (1 + u ) u →0 1 u 1 x = e donde u = u ( x) . Ejemplo 1 Calcular lím (1 + sen x ) 1 x →0 x SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos (1 + sen 0) 10 = 1∞ (Indeterminación) Para calcular el valor de esta indeterminación utilizamos lím (1 + u ) u →0 1 u =e. Si consideramos u = sen x , notamos que necesitamos en el exponente el recíproco de esta expresión, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos por sen x : ( lím 1 + sen x x →0 36 ) sen x ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ sen x ⎝ x ⎠ ⎛ ⎞ 1 = lím ⎜ (1 + sen x ) sen x ⎟ x →0 ⎜ ⎟ e ⎝ ⎠ 1 sen x x = e1 = e Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Calcular lím ( cos x ) 1 x →0 x SOLUCIÓN: ∞ Note que la expresión dada es una indeterminación de la forma 1 . Para utilizar lím (1 + u ) u →0 1 u = e primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: lím (1 + (cos x − 1)) x →0 1 x luego consideramos u = cos x − 1 y multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresión: ⎡ lím ⎢(1 + ( cos x − 1) ) x →0 ⎢ e ⎣ Por tanto: lím ( cos x ) 1 x →0 x cos x−1 x ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ cos x−1 x = e x →0 lím 0 cos x −1 x = e0 = 1 . Ejemplo 3 ⎛ 2 ⎞ Calcular lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: x 2 + x +1 x2 − x ⎛ 2 ⎞ Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: ⎜ ⎟ ⎝1+1⎠ Sumamos y restamos 1 a la base: ⎛ 2 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →1 x + 1 ⎝ ⎠ x 2 + x +1 x2 − x 12 +1+1 12 −1 ∞ ⎛ 2 ⎞0 = ⎜ ⎟ = (1) (Indeterminación) ⎝2⎠ 3 ⎛ ⎛ 2 ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ − 1⎟ ⎟ x →1 1 x + ⎠⎠ ⎝ ⎝ x 2 + x +1 x2 − x ⎛ ⎛ 2 − ( x + 1) ⎞ ⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ x →1 ⎜ ⎝ ⎝ x +1 ⎠⎠ ⎛ ⎛1− x ⎞⎞ = lím ⎜1 + ⎜ ⎟⎟ x →1 ⎝ ⎝ x +1⎠⎠ x 2 + x +1 x2 − x x 2 + x +1 x2 − x ⎛ 1− x ⎞ ⎟: ⎝ x +1⎠ Multiplicamos y dividimos el exponente por ⎜ 2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 x − x ⎟⎠ 1 ⎡ ⎤ ⎝ x +1 ⎠⎜⎝ ⎛ ⎛ 1 − x ⎞ ⎞ 1− x ⎥ ⎢ lím ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ x +1 x →1 ⎢ ⎝ x +1⎠ ⎠ ⎥ ⎝ ⎢⎣ ⎦⎥ =e =e 2 ⎛ 1− x ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟ ⎟⎜ x →1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x 2 − x ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − ( x −1) ⎞ ⎛ x 2 + x +1 ⎞ lím ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ x→1 ⎝ x +1 ⎠⎝ x ( x −1) ⎠ =e =e 2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x + x +1 ⎞ lím ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ x→1⎝ x +1 ⎠ ⎜ x ⎝ ⎠ 2 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 +1+1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1+1 ⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ =e − 3 2 37 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 4 3x ⎞ ⎛ Calcular lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ SOLUCIÓN: ⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ ⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ 3k ⎞ ⎛ = ⎜4− ⎟ k ⎠ ⎝ ⎛πk ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ = ( 4 − 3) ⎛π ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝2⎠ = 1∞ (Indeterminación) Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el término que necesitamos: 3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ ⎛πx⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ 3x ⎞ ⎛ = lím ⎜ 1 + 3 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ ⎛π x⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ ⎛ 3x ⎞ ⎛ π x ⎞ ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ k ⎠ ⎝ 2k ⎠ ⎡ 1 ⎤⎝ ⎢⎛ ⎛ 3x ⎞ ⎞ 3− 3 x ⎥ = lím ⎢⎜1 + ⎜ 3 − ⎟ ⎟ k ⎥ x →k k ⎠⎠ ⎢⎝ ⎝ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ e =e π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 3− 3 x ⎟ tan ⎜ x ⎟ k ⎟⎠⎟ ⎜⎝ 2 k ⎟⎠ lím ⎜⎜ x→k ⎝ Dediquémonos al exponente. Hagamos el cambio de variable u = x − k x → k entonces u → 0 . x = u + k y si de donde ⎛ 3 (u + k ) ⎞ ⎛ π (u + k ) ⎞ 3x ⎞ ⎛ ⎛πx ⎞ lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎜3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ ⎟ = lím x →k u →0 2 k k k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2k ⎠ 3u + 3k ⎞ ⎛ ⎛ πu + π k ⎞ = lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟ u →0 k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π⎞ ⎛ 3k − 3u − 3k ⎞ ⎛π = lím ⎜ ⎟ tan ⎜ u + ⎟ u →0 2⎠ k ⎝ ⎠ ⎝ 2k π⎞ ⎛π sen ⎜ u + ⎟ 2 2⎠ k ⎛ −3u ⎞ ⎝ = lím ⎜ ⎟ u →0 ⎝ k ⎠ cos ⎛ π u + π ⎞ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2k 0 1 P P π π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sen ⎜ u ⎟ cos + cos ⎜ u ⎟ sen 3 2k ⎠ 2 2k ⎠ 2 ⎝ ⎝ = − lím ( u ) π π k u →0 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ cos − sen ⎜ u ⎟ sen 2 2 ⎝ 2k ⎠ N ⎝ 2k ⎠ N ⎛π ⎞ cos ⎜ u ⎟ 3 ⎝ 2k ⎠ = − lím ( u ) k u →0 ⎛π ⎞ − sen ⎜ u ⎟ ⎝ 2k ⎠ 1 ⎛ π P0 ⎞ ⎛ ⎞ cos ⎜ u ⎟ ⎜ 2k ⎟ 3 3⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ = lím ( u ) = ⎜ ⎟ k u→0 ⎛ ⎛ π ⎞⎞ k ⎜ π ⎟ sen ⎜ u ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2k ⎠ π ⎜ ⎝ 2k ⎠ ⎟ u π 2k ⎜ ⎟ u ⎟ ⎜ ⎝ 2k ⎠ 0 3x ⎞ ⎛ ⎛πx ⎞ 6 lím ⎜ 3 − ⎟ tan ⎜ ⎟= x →k k ⎠ ⎝ ⎝ 2k ⎠ π Finalmente: 38 3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x→k k ⎠ ⎝ ⎛π x ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ 2k ⎠ = eπ 6 1 1 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 5 a kx − 1 x →0 x SOLUCIÓN: Calcular lím Sustituyendo tenemos a k ( 0) − 1 0 = . 0 0 Considerando u = a kx − 1 , entonces x = 1 ln k ln a (u + 1) y si x → 0 también u → 0 Haciendo cambio de variable, tenemos: lím u →0 1 k ln a ⎛ ⎞ u u u = lím k ln a = k ln a ⎜⎜ lím ⎟ u → 0 ln ( u + 1) ⎟ ln ( u + 1) u → 0 ln ( u + 1) ⎝ ⎠ Multiplicando, numerador y denominador por 1 , resulta: u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎛ ⎞ ( )u 1 1 1 ⎜ ⎟ = = k ln a = k ln a = k ln a ln lím k ln a ⎜ lím 1 u k a 1 ⎜ u →0 ⎡ ⎜ u → 0 ln ( u + 1) ⎟⎟ u ⎤ ⎟ ln 1 e ln ( u + 1) ⎟ u ⎝ ⎠ ⎜ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ e ⎝ ⎠ ak u −1 = k ln a puede ser utilizado para calcular otros límites. u →0 x El resultado lím Ejemplo 4 32 x − 1 x →0 x SOLUCIÓN: Calcular lím Empleando el resultado anterior: 32 x − 1 = 2 ln 3 x →0 x lím Ejemplo 5 32 x − 54 x x →0 x SOLUCIÓN: Calcular lím Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los límites: 32 x − 54 x 32 x − 1 − 54 x + 1 = lím x →0 x →0 x x 2x 3 − 1 − ( 54 x − 1) = lím x →0 x 2x 3 −1 54 x − 1 = lím − lím x →0 x →0 x x 2x 4x 3 −5 = 2 ln 3 − 4 ln 5 lím x →0 x lím 39 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejercicios Propuestos 1.7 lím (1 + tan x ) Calcular: 1. x →0 lím (1 + cos x ) 2. x→ π lím ( cos x ) 3. 8. lím csc x 9. 2 1 x →0 x2 x →π tan x lím ( sen x ) 4. e3 x − 1 x →0 x csc x 2 10. x2 + x + 2 ⎛ 4 ⎞ x2 − 2 x −3 lím ⎜ ⎟ x →3 x + 1 ⎝ ⎠ 5. 11. 12. x2 + 2 x + 6 ⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠ 6. lím ( 4 − 3x ) 7. x →1 13. ⎛π ⎞ tan ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ 14. e ax − e bx x →0 sen 3 x e 2 x − e3 x lím x →0 tan x lím 2 ax − 2 bx x →0 x x+h a + a x − h − 2a x lím ;a > 0 h →0 h lím lím ( x + e x ) x →0 lím x →0 1 ln ( cos ( ax ) ) x ln ( cos ( bx ) ) Para otros tipos de límites habrá que extremarse con el uso de los recursos algebraicos. Ejemplo 1 Demuestre que lím x →0 n 1+ k x −1 x = k n SOLUCIÓN: ( )( ) Por producto notable se puede decir que: ⎡⎣(1 + kx ) − 1⎤⎦ = ( ) ( ) ( n −1 n−2 1 n 1 + kx − n 1 ⎡ n 1 + kx + n 1 + kx 1 + ⎢⎣ n −1 n−2 = n 1 + kx − 1 ⎡ n 1 + kx + n 1 + kx + " + 1⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ( n )( ) ( ) n 1 + kx ) ( 1) n −3 n n términos Entonces, multiplicando por el factor racionalizante, simplificando y calculando el límite: 1+ k x −1 lím = lím x→0 x →0 x n = lím x→0 = lím x→0 = lím x→0 = ( n ( n x ( x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢ ( x ⎡ n 1 + kx ⎣⎢ ( n 1 + kx 1 + k ( 0) lím x→0 40 1+ k x −1 k = x n n veces ) ) ) n −1 n n ) 1 + kx ) 1 + kx (1 + k x − 1) n −1 n −1 + ) +( k = +1+" +1 1 n ) • ⎡⎣⎢( ⎡ ( ⎣⎢ 1+ k x −1 ( + + n ( n 1 + kx kx k n n 1 + kx 1 + kx ) ) n −1 ) ) n −2 1 + k ( 0) k n −1 ( n −1 n −2 n −2 ( +( + n n ) 1 + kx ) 1 + kx + " + 1⎤ ⎦⎥ + " + 1⎤ ⎦⎥ +"+1 n −2 +" +1 + " + 1⎤ ⎦⎥ n −2 + " + 1⎤ ⎦⎥ n −2 2 +"+ ( 1) n n −1 ⎤ ⎥⎦ Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones ⎡ n 1 + k u − 1⎤ k El resultado anterior puesto de forma general lím ⎢ ⎥ = puede u →0 u ⎢⎣ ⎥⎦ n ser utilizado para calcular rápidamente otros límites. Ejemplo 2 Calcular lím 3 x →0 27 − x − 3 x SOLUCIÓN: Aunque este límite se lo puede calcular empleando el factor racionalizante para diferencia de cubos (no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior. 27 ( 27 − x ) −3 27 x x 3 27 3 1 − −3 27 = lím x →0 x 27 − x − 3 lím = lím x →0 x →0 x 3 3 ⎛ 1 ⎞ 3 3 1+ ⎜− ⎟ x − 3 ⎝ 27 ⎠ = lím x →0 x = 3lím x →0 Pn 3 ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜ − ⎟ x −1 ⎝ 27 ⎠ k x 1 − 27 − x − 3 1 27 lím =3 =− x →0 3 27 x 3 Ejemplo 3 Calcular lím 5 x →30 x+2 −2 x − 30 SOLUCIÓN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos u = x − 30 de donde x = u + 30 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calculando el límite: 41 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 5 lím x → 30 5 x+2 −2 u + 30 + 2 − 2 = lím → 0 u x − 30 u + 30 − 30 5 u + 32 − 2 = lím u →0 u 32 ( u + 32 ) −2 32 = lím u →0 u 32 u 3 + −2 32 5 32 32 = lím u →0 u 1 2 5 1+ u − 2 32 = lím u →0 u ⎛ ⎞ 1 2 ⎜⎜ 5 1 + u − 1⎟⎟ 32 ⎠ = lím ⎝ u →0 u 1 5 1+ u −1 32 = 2 lím u →0 u ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 x+2 −2 = 2 ⎜ 32 ⎟ = 5 ⎟ 80 x − 30 ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 5 lím x → 30 Ejemplo 4 ⎛ 4 1 + 2 x − 1 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →0 1− x −1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos para x y luego separaramos los límites: 4 lim x →0 4 1 + 2 x − 1 − 3x 1 + 2 x − 1 − 1 − 3x + 1 = lim 3 3 x →0 1− x −1 1− x −1 = lim 4 x →0 3 42 ( ) 1 − 3x − 1 1− x −1 1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − x x = lim 3 x →0 1− x −1 x 4 1 + 2x −1 1 − 3x − 1 − lim lim x →0 x→0 x x = 3 1− x −1 lim x →0 x 2 ⎛ 3⎞ − − 4 1 + 2 x − 1 − 3 x ⎞ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = = −6 ⎟ 3 ⎟ 1 1− x −1 ⎠ − 3 4 ⎛ lim ⎜⎜ x →0 ⎝ 1 + 2x −1 − Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 5 ⎛ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3x ⎞ Calcular lim ⎜⎜ ⎟⎟ 3 x →1 2 − x −1 ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Aquí u = x − 1 de donde x = u + 1 y u → 0 . Reemplazando, simplificando y calcular el límite: 4 lim x→1 4 14 + 2 ( u + 1) − 2 4 − 3 ( u + 1) 14 + 2 x − 2 4 − 3 x = lim 3 0 → u 3 2 − ( u + 1) − 1 2 − x −1 = lim 4 u →0 = lim 4 u →0 14 + 2u + 2 − 2 4 − 3u − 3 3 2 − u −1 −1 16 + 2u − 2 1 − 3u 3 1− u −1 16 (16 + 2u ) − 2 1 − 3u 16 = lim 3 u →0 1− u −1 4 = lim 2 4 1+ u − 2 1 − 3u 8 3 1− u −1 u →0 ⎛ ⎞ u 2 ⎜⎜ 4 1 + − 1 − 3u ⎟⎟ 8 ⎠ = lim ⎝ 3 u →0 1− u −1 = 2lim 4 = 2lim 4 u →0 1+ u − 1 − 3u 8 3 1− u −1 1+ u →0 u −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 − ⎜⎜ ⎟⎟ u u ⎝ ⎠ = 2lim 3 u →0 1− u −1 u u 4 1+ −1 ⎛ 1 − 3u − 1 ⎞ 8 lim − lim ⎜⎜ ⎟⎟ → u →0 u 0 u u ⎝ ⎠ =2 3 1− u −1 lim u →0 u 1 1 3 8 − ⎛ −3 ⎞ + ⎜ ⎟ 4 14 + 2 x − 2 4 − 3 x 4 ⎝ 2 ⎠ 32 2 = −6 ⎛ 49 ⎞ = − 147 lim 2 2 = = ⎜ ⎟ 3 x→1 1 −1 16 2 − x −1 ⎝ 32 ⎠ − 3 3 4 1+ u − 1 − 1 − 3u + 1 8 3 1− u −1 Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular: 3 1. 2. x →6 lím x+2 − x−2 x+3 −3 ⎛ 3 x + 26 − 4 80 + x ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ x →1 x+8 −3 ⎝ ⎠ 3. ⎛ x + 2 − 3 x + 20 ⎞ ⎟ lím⎜⎜ ⎟ 4 x →7 x+9 −2 ⎝ ⎠ 4. lím+ x →2 3x − 2 − 3 3x + 2 4 − x2 43 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.5 LÍMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una función cuando la x toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x ) = L x →∞ Ejemplo 1 Formalmente sería: Decir que lím f ( x) = L significa que x→∞ f puede estar tan cerca de L, tanto como se pretenda estarlo ( ∀ε > 0 ), para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x, ∃N (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir: ( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →∞ 44 tal que x > N ⇒ f ( x) − L < ε Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Suponga ahora que f se aproxima a tomar un valor L cuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lím f ( x) = L . x →−∞ Ejemplo 1 Formalmente sería: Decir que lím f ( x) = L significa que f x→−∞ puede estar tan cerca de L , tanto como se pretenda estarlo, ∀ε > 0 , para lo cual deberá poderse determinar el intervalo en el cual tomar a x , ∃N (una cantidad muy grande), que lo garantice. Es decir: ( lím f ( x) = L ) ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 x →−∞ tal que x < − N ⇒ f ( x) − L < ε 45 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 2 Observe que para los casos anteriores significa que la gráfica de f tiene una asíntota horizontal y = L . Aquí también podemos hacer demostraciones formales Ejemplo 1 =0 x →∞ x Demostrar formalmente que lím SOLUCIÓN: Empleando la definición tenemos: 1 ⎛ ⎞ ⎜ lím = 0 ⎟ ≡ ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que → ∞ x x ⎝ ⎠ Transformando el antecedente: Se observa que tomando N = 1 −0 <ε x x>N 1 1 < x N ε 1 Por ejemplo si se quisiera que y = es decir x > 100 . x>N⇒ aseguraríamos el acercamiento. 1 1 esté a menos de ε = 0.01 de 0, bastaría con tomar a x > x 0.01 Para calcular límites al infinito, usualmente un recurso útil es dividir para x de mayor exponente si se trata de funciones racionales. 46 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo 1 2 x 2 + 3x − 1 x →∞ 5 x 2 + x − 1 Calcular lím SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación: ∞ ∞ Dividiendo numerador y denominador para x 2 , tenemos: 2 x 2 3x 1 3 1 + 2− 2 2+ − 2 2 x x x x x = 2 (No olvide que = lím lím 2 x →∞ 5 x x →∞ 1 1 x 1 5+ − 2 5 + 2− 2 2 x x x x x Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) = Ejemplo 2 Calcular lím x →+∞ 2 x 2 + 3x − 1 5x2 + x − 1 k ≈ 0 ;k ∈\ ∞ ) tiene una asíntota horizontal y= 2 5 x −1 x + x +1 2 SOLUCIÓN: Aquí se presenta la indeterminación: ∞ ∞ Dividiendo numerador y denominador para x : lím x →+∞ x −1 x x2 + x + 1 x Al introducir la x dentro del radical quedará como x 2 : lím x →+∞ 1 x 1 − 1− x x x = lím =1 2 x →+∞ 1 1 x x 1 1+ + 2 + + x x x2 x2 x2 Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) = infinito positivo. Ejemplo 3 Calcular lím x →−∞ x −1 x2 + x + 1 tiene una asíntota horizontal y =1 en el x −1 x + x +1 2 SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: −∞ ∞ Aquí hay que dividir numerador y denominador para − x : lím x →∞ x −1 −x x2 + x + 1 −x 47 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 2 Al introducir la − x dentro del radical quedará como x : 1 1 x − −1 + −x −x x = −1 = lím 2 x →−∞ 1 1 x x 1 1+ + 2 + 2+ 2 2 x x x x x lím x →−∞ x −1 Este resultado indica que la gráfica de f ( x ) = x2 + x + 1 infinito negativo. ( Ejemplo 4 Calcular lim x →+∞ x2 + x + 1 − x2 − x − 1 tiene una asíntota horizontal y = −1 en el ) SOLUCIÓN: Ahora se presenta la indeterminación: ∞ − ∞ . Vamos primero a racionalizarla y luego dividimos para el x con mayor exponente: lim x →+∞ ( = lim ) x2 + x + 1 − x2 − x − 1 ⋅ (x + x + 1) − ( x 2 − x − 1) 2 x2 + x + 1 + x2 − x − 1 x2 + x + 1 + x2 − x − 1 = lim 2 ( x + 1) x + x +1 + x − x −1 x + x + 1 + x2 − x − 1 1 1+ ⎛1⎞ x = 2 lim = 2⎜ ⎟ = 1 x → +∞ 1 1 1 1 ⎝2⎠ 1+ + 2 + 1− − 2 x x x x x → +∞ identidad: lím (1 + ) 2 2 = e ¡DEMUÉSTRELA! x → +∞ 2 En otros ejercicios de cálculo de límite al infinito se puede requerir emplear la u →∞ 1 u u Ejemplo Calcular lím (1 + 2x ) . x x→∞ Solución: ( ) Para utilizar la forma anterior, transformamos el límite: ⎡ lím ⎢ 1 + x →∞ ⎣ Se puede concluir que: lím (1 + u →∞ 48 ) k u u 1 x 2 = ek x 2 ⎤ 2 ⎥ =e ⎦ 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejercicios propuestos 1.9 x → −∞ 1. Demostrar formalmente que lím 1 =0 x 2. Calcular: 1. 2. 5 x3 − 3x 2 + 4 x − 3 x →∞ x3 + 3x + 1 3x lím x →−∞ 2 x 2 − 5 x + 1 lím (2 x + 3) (3x − 2) 3 3. x →∞ 4. x →∞ 5. x5 + 5 (2 x + 3) lím x x+ x+ x lím x →∞ x +1 x →∞ x +1 ( 2 x − 3)( 3x + 5)( 4 x − 6 ) lím x →∞ 3x3 + x − 1 x sen (x!) lím 2 x→∞ x + 1 3x − 3 lím x →∞ x2 + 1 3 6. 7. 8. 9. 2 lím 10. x →−∞ 11. lím 12. lím lím x →∞ x →−∞ 5x x−2 3x3 + 2 x 2 − x + 1 x3 − 8 x2 + 1 x x →−∞ 14. x →−∞ 15. x →−∞ lím x2 + 2 3x + 1 16. lím 5 x3 − 1 lím lím 2 x+3 x lím 2x2 −1 3x x−5 13. 17. x →−∞ x2 − 1 2 + x6 lím x 2 + x − x x →∞ ( lím x x 2 − 1 − x x → +∞ 19. lím 20. x →+∞ 2 21. x →+∞ lím x 22. 23. 24. ) ( x + x +1 − x − x ) lím ( x − x − x + 2 ) 18. 2 x →∞ ( 2 4 x+3− x+2 ⎛ x −1⎞ lím ⎜ ⎟ x +1⎠ x →∞⎝ 2 ⎛ x −1 ⎞ lím ⎜ ⎟ x →∞ x + 3 ⎝ ⎠ ) x x+2 ⎡ ⎛ x + 2 ⎞⎤ lím ⎢ x ln ⎜ ⎟ x →∞ x − 5 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎣ 49 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.6 LÍMITES INFINITOS Suponga que cuando x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir lím f ( x) = ∞ . Diremos, en este caso, que f crece sin límite o que f no x→ x 0 tiene límite en x0 . Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces lím f ( x) = ∞ significa que cuando x→ x0 a x está próxima a " x0 “, a una distancia no mayor de ∂ ( 0 < x − x0 < ∂ ), f será mayor que M. Es decir: ⎞ ⎛ ⎜ lím f ( x) = ∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) > M ⎠ ⎝ x → x0 Ejemplo Puede ocurrir también que cuando la x toma valores próximos a un punto x0 , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lím f ( x) = −∞ . Diremos, en este caso, que f decrece sin x → x0 límite o que f no tiene límite en x0 . Es decir: 50 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: ⎛ ⎞ ⎜ lím f ( x) = −∞ ⎟ ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x 0 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ⎝ x→ x0 ⎠ Ejemplo Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores próximos a un punto x 0 , sólo por su derecha, f toma valores muy grandes; es decir lím f ( x) = ∞ . Lo cual significa: x → x0 + Sea M una cantidad muy grande positiva. Entonces: lím f ( x) = ∞ x → x0 + ≡ ∀M > 0, ∃∂ > 0 tal que 0 < x − x0 < ∂ ⇒ f ( x ) > M 51 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones Ejemplo Observe que este comportamiento significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x = x0 . Ejemplo 1 Calcular lim x →1 SOLUCIÓN: ( x − 1) 1 2 Empleando el teorema de sustitución: 1 1 1 = = = +∞ (No existe) lim 2 2 x →1 ( x − 1) (1 − 1) 0 La gráfica de f ( x ) = crece sin límite. ( x − 1) 1 2 tiene una asíntota vertical x = 1 y tanto por izquierda como por derecha la grafica Ejemplo 2 Calcular lim+ x→2 SOLUCIÓN: x+3 x−2 Empleando el teorema de sustitución: lim+ x→2 x + 3 2 + + 3 5+ = = = +∞ (No existe) x − 2 2+ − 2 0+ x+3 La gráfica de f ( x ) = tiene una asíntota vertical x = 2 y por su derecha la grafica crece sin límite. x−2 PREGUNTA: ¿Qué ocurre a la izquierda?. Se pueden describir otros comportamientos. 52 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 1.7 OTROS LÍMITES. Para decir lím f ( x ) = ∞ , f x →∞ toma valores muy grandes positivos cada vez que la x toma valores también grandes positivos; debemos asegurar que: ∀M > 0, ∃N > 0 tal que x > N ⇒ f ( x) > M Ejemplo Ejercicios Propuestos 1.10 1. Defina formalmente y describa gráficamente: a) lím f ( x) = −∞ x → x0 + 2. lím f ( x) = ∞ b) x → x0 − c) x → x0 − d) x →∞ e) x → −∞ f) x → −∞ lím f ( x) = −∞ lím f ( x) = −∞ lím f ( x) = ∞ lím f ( x) = −∞ Demuestre formalmente que: 1 = +∞ x 1 lím = −∞ x →0 − x a) x →0 + lím b) 3. Calcular: ⎡ 1 ⎤ 1. lim+ ⎢1 + x →1 ⎣ x − 1 ⎥⎦ ⎡ x ⎤ 2. lim− ⎢ x →1 ⎣ x − 1 ⎥ ⎦ 3. lim− x →3 x+3 x2 − 9 x6 x →−∞ x + 1 6 − 4 x 2 + x3 7. lim x →∞ 4 + 5 x − 7 x 2 6. lim 5 8. lim 2 x x →∞ 53 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 4. lim− x →−7 5. lim+ x→4 4. 1 − 2x 9. lim x →−∞ x 2 − 49 x 2 − 16 4− x 1 + x5 x 10. lim x →∞ ) [ ( ] ( ) Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = −∞,−2 ∪ −1,1 ∪ 2,+∞ f ( x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 • • ∀N > 0, ∃∂ > 0 [0 < −2 − x < ∂ ⇒ f ( x ) > N ] • ∀ε > 0, ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ∀N > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) > N ] [ ∀ε > 0, ∃M > 0 [x < − M ⇒ • • f ( 0) = 1 • 5. x2 + 1 ] f ( x) − 1 < ε ] [ ] ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀ε > 0 ∃N > 0, ∀x[ x > N ⇒ f ( x) < ε ] ∀M > 0 ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] Bosqueje el gráfico de una función que satisfaga las condiciones siguientes: ∀ε > 0 ∃∂ > 0, ∀x 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 1 < ε • • • • f ( 0) = 0 • Misceláneos 1. f ( x) − 5 = 3 , entonces lím f ( x) = 0 x→2 x−2 f y g son funciones tales que lím f ( x) = 1 Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente. 1. Si 2. Si lím x→2+ x →0 + + lím f ( x) 3. Sea g ( x) =1 x→a + lím 5. x →0+ x→a + x→a + f y g funciones tales que lím f ( x) = ∞ Sean x→a + lím g ( x) = ∞ , entonces f una función de variable real tal que lím f ( x) existe y lím lím f ( x) = 0 . 4. y x →0+ x→a + lím g ( x) = ∞ . Entonces el y x→a + f ( x) no existe. g ( x) f y g funciones tales que lím g ( x) = e y f ( x) = ln (g ( x) ) . Entonces lím ( f D g )( x) = 1 Sean x→a + 6. Si lím 7. Si 8. Si 9. Si x→a + f ( x) = 1 entonces lím f ( x) = 0 x x →0 + [ f ( x) + g ( x)] existe, entonces existen lím f ( x) y lím lím g (x ) x→ a x→a x→ a x →0 + f ( x) ≠ g (x ) para toda x , entonces lím f ( x) ≠ lím g (x ) x→a x→a ⎡ f ( x) ⎤ lím f ( x) = 0 entonces lím g ( x) = 0 ⎥ existe y lím x→a x→a x→a ⎢ ⎣ g ( x) ⎦ 10. Si f y g son funciones definidas en IR entonces: ( ( ∀a ∈ IR lím f ( g ( x)) = f lím g ( x) x→a x→a 54 x−a = 1 . Entonces f ( x) )) Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 11. Si 12. Si x−a existe entonces a = 0. [ f ( x) g ( x)] existe y lím lím f ( x) existe entonces lím g ( x) existe. x→ a x→ a x→ a x→a + lím f ( x) = +∞ entonces xlím f ( x) = −∞ x→a →− a (lím (3x − 1) = 2) ⇔ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x ⎡⎣0 < x − 1 < ∂ ⇒ (3x − 1) − 2 < ε ⎤⎦ 13. Si 14. lím x2 − x − a − a2 x →1 15. Si lím f ( x) = 0 y lím g ( x) = ∞ entonces lím f ( x) g ( x ) = 0 . 16. Existen dos funciones de variable real x →0 + lím x →0 + x →0 + x →0 + f ( x) =e g ( x) lím f ( x) = lím g ( x) = 0 y f y g tales que x →0 + x →0+ ⎛ f ( x) ⎞ g ( x) = 0 ⎟ = 2 entonces lím x →∞ ⎝ g ( x) ⎠ 17. Si lím f ( x) = 0 y lím ⎜ x →∞ x →∞ 18. No existen dos funciones f y g tales que lím f ( x) = 0 , lím g ( x ) = 0 y lím x→0 x →0 19. Si lím f ( x) = 3 , lím g ( x) = −2 , entonces lím x→a 2. x →a f ( x) + g ( x) − 1 f ( x) + g ( x) − 1 Empleando la definición de límite, demuestre que: 2x2 − x − 1 =3 x −1 lím+ 1. x →1 x →5 + lím x − 3 = 0 3. 1. lím cde x 2 + 2 x fgh x → 3+ e − cos 2 x sen 4 x cos x − cos 3x lím x →0 x2 3x 2. 3. 4. x →0+ ⎡ 2x + 3 ⎤ lím ⎥ x → +∞ ⎢ ⎣ 2x − 5 ⎦ 6. x →1+ lím 3x xe − e x −1 ⎛ cos x ⎞ ⎟ lím ⎜ π + π ⎜ x− 2 ⎟ ⎝ ⎠ x→ 2 7. 8. 9. 3x ⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ x → 2+ ⎝ 2 ⎠ ⎡ tan 21. lím+ x →1 lím+ ( sen 2 x ) π 4 22. lím x →1 x →0 4 tan 2 2 x ⎝ ⎤ 1⎞ ⎟ − sen x ⎥ x⎠ ⎦ arctan ( x 2 ) − arctan1 x −1 x −1 2x − x 2 −1 ⎛ arcsen x − arcsen 12 lím1 ⎜⎜ x − 12 x→ 2⎝ 24. lím+ πx ⎛ ⎣ 23. ⎡ π − 2arctan x ⎤ ⎥ lím ⎢ 3 x →∞ ⎢ ⎥ x e −1 ⎣ ⎦ x→ + 20. lím ⎢sen⎜ x + x →∞ + x2 5. 5. lím =1 + x →3+ Determine f ( x) =5 g ( x) x⎞ ⎛ lím ⎜ 4 − ⎟ = 2 x→4 2⎠ ⎝ 2 x −4 lím = −4 x → −2 x+2 4. lím x − 1 = 2 2. 3. x→a 3 x →0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ sen x 25. lím+ ⎡⎣Sgn( x) (a x + 1b + μ ( x − 1) ) ⎤⎦ x →0 26. lím x →0 + x sen (sen x ) x (a xb + a− xb) 28. lím (π − x ) tan ( ) π 27. lím x→0 x→ x 2 x2 + 2 x + 5 ⎛ 3 ⎞ x2 − x − 2 29. lím ⎜ ⎟ x→2 x + 1 ⎝ ⎠ 55 Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Límites de Funciones 10. lím x →0 11. x →+∞ 12. x →−∞ e 2 x − cos 3x sen 5 x 3 30. lím ⎡ x 2 x →+∞ ( ln 1 + e x x → +∞ x lím 13. lím 14. x →1+ 31. límπ ⎜ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦ 1 x →+∞ x → 64 ⎛ 1 + 5x ⎞ 2 x ⎟ ⎝ 1 − 3x ⎠ 36. lím (1 − cos x ) cot x 2 x →0 x →0 ⎛ xe −5 x − cos 2 x − x + 1 ⎞ ⎟ x →0 x2 ⎝ ⎠ 37. lím ⎜ donde ⎧1 − cos3 x ;x < 0 ⎪ x2 ⎪ f ( x) = ⎨ 5 ;x = 0 ⎪ sen10 x − tan x ⎪ ;x > 0 sen 2 x ⎩ ⎛ e3 x − cos 2 x ⎞ ⎟ x →0 ⎝ sen 5 x − x ⎠ 38. lím ⎜ e 2 x − e7 x x → 0 sen 2 x + tan 9 x ⎡ 1 1 ⎤ − 18. lím ⎢ ⎥ + x →1 ⎢ ⎣ x − 1 x − 1 ⎥⎦ ⎛ x sen 3 x ⎞ 19. lím ⎜ ⎟ + x → 0 ⎝ 1 − cos 2 x ⎠ x →0 x ⎞ ⎟ ⎝ 1− x − 1+ x ⎠ 40. lím x →∞ ( x +1 − 3 x ⎛ x+a⎞ ⎟ ⎝ x−a⎠ f ( x) < 1 para x ≠ 0 x Calcular 5. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • ∀ε > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < x + 3 < ∂ ⇒ f ( x) > N • ∀N > 0, ∃∂ > 0 : 0 < −3 − x < ∂ ⇒ f ( x ) < − N • ∀ε > 0, ∃M > 0 : x < − M ⇒ f ( x) < ε • 6. 3 41. lím ⎜ x →∞ 4. • ∀ε > 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε Bosqueje la gráfica de una función que cumpla con lo siguiente: • Dom f = ( −∞, −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ ) • [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < ε ] • ∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] • ∀M > 0, ∃∂ > 0 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M • • • 56 ⎛ 39. lím ⎜ 17. lím+ x →0 + 1 35. lím ⎜ x →0 sec x 16. lím f ( x) lím f ( x) si ⎛ x −8⎞ ⎜ 3 x − 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 34. lím ⎜ x 2 −1 π ) x3 + 1 − x3 − 1 ⎤ ⎦⎥ 33. lím (1 + 2 x ) 2ln x x 2 − x −1 −1 15. lím+ (1 + cot x ) x→ ) ( ⎛ sen ( x − π6 ) ⎞ ⎟⎟ 3 x→ 6 ⎜ ⎝ 2 − cos x ⎠ 1 − cos x 2 32. lím 2 x → 0 x sen x 2 lím ⎣⎡ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 2 ) ⎤⎦ ⎡ ⎛ x lím ⎢arctan ⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ 1+ x ⎣⎢ ∀M > 0, ∃∂ > 0 [0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ [ ∀ε > 0, ∃N > 0 [x < − N ⇒ ∀ε > 0, ∃N > 0 x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε f ( x) < ε ] ] ] x ) Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON 2.4 2.5 FUNCIONES CONTINUIDAD EN UN INTERVALO TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina continuidad. • Realice demostraciones formales de continuidad. • Diseñe funciones continuas. 41 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en ese punto. 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición. Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) , se dice que f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si se x→ x 0 cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 3. L = f ( x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 " 0 Ejemplo Una función continua en un punto x0 42 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos: Ejemplo 1 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0 Ejemplo 2 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0 Ejemplo 3 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 ) x→ x 0 43 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, por que sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 x 2 + 5x − 6 no está definida en x = 1 x −1 f ( x ) = x + 6 ; x ≠ 1 que no es continua en x = 1 . f ( x) = y su gráfica es la de ⎧ x 2 + 5x − 6 ;x ≠1 ⎪ Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 7 ;x =1 ⎩ Ejemplo 5 Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que sea continua en x = 0 . ⎧ e2x − 1 ⎪ ;x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩ SOLUCIÓN: La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es que existe, para que sea continua en todo R , Es decir, hacer que A = f (0) = lím f ( x) . x→0 x→0 e 2x − 1 = 2 . Por tanto A = 2 x →0 x Calculando el límite tenemos: lím 44 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS. 1. Una función polinomial es continua en todo número real. 2. Un función racional es continua en todo su dominio, es decir en todo número excepto donde el denominador es cero. 3. La función valor absoluto es continua en todo número real. 4. La funciones seno y coseno son continuas en todo número real. 5. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en todo su dominio, es decir en todo número excepto donde el denominador es cero. 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES 2.3.1 Teorema Si f y g son funciones continuas en el punto " x0 ", entonces también lo son: kf , f +g, ( f ( x0 ) > 0 f − g, si n es par f .g , f g ( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ) 45 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Demostración. Demostremos lo siguiente: "Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces f + g también es continua en " x 0 " Las hipótesis serían H 1: lim f ( x) = f ( x 0 ) y x → x0 H 2: lim g ( x) = g ( x 0 ) Como lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x ) entonces lim [ f ( x) + g ( x)] = f ( x 0 ) + g ( x 0 ) x → x0 Es decir lim [( f + g )( x)] = ( f + g )( x 0 ) x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x 0 " Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. 2.3.2 Teorema del Límite de la composición. Si son funciones tales que lím g ( x) = L y f es continua en " L ", x→ x f y g entonces lím f ( g ( x)) = f ( L) . En particular, si x→ x 0 0 g es continua en " x0 " y f continua en g ( x0 ) entonces f D g es continua en " x0 " En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en determinar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a definir a continuación. 46 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.4 CONTINUIDAD LATERAL 2.4.1 Continuidad por derecha Se dice que f es continua por la derecha de " x0 " si xlím f ( x ) = f ( x0 ) →x 0 + Ejemplo 2.4.2 Continuidad por izquierda Se dice que f es continua izquierda de " x0 " si xlím f ( x ) = f ( x0 ) →x 0 por la − Ejemplo 47 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b ) Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b ) si es continua en todo punto (a, b ) . interior de Es decir ∀x0 ∈ (a, b ); lím f ( x ) = f ( x0 ) x→ x 0 Ejemplo 1 Una función continua en (a, b ) Ejemplo 2 Otra función continua en (a, b ) 48 Moisés Villena Muñoz 2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b] Cap. 2 Continuidad de funciones Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la izquierda de b →a + ( xlím →b − f ( x) = f (b) ). Ejemplo Una función continua en [a, b] 2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b ) Una función f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) , si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en [a, b) 49 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejemplo 2 Otra función continua en [a, b) 2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b] Una función f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] , si es continua en (a, b ) y además continua a la izquierda de b . Ejemplo 1 Ejemplo 2 50 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 ⎧2 x − a ⎪ ; x < −3 ;−3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3 Hallar los valores de " a " y " b " para que f ( x) = ⎨ax + b ⎪b − 5 x ⎩ sea continua en todo R . SOLUCIÓN: Note que las reglas de correspondencia que definen a f son lineales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Entonces debemos procurar que f sea continua en los puntos donde cambia de regla de correspondencia, es decir en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos cosas: lím (ax + b) = lím+ (b − 5 x) lím (2 x − a ) = lím + (ax + b) x → −3− 1. x →3− x →−3 2(3) − a = 3a + b 2a − b = 6 reemplazando el valor de a 2. en la primera ecuación obtenida, resulta: ; x < −3 ⎧2 x + 5 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨− 5 x − 16 ;−3 ≤ x ≤ 3 ⎪− 16 − 5 x ;x > 3 ⎩ Ejercicio resuelto 2 Analizar la continuidad de la función f ( x) = SOLUCIÓN: x →3 a (3) + b/ = b/ − 5(3) 3a = −15 a = −5 2(−5) − b = 6 b = −16 será continua en todo R . 9−x x−6 9−x ≥0 x−6 Por tanto, f tendrá gráfica sólo en el intervalo (6,9] que será también su intervalo de continuidad. El asunto aquí es sinónimo de establecer el dominio natural. Entonces debemos resolver Ejercicio resuelto 3 f que satisfaga las siguientes condiciones: (−∞,−2) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) Bosqueje el gráfico de una función 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f es continua en [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ] [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε f ( x) − 2 < ε ] ] f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1 51 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones SOLUCIÓN: Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos. x → −∞ 3. lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha x → −2 + 4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha x →1+ 5. lím f ( x) = −∞ x →∞ 6. lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2 x → −2 − 7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1 x →1− 8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería: Ejercicios Propuestos 2.1 1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad e indique los intervalos de continuidad ⎧x2 ; x < 0 ⎪⎪ 1. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1 ⎪x ;x >1 ⎪⎩ 2. f ( x) = 3. 52 x 2 − 16 x−4 f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2) ⎡ 4. f ( x) = ⎢ x + ⎣ [ ] 1⎤ ⎥ 2⎦ 5. f ( x) = x − x 6. [ ] f ( x) = senx ; x ∈ (− 2π ,2π ) Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2. Analice la continuidad de las siguientes funciones: 1. f ( x) = 2. h( x) = x −1 sen2 x 3. f ( x ) = 1+ x 2x + 3 x 2 + 2x − 8 x + 6 x 2 + 5 x − 12 3 ⎧ senx ⎪ ;x ≠ 0 3. Calcular el valor de " A ", si existe, para que f ( x ) = ⎨ x 4. Hallar los valores de " a " y " b " para que f sea continua en R . ⎪A ⎩ ⎧x 2 ⎪⎪ 1. f ( x ) = ⎨ax + b ⎪2 x − 6 ⎪⎩ Sean las funciones: ⎧1 ⎪ f ( x) = ⎨0 ⎪− 1 ⎩ ;x = 0 ⎪3 x ⎩ . ;x <1 3. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 ≤ x < 2 ;x ≥ 2 ⎧− 2 senx ; x ≤ −π 2 ⎪ ⎪ π < x <π 4. f ( x ) = ⎨a cos x + bx ;− 2 2 ⎪ ;x ≥π ⎪senx 2 ⎩ [ ;x > 0 ;x = 0 ;x < 0 Para que valores de " x ", es continua: sea continua en todo R ⎧x + 1 ⎪ ;x ≤1 ;1 < x < 4 ;x ≥ 4 ;x ≤1 ⎧x ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 ⎪− 2 x ;x ≥ 4 ⎩ 5. ⎛ x2 +1⎞ ⎟ ⎜ x2 −1 ⎟ ⎠ ⎝ 4. f ( x ) = sen⎜ 2 ] g ( x) = 1 + x 2 y a) ( f D g )(x ) b) (g D f )(x ) 6. Determine el máximo valor de " k " para que la función: f ( x) = ⎡ x − 2 ⎤ sea continua en el intervalo 7. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: 8. ⎢⎣ [3,3 + k ) Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ ) rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ] f (0) = 1 [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε 2 ⎥⎦ ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ] Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1] ∪ (0,1) f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1 Dom f=IR, ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M x→0 f ( x) + 1 < ε ] ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ ] ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε f ( x) < ε ] ] 53 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 9. es continua en (−5,2 ) ∪ (2,10 ] Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: f f (3) = f (10) = 0 [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ] 10. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: (−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ ) [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒ f es continua en ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε ] f ( x) − 2 < ε ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0 f ( x) + 1 < ε ] ] ] 2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS Sea f definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea " w " un número entre f (a) y f (b) . Si f es continua en [a, b] entonces existe al menos un número x0 entre a y b tal que f ( x0 ) = w . 54 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejemplo Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1". SOLUCIÓN: 3 Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 . Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2 y como f es continua en [0,1] , por ser polinómica; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si w = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0 Ejercicios Propuestos 2.2 1. Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano. 2. Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass. 3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. [ ] [ ] a) Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b b) Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂, x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b] o intervalo. 4. 5. c) El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " ,si f es continua en " x0 " pero g no. d) e) Toda función continua en (a, b ) es acotada. f) Toda función acotada en a, b es continua en a, b g) Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ". [ ] [ ] [ ] −1 Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3]. 5 [ ] es continua en a, b 3 Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras. 55 Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Misceláneos 1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a . x→a x →a + − b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a . ⎧ x − 2 + x−2 ;x > 2 ⎪ es c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ x2 − 4 ⎪ 2 ;x ≤ 2 ⎩ continua en x = 2 . d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x) existe, entonces f es continua x→a en todo su dominio. e) Si f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 . + [ ] [ ] f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π . [ ] [ ] g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b tal que f (c) = 0 . h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en x =a. ⎧⎪1 − x i) La función f ( x ) = ⎨ ⎪ 2 ;x < 2 ⎩x − 2x ; x ≥ 2 es continua en todo su domino. ⎧1 − cos x ; x≠0 ⎪ , x2 ⎪ 0 ; x=0 ⎩ una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ j) Sea f entonces f es continua en todo su dominio. 2. ⎧ x ⎪ Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨ cot x ⎪ ⎩ π ;x < π 2 2 cos x sea continua en x = π 2 ;x ≥ π ax − 1 − 2 ⎧ 1 − x2 ; x ≤ −1 ⎪ ⎪⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B ;−1 < x < 1 3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ x2 − 1 ⎪ ⎪ x2 ;x ≥1 ⎪⎩ Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales. 4. • • • • • 56 f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) . f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1 lim f ( x) = −1 lim f (x) = −∞ Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • x →0 x → −∞ ∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ] − [ ∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0] ] Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA 3.4 FORMA ALTERNATIVA 3.5 DIFERENCIABILIDAD 3.6 DERIVACIÓN 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 3.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS OBJETIVOS: • • • • Definir derivada. Calcular ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva. Realizar demostraciones formales de derivada. Calcular derivadas. 83 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642-1727), preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiando el problema geométrico. 3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f , en un punto x0 , Fig. 3.1. y y = f ( x) y0 x x0 Fig. 3.1 La ecuación de la recta tangente estaría dada por: y − f ( x0 ) = mtg ( x − x 0 ) Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Fig. 3.2 84 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada y = f ( x) y N f ( x0 + h ) f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) N h x0 x0 + h x Fig. 3.2 ( x0 + h, f ( x0 + h) ) sería msec = f ( x0 + h) − f ( x0 ) h La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x0 , f ( x0 ) ) y La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir: mtg = lím h→0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) h 3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNEA e = f (t ) . Suponga que se tengan la ecuación del espacio que sea función del tiempo; es decir determinar la velocidad media estaría dada por: vm = vm e recorrido por un móvil, y [t0 , t0 + h] , esta Suponga ahora que se quiere en un intervalo de tiempo Δe f ( t0 + h ) − f ( t0 ) = Δt t0 + h − t 0 La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir: 85 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada f ( t0 + h ) − f ( t 0 ) Δe = lim Δt →0 Δt h →0 h v = lim vm = lim Δt →0 Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo. De aquí se dará la definición de la derivada. 3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea f una función de variable real. Sea x0 un punto del dominio de f . La derivada de f en " x0 ", denotada como f ´( x0 ) , se define como: f ´(x0 ) = lím h →0 f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h Siempre que este límite exista. Cuando la derivada en " x0 " existe se dice que es f es diferenciable en " x0 ". Otras notaciones que se emplean para la derivada son: Leibniz utilizó la notación o dy . dx En cualquier caso, la derivada en " x " sería: f ´( x) = lím h →0 86 y´ f ( x + h) − f ( x ) h Dx y . Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.4 FORMA ALTERNATIVA Presentaremos ahora una forma un tanto diferente para la derivada, que para algunos casos resulta muy útil. En la expresión para la derivada, haciendo cambio de variable: h = x − x0 f ´( x0 ) = lím h →0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) f ( x0 + x − x0 ) − f ( x0 ) = lím x→ x0 h x − x0 = lím x→ x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 Lo anterior lo podemos observar de la pendiente de la recta tangente, Fig. 3.3. y y = f ( x) N f ( x) f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) N x − x0 x0 x x Fig. 3.3 La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y (x, f ( x) ) sería: msec = f ( x) − f ( x0 ) . Entonces la pendiente de la recta tangente estaría dada x − x0 por: mtg = lím x→ x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 87 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 1 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1 SOLUCIÓN: f ´( x) = lím h →0 = lím h→0 f ( x + h) − f ( x ) h ⎡⎣ 2 ( x + h ) + 1⎤⎦ − [ 2 x + 1] h 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1 = lím h→0 h 2h = lím h→0 h = lím 2 h→0 f ´( x) = 2 Empleando la forma alternativa: f ´( x0 ) = lím x → x0 = lím x → x0 = lím x → x0 = lím x → x0 = lím x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 ( 2 x + 1) − ( 2 x0 + 1) x − x0 2 x + 1 − 2 x0 − 1 x − x0 2 x − 2 x0 x − x0 2 ( x − x0 ) ( x − x0 ) = lím 2 x → x0 f ´( x0 ) = 2 Ejemplo. 2 Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2 SOLUCIÓN: f ´(x) = lím h →0 = lím h→0 f ( x + h) − f ( x ) h (x + h )2 − x 2 h x + 2 xh + h 2 − x 2 h→0 h h(2 x + h ) = lím h→0 h = lím (2 x + h ) = lím h→0 f ´(x) = 2 x 88 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Empleando la forma alternativa: f ´( x0 ) = lím x → x0 = lím x → x0 = lím x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x 2 − x0 2 x − x0 ( x − x0 )( x + x0 ) x − x0 = lím ( x + x0 ) x → x0 = x0 + x0 f ´( x0 ) = 2 x0 Ejercicios propuestos 3.1 1. Sea f ( x ) = x2 − 2 x + 1 . f (2.5) − f (2) 0.5 f (2.3) − f (2) b) Calcule el valor de 0.3 f (2.1) − f (2) c) Calcule el valor de 0.1 a) Calcule el valor de d) Calcule el valor de 2. Hallar f ´( 2 ) Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado. . f ´(3) , considerando la gráfica: y = f ( x) 3. f ( x) = 3x + 2 Empleando la definición, determine la derivada de: a) b) c) f ( x) = −2 x + 1 f ( x) = x 2 + 2 x − 3 d) e) f ( x) = −2 x 2 + x − 1 f ( x) = 2 x 3 f) f ( x ) = 1 3x + 2 89 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada de una función de una variable real exista, lo cual dará paso a decir que la función será derivable o diferenciable en un punto. La diferenciabilidad es equivalente a derivabilidad para funciones de una variable real. 3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD. Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe, entonces f es continua en " x0 " Demostración. f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 ) Expresemos lo siguiente: Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicándolo por (x − x0 ) , suponga x ≠ x0 , tenemos: f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) (x − x0 ) + f ( x0 ) x − x0 f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) x → x0 x → x0 x − x0 Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta: lím f ( x) = lím x → x0 La expresión lím x → x0 x → x0 f ( x) − f ( x0 ) es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es x − x0 derivable en x 0 . Entonces: cons tan te f ( x) − f ( x0 ) lím ( x − x 0 ) + lím f ( x0 ) lím f ( x) = lím x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x − x0 f (x ) 0 = f ´(x0 )[0] + f ( x 0 ) f ´( x0 ) = 0 + f ( x0 ) lím f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D. 90 0 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Al analizar el teorema, se concluye que si una función es discontinua en " x0 " entonces no es diferenciable en " x0 ". También debe entenderse que no toda función continua es diferenciable. Ejemplo Hallar f ´(1) para f ( x) = x − 1 SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa de la derivada: f ( x) − f (1) f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 − 0 = lím x→1 x − 1 x −1 = lím x→1 x − 1 El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir: x −1 1. lím+ = lím 1 = 1 x →1 x − 1 x →1+ −(x − 1) 2. lím = lím (− 1) = −1 − x −1 x →1 x →1− Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím x→1 x −1 x −1 no existe. Observando la gráfica de y = x − 1 , Fig. 3.4 Fig. 3.4 Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no implica diferenciabilidad. 91 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.5.2 DERIVADAS LATERALES. Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla unilateralmente. 3.5.2.1 Derivada por derecha La derivada por derecha del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 + ) = lím x→ x x − x0 f ´(x0 ) = lím + + 0 + 3.5.2.2 Derivada por izquierda. La derivada por izquierda del punto " x0 " de una función f se define como: f ( x0 + h) − f ( x0 ) o por la forma h →0 h f ( x) − f ( x0 ) alternativa: f ´(x0 − ) = lím x→ x x − x0 f ´(x0 ) = lím − − 0 − Por tanto, para que f ´(x0 ) exista, se requiere que las derivadas laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice que f no es + − derivable en " x0 " y su gráfica no será suave en ese punto. Ejemplo ⎧⎪2 x − 1; x < 2 2 ⎩⎪ x − 1; x ≥ 2 Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨ ( ) SOLUCIÓN: Primero veamos si que es continua en x = 2 . Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2− x →2+ Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente definición a la izquierda y la derecha de x = 2 . 92 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada f ´(2 − ) = lim− x →2 f ´(2 + ) = lim+ x→2 (2 x − 1) − (2(2) − 1) = (x ) ( x−2 2 ) lim x→2− 2(x − 2) 2x − 4 =2 = lim x − 2 x →2− x − 2 (x + 2)(x − 2) = 4 −1 − 2 2 −1 x2 − 4 = lim+ = lim+ x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2 ( ) − + Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2 entonces f ´(2) no existe Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto. Ejemplo Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0) SOLUCIÓN: Empleando la forma alternativa: f ( x) − f (0) f ´(0) = lím x→0 x−0 = lím x→0 = lím x→0 3 x −0 x 1 x 3 f ´(0) = ∞ (no existe) 2 Lo que ocurre es que la recta tangente, en x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe su gráfica. Fig 3.5 Fig. 3.5 Por tanto, si una función es diferenciable en un punto " x0 " ocurren tres cosas: 1. Es continua en ese punto 2. Es suave en ese punto 3. La recta tangente no es vertical en ese punto 93 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Un problema de diseño Ejemplo ⎧⎪mx + b ; x < 2 Sea: f ( x) = ⎨ 2 Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su dominio. ⎪⎩ x ;x ≥ 2 SOLUCIÓN: Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser continua y en todo punto su gráfica debe ser suave. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en dos cosas: 1. f debe ser continua en x = 2 , es decir: lím ( mx + b ) = f ( 2 ) = lím+ ( x 2 ) x → 2− 2. x→2 2m + b = 4 f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − ) (x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 f ( x) − f (2) x2 − 4 = lím = lím x−2 x−2 x→2+ x→2+ x − 2 x→2+ x →2+ ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 − + − + + f x f mx b m b mx b − 2m − b m(x − 2 ) = lím = lím = lím f ´(2 − ) = lím =m x−2 x−2 x−2 x →2− x →2− x →2− x →2− x − 2 f ´(2+ ) = lím Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2(4) + b = 4 tenemos b = −4 Ejercicios Propuestos 3.2 ⎧2 x + 1; x < 1 f ´(1) para f ( x) = ⎨ 2 ⎩2 + x ; x ≥ 1 1. Hallar 2. Hallar 3. Hallar 4. Sea la función f definida por f ( x ) = ⎨ ⎧⎪− x 2 + 10; x < 3 f ´(3) para f ( x ) = ⎨ ⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3 ⎧⎪2 x + 1 ; x < −2 f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 7; x ≥ −2 ⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2 . ⎩⎪ax + b ; x > 2 Determine, si es posible, los valores de a y b para que f sea derivable en x = 2 5. Sea la función f definida por ; x ≤1 ⎧⎪3ax + b f ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1 Determine los valores para " a " y " b " para f que sea derivable en todo su dominio. 6. Sea la función f definida por ⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1 ⎪ . f ( x) = ⎨ 1 ; x >1 ⎪ ⎩x Determine " a ", " b " y " c " para que f ´(1) exista. 94 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6 DERIVACIÓN El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso este trabajo se dispone de técnicas y reglas. 3.6.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fórmulas siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Dx (k ) = 0 ; ∀k ∈ R Dx ( x) = 1 Dx ( x n ) = n(x n −1 ) D x (e x ) = e x Dx (a x ) = a x ln a 1 Dx (ln x) = x 1 D x (log a x) = x ln a Dx (sen x) = cos x D x (cos x) = − sen x Dx (tan x) = sec 2 x Dx (cot x) = − csc 2 x Dx (sec x) = sec x tan x Dx (csc x) = − csc x cot x Demostraciones: Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían: 1. Sea f ( x ) = k . Hallaremos su derivada empleando la definición: f ´( x) = lím Dx (k ) = lím h→0 h→0 0 k −k = lím = 0 (La derivada de una constante es cero) h →0 h h f ( x + h) − f ( x ) h 95 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 2. Sea f ( x ) = x entonces: Dx ( x) = lím h →0 3. Sea f ( x ) = x n h entonces: Dx ( x ) = lím n binomio y simplificando: Dx ( x ) = lím n ( x + h ) − x = lím h = 1 h →0 ( x + h) n − xn h h →0 h→0 ( x + h) n h − xn h . Consideraremos n ∈ ` . Desarrollando el ⎡ x n + nx n −1h + n( n2−1) x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n ⎤ − x n ⎦ = lím ⎣ h→0 h = lím h →0 nx n −1h + n ( n −1) 2 h/ ⎡ nx n −1 + = lím ⎣ x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n h x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎤ ⎦ h →0 h/ ⎡ ⎤ n ( n −1) n−2 n −1 ⎥ = lím ⎢ nx n −1 + 2 x n − 2 h + ... + nxh + hN N h →0 ⎢⎣ 0 0 ⎥ 0 0 ⎦ 4. Sea f ( x ) = e x entonces: n ( n −1) 2 Dx ( x n ) = n ( x n −1 ) e x ( eh − 1) e h − 1) ( ex+h − ex e x eh − e x x = lím = lím = e lím = ex Dx (e ) = lím 0 0 0 → → → h →0 h h h h h h h x 1 6. Sea f ( x ) = ln x entonces: ⎛ x+h⎞ ⎛ h⎞ 1 ln⎜ ln⎜1 + ⎟ ⎟ ln (x + h ) − ln x x ⎠ x⎠ ⎛ h⎞ h Dx (ln x) = lím = lím ⎝ = lím ⎝ = lím ln⎜1 + ⎟ h →0 h →0 h →0 h→0 ⎝ h h h x⎠ ⎡ ⎛ h⎞ = ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟ ⎢h →0⎝ x⎠ ⎣ 1 Dx (ln x) = x ⎤x 1 ⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ 1 1 h x 8. Sea f ( x ) = sen x entonces: [sen x cosh + senh cos x] − sen x sen( x + h) − sen x = lím h →0 h h sen x(cosh − 1) + senh cos x sen x(cosh − 1) senh cos x = lím = lím + lím h →0 h→0 h →0 h h h (cosh − 1) senh = sen x lím + cos x lím = (sen x )(0) + (cos x )(1) h →0 h →0 h h Dx (sen x) = cos x Dx (sen x) = lím h→0 La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector. 96 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 1 Si f ( x ) = 4 entonces f ´( x ) = 0 (FORMULA 1) Ejemplo 2 Si f ( x ) = x 2 entonces f ´( x ) = 2 x 2 −1 = 2 x Ejemplo 3 Si f ( x ) = x = ( x ) 1 2 entonces f ´( x ) = 1 2 (FORMULA 3) ( x) 1 −1 2 = 1 (FORMULA 3) 2 x Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) = x 3 en x = 1 SOLUCIÓN: Observe la Fig. 3.6 f ( x) = x Recta tangente 3 Fig. 3.6 La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por: y − y 0 = m( x − x 0 ) El punto sería: x0 = 1 La pendiente sería: y y0 = f ( x0 ) = (1) = 1 mtg = f ´( x0 ) = f ´(1) = 3 x 2 3 x =1 =3 Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: y − 1 = 3( x − 1) Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos casos. 97 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 1. d (kf ( x)) = kf ´( x) (Múltiplo constante) 2. 3. 4. 5. dx d ( f ( x) + g ( x)) = f ´( x) + g´( x) (Suma) dx d ( f ( x) − g ( x)) = f ´( x) − g´( x) (Resta) dx d ( f ( x) g ( x)) = f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x) (Producto) dx d ⎛ f ( x) ⎞ f ´( x) g ( x) − f ( x) g´( x) (Cociente) ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ g ( x) ⎠ [ g ( x)] Demostración La justificación de las dos primeras de estas reglas sería: 1. d kf ( x + h) − kf ( x) (kf ( x)) = lím 0 h → dx h k [ f ( x + h) − f ( x ) ] = lím h →0 h f ( x + h) − f ( x ) = k lím h →0 h = kf ´( x) 2. [ f ( x + h) + g ( x + h) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] d ( f ( x) + g ( x)) = lím 0 h → dx h f ( x + h) − f ( x ) ] + [ g ( x + h) − g ( x ) ] [ = lím h→0 h ( ) ( ) + − f x h f x [ ] + lím [ g ( x + h) − g ( x)] = lím h→0 h →0 h h = f ´( x) + g´( x) 3. [ f ( x + h) g ( x + h) ] − [ f ( x ) g ( x ) ] d ( f ( x) g ( x)) = lím → h 0 dx h Al numerador le sumamos y restamos f ( x ) g ( x + h ) lím h →0 f ( x + h) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h ) Agrupando y aplicando propiedades de los límites: 98 h Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada ⎡ f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h ) ⎤⎦ + ⎡⎣ f ( x ) g ( x + h ) − f ( x) g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ h →0 h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ g ( x + h) + ⎡⎣ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ f ( x ) lím ⎣ h →0 h ⎡⎣ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím g ( x + h) + lim ⎣ f ( x) h →0 h→0 h h ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤⎦ ⎡ g ( x + h ) − g ( x) ⎤⎦ lím ⎣ lim g ( x + h) + f ( x ) lim ⎣ h →0 h →0 h→0 h h f ´( x ) ⎣⎡ g ( x ) ⎦⎤ + f ( x ) ⎣⎡ g´( x ) ⎦⎤ La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma. Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante) Si f ( x ) = 4 3 x = 4x− 1 3 entonces f ´( x ) = 4 ( ) ( ) 4 4 d − 13 − 1 −1 = 4 − 13 x 3 = − x − 3 x dx 3 Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta) Si f ( x ) = 4 x − 2 + 3 entonces x d d d ⎛ 1 ⎞ −2 f ´( x ) = 4 x − 2 x −1 + ( 3) = 4 ⎜ ⎟ + 2x + 0 dx dx dx ⎝2 x ⎠ ( ) ( ) Ejemplo 3 (Derivada del producto) ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ Si f ( x ) = xe x entonces f ´( x ) = ⎢ ( x ) ⎥ e x + x ⎢ ( e x ) ⎥ = 1e x + xe x = e x (1 + x ) ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ Ejemplo 4 (Derivada del producto) ( )( ) Si f ( x ) = x 2 + 2 x3 + 1 entonces: ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ ( x 2 + 2 ) ⎥ ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 ) ⎢ ( x3 + 1) ⎥ dx dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( 2 x + 0 ) ( x 3 + 1) + ( x 2 + 2 )( 3 x 2 + 0 ) = 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2 = 5x4 + 6x2 + 2 x 99 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería: d [ f ( x) g ( x)h( x)] = f ´( x) g ( x)h( x) + f ( x) g´( x)h( x) + f ( x) g ( x)h´( x) dx ¡Generalícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto) Si f ( x ) = e x senx ln x entonces ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ f ´( x ) = ⎢ e x ⎥ senx ln x + e x ⎢ senx ⎥ ln x + e x senx ⎢ ln x ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ ⎛1⎞ = e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx ⎜ ⎟ ⎝x⎠ Ejemplo 6 (Derivada de cociente) x2 + 2 entonces x3 + 1 ⎡d 2 ⎤ 3 ⎡d 3 ⎤ 2 ⎢⎣ dx ( x + 2 ) ⎥⎦ ( x + 1) − ( x + 2 ) ⎢⎣ dx ( x + 1) ⎥⎦ ( 2 x ) ( x3 + 1) − ( x 2 + 2 )( 3x 2 ) f ´( x ) = = 2 2 ( x3 + 1) ( x3 + 1) Si f ( x ) = = 2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2 (x 3 + 1) 2 = − x4 − 6 x2 + 2 x (x 3 + 1) 2 Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determine f ′(0), si f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2 ) ...( x + 100 ) . SOLUCIÓN: La derivada de f sería f ´( x ) = ⎡⎣(1)( x + 1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x (1)( x + 2 )"( x + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ x ( x + 1)(1) ...( x + 100 )⎤⎦ + " Ahor a evaluamos la derivada en cero: f ´( 0 ) = ⎡⎣(1)( 0 + 1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 ) ⎤⎦ + ⎡⎣0 (1)( 0 + 2 )"( 0 + 100 )⎤⎦ + ⎡⎣ 0 ( 0 + 1)(1) ...( 0 + 100 )⎤⎦ + " f ´( 0 ) = (1)( 2 )"(100 ) = 100! 100 0 0 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 8 Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto ( −2, −5 ) y que son tangentes a la curva definida por la ecuación y = x 2 + 4 x . SOLUCIÓN: Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 3.7 f ( x ) = x2 + 4 x ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) ( −2, −5) Fig. 3.7 Note que el punto ( −2, −5 ) no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe que hay dos). La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en x = x0 , es decir mtg = f ´( x0 ) = 2 x + 4 x = x = 2 x0 + 4 La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos ( −2, −5 ) y ( x0 , y0 ) , es decir: 0 mtg = y0 − ( − 5 ) x0 − ( −2 ) = y0 + 5 x0 + 2 El punto ( x0 , y0 ) pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: y0 = x0 2 + 4 x0 . Al reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene: mtg = y0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 5 = x0 + 2 x0 + 2 Ahora igualamos las pendientes y encontramos x0 : 2 x0 + 4 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 + 2 2 x0 2 + 8 x0 + 8 = x0 2 + 4 x0 + 5 x0 2 + 4 x0 + 3 = 0 ( x0 + 3)( x0 + 1) = 0 x0 = −3 ∨ x0 = −1 101 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Estos valores los reemplazamos en y0 = x0 2 + 4 x0 , y obtenemos los respectivos y0 : y0 = ( −3) + 4 ( −3) = 9 − 12 = −3 2 y0 = ( −1) + 4 ( −1) = 1 − 4 = −3 2 Por tanto, los puntos de tangencia son ( −3, −3) y ( −1, −3) . Las respectivas pendientes serían: mtg = 2 ( −3) + 4 = −2 mtg = 2 ( −1) + 4 = +2 y − ( −3) = −2 ( x − ( −3) ) y − ( −3) = 2 ( x − ( −1) ) Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían: y + 3 = −2 ( x + 3) y = −2 x − 9 y y + 3 = 2 ( x + 1) y = 2x −1 Ejemplo 9 Si f , g y h son funciones tales que h( x) = f ´(1) = −2 , g´(1) = 1 . Determine h´(1) . f ( x) g ( x) , f (1) = 3 , g (1) = −3 , 2 f ( x) + 3 g ( x) Solución: La derivada de h sería: ⎡ f ( x ) g ( x) ⎤ h´( x) = Dx ⎢ ⎥ ⎣ 2 f ( x) + 3 g ( x) ⎦ D [ f ( x) g ( x) ][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) Dx [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = x 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] = [ f ´( x) g ( x) + f ( x) g´( x)][ 2 f ( x) + 3g ( x)] − f ( x) g ( x) [ 2 f ´( x) + 3g´( x)] 2 [ 2 f ( x) + 3 g ( x)] Ahora evaluando en 1: [ f ´(1) g (1) + f (1) g´(1)][ 2 f (1) + 3g (1)] − f (1) g (1) [ 2 f ´(1) + 3g´(1)] 2 [ 2 f (1) + 3g (1)] [(−2)(−3) + (3)(1)][ 2(3) + 3(−3)] − (3)(−3) [ 2(−2) + 3(1)] = 2 [ 2(3) + 3(−3)] [6 + 3][6 − 9] + 9[ −4 + 3] = 2 [ 6 − 9] [9][ −3] + 9 [ −1] = 2 [ −3] h´(1) = −36 9 h´(1) = −4 = 102 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 10 Demuestre que las gráficas de f ( x ) = 2 senx y g ( x ) = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en cierto punto tal que 0 ≤ x ≤ π 2 SOLUCIÓN: 2 sen x = 2 cos x , de aquí se obtiene La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: tg x = 1 , lo cual quiere decir que x = π 4 Fig. 3.8 Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 . Fig. 3.8 Si f ( x ) = 2 sen x , entonces f ´( x ) = 2 cos x que en el punto tenemos: Si g ( x ) = 2 cos x , entonces g´( x ) = − 2 sen x que en el punto tenemos: ⎛ 2⎞ ⎟ =1 m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ m 2 = − 2 sen π 4 ⎛ 2⎞ ⎟ = −1 = − 2 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D. Ejercicios Propuestos 3.3 1. a) f ( x ) = 4 3 x + 2ln x − 3e x Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: ( b) f ( x ) = x + 2 3 )( x 2 + 1) c) f ( x ) = ( x − senx )( x + cos x ) d) f ( x ) = 2. f) f ( x) = f ( x) = xe x senx + 1 1 2 x x e ln x 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación punto 3. (1,5) . x2 + 1 x senx e) f ( x ) = x2 + 2 x + 2 en el f ( x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3x + y + 2 = 0 . Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia 103 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto por la ecuación y = 4x − x 2 ( 2,5) y que son tangentes a la curva definida . 5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x ) = 2 x + 3 x − 24 x y 6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 3 que son paralelas a la recta cuya ecuación es 12 x − y + 7 = 0 . 2 y = x2 . Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15). 7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la partícula por primera vez. 8. Determine f ′(0 ), si f (x ) = x(x − 1)(x − 2)...(x − 50) 9. Si f , g y h son funciones tales que h( x) = g´(3) = 2 . Determine h´(3) . f ( x) g ( x ) , f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 , 3 f ( x ) − 4 g ( x) Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena. 3.6.2.1 Regla de la Cadena Sea y = f (u ) y u = g ( x) . Si g es diferenciable en " x0 " y f diferenciable " g ( x0 ) " en compuesta ( f D g )( x ) = f ( g ( x ) ) entonces la función es diferenciable en " x 0 " y d ( f ( g ( x) ) = f ´( g ( x0 )) [ g´( x0 )] dx x = x0 O lo que es lo mismo dy dy du = dx du dx ( Ejemplo 1 ) u=g( x) y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 dy du = 20u 19 y = 2x . du dx Si 104 20 tenemos y = f (u ) = u 20 de donde Moisés Villena Muñoz Por tanto Cap. 3 La derivada ( ) dy dy du = = 20u 19 (2 x ) que al reemplazar " u " resulta dx du dx 19 19 dy = 20 x 2 + 2 (2 x ) = 40 x x 2 + 2 dx ( ( ) ) ( ) El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida. ( Ejemplo 2 ( ) ) [ ( )][ ] Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3 u Ejemplo 3 ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ Si y = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ x − 1 ⎦⎥ 30 entonces u ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ y´= 30 ⎢ ⎥ Dx ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ x −1 ⎦ ⎣ x −1 ⎦ 29 29 ⎡ 2 2 3 2 ⎤ ⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤ ⎢ ( 3x + 6 x + 1)( x − 1) − ( x +3 x + x ) ( 2 x ) ⎥ = 30 ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ x −1 ⎦ ( x 2 − 1) ⎣ ⎦ y = f ( g (v) ) y ahora dy dy du dv y = f ( u ) ; entonces . = dx du dv dx v = h( x ) Para el caso de funciones de la forma tenemos O más simplemente y´= ⎡⎣ f ´( g (h( x)) ) ⎤⎦ [ g´(h( x))][ h´( x)] Ejemplo 4 ( ) Si y = cos 3 x 4 y = f ( g (h( x) ) haciendo que haciendo que u = g (v ) tenemos 2 ( ) ⎤ ⎡ 3 x 2 ⎥ entonces: = ⎢cos N ⎢⎣ v ⎥ ⎦ 4 u 105 Moisés Villena Muñoz [ ( )] D [cos(3x )] = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )]D (3x ) = 4[cos(3 x )] [− sen (3 x )][6 x ] y´= 4 cos 3 x 2 3 Cap. 3 La derivada 2 x 2 3 2 2 x 2 3 2 Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos: Si f (2 ) = 4 , f ´(4 ) = 6 , f ´(2 ) = −2 hallar: Ejercicio Resuelto 1 a) SOLUCIÓN: a) d [ f (x)]3 en x = 2 dx b) ( f D f )´(2) d [ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería: dx 3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4 )2 (− 2 ) = −96 4⎤ ⎡ b) ( f D f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Ejercicio Resuelto 2 Si H = f Dg y además: h(2) = −1; g (2 ) = 3; f (3) = 2; h′(2 ) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ; determine h H ′(2) . SOLUCIÓN: Como H ( x) = f Dg entonces: h ⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x) H ´(x) = D x ⎢ ⎥= [h( x)]2 ⎣ h( x ) ⎦ [ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x) = [h( x)]2 que en x = 2 sería: 3 ⎤ ⎡ ⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ H ´(2) = [h(2)]2 [ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2) = (−1) 2 (5)(−3)(−1) − (2)(−2) = 1 H ´(2) = 19 106 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicio Resuelto 3 Demuestre que la derivada de una función par es una función impar SOLUCIÓN: Sea f una función par, entonces se cumple que f ( − x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)] miembros de la igualdad tenemos: [ f ´(− x)](− 1) = f ´(x ) − f ´(− x) = f ´(x) f ´(− x ) = − f ´(x ) La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D Finalmente las fórmulas de derivadas para funciones compuestas quedarían: Sea u = u (x) , entonces: 1. Dx (u n ) = n(u n −1 )u´ 2. Dx (e u ) = e u u´ 3. Dx (a u ) = a u (ln a ) u´ 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 D x (ln u ) = u´ u D x (log a u ) = 1 u´ u ln a D x (sen u ) = (cos u ) u´ D x (cos u ) = (− sen u )u´ Dx (tan u ) = ( sec 2 u ) u´ Dx (cot u ) = ( − csc2 u ) u´ 10. Dx (sec u ) = ( sec u tan u ) u´ 11. Dx (csc u ) = ( − csc u cot u ) u´ 107 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicios Propuestos 3.4 1. f ( x ) = x2 − 2x + 2 Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son: a) b) c) d) f ( x) = f ( x) = f ( x) = e) f ( x ) = ⎜ ⎛ senx ⎞ ⎟ ⎝ cos 2 x ⎠ ( )⎦ 2 f) f ( x ) = ln ⎡ ln x + 1 ⎤ 1 2x − 3 e −e e x + e− x x 3 g) f ( x ) = −x x2 − 1 x2 + 1 ⎣ 1 ⎛ x ⎞ 1 ln ⎜ 2 ⎟− 2 4 ⎝ x −4⎠ x −4 2 2. Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que: 3. Hallar ( f D g ) (x ) , si 4. ∀f ∈ V [ f ( − x) = − f ( x) ⇒ f ' (− x) = f ' ( x)] (La derivada de una función impar es una función par) ′ f (u ) = e u 2 y u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x ) Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que: g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2 ) = 3, h ′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 . h(a) = a, h´(a ) = 4 En x = a determine el valor de: 5. a) (g D f )´ b) (g D h )´ d) e) ⎜⎜ ( f D h D g )´ ′ ⎛ f DhD g −hD g ⎞ ⎟⎟ gD f ⎝ ⎠ Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x)))) en x = 0 . 6. Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea 7. Pruebe que si un polinomio p(x) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) . g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1 ) = g ' ( x2 ) 2 Sugerencia: Escriba el polinomio de la forma 108 c) (h D g )´ p ( x ) = ⎣⎡ c ( x ) ⎦⎤ ( ax + b ) y derívelo. 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es una función por tanto se podría obtener también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir: Sea y = f ( x) una función " n " veces derivable, entonces: La primera derivada es: y´= f ´(x) = dy f ( x + h) − f ( x) = Dx y = lím h→0 dx h La segunda derivada es: Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) = d2y f ´(x + h) − f ´(x) = Dx2 y = lím 2 h →0 dx h La tercera derivada es: d3y f ´´(x + h) − f ´´(x) Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) = 3 = Dx3 y = lím → 0 h dx h En fin, La n − ésima derivada es: y n = f n ( x) = dny f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x) n = = lím D y x h →0 dx n h Ejemplo 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠ Hallar D xn ⎜ SOLUCIÓN: Aquí tenemos: y= 1 −1 = (1 − 2 x ) . 1 − 2x Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta: y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21 y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2 y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2)2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3 y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4 Directamente la quinta derivada sería y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5 n Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y = (n!)(1 − 2 x ) −6 − (n +1) 2n 109 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 2 ⎛ 1 ⎞ Hallar Dxn ⎜ ⎟ ⎝ 1 + 3x ⎠ SOLUCIÓN: Aquí tenemos: y = 1 −1 = (1 + 3x ) . 1 + 3x Obteniendo derivadas: y´= − (1 + 3 x ) −2 y´´= +2 (1 + 3 x ) ( 3) −3 (3 ) 2 y´´´= − ( 2 × 3)(1 + 3x ) −4 (3 ) 3 y IV = +(2 × 3 × 4) (1 + 3 x ) (34 ) −5 Directamente la quinta derivada sería yV = − ( 5!)(1 + 3 x ) Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = ( −1) Ejemplo 3 n −6 (3 ) 5 ( n !)(1 + 3x ) ( − n +1) (3 ) n ( ) Demuestre que D xn x n = n! ; n ∈ ` SOLUCIÓN: Como y = x n entonces: y´= nx n −1 y´´= n ( n − 1) x n − 2 y´´´= n ( n − 1)( n − 2 ) x n − 3 y n = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"( n − ( n − 1) ) x n − n " = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)"(1) = n! Ejercicio Propuesto 3.5 1. Calcular las derivadas de orden superior indicadas. a. d4 b. c. 110 [cos (x )] 2 d 2 ⎡ x sen2 (πx ) ⎤ ⎢ ⎥ dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦ dx 4 dn dx n [xe ] x 5 ⎞ ⎟ ⎝4− x⎠ n⎛ d. Dx ⎜ e. Dx f. 30 ⎡1 + d 35 dx35 x⎤ ⎢1 − x ⎥ ⎦ ⎣ [xsenx] Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢x ⎟⎥ ⎜ dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥ ⎣ ⎦ 2. Determine 3. Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para: 4. Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 . ( ) D xn a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 , n ∈ ` Hasta aquí hemos tratado con funciones cuyas reglas de correspondencia estaban dadas por una ecuación de la forma y = f ( x ) , esta forma la llamaremos en adelante EXPLÍCITA; suponga ahora que la ecuación de una función esté dada en la forma F ( x, y ) = 0 , forma que le llamaremos IMPLÍCITA, y suponga que se desea obtener la derivada y´ de esta ecuación sin necesidad de despejar y ; de ahí la necesidad de mencionar mecanismo de derivación para este tipo de problema. 3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obtener y´ en una función implícita F ( x, y ) = 0 sin necesidad de despejar y ; es más, suponga que no se pueda despejar y , hay que considerarla como F ( x, f ( x)) = 0 y derivando cada miembro de la ecuación tomando en cuenta las reglas mencionadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea x − y = 0 la ecuación de una función (asegúrese que en verdad representa una función) la derivada la podemos obtener por una de las siguientes formas: 4 5 1. Despejando y (forma explícita: y = x 4 5 y´= ) entonces: 4 − 15 x 5 4 5 2. Sin despejar y (forma implícita: x − y = 0 ). La consideraremos como x − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = 0 . Ahora derivamos cada miembro de la ecuación: 5 4 5 Dx ⎡ x 4 − ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ⎤ = Dx [ 0] ⎣ ⎦ 4 x3 − 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ f ´( x ) = 0 Ahora despejamos f ´( x ) : 4 f ´( x ) = f ( x) = x 5 : 5 ⎣⎡ f ( x ) ⎦⎤ 4 x3 4 Por ahora podemos comprobar que los resultados son los mismos, simplemente habría que reemplazar 4 111 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada f ´( x ) = 5 ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ 4 x3 4 = 4 x3 5 ⎡x 5 ⎤ ⎣⎢ ⎥⎦ 4 4 = 4 x3 16 5x 5 = 4 − 15 x 5 Ejemplo 2 Sea x + y = 1 con y ≥ 0 (semicircunferencia), hallar y´ SOLUCIÓN: 2 2 PRIMER MÉTODO. 2 Como es posible despejar y , tenemos y = + 1 − x y´= Entonces: 1 2 (1 − x ) ( −2 x ) =− 1 2 − 2 x 1− x 2 =− x y Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x + [ f ( x)] = 1 y tomar derivada a ambos SEGUNDO MÉTODO. miembros de la igualdad: ( ) Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1) 2 2 2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0 que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0 despajando y´ resulta: y´= − x x =− y 1 − x2 Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar geométrico. Ejemplo Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1 Esta ecuación no representa lugar geométrico, sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior. En los ejemplos anteriores se demuestra que la derivación implícita es válida, la comprobación no siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obtener la derivada y es lo que hemos dejado explicado. Observe además que las ecuaciones implícitas podrían representar no sólo funciones sino una relación cualquiera, entonces estaríamos en capacidad de obtener la derivada en cualquier punto de esa relación. Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. 112 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicio Resuelto 1 Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3 ( ) ( ) + (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´ SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos: Dx 4 x3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3 12 x Despejando y´ resulta: y´= 2 2 2 12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´ 12 x 2 + 7 y 2 6 y 2 − 14 xy ( ) Ejercicio Resuelto 2 Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1 ( SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: 1+ Despejando y´ resulta: y´= 1 ) ( [2xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x ) 2 x2 y 4x − 1 − 6y + ( ) Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1 1+ 2 y´ + + 6 yy´= 4 x x y 2 x 1 y ( ) Ejercicio Resuelto 3 Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y SOLUCIÓN: Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos: ( ( )) ( ( )[ ] sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+ Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y − y2 − sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x Despejando y´ resulta: y´= ) 2 ( ) − y 2 sen xy 2 − x + y − 2y + 2 [ (x + y ) 1 2 − 12 (1 + y´)] x xy´ + x+ y + 2 x+ y 2 x+ y ( ) x 2 x+ y x + 2 xy sen xy 2 2 x+ y 113 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicio Resuelto 4 Determinar la ecuación de la recta normal a la curva cuya ecuación es P(0,0). SOLUCIÓN: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = − x cos y = sen( x + y ) en 1 m tg D x (x cos y ) = D x (sen (x + y )) Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta: 1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´] En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 y luego cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´] . despejar y´ : 1 + 0 = 1 + y´ y´= 0 Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con pendiente mnormal = − 1 = −∞ 0 Y su ecuación será: y−0 = − x=0 1 (x − 0) (el eje y ). 0 Ejercicio Resuelto 5 Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre SOLUCIÓN: Primero se encuentra y ' : 2 ( 3 y' ' en (2,1). ) D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2) 2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0 2 En (2,1) sería: 2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0 y´= 2 Ahora encontramos ( ) y' ' volviendo a derivar implícitamente: D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0) ( ) 2 y + 2 xy´+2 xy´+ x y´´− 12 yy´ y´+6 y y´´ = 0 2 2 2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0 2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0 En (2,1) sería: y´´= 15 114 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicios Propuestos 3.6 1. dy para: dx Encontrar 2 2 ln ( xy ) + y = 1 b. e xy + ln y = 0 c. 2. d. sec y + tan y = xy e. ln ( xy ) + x 3 + y 3 =1 a. y =5 2 3 2 2 Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2 x + 3 y = 14 en el punto (1,2) son perpendiculares entre sí. 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x3 + 3 xy 3 + y = 5 en el punto 4. 3 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x 2 + y 2 = 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1) 5. (1,1) ) ( [2 ] Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 en el punto (1,1) 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a 7. 2 2 Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1)2 (4 − y )2 en 3 3 la recta x + y + 6 = 0 el punto (0,−2) . 8. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos(2 y ) = 3 sen (x + y ) en el 9. 2 3 Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente punto (0,0) . a f sea horizontal. 10. Encuentre y ' ' si 11. Calcula: d2y 2 x3 − 4 y 2 + 3 = 0 para 2 x 3 +y 2 3 =1 12. Para la función y = f (x) dada en forma implícita por la ecuación dx x − tg y + e y − π4 = 2 determine d2y dx 2 ( ) en el punto 2, π . 4 3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma: ⎧ x = x(t ) C:⎨ ⎩ y = y (t ) Tanto x como y están expresadas en términos del parámetro t , el objetivo dy . será hallar directamente dx 115 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por ecuaciones paramétricas. Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las ecuaciones paramétricas definen a " y " como una función diferenciable de " x " y su derivada es: dy dy dy dt = = dt dx dx dt dx dt Ejemplo 1 Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 1 , la derivada también puede ser hallada partiendo ⎧ x = cos t x dy cos t = dt = =− , es decir: de su ecuación paramétrica C : ⎨ dx t y dx − sen y = t sen ⎩ dy dt Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar. Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t Sea ⎨ ⎩⎪ y = e sent SOLUCIÓN: t hallar dy dx dy et sent + et cos t sent + cos t dy = = dt = t dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera derivada es función de " t ", es decir que dy = y´(t ) ; por tanto: dx Segunda derivada: 116 d2y dx 2 d [y´(t )] = d [y´(t )] dt = = dx dt dx d [ y´(t )] dt = y´´(t ) dx dt Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada d [ y´´(t )] dt d = Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] = dx dt dx dx d3y d [ y´´(t )] dt = y´´´(t ) dx dt Y así sucesivamente. Ejemplo 1 ⎧ x = cos t d3 y . hallar Sea C : ⎨ dx3 ⎩ y = sen t SOLUCIÓN: dy cos t dy = dt = = − cot ( t ) Ya encontramos la primera derivada: dx dx − sen t dt d d − cot t ) − ( − csc 2 t ) y´ d 2 y dt ( ) dt ( = = = = − csc3 t La segunda derivada sería: 2 dx dx − sent dx dt dt d d y´´ − csc3 t ) −3csc 2 t − csc t cot gt d 3 y dt ( ) dt ( ( ) = −3csc4 t cot gt = = = La tercera derivada sería: dx dx dx 3 −sent dt dt Ejemplo 2 ⎧⎪ x = e t cos t Sea ⎨ hallar d2y dx 2 ⎪⎩ y = e sent SOLUCIÓN: La primera derivada ya la encontramos: dy et sent + et cos t sent + cos t dy = = dt = t dx dx e cos t − et sent cos t − sent dt La segunda derivada sería: d ⎛ sent + cos t ⎞ d ( y´) dt ⎜⎝ cos t − sent ⎟⎠ d2y = dt = dx dx dx 2 dt dt ( cos t − sent )( cos t − sent ) − ( sent + cos t )( − sent − cos t ) t ( cos t − sent ) = et cos t − et sent ( cos t − sent ) + ( sent + cos t ) 2 ( cos t − sent ) = 2 = 2 2 = et cos t − et sent cos 2 t − 2cos tsent + sen 2t + sen 2t + 2cos tsent + cos 2 t d2y 2 = dx 2 et ( cos t − sent )3 et ( cos t − sent ) 3 117 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 3 Calcular dny dx n ⎧⎪ x = ln t para: ⎨ ⎪⎩ y = t m ; m ∈ R SOLUCIÓN: Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos: dy dy mt m −1 mt mt −1 = dt = = = mt m Primera derivada: dx 1 dx t −1 dt t d [ y´(t )] m 2 t m −1 dt = = = m 2t m Segunda derivada: −1 2 dx dx t dt d [ y´´(t )] d3y m 3 t m −1 dt = = = m 3t m Tercera derivada: dx dx 3 t −1 dt d2y Directamente, la cuarta derivada sería: Por tanto: dny dx n = mnt m d4y dx 4 = m 4t m Ejercicios Propuestos 3.7 1. Hallar dy para: dx a. ⎧ x = a (cos t + tsent ) ⎨ ⎩ y = a (sent − t cos t ) b. ⎧ 2 ⎪⎪ x = t + 1 t −1 ⎨ ⎪y = 2 ⎪⎩ t +1 ⎧ x = a(t − sen t ) π en t = ( ) = − y a 1 cos t 2 ⎩ 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ ⎧⎪ x = 2t − t 2 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ ⎪⎩ y = 3t − t 3 en el punto (1,2) ⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t en t = 0 ⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t 4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨ ⎧⎪ x = t 2 5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1 rectas tangentes a C y que pasen por el origen. ; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las ⎧⎪ y = cos t d2y d3y . Calcule a) y b) ⎪⎩ x = ln ( cos t ) dx 2 dx 3 6. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨ 118 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramétricas. Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨ ⎧ x = r cos( θ ) ⎩ y = r sen (θ ) ⎧ x = f (θ ) cos( θ ) ⎩ y = f (θ ) sen (θ ) Al reemplazar queda ⎨ dy f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ dy = dθ = Entonces f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ dx dx dθ Para encontrar la ecuación de la recta tangente: y r = f (θ ) Fig. 3.13 ( r0 ,θ0 ) r0 y0 θ0 x0 x Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma: y − y 0 = m ( x − x0 ) Entonces: 119 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada x0 = f (θ 0 )cosθ 0 y0 = f (θ 0 )senθ 0 dy dy m= = dθ dx dx dθ = θ =θ 0 f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0 Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 = SOLUCIÓN: Observa la gráfica: π 4 Fig. 3.14 [ ] 4 x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π ) En este caso = 4 sen 3 π cos π 2 =4 2 x0 = 2 4 y 4 2 2 [ ] 4 y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π ) 4 = 4 sen 3 π sen π 2 =4 2 y0 = 2 4 4 4 2 2 Para la pendiente, tenemos: f ´(θ) = 12 cos 3θ Entonces: m= = f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0 f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0 [12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4 [12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4 ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ 2⎤ ⎢ − 12 2 ⎥ ⎣ ⎦ −6+2 = −6−2 1 m= 2 2 ⎡ 2⎤ 2 + ⎢4 ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎡ 2⎤ 2 − ⎢4 ⎥ 2 2 2 ⎣ ⎦ Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por: 120 y − y 0 = m(x − x0 ) y−2= 1 2 ( x − 2) Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicios propuestos 3.8 en θ 0 = π 4 r = 4sen 3θ en θ 0 = π 6 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ 2. Hallar la ecuación de la recta tangente a en θ 0 = π 6 r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π 3 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a r = 4. Hallar la ecuación de la recta tangente a 2 sen 3θ 3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS 3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa. Si f es una función estrictamente monótona en su dominio entonces f tiene una inversa. El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de la función inversa. 3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa. Sea f una función derivable y estrictamente monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto " x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto correspondiente " y ", y 1 ⎡ d −1 ⎤ ( ) = f y ⎢⎣ dx ⎥⎦ f ´(x) 121 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de la recta −1 tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se relacionan de la forma m2 = 1 m1 . Y que se puede encontrar la derivada de la inversa f −1 , trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir, sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f −1 . Fig. 3.15 Ejemplo 1 ⎡d 5 Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢ f ⎣ dx SOLUCIÓN: En este caso "4" es rango para ⎡d ⎢ dx f ⎣ −1 ⎤ 1 ⎥ (4) = f ´(x ) ⎦ f por tanto habrá que encontrar el correspondiente x ⎥(4 ) ⎦ −1 ⎤ para reemplazarlo en: Entonces, teniendo 4 = x 5 + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface. ⎡d f Por lo tanto, ⎢ ⎣ dx −1 ⎤ 1 1 1 = ⎥ (4) = f ´(1) = 4 ⎦ 5(1) + 2 7 por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1) No olvide que este resultado significa que la recta tangente a En cambio, la recta tangente a ecuación: y − 1 = 122 1 (x − 4 ) 7 f −1 f en el punto (1,4 ) tiene pendiente m = 7 y en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m = 1 y por 7 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejemplo 2 Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de la derivada de la función inversa. SOLUCIÓN: 1 ⎡ d −1 ⎤ De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢ f ⎥(x ) = dx f ´ (y) ⎣ ⎦ x Como f ( x ) = y = e x tenemos que f ´(x ) = e x y f ´( y ) = e y y además al cambiar la variable resulta x = e y , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x ⎡d f ⎣ dx Bien, reemplazando ⎢ −1 ⎤ 1 1 ⎥ ( x) = f ´( y ) = x ⎦ (No olvide la inversa de la función exponencial es la logarítmica, es decir: determinamos con su definición) f −1 ( x) = ln x , cuya derivada la 3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas 1 ;−1 < x < 1 D x (arcsen x ) = 1− x2 1 ;−1 < x < 1 D x (arccos x ) = − 1− x2 1 D x (arctg x ) = 1+ x2 1 Dx ( arc co tg x ) = − 1 + x2 1 ; x >1 D x (arc sec x ) = x x2 −1 Demostración: [ Demostraremos la primera. Planteemos el problema de la siguiente manera: Sea f ( x) = y = sen x hallar D x f [ ] −1 ] ( x) = D x [arcsen x ] SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos: Dx f −1 ( x) = D x [arcsenx] = 1 f ´( y ) Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la variable en la función dada). Por trigonometría, decir que seny = x significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura 3.16) 1 123 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Fig. 3.16 Por lo tanto, D x [arcsenx] = 1 1 = L.Q.Q.D. cos y 1− x2 Las fórmulas anteriores pueden ser generalizadas para una función u = u (x) D x (arcsen u ) = 1 D x (arccos u ) = − 1− u2 1 u´ ;−1 < u < 1 1− u2 D x (arctg u ) = u´ ;−1 < u < 1 1 u´ 1+ u2 1 D x (arc sec u ) = u´ ; u > 1 u u 2 −1 Ejemplo ⎛ y⎞ Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln ⎝x⎠ x2 + y2 [ ( SOLUCIÓN: Derivando implícitamente, tenemos: )] ( ⎡ ⎛ y ⎞⎤ Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2 2 ⎝ x ⎠⎦ ⎣ 1 1 ⎛ y⎞ 1 Dx x 2 + y 2 D ⎜ ⎟= 2 x⎝ x ⎠ 2 2 x + y2 y⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ ( ) ⎡ y´x − y (1) ⎤ 1 [2 x + 2 yy´] ⎥= ⎢ 2 2 x2 ⎦ 2x +y 1 y2 1+ 2 ⎣ x ⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´) 1 ⎢ ⎥= x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2 x x 2 (xy´− y ) 2 ( ) ( x + yy´ = x2 x2 + y2 x2 + y 2 xy´− y = x + yy´ xy´− yy´= x + y y´= 124 x+ y x− y ) ) Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Ejercicios Propuestos 3.9 1. 2. 3. ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(6 ) ⎝ dx ⎠ Si f (x ) = x + 3 x + 2 hallar ⎜ 7 3 2 Si f (x ) = x − 3x + 1 para x > 3 () 2 ; hallar ⎛ dg ⎞ π Hallar ⎜ , si g es la función inversa de ⎟ ⎝ dx ⎠ 4 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟ (5) . ⎜ ⎝ dx ⎠ f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x 4. Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x) = x + 2 x − 3 en el punto ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(4 ) . ⎠ ⎝ dx recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜ (0, f −1 (0) ) 3 6. Determine la ecuación de la recta tangente a la función y = f −1( x ) en el punto 7. Hallar la ecuación de la recta normal a la inversa de 8. f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR f ´(a ) = f (a ) = 2a . f en ( 2a, f −1 ( −2, f (2a) ) −1 (−2) ) donde si se conoce que ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(0) conociendo que la ecuación cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función invertible Hallar ⎜ ⎝ dx ⎠ (y = f (x) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0 dy 9. Calcular , para : dx a. b. ⎤ ⎡ y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 + 1 ⎥ ⎦ ⎣ ( ⎛x⎞ y = xarctg ⎜ ⎟ − ln x 2 + 4 ⎝2⎠ ) ⎛ 4senx ⎞ c. y = arctg ⎜ ⎟ ⎝ 3 + 5 cos x ⎠ d. ( 3 y = e arctg x + senx ) 3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son un tanto g ( x) complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma y = f ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente. Ejemplo 1 Hallar dy para y = x x dx SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ln y = ln x x ln y = x ln x Ahora derivando implícitamente, resulta: 125 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Dx (ln y ) = Dx (x ln x ) 1 ⎛1⎞ y´= (1) ln x + x⎜ ⎟ y ⎝x⎠ y´= y[ln x + 1] y´= x x [ln x + 1] Ejemplo 2 Hallar dy para y = [sen 2 x ]arctg x dx SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ( ) ln y = ln [sen 2 x ]arctg x ln y = arctg x ln (sen 2 x ) Ahora derivando implícitamente, resulta: Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )] 1 1 ⎡ 1 (cos 2 x )(2)⎤⎥ y´= ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢ 2 y 1+ x ⎦ ⎣ sen 2 x ⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤ + y´= y ⎢ ⎥ sen 2 x ⎣ 1 + x2 ⎦ ( ) x x cos 2 x ⎤ ln sen 2 2 arctg ⎡ + y´= [sen 2 x ]arctg x ⎢ ⎥ 2 sen 2 x ⎣ 1+ x ⎦ Ejemplo 3 Hallar dy dx para y = xx x SOLUCIÓN: ( ) Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicando logaritmo tenemos: ln y = ln x x x ln y = x x ln x ( ln (ln y ) = ln x x ln x ) Luego, volvemos a aplicar logaritmo: ln(ln y ) = ln x + ln(ln x) x ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x) Y ahora sí, derivamos implícitamente: 126 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)] 1 1 1 1 1 y´= (1) ln x + x + ln y y x ln x x 1 ⎤ ⎡ y´= y ln y ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ x x ⎡ 1 ⎤ y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 + ln x x ⎥⎦ ⎣ x 1 ⎤ ⎡ y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 + x ln x ⎥⎦ ⎣ Existen situaciones en que es recomendable emplear la derivación logarítmica Ejemplo Hallar dy para y = dx x 2 + 2 3 1 + arctg x 4 1 + ex SOLUCIÓN: Primero, aplicando logaritmo, tenemos: ⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤ ⎥ ln[ y ] = ln ⎢ 4 x ⎥ ⎢ + 1 e ⎦ ⎣ ( ) ( ln y = 12 ln x 2 + 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x ) ( ( ) ( Dx (ln y ) = Dx 1 ln x 2 + 2 + 1 ln (1 + arctgx ) − 1 ln 1 + e x Ahora derivando implícitamente, resulta: ) ( ) ⎞ ⎛ 1 1 1 (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ − 1 1 x e x y´= 2 x2 + 2 3 1 + arctgx ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e y 2 3 ⎡1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 y´= y ⎢ 2 + 2 3 1 arctgx ⎝1+ x ⎣⎢ x + 2 Finalmente, reemplazando resulta: y´= 4 ( ) ⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠ x 2 + 2 3 1 + arctgx ⎡ 1 1 ⎛ (2 x ) + 1 1 ⎜⎜ 1 2 ⎢ 2 + 2 arctgx 3 1 4 x ⎝ 1+ x ⎣⎢ x + 2 1+ e ( ) ⎤ ⎞ 1 1 ⎟− ex ⎥ ⎟ 4 x 1+ e ⎥⎦ ⎠ Ejercicios Propuestos 3.10 1. Calcular dy , para : dx a. y= sec 5 x b. y= 4 3 tgx + 1 csc x 3 − 4 x 3 cos 4 x e. (4x − x ) 3 1− x2 3 5 f. y = xnnx ( ( ) ) ⎡ arcsen sen 2 x ⎤ y=⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ arccos cos x ⎦⎥ arctg 2 x 127 Moisés Villena Muñoz c. d. y= x −1 3 (x + 2)2 (x + 3)3 y=x 2 arcsen(e x ) g. h. 3x i. j. 2. ( Cap. 3 La derivada ( y = arcsen 1 + e 2 x )) sec x y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x)) (x + y ) y = x2 + y2 y = (1 + x 2 ) x ( Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e x punto (0,1) )ln(x+1) en el y x 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) . 4. Determine d2y dx 3.7 2 (1,2) , si existe, para x y + xy = 3 FUNCIONES HIPERBÓLICAS. Existen funciones especiales, denominadas Hiperbólicas, que se definen a partir de la función exponencial. 3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es e x − e− x y = f ( x) = senhx = 2 Por tanto su gráfica sería: Fig. 3.17 3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO Su regla de correspondencia es: 128 e x + e −x y = f ( x) = cosh x = 2 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada Por tanto su gráfica sería: Fig. 3.18 3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspondencia es: senhx e x − e − x = y = f ( x) = tghx = cosh x e x + e − x Por tanto, su gráfica sería: Fig. 3.19 Se puede demostrar que cosh 2 x − senh 2 x = 1 129 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3.7.4 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS D x (senh x ) = cosh x D x (cosh x ) = senh x D x (tgh x ) = sec h 2 x D x (c tgh x ) = − csc h 2 x D x (sec hx ) = − sec hx tgh x D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x ¡Demuéstrelas! Misceláneos 1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta. a) ⎛ d( f D g)⎞ Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜ ⎟ ( 2) = 4 ⎝ dx ⎠ b) La función f ( x) = sen x no es derivable en x = 0 c) Si d) 3 La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) . e) f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0 . La expresión lim x→ sen x − 1 x− π π 2 2 f) La función f ( x ) = 6 x3 + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4. g) Si y ( x) = x h) Si g ( x) = f e i) 130 es la derivada de f ( x) = sen x cuando x = π . 2 entonces y´(x ) = x xx xx x⎛ 1⎞ x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟ x⎠ ⎝ ( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12 [ ] Si f es una función continua en el intervalo cerrado a, b y f ( a ) = f (b) entonces en algún punto del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x . j) 1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟( x ) = Si f es una función invertible entonces ⎜ . dx f x) ´( ⎝ ⎠ k) Si f , l) Si f g y h son funciones tales que h(2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0 (f D g D h )´(2) = 4 , es una función inversible y derivable tal que ⎛ d −1 ⎞ f ⎟ ( −2 ) = 1 . ⎜ ⎝ dx ⎠ f ´(1) = 4 y g (1) = g´(1) = −1 y f (1) = −2 entonces Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada m) Si h( x) = f (1 + f (1 + f ( x)) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3 entonces h´(1) = −30 n) ⎧2 x − 1; x ≥ 1 ⎪ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable ⎪ 3x ; x < 0 ⎩ La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ en todo su dominio. ;x ≤ 0 ⎧ g ( x) ⎪⎪ 2 o) Existen funciones g y h tales que la función f ( x ) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es derivable en ⎪ h( x) ;x ≥1 ⎪⎩ \. todo f ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x3 + cx . Entonces no existen valores p) Si tenemos las curvas q) = y x define una función y = f (x) entonces la ecuación de la recta tangente a f en el punto (1,1) es y = x − 1 . a, b, c ∈ \ , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto (2,2) . Si la ecuación x y r) Si g es la función inversa de f ( x) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 . 5 s) Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ⎪ 2 t) ⎩x + 2 ; x > 1 u) Si f (c) = g (c ) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces h´(c) = 0 v) Si C es un lugar geométrico x y + 2 = 1 ; a, b ∈ \ − {0} , 2 a b w) Si f y g son funciones de Encuentre x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y b. y ( x) = x 2 + 1 c. y ( x) = f. g. ( plano cuyos puntos satisfacen la ecuación: x0 y a2 entonces la recta tangente a C en cualquier punto y y + 0 =1 b2 \ en \ tales que f ´= g´ entonces f = g )ln x sen (ln 2 (cos x + e3 x ) 2 2 x y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 − ⎝ y⎠ y2 y ( x) = xe + e x x y ( x) = el dy para dx a. e. en 2 P (x0 , y0 )∈ C , tiene por ecuación d. entonces f ´(1) existe. f ´(2) = g´(2) = g (2) = 2 entonces ( f D g )´(2) = 4 . 2 2. ;x ≤1 ⎧⎪ 3x i. j. k. x x cos x + x y ( x) = ln h. 2 + 3x 2 − 3x l. m. y ( x) = x2 + 2 4 3 1 + arctg x 1 + ex y ( x) = (sen3 x )arctg (x 2 ) 2 y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x ln (x + y ) = arctg⎛⎜ ⎝ ( ) y ( x) = e tg x tg e x (x + y ) y = x 2 x⎞ y ⎟⎠ 131 Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 3. [ ] d [ f ( x)]2 + 1 dx Hallar ⎧ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎪ x sen⎜⎝ x 4 ⎟⎠ ⎪ 4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b ⎪ 2 ⎪ cx + d ⎩ [ f ´(−2)].[ f (12 )] − f ´(π + 1) Sea 5. continua en x=0 y derivable ;x < 0 ;0 ≤ x ≤ 1 ;x > 1 x = 1 . Además determine, de ser posible, en ⎧ x = 2 sec t ⎩ y = 2tant Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en t = − π 6 (x + 1)2 + 3 determine el valor de (g D f )´(1) . 6. 2 Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) = 7. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 8. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones ⎧ x = cos t en el punto (0,0) . ⎨ ⎩ y = sen t cos t g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h(2) = −1 9. ) ( 2 diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x ) = h x g ( x) y se conoce que [ ] [ ] Determine los puntos del intervalo −1,2 donde la función f ( x ) = x + x − 1 sea derivable. 1 ⎛ d −1 ⎞ f ⎟(1) = 2 . Considere que k + 5k ⎝ dx ⎠ 10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜ f (4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x . ⎧ x = arccos t , t ∈ (−1,1) determine ⎩ y = arcsen t − t 11. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ d3y dx3 . ⎧⎪ x = 1 + t 2 d3y en el , t > 0 determine ⎪⎩ y = t ln t dx3 12. Para la función y = f (x) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ punto ( 2,0) 13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x 2 + ax + b y y = cx − x 2 tienen una recta tangente ( común en el punto (1,0) . ) y 14. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto x (1,0) . 15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1,2) . Donde C está definida por las ⎧x = ⎪ ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪y = ⎩ 132 2t 2 t +1 , t ∈ IR − {−1,0} 3−t t Moisés Villena Muñoz Cap. 3 La derivada 16. Hallar d2y dx 17. Hallar 2 ⎧⎪ x = et cos t para ⎨ ⎪⎩ y = et sen t , t ∈ IR dy 2 en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 . dx 18. Sea y = f (x) función tal que h = f −1 . Sea y ≥ 0 si h( y ) = y 2 − calcular f ´(1) y +1 y + 2 19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas 3 3 ⎧⎪ x = a cos3 t ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 2⎞ ; t ∈ 0,2π ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜ , a⎜ 2 ⎟ ⎟ . ⎟ ⎨ 2 2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ ⎪ [ ⎩ y = a sen t ] ⎠ ⎝ 20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f ⎪⎧sen x + a ; x ≥ 0 . x ⎩⎪ be + c ; x < 0 es una función tal que f ( x ) = ⎨ ⎧ x = (1 + cos t )cos t en t = π . ⎨ 2 ⎩ y = (1 + cos t )sen t 21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ( ) 22. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy 2 + 3 x 2 = 4 ; en el punto (1,0) . 23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) . ⎧⎪ x = 2t − t 2 24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ en el punto (1,2 ) . [ ] ⎪⎩ y = 3t − t 3 25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x f (cos x) es una función Par. 26. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola definida por y = 2 x − 5 x + 1 . 2 27. Hallar d 50 ⎡1 − x ⎤ ⎢ ⎥ dx50 ⎣1 + x ⎦ 28. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎧⎪ x = e 2t − 1 cuando t = 0 ⎨ ⎪⎩ y = e − 2t + 2 29. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es f ( x) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la 2 parábola. 30. Si f es una función de \ en \ inversible y con regla de correspondencia f ( x) = x3 + 3 x − 10 ⎡ d −1 ⎤ f ⎥ (4) ⎣ dx ⎦ entonces determine ⎢ 133 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO APROXIMACIONES ANALISIS MARGINAL COSTO MEDIO ELASTICIDAD MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS PROBLEMAS PRACTICOS DE OPTIMIZACIÓN TEOREMAS SOBRE DERIVADAS 4.11.1 TEOREMA DE LAGRANGE 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL OBJETIVOS: Resolver problemas de razón de cambio. Aproximar variaciones de funciones. Aplicar e interpretar el Análisis Marginal Calcular Elasticidad de la demanda Elaborar gráficas. Resolver problemas prácticos de Optimización Calcular indeterminaciones empleando la regla de L´hopital 81 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.1 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO Suponga que se tiene y f (t ) y que se da una variación en t , denotada como t , esto provoca una variación en la función, denotada como y . Esta variación puede ser en sentido de aumento, positiva, o en sentido de disminución, negativa. La variación de la función sería: y f (t t ) f (t ) Se considera la variación media de la función como: y f (t t ) f (t ) t t Si tomamos variaciones de " t " cada vez más pequeñas, tenemos un cambio f (t t ) f (t ) y instantáneo de la función, es decir: lim lim t 0 t t 0 t Observe que la última expresión es la derivada de la función f (t ) ; entonces, la derivada f ´(t ) expresa el cambio instantáneo que experimenta la función. 4.1.1 DEFINICIÓN. Sea y f (t ) . La RAZÓN O RAPIDEZ DE CAMBIO de y con respecto a t , se define como: f ´(t ) lim t 0 La f (t t ) f (t ) t RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL se define como: f ´(t ) 100 f (t ) Obtener rapidez de cambio porcentual posibilita la comprensión del cambio significativo con respecto al valor original. Esto nos va a permitir resolver problemas de aplicación. 82 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 1 En un estudio realizado a partir del año 1999 se determinó que el impuesto predial estaba dado por I (t ) 10t 2 70t 500 dólares, donde " t " significa años después de 1999. a) Calcule la razón a la que aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo, en el 2005. b) ¿A qué razón porcentual aumentó el impuesto predial, con respecto al tiempo en 2005? SOLUCIÓN: a) La razón de cambio del impuesto predial es la derivada de I (t ) , es decir: I´(t ) 20t 70 dólares por año desde el año 1999 al año 2005 han transcurrido 6 años, por tanto: I ´(6) 20 6 70 190 Entonces, después de seis años el impuesto estará cambiando a una razón de 190 DÓLARES PO R AÑO . b) La razón de cambio porcentual será: calculemos I (6) : I ´(6) 100 I (6) I (6) 10 6 70 6 500 1280 dólares 2 Entonces 190 I ´(6) 100 100 14.84 % I (6) 1280 Es decir, después de seis años el impuesto estará cambiando al 14. 84% anual. Ejemplo 2 Un comerciante estima que la demanda de cierto artículo estará dada por D( p ) 4000 p2 artículos a la semana cuando el precio sea p dólares por artículo. Se estima que dentro de t semanas, el precio del artículo estará dado por p(t ) 2t 2 t 3 dólares por artículo. ¿A qué ritmo cambiará la demanda semanal de los artículos con respecto al tiempo dentro de 10 semanas? SOLUCIÓN El ritmo o razón de cambio de la demanda de los artículos será; d D( p) dt Como la demanda D es función de precio p , aplicamos la regla de la cadena para obtener la derivada de la demanda con respecto al tiempo t , es decir: dD dp d D( p) dt dp dt 8000 3 4t 1 p Después de 10 semanas el precio de los artículos será: p(10) 210 10 3 213 dólares por artículos. Entonces: 2 83 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz d 4t 1 D( p) 8000 3 dt p 8000 4(10) 1 2133 artículos / semana 7.23 semana En 10 semanas, la demanda semanal estará dismuyendo a una razón de 7.23 Ejercicios Propuestos 4.1 1. Las Utilidades anuales de cierta compañía están dadas por U (t ) 0.1t 2 10t 20 miles de dólares, " t " años después de su formación en 2001. a) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales brutas de la compañía, con respecto al tiempo, en el 2005?. b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias anuales brutas, con respecto al tiempo en el 2005? 2. Después de " t " SEMANAS, la cantidad de personas que utilizan un nuevo sis tema de cajero automático está dada por P(t ) 6t 500t 8000 personas. ¿A qué RAZÓN PORCENTUAL cambió el uso del sistema después de 10 semanas? 3 3. Dentro de " t " AÑOS la población de cierta ciudad está dada p(t ) 20 t 12 estudio ambiental revela que la contaminación del agua estará dada por de contaminación cuando la población sea variará la contaminación del agua después de 3 años? UNIDADES p 40 miles de habitantes. Un C ( p) 2 p 2 p 10 MILES DE HABITANTES, ¿a qué RAZÓN PORCENTUAL 4. Cuando un determinado artículo se v enda a " p " dólares por unidad, la demandad de los consumidores locales estará dada por D( p) 40000 unidades al mes. Se estima que dentro de " t " meses el precio del artículo p 3 estará dado por p(t ) t 2 4 dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del artículo con respecto al tiempo dentro de 6 meses? la población de cierta ciudad está dada por: P(t ) t 200t 10000 habitantes. a) Exprese la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población como una función de t b) ¿Qué sucederá con la RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL de la población a largo plazo? 5. Dentro de " t " AÑOS, 2 6. El PNB de cierto país crece a una razón constante desde 1996, cuyo valor era $125.000 millones y en 1998 era $155.000 millones. ¿A qué razón porcentual aumentó el PNB en 2001. 84 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.2 APROXIMACIONES Suponga que se esté produciendo un determinado artículo; los costos de producción, los ingresos y por ende la utilidad se verían afectados si variamos la producción. Estos cambios en el costo, en el ingreso y en la utilidad pueden ser encontrados, en sus valores aproximados, empleando el cálculo diferencial. Es decir, podemos hallar el valor aproximado de la variación de una función, cuando su variable independiente cambia, a partir de su regla de correspondencia. Empecemos mencionando la definición de diferenciales. 4.2.1 DEFINICIÓN. DIFERENCIALES. Sea y f x una función diferenciable. La diferencial de la variable independiente “ x ” se denota como dx y la DIFERENCIAL de “ y ” denotada como dy , se define como: dy f ´( x)dx Ahora hagamos una interpretación gra fica. Observe la figura: 85 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Note que la variación de “ x " denotada como " x " es igual a su diferencial, es decir x dx Además observe que, si x 0 entonces y dy , es decir: y f ´( x)x Entonces, el cambio real f ( x x) f ( x ) es aproximadamente igual a f ´( x )x . 0 0 0 Además, Se define como: la VARIACIÓN RELATIVA y f ´ x0 x y f x f ´ x0 x y 100 100 y f x Y la VARIACIÓN PORCENTUAL sería: Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta fábrica están dados por C (q) 50q 2 9000q dólares, donde " q ” es el número de unidades producidas. En la actualidad se están produciendo 30 unidades. a) Calcule la variación real en el costo, si se decide producir 33 unidades b) Utilice el Cálculo para aproximar el CAMBIO que se generará en el costo al producir las 33 unidades. c) Calcule el cambio porcentual SOLUCIÓN. a) El cambio real se lo puede calcular obteniendo la diferencia entre el costo de producir 33 unidades y el costo de producir las 30 unidades. Cambio Re al en el Costo C C (33) C (30) 5033 900033 5030 900030 351450 315000 $36450 2 2 86 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz b) Por otro lado Cambio Aproximado en el Costo C´(30)q En este caso q 3 y f ´(q) 100q 9000 C f ´( 30)3 10030 90003 $36000 Entonces: c) Cambio porcentualen el Costo C 36000 100 10.24% C 351450 Ejemplo 2 La producción de cierta fábrica está dada por Q( L) 600L 3 unidades, donde L representa el tamaño de la fuerza laboral. El fabricante desea incrementar la producción en un 1% . Aplique el Cálculo para estimar EL INCREMENTO PORCENTUAL que se requerirá en la mano de obra. 2 SOLUCIÓN. Se pide L% si Q 1% L 100 . L Q 100 y como Q Q´L entonces El cambio porcentual en Q está dado por Q% Q El cambio porcentual en L estaría dado por L% Q% Q´L 100 Q 1 2 13 L 400 L 3 . Reemplazando, tenemos: 3 La derivada de Q sería Q´ 600 Q% 1 Despejando L , resulta L Q´L 100 Q 1 3 400 L L 2 100 600 L 3 2L 100 1 3L 3L . 200 L 100 L 3L 100 1.5% L% 200 L Y finalmente reemplazando L% 87 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.2 1. Dada la ecuación de la demanda p demandan q 12.5 unidades. 100 , utilice diferenciales para estimar el precio p cuando se q4 2. Se estima que la producción semanal en cierta planta está dada por Q 50x 2 9000x unidades, donde " x " es el número de trabajadores empleados en la planta. En la actualidad hay 30 trabajadores empleados en la planta. a) Utilice el cálc ulo para estimar el cambio que se generará en la producción semanal al aumentar en 1 trabajador la fuerza laboral. b) Calc ule el cambio real que se generará en la producción al emplear 1 trabajador más. Q 2 x 3 3x 2 y 2 1 y 3 . Si los niv eles actuales de insumos son x 30 e 3. En cierta fábrica la producción Q está relacionada con los insumos " x " e " y " mediante la ecuación y 20 , utilice el cálculo para estim ar el cambio que debería realiz arse en el insumo " y " para compensar una disminución de 0.5 unidades en el insumo " x ", de manera que la producción se mantenga en su niv el actual. 4. La producción Q de una fábrica está relacionada con los insumos x e y mediante la ecuación Q x 2 xy 2 y . Si los niv eles actuales de insumos son x 10 e y 20 , aplique el Cálc ulo para estimar el CAMBIO que debería realizarse en el insumo y que debería realizarse para COMPENSAR UN 3 INCREMENTO de 2 3 0.5 en el insumo x , de manera que la producción se mantenga en su niv el actual. 5. En cierta fábric a un obrero que llega al trabajo a las 8 a. m. habrá producido Qt t 3 9t 2 12t unidades, t horas más tarde. a) Calcule la tasa de producción del trabajador a las 9 a.m. b) ¿A qué razón cambia la tasa de producción del trabajador con respecto al tiempo a las 9 a.m.? c) Aplique el cálc ulo para estimar el cambio en la tasa de producción del trabajador entre las 9 a.m. y las 9:06 a.m. d) Calcule el cambio real en la tasa de producción del trabajador entre las 9:00 a.m. y las 9:06 a.m. 6. En determinada Fábrica, la producción diaria está dada por Q 3000K 1 1 2L 3 7. En determinada empresa, la producción está dada por Q( K ) 400K 1 2 unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa medida en unidades de $1.000 y L representa el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión actual de capital es de $400.000 y que se utilizan 1331 horas-trabajador todos los días. Emplee el cálc ulo marginal para estimar el efecto que, sobre la producción diaria, tendrá una inversión de capital adicional de $1.000, si el v olumen de la fuerza laboral permanece igual. unidades, donde K representa la inv ersión de capital de la empresa. Estime ¿qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de capital? 88 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.3 ANALISIS MARGINAL En Economía, ocasionalmente se hace necesario determinar la variación de una función cuando su variable independiente cambia en una unidad. Si y f (x) entonces x 1 y f ´( x)x . tenemos que resultado, es decir a FUNCIÓN MARGINAL Considerando y f ´(x) . A este f ´(x) se la llama la de f (x) . Lo anterior quiere decir que: Si tenemos producir la unidad Si tenemos I ´(q) el COSTO de producir q unidades, entonces q 1. sería el COSTO MARGINAL y significa el costo adicional por C´(q) C (q) I (q) el INGRESO por la venta de q unidades, entonces q 1. sería el INGRESO MARGINAL y significa el Ingreso adicional por la venta de la unidad Si tenemos U (q) unidades, entonces la UTILIDAD por la producción y venta de U ´(q) q q 1. sería la UTILIDAD MARGINAL y significa la utilidad adicional por la producción y venta de la unidad Ejemplo 1 Se estima que los costos semanales en cierta planta están dados por C (q) 5q 2 90q dólares, donde " q ” es el número de unidades producidas. a) Determine el Costo Marginal. Interprete. b) Suponga que se están produciendo 100 unidades, emplee el Costo Marginal para estimar el costo de fabricar la unidad 101. SOLUCIÓN: a) El costo marginal seria C´(q) 10q 90 dólares, el cual significa el costo adicional de producir la unidad q 1. b) El costo adicional por fabricar la unidad 101 es C´(100) 10100 90 1090 dólares. 89 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.4 COSTO MEDIO. Sea C (q) el COSTO de producir denotado como C , se define como: q unidades, entonces el COSTO MEDIO, C C (q) q Ejemplo 1 Para el costo C (q) 5q 2 90q , donde “ q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Medio. SOLUCIÓN: C C (q) 5q 2 90q $ 5q 90 q q unidad Ejemplo 2 Suponga que el costo medio para un determinado artículo está dado por C (q) q 2 10q 50 , donde “ q ” es el número de unidades producidas, determine el Costo Marginal. SOLUCIÓN: Como C C (q) entonces C (q) q C q q 2 10q 50 q 3 10q 2 50q q Por lo tanto el Costo marginal sería: C´(q) 3q 2 20q 50 Ejercicios Propuestos 4.3 1. Si la función de Costo total, para un fabricante está dada por C q 2. La función de costo total está dada por: C q 5q 2 q2 3 5000 , siendo q las unidades producidas. Determine el costo marginal y el costo medio cuando se producen 10 unidades. Interprete. Dq q2 3q 67 ; sabiendo que la ecuación de la demanda es: 4 1 45 q , determinar las funciones de Ingreso, Costo y Utilidad Marginales. Interprete 5 1 3. Sea C q q 2 4q 57 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 5 1 pq 36 q el precio al cual se v enderán las q unidades. 4 a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utilizar el costo marginal para calc ular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calc ular el ingreso obtenido de la venta de la cuarta unidad. 90 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4. Sea C q pq 1 2 q 3q 67 el costo total de producir q unidades de un determinado artículo, y 4 1 45 q el precio al cual se v enderán las q unidades. 5 a) Hallar el costo medio, el costo y el ingreso marginal. b) Utiliz ar el costo marginal para calc ular el costo de producir la cuarta unidad. c) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la v enta de la cuarta unidad. 4.5 ELASTICIDAD Suponga ahora que se desea determinar la variación porcentual de una función cuando su variable independiente varía en 1%. Esto es, si tenemos y f (x) y x 100 1% es decir que x 0.01x . x f ´x x 100 Bien, sabemos que el Cambio Porcentual f x suponga que Reemplazando, tenemos: Cambio Porcentual f ´x 0.01x f ´x x 100 f x f x Este cambio porcentual de f , es lo que se denomina ELASTICIDAD de f . 4.5.1 DEFINICIÓN Sea y f (x) . La ELASTICIDAD de f con respecto a x , denotada como , se define como: f ´ x x f x y denota el cambio porcentual de f cuando x varía en 1%. Es muy común utilizar este concepto para la demanda. 91 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Suponga que se tiene la ecuación de la demanda D´( p) p D( p) entonces D p y de dice que: Si 1 la demanda es INELASTICA Si 1 la demanda es ELÁSTICA Si 1 la demanda es de ELASTICIDAD UNITARIA Ejemplo 1 Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D( p) 2 p 2 32 ; 0 p 4 cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $3. Interprete SOLUCIÓN: Empleando la definición D´( p) 4 p 4 p 2 2 p2 p p D p 2 p 2 32 2 p 2 32 16 p 2 p 3 2(3)2 2.57 16 (3)2 Esto quiere decir que cuando el precio del ar tículo es de $3 si este precio varía en 1% entonce s la cantidad demandada disminuirá en 2.57% . Y como 2.57 2.57 tenemos una DEMANDA ELÁSTICA . Ejercicios Propuestos 4.4 1. Determine las elasticidades de la demanda en función de p para: a) b) q c) D: p d) D: p e) f) 2. q 25 p 2 90 2 p h) q 100 p 10 q 100 i) ( p 20)(q 10) 800 280 q2 p q 5 D( q ) g) D(q) 32 q2 2 16 3 q2 Un comerciante estima que para un determinado artículo la demanda estará dada por D( p) 30 2 p p 2 cuando el precio del artículo es p . Determine la elasticidad de la demanda si el precio del artículo es $2. Interprete 92 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.6 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.6.1 Teorema de Monotonía Sea una función continua en un intervalo a, b y diferenciable en todo punto interior de a, b . Entonces: 1. Si f ´( x) 0, x a, b entonces es creciente en a, b 2. Si f ´( x) 0, x a, b entonces es decreciente en a, b . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) 0 , x a, b . Sea x0 a, b entonces f ´( x0 ) 0 , es decir lím f ( x) f ( x0 ) 0 xlím x0 x x0 indica que lím f ( x) f ( x0 ) 0 x x0 x x0 En el primer caso el denominador es negativo x x0 x x0 por f ( x) f ( x 0 ) 0 ; esto x x0 tanto el numerador debe ser también negativo, es decir f ( x) f ( x0 ) , lo cual también indica que f es creciente. En el segundo cado en denominador es positivo x0 x por tanto el numerador debe ser también positivo, es decir f ( x0 ) f ( x) , lo cual indica que f es creciente Para el caso f ´(x) 0 , la demostración es análoga. Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x) 2 x 4 x 5 SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) 4 x 4 93 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz El asunto es determinar en qué intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x) 4( x 1) ; se observa que: x x 1 f ´( x) Negativa (-) Positiva(+) x 1 f decrece crece Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) 3x2 6x En la forma factorizada f ´( x) 3x x 2 se observa que: x f ´( x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) x0 0 x2 x2 f crece decrece crece Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los interv alos de crecim iento y de decrecim iento para cada función: 1. 2. 3. 4. 5. 6. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 f ( x) x 3 4 x 2 3 f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 94 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más importante que se resuelve con la ayuda de la derivada. 4.7.1 DEFINICIÓN Sea f :I . Suponga que “ x0 ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. f ( x0 ) es el valor máximo de f en I , si f ( x0 ) f ( x) , x I . (El mayor de todos) 2. f ( x0 ) es el valor mínimo de f en I , si f ( x0 ) f ( x) , x I . (El menor de todos) Al máximo y al mínimo de f se lo llama VALOR EXTREMO. Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 4.7.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos un intervalo a, b entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en a, b. Si f es una función continua definida en Lo anterior quiere decir que siempre habrá extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero continúa la interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos Críticos. 95 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos. a, b que contiene a “ x ”. Sea f una función definida en un intervalo 0 Entonces “ x0 ” es llamado Punto Crítico si es: Un punto extremo del intervalo, es decir x0 a , x0 b . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir f ´( x0 ) 0 . Este será llamado Punto Crítico Estacionario. (En este punto la recta tangente es horizontal). O bien, Un punto donde la derivada no existe; es decir f ´( x0 ) no está definida. Este será llamado Punto Crítico Singular. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo f ( x) x , tiene un punto crítico singular (pico) en x 0 ) 4.7.4 TEOREMA a, b Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “ x0 ”. Si f ( x0 ) es un valor extremo entonces “ x0 ” es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los 96 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. Sea f ( x 0 ) un valor máximo; es decir f x 0 f ( x) , entonces: f ( x) f ( x0 ) 0 DEMOSTRACIÓN. Si x x0 , dividiendo por x x 0 tenemos Ahora obteniendo límite lím x x0 f ( x) f ( x 0 ) 0 x x0 f ( x) f ( x 0 ) lím 0 resulta f ´(x 0 ) 0 . x x0 x x0 f ( x) f ( x 0 ) lím 0 resulta f ´(x 0 ) 0 x x0 x x0 x x0 Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración ser ía análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo. Para x x 0 , tenemos, obteniendo límite lím Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: 97 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Si “ x 0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x 0 ” sea un punto crítico. Que “ x 0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta. Ejemplo 1 Determinar los extremos para f ( x) 2 x 2 4 x 5 en 0,3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 0 y x 0 3 analizamos la derivada: f ´(x) 4 x 4 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos Ahora f ´( x0 ) 0 4( x0 1) 0 , entonces el Punto Crítico Estacionario sería: x 0 1 . 3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos: f 0 202 40 5 5 f 3 232 43 5 11 f (1) 3 En x 0 3 se encuentra el Valor Máximo f . Por inspección, se determina que: Y en x 0 1 se encuentra el Valor Mínimo de f . 98 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) x3 3x2 3 en 2,3 SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x´0 2 y x0 3 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) 3x 2 6 x , tenemos: f ´( x) 0 Entonces serían: x 0 0 y x0 2 . 3x 2 6 x 0 3x( x 2) 0 3. Puntos críticos Singulares: No hay. f 2 2 3 2 3 8 12 3 17 Bien, ahora evaluando en la función: 3 2 f 3 (3)3 3(3) 2 3 27 27 3 3 f (0) 3 f (2) (2)3 3(2) 2 3 1 De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 3 como en x0 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 2 . Ejercicios Propuestos 4.6 1. 1. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 en 2,3 Determine el v alor máximo y el valor mínimo : x5 4 3 x en 3,3 5 3 1 3 3. f ( x) x 4 x 2 en 5,3 3 2. f ( x) 4. 5. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 en 1,1 f x x 2 1 6. f ( x) x 1 3 4 4 en 2,2 en 1, 2 Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en un intervalo de su dominio, pero si analizamos la función en todo su dominio, esto nos deja insatisfechos. ¿Qué ocurre con los puntos críticos que son extremos en un intervalo? 99 Moisés Villena Muñoz Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada 4.7.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo a, b en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor máximo de f en a, b . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo a, b en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor mínimo de f en a, b . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue. 100 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.7.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea f continua en a, b que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´( x) 0, x a, x0 y f ´( x) 0, x x0 , b entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´( x) 0, x a, x0 y f ´( x) 0, x x0 , b entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . 3. Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f . Ejemplo Para f ( x) x3 3x2 3 Analizando la primera derivada f ´( x) 3x x 2 se observó que: x x0 0 x2 x2 f ´( x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) f crece decrece crece Entonces: 1. Como antes de x 0 la derivada es positiva y después es negativa se concluye que f (0) 3 es un máximo local. 2. Como antes de x 2 la derivada es negativa y después es positiva se concluye que f (2) 1 es un mínimo local. Ejercicios Propuestos 4.7 Emplee el criterio de la prim era deriv ada para clasificar los ex tremos locales: 1. 2. 3. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 f ( x) x 3 4 x 2 3 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 101 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 Trazar la gráfica de f ( x) 2 x 2 4 x 5 en 0,3 . Se ha obtenido x 0 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería: SOLUCIÓN: Máx. 3,11 P.C.F. f ( x) 2 x 2 4 x 5 P.C.F. 0,5 Mín 1,3 P.C.E. Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Ejemplo 2 Graficar f ( x) x3 3x2 3 en 2,3 Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios x 0 0 y x0 2 , también se determinó que antes de x0 0 la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto x0 2 ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es: SOLUCIÓN: P.C.E ymáx. P.C.F P.C.E f ( x) x 3 3x 2 3 P.C.F ymín 102 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.8 Bosqueje la gráfica de: 1. 2. 3. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 y 3x5 20 x3 y 13 x3 9 x 2 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graficar f ( x) x SOLUCIÓN: 4 5 Analizando la derivada f ´( x) Punto Crítico Singular: x 0 0 x x0 x0 4 15 4 x 5 , tenemos: 5 5 x f ´( x) Negativa (-) Positiva (+) f decrece crece Por tanto, se puede decir que su gráfica es: yx 4 5 Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la 103 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos: 4.8 CONCAVIDAD 4.8.1 Teorema de concavidad Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si f ´´( x) 0, x I entonces f cóncava hacia arriba en I. f ´´( x) 0, x I entonces f 2. Si cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de f ( x) x 4 es es 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) 4 15 x 5 4 65 4 x entonces la segunda derivada es f ´´( x) 25 25 5 x6 Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x f ´´(x) f x0 Negativa (-) Negativa (-) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo x0 Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó. Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 104 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.8.2 Puntos de Inflexión Sea f continua en “ x0 ”, llamamos a x0 , f ( x0 ) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) 3x 2 6 x f ´´( x) 6 x 6 6( x 1) x x 1 x 1 entonces la segunda derivada es f ´´(x) f Negativa (-) Positiva (+) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función. P. Inflexión f ( x) x 3 3x 2 3 Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. 105 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.9 Determine los interv alos de concavidad: 1. f ( x) 3x 4 4 x 3 12 x 2 17 2. f ( x) 3. f ( x) x5 4 3 x 5 3 1 3 x 4x 2 3 4. 5. 6. f ( x) 3x 3 3x 2 12 x 5 f x x 2 1 f ( x) x 3 1 4 4 Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 4.8.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que f ´ y f ´´ existen en a, b que contiene a “ x0 ” y que f ´( x0 ) 0 . 1. Si f ´´( x0 ) 0 entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2. Si f ´´( x0 ) 0 entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x) x3 3x2 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x 0 y x 2 . f ´´( x) 6 x 6 Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: a) f ´´(0) 6(0) 6 6 0 (negativo) por tanto aquí hay un M ÁXIMO. b) f ´´(2) 6 2 6 6 0 (positivo) por tanto aquí hay un M ÍNIMO. 106 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.9 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1. Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía . Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad . Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión . Ejemplo 1 Graficar f ( x) 243x x 4 243 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f R Paso 2. SIMETRÍA: f ( x) 243 x ( x)4 243 243x f ( x) por tanto f es IMPAR. x 4 243 107 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 243x 243 4 243x 0 x x3 lím lím 0 lím 4 x x 243 x 243 x 4 1 x 243 1 243 0 4 4 4 x x x Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir: lím x 243x 0 x 4 243 Por tanto el eje x ( y 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay . ¿Por qué? P.C.E: x 243 x(4 x3 ) 4 x 243 243 3x 4 x 243 3 81 x 4 x 3 9 x 9 x 3 3 x 3 x 9 x 243 243 x 243 x 243 f ´( x) 243 4 2 2 243 4 2 243 2 243 2 2 2 4 4 2 4 por lo tanto tenemos P.C.E: x0 3 y x0 3 P.C.S: no hay . ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ f decrece 3 crece decrece 3 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x0 3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En x0 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2 81 x 4 4 x 3 x 4 243 81 x 4 2 x 4 243 4 x 3 f ´´( x) Dx 729 729 2 4 x 4 243 x 4 243 4 x 4 243 x 3 x 4 243 81 x 4 2 x 3 729 4 x 4 243 Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 4 x 7 243 x 3 162 x 3 2 x 7 729 3 x 4 243 4 x 7 405 x 3 729 3 x 4 243 729 729 729 4 x 3 x 4 405 x 4 243 3 4 x 3 x 2 405 x 2 405 x 4 243 3 4 x x 405 x 4 405 x 2 405 3 4 x 4 243 3 108 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Entonces: f ´´ 4 405 f Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN 0 Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x 0 , x puntos de inflexión: 4 405, f 4 405 , 0,0 y 4 405, f 4 4 405 . 405 y x 4 405 entonces existen tres 4 405 En conclusión: x x 4 405 f ´( x) f ´´(x) - - x 4 405 0 4 405 x 3 x 3 3 x 0 x0 0 x3 x3 1 x 4 405 x 4 405 - + 0 + + + + 0 - 0 - - 0 x 4 405 - f ( x) 243 x x 4 243 + f Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba Punto de inflexión Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Máx. P.C.E 2.25 P.I 4.49;1.68 P.I 4.49; 1.68 P.I P.C.E Mín. 2.25 109 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Graficar x2 1 f ( x) 2 x 1 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f R 1, 1 Paso 2. SIMETRÍA: f ( x) x 2 1 x 2 1 ( x) 2 1 x 2 1 f ( x) por tanto f es PAR. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: x 1 y x 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito x2 x 1 2 lím x lím 2 x x 1 x x 2 2 1 x2 1 1 Por tanto, y 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. x2 Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. ¿Por qué? P.C.E: f ´( x) x 1 2 x x 2 1 x 2 1 (2 x) 2 2 x 1 2 x3 2 x 2 x3 2 x 2 2 x2 x 1 4x 2 Por lo tanto tenemos x 0 0 2 P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ f crece 1 crece decrece 0 decrece 1 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En x 0 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 2 2 2 4 x 1 4 x 2 x 1 2 x x 4 f ´´( x) Dx 2 2 2 2 2 x 1 x 1 f ´´ Entonces: f ´´ f 1 x 1 4 x 2 4 16 x 2 2 3 12 x 2 4 x 13 x 13 1 110 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: x x 1 x 1 1 x 0 x0 f ´( x) f ´´(x) f + + + 0 - - - - + Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba 0 x 1 x 1 x 1 y x2 1 x2 1 Máx. Local P.C.E Ejercicios Propuestos 4.10 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, sim etría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, ex tremos, concav idad, puntos de inflexión: 1. 2. 3. f ( x) x 2 4 x f ( x) 2 5 3 x 2 3 x5 4. 3 f ( x) e x 5. 2 6. f ( x) x 22 x2 3x 5 f x x2 f x 2x2 9 x2 111 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 2. Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condic iones: 3. f ( x) f ( x) lím f ( x) 2 x lím f ( x) x 1 lím f ( x) x1 32 1 , f ' (3) f ' (0) f ' (3 / 2) 0 f 3 0 , f f (2) 1 , f (0) 0 3 f ' ( x) 0 en 0,1 y ,3 2 2 f ' ' (2) 0 Suponga que f '( x) ( x 3)( x 1) 2 x 2 y f (1) 0, f 2 5 , f (3) 5 , esboce una gráfic a para f . 4.10 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto es posible resolver problemas prácticos de optimización. Se recomiendo seguir los siguientes pasos: 1. Defina la Función Objetivo. Función a maximizar o minimizar. 2. Simplifique la Función Objetivo. 3. Encuentre los Puntos Críticos. 4. Clasifique los Puntos Críticos. Determine los extremos (máximos o mínimos) 5. Encuentre la Función Óptima. De ser solicitada. 112 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 1 Un fabricante puede producir cierto artículo a un costo de $10 cada uno y estima que si se venden a " x " DÓLARES cada uno, los consumidores comprarán 30 x ARTÍCULOS POR DÍA . ¿A qué PRECIO debe el fabricante vender los artículos para MAXIMIZAR la utilidad? SOLUCIÓN: U Ingresos Costos PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será la utilidad del artículo. x 30 x 10 30 x PASO 2. Simplificamos: U 30 x x 2 300 10 x U x 2 40 x 300 PASO 3. Obtenemos los puntos críti cos: U´ 2x 40 0 x 20 PASO 4. Clasificamos el punto crítico: Empleemos el criterio de la segunda derivada: d 2U 2 0 dx 2 x 20 Esto nos asegura que el fabricante debe vender los artículos a $20 para obtener la máxima utilidad. Ejemplo 2 Un almacén vende bicicletas a US$40 por unidad. A este precio las personas han comprado 50 bicicletas al mes. El propietario desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 2 bicicletas menos cada mes. Si cada bicicleta tiene un costo de US$25 para el almacén, ¿A qué precio debería vender las bicicletas para maximizar las utilidades? SOLUCIÓN: PASO 1: Obtenemos la FUNCIÓN OBJETIVO. En este caso será también será la utilidad. Utilidad = Ingresos- costos = (precio venta)(Cantidad) - (costo unitario)( cantidad) Sea x número de incrementos de $1 en el precio de venta Entonces: U 40 1x 50 2 x 25 50 2 x PASO 2. Simplificamos: U 2000 80 x 50 x 2 x 2 1250 50 x U 2 x 2 20 x 750 PASO 3. Obtenemos los puntos críti cos: U ´ 4 x 20 x 20 5 4 PASO 4. Clasificamos el punto crítico: d 2U dx 2 x 20 4 0 Por tanto, el propietario debe hacer 5 incrementos de $1 en precio, es decir debe vender las bicicletas a $45 para obtener la máxima utilidad. 113 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios propuestos 4.11 1. I q 2q 68q 128 . ¿En qué nivel de ventas el ingreso es máximo? Suponga que el ingreso total en dólares de la venta de unidades de cierto artículo es: q 2 2. 3. Un estudio de eficiencia indica que un trabajador que llega a las 8h00 ensamblará 9 Qt t 3 t 2 15t unidades/ hora. ¿En qué momento de la mañana opera con eficiencia 2 máxima. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p 600 2q y la función de costo medio es C C 200 0.2q 28 , donde q es el número de unidades y tanto p como C q q están expresados en dólares por unidad. Determine el nivel de producción para obtener la mayor utilidad posible. 4. Una función de precio p , está definida por p( x) 20 4 x x2 , donde x es el número de 3 unidades vendidas. Determine el valor de x donde el ingreso marginal es máximo. 5. Una librería puede obtener un cierto libro a $3 cada uno. La librería está vendiendo el libro a $20 cada uno y a este precio vende 200 ejemplares por mes. Con objeto de estimular las ventas, la librería está planeando bajar ese precio y estima que por cada dólar de reducción en el precio del libro se venderán 20 libros más al mes. Determine: a) El precio que debe venderse el libro a fin de generar el mayor beneficio para el dueño de la librería. b) La cantidad adicional de libro vendida al nuevo precio. 6. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de $50 por unidad. El minorista vende las cámaras a un precio de $80 cada una y, a este precio, los consumidores han comprado 40 cámaras al mes. El minorista planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 cámaras más cada mes. ¿A qué precio debería el minorista vender las cámaras para maximizar el rendimiento total? 7. En una página de un libro debe haber 150 cm2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 8. Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener una capacidad de 250cm . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el centímetro cuadrado y el material de la cara lateral cuesta 2 centavos 3 2 el cm . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente? 9. 3 Se desea construir un envase cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 2000cm . Para 2 elaborar la base se dispone de un material que cuesta 4 centavos el cm y el material usado para la 2 superficie lateral cuesta 2 centavos el cm . Determine las dimensiones del cilindro que pueda construirse con las especificaciones dadas de tal forma que el costo de fabricación sea mínimo. 10. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, rematado por una bóveda hemisférica, con un volumen total dado. Si la bóveda hemisférica cuesta el doble por pie cuadrado que el muro cilíndrico. ¿Cuáles son las proporciones más económica? 114 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS. 4.11.1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si f es una función continua en a, b y derivable en a, b entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que f ´(x0 ) f (b) f (a) ba Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Secante Recta Tangente y f (x) f ( b) - f ( a ) f (b) b- a f (a) a x0 b S ( x) f ( x) g ( x) , donde g es la recta entre los puntos a, f (a) y Demostración: b, f (b) , entonces podemos obtener su ecuación: y y 0 m x x 0 Sea la función y f (a) Es decir: f (b) f (a) x a ba 115 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz y g ( x) f ( a ) f (b) f (a) x a ba f (b) f (a) x a S ( x) f ( x) f (a ) ba Note que también S es continua en a, b y derivable en a, b Reemplazando, resulta: Obtengamos ahora S (a) y S (b) : f (b) f (a) a a 0 S (a) f (a) f (a) ba f (b) f (a) b a 0 S (b) f (b) f (a) ba Por tanto, x0 a, b tal que S´(x 0 ) 0 f (b) f (a) f (b) f (a) y S´(x0 ) f ´(x0 ) S´(x) f ´(x) b a 0 ba f (b) f (a) L.Q.Q.D. Por lo último f ´(x0 ) ba Para lo cual Ejemplo 1 Encuentre el número “ f ( x) x 2 SOLUCIÓN: en 1, 2 . x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si Observe que f es continua en 1, 2 cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de f ´( x0 ) f (2) f (1) está garantizada y lo podemos encontrar. 2 1 Para lo cual f ´( x0 ) 2 x0 y Igualando y despejando, resulta: 1, 2 se 1,2 tal que y como f ´( x) 2 x por tanto es diferenciable en x0 en f (2) f (1) 4 1 3 1 2 1 3 3 2 x0 1 x0 1 . 2 Geométricamente. 116 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Re Se cta ca nte f ( x) x 2 Re n Ta cta ge nte 0.5 Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b sen a a b S OLUCIÓN: Usemos f ( x) sen x . Note que es una función continua en a, b y derivable en a, b por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange, existe un x0 a, b tal que f ´( x0 ) Reemplazando y simplificando cos x0 Por otro lado f (b) f (a) . ba senb sena ba 0 cos x0 1 senb sena 1 ba Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb sena 1 ba Entonces 0 senb sena b a Que es lo que se quería demostrar. Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. 117 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11.2 TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en a, b y derivable en a, b y si f (a) f (b) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que f ´(x0 ) 0 Ejercicios Propuestos 4.12 1. 2. 4 2 Sea f ( x) x 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el interv alo [-2,2] tales que f ' ( x0 ) 0 La función f ( x) x satisface la hipótesis del teorema del v alor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta. El teorema del valor medio para dos funciones sería: 118 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.11.3 TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g funciones continuas en a, b y diferenciables en a, b entonces, existe al menos un número “ x0 ” en a, b tal que: f ´( x0 ) f (b) f (a) g´( x0 ) g (b) g (a) Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones. 4.11.4 TEOREMA DE L’HOPITAL Suponga que lím f ( x) lím g ( x) 0 o también xu xu lím f ( x) lím g ( x) . Si lím f ´( x) existe en xu g´( x ) xu xu sentido finito o infinito; entonces: f ( x) f ´( x) lím lím xu g ( x ) xu g´( x ) Donde u a, a , a ,, Ejemplo 1 Calcular sen x x 0 x lím SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: sen x cos x lím cos 0 1 x 0 x 0 1 x lím 119 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Calcular lím1 x x 0 1 x SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta: lím1 x x 0 1 x lím e ln 1 x 1 x 0 lím e x x 0 ln 1 x x e x 0 lím ln 1 x x Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 ln(1 x) lím lím 1 x 1 x 0 x 0 1 x Por tanto, lím1 x x 0 1 e1 e x Ejemplo 3 x 0 Calcular lím sen x x x3 SOLUCIÓN: sen x x Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: x 0 lím cos x 1 x 3 lím x 0 cos x 1 3x 2 sen x 1 6x 6 Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea x 0 necesario: lím 3x 2 lím x 0 Ejemplo 4 3x 2 5 x 1 x 4 x 2 Calcular lím 2x 3 SOLUCIÓN: Note que aquí tenemos: 6x 5 x 8 x 2 Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím 6 x 8 Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím Ejemplo 5 3 4 tg x Calcular lím2 x 2 x 1 SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1 . Entonces la regla de L´hopital no es aplic able directamente. Transformando la expresión primero, resulta: 120 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz lím2 x tg x 2 x1 lím e x1 ln 2 x tg 2 x ln 2 x tg x ln2 x e x1 co t g 2 x lím e 2 lím x1 Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 ln(2 x) 1 2 2 x lím lím 2 x 1 cot g x x 1 csc x 2 2 2 2 Por tanto, lím2 x tg 2 x e x 1 2 Ejemplo 6 1 1 Calcular lim x 1 x1 ln x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos . Transformando la expresión primero, resulta: 1 x 1 ln x 1 lim lim x 1 ln x x 1 x 1 ln x x 1 Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 x 1 1 0 x 1 ln x x 1 x x lim lim lim lim x 1 ln x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x ln x 1 1 ln x x 1 ln x 1 x x x 1 1 1 Volviendo a aplicar L´hopital: lim lim x 1 x 1 x ln x x 1 1 2 1 ln x x x Ejercicios Propuestos 4.13 Calcular: x 2 3x 10 x 2 4x 4 x 2 sen x 2. lim tg x x0 x 2 1. lim x 0 3. lim 4. lim x 0 sen x tg x e e x x 1 c tg x x 5. lim 1 cos x c tg x x0 cos x 1 6. lim 1 cos x x 0 7. lim x x 1 x sen x 8. lim x x 0 9. lim cos x x 1 x0 10. 11. 12. 13. lim cos 2 x x0 lim 1 x 2 x0 lim x x 0 lim x0 3 x2 1 x 3 4 ln x ln cos 3x 2x 2 14. x lim x0 x 1 15. x0 x lim c tg x sen x 121 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz 4.12 POLINOMIO DE TAYLOR y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 es decir y f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 . La ecuación de la recta tangente en el punto x0 , f ( x0 ) es En la vecindad de x 0 , y f (x) ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 . Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: f ´´(x0 ) f ´´´(x0 ) f n ( x0 ) 2 3 x x0 x x0 ... x x0 n f ( x) f ( x0 ) f ´(x0 )x x0 n! 2! 3! El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si x0 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: f ( x) f (0) f ´(0)x f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 x x ... 2! 3! Ejemplo 1 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x , alrededor de x 0 0 y empléelo para calcular e 0.1 . f ( x) f ( x0 ) f ´( x0 ) x x0 f ´´( x0 ) f ´´´( x0 ) f IV ( x0 ) 2 3 4 x x0 x x0 x x0 2! 3! 4! e0 e0 e0 2 3 4 e x e0 e0 x 0 x 0 x 0 x 0 2! 3! 4! 2 3 4 x x x ex 1 x 2 6 24 SOLUCIÓN: Bien, ahora reemplazando x 0.1 resulta: f (0.1) 1 0.1 0.005 0.000166666 0.000004166 f (0.1) 1.105170833 122 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 2 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x alrededor de x 0 0 SOLUCIÓN: Se puede emplear el polinomio del ejemplo anterior, sería cuestión de reemplazar x por x , es decir: 1 1 1 e x 1 ( x) ( x ) 2 ( x )3 ( x ) 4 2 3! 4! 1 1 1 e x 1 x x 2 x3 x 4 2 3! 4! Ejemplo 3 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) e x alrededor de x 0 0 2 SOLUCIÓN: Ahora, es cuestión de reemplazar x 2 por x , es decir: 2 1 1 1 e x 1 x 2 ( x 2 ) 2 ( x 2 )3 ( x 2 ) 4 2 3! 4! 2 1 1 1 e x 1 x 2 x 4 x 6 x8 2 3! 4! Ejemplo 4 Hallar el polinomio de Taylor de orden 5 para f ( x) sen x alrededor de x 0 0 f ( x) sen x f ( x) cos x f ( x) sen x Obtenemos primero f ( x) cos x SOLUCIÓN: f IV f V Luego, reemplazando en: ( x) sen x ( x) cos x f ( x) f (0) f (0) x Se obtiene: f ( 0) 0 f (0) 1 f (0) 0 f (0) 1 f IV f V ( 0) 0 ( 0) 1 f (0) 2 f (0) 3 f IV (0) 4 f V (0) 5 x x x x 2 6 4! 5! sen x 0 x 0 1 3 1 x 0 x5 3! 5! 1 1 sen x x x 3 x 5 3! 5! 123 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejemplo 5 Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) cos x alrededor de x 0 0 SOLUCIÓN: f ( x) cos x f ( x) sen x Obtenemos primero f ( x) cos x f ( x) sen x f IV ( x) cos x Luego, reemplazando en: f ( x) f (0) f (0) x f ( 0) 1 f (0) 0 f (0) 1 f (0) 0 f IV ( 0) 1 f (0) 2 f (0) 3 f IV (0) 4 x x x 2 6 4! (1) 2 0 3 1 4 x x x 2! 3! 4! 1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2 4! 6! Se obtiene: cos x 1 0 x Ejemplo 6 Demuestre la IDE NTIDAD DE E ULER e ix cos x i sen x . SOLUCIÓN: Sea f ( x) e ix . Hallemos el polinomio de Maclaurin correspondiente. Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de f ( x) e x es decir: 1 1 1 1 eix 1 (ix) (ix) 2 (ix)3 (ix) 4 (ix)5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 ix i 2 x 2 i 3 x 3 i 4 x 4 i 5 x 5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 ix x 2 ix 3 x 4 ix 5 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 x 2 x 4 i x x3 x 5 4! 3! 5! 2 i 1 cos x senx i 3 i 2 i 1i i 2 Recuerde que: i 4 i 2 i 2 1 1 1 Por lo tanto, se concluye que e ix cos x i sen x 124 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz Ejercicios Propuestos 4.14 1. Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: f x e3x ; n=4 a) d) f ( x) f ( x) x 2 e x ; n=4 b) 1 x 2 1 ; n=4 c) f ( x) sen x ; n=3 2. Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de x0 a) b) . 1 ; n=4; x0 1 x f ( x) x ; n=4; x0 4 c) f ( x) ln x ; n=4; x0 1 f ( x) Misceláneos 1) Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión a. f ( x) b. f ( x) c. f ( x) d. f ( x) e. x2 x 1 x2 x 1 x 2 x 1 2 2 x 1 2 f ( x) x 8 x h. f ( x) x5 x3 i. f ( x) x j. f ( x) 2 3 x2 8 x2 4x x 4x 3 2 3 f ( x) xe 3 1 2 f. g. f ( x) x3 x 2 5x 5 x 2) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: f es continua en toda su extensión f (4) 3 , f (0) 0 , f (3) 2 f ´(4) 0 , f ´(3) 0 , f ´(x) 0 para x 4 , f ´(x) 0 para 4 x 3 , f ´(x) 0 para x 3 . f ´´(4) 0 , f ´´(0) 0 , f ´´(x) 0 para x 4 f ´´(x) 0 para 4 x 0 , f ´´(x) 0 para x 0 3) Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: 125 Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada Moisés Villena Muñoz lím f ( x) x a lím f ( x) 0 lím f ( x) a b 0 d e x x f (c) f (e) 0 , f (b) 5 , f (0) 3 , f (a) f (d ) 1 f ´´(b) 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) 0 , f ´´(d ) 0 , x , a c, d f ´(x) 0 , x a, c d , f ´(x) 0 x , a a, b f ´´(x) 0 , x b, c c, f ´´(x) 0 4) Calcular : a) lim senxx x 0 sec2 x 2tgx 1 cos 4 x x 4 b) lim e x cos x 2 2 c) lim x 0 x2 d) lim 2 x tan x x 2 cos x 126 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4 4.1 4.2 4.3 4.4 MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS 4.5 SOFISTICADAS TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA 4.6 4.7 4.8 DERIVADAS TEOREMA DE TEOREMA DE TEOREMA DE ROLLE CAUCHY L´HOPITAL OBJETIVOS: • • • • • • Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Determinar extremos Determinar intervalos de Concavidad. Graficar funciones sofisticadas. Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. Calcular indeterminaciones empleando derivadas. 109 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4.1 MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía Sea ƒ una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b] 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] . DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím x → x0 f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) >0. > 0 ; es decir x − x0 x − x0 Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente. Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga. Ejemplo 1 2 Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4 El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que: x x <1 x >1 110 f ´(x) Negativa (-) Positiva(+) f decrece crece MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo 2 Analice la monotonía de f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) = 3x 2 − 6 x En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que: x x<0 0< x<2 x>2 f ´(x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) f crece decrece crece Ejercicios Propuestos 4.1 1. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento: 1. 2. 3. f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 f ( x) = x5 4 3 − x 5 3 1 f ( x) = x3 − 4 x + 2 3 4. 5. 6. f ( x) = 3x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5 ( ) f (x ) = x 2 − 1 ( ) f ( x) = x 3 − 1 4 4 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada 4.2.1 DEFINICIÓN Sea f : I ⊆ R 6 R . Suponga “ x0 ” pertenece al intervalo I . Entonces: 1. f ( x0 ) es el valor máximo de f en I , si f ( x0 ) ≥ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El mayor de todos) 2. f ( x0 ) es el valor mínimo de f en I , si f ( x0 ) ≤ f ( x ) , ∀x ∈ I . (El menor de todos) Al valor máximo y al valor mínimo de f se le llama VALOR EXTREMO. 111 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la existencia de los valores extremos. 4.2.2 TEOREMA. Condición suficiente para la existencia de Máximos y Mínimos Si f es una función continua definida en un intervalo [a, b ] entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [a, b ]. Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos extremos cada vez que trabajemos con funciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante ¿cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben existir puntos candidatos a ser extremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos. 4.2.3 DEFINICIÓN. Puntos Críticos. Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”. Entonces “ x0 ” es llamado Punto Crítico si es: • Un punto extremo del intervalo, es decir x0 = a , x0 = b . Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, • Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir f ´( x0 ) = 0 . Estos serán denominados 112 Puntos Críticos MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Estacionarios. (En tangente es horizontal). estos puntos la recta O bien, • Un punto donde la derivada no existe; es decir f ´( x0 ) no está definida. Estos serán denominados Puntos Críticos Singulares. (En estos puntos la gráfica de f tiene unos picos. Por ejemplo f ( x) = x , tiene un punto crítico singular (pico) en x = 0 ) 4.2.4 TEOREMA Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] que contiene a “ x0 ”. Si f ( x0 ) es un valor extremo entonces “ x0 ” es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de frontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los extremos de la función. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. Sea f ( x 0 ) un valor máximo; es decir f (x 0 ) ≥ f ( x) , entonces: f ( x) − f ( x 0 ) ≤ 0 f ( x) − f ( x 0 ) ≤0 Si x > x0 , dividiendo por x − x 0 tenemos x − x0 DEMOSTRACIÓN. Ahora obteniendo límite lím + x → x0 f ( x) − f ( x 0 ) ≤ lím + 0 resulta f ´(x 0 + ) ≤ 0 . x − x0 x → x0 Para x < x 0 , tenemos, obteniendo límite lím − x → x0 f ( x) − f ( x 0 ) ≥ lím − 0 resulta f ´(x 0 − ) ≥ 0 x − x0 x → x0 Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valor mínimo. 113 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: • Si “ x0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. • Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x0 ” sea un punto crítico. • Que “ x0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta. 114 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo 1 2 Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3] SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3 analizamos la derivada f ´( x ) = 4 x − 4 2. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos Ahora f ´(x ) = 0 , entonces sería: x 0 = 1 . 4( x − 1) = 0 3. Puntos críticos Singulares: valores de x para los cuales la derivada no existe. Al observar la derivada notamos que se define para toda x ; por tanto, no existe puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las funciones polinomiales son continuas y derivables en todo \ . Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la función en los puntos críticos (Esto es suficiente debido a que se trata de una función polinómica, más adelante aprenderemos criterios más fuertes, para otros casos): f (0 ) = 2(0 )2 − 4(0 ) + 5 = 5 f (3) = 2(3)2 − 4(3) + 5 = 11 f (1) = 3 Por inspección, se determina que: En x 0 = 3 se encuentra el Valor Máximo f . Y en x 0 = 1 se encuentra el Valor Mínimo de f . Ejemplo 2 Determinar los extremos para f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Primero determinamos los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x´0 = −2 y x0 = 3 2 2. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada f ´( x) = 3 x − 6 x , tenemos: f ´( x) = 0 Entonces serían: x 0 = 0 y x0 = 2 . 3x 2 − 6 x = 0 3 x( x − 2) = 0 3. Puntos críticos Singulares: No hay. f ( −2 ) = ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 3 = −8 − 12 + 3 = −17 Bien, ahora evaluando en la función: 3 2 f ( 3 ) = (3)3 − 3(3) 2 + 3 = 27 − 27 + 3 = 3 f (0) = 3 f (2) = (2)3 − 3(2) 2 + 3 = −1 115 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máximo de la función es 3, que se produce tanto en x0 = 3 como en x0 = 0 ; y, el valor mínimo de la función es -17 que se produce en x0 = −2 . Ejercicios Propuestos 4.2 1. 1. en [ −2,3] Determine el valor máximo y el valor mínimo : f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 4 x − x 3 en [ −3,3] 5 3 1 3. f ( x ) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3] 3 2. f ( x ) = 4. 5 5. 6. f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5 ( ) f (x ) = x 2 − 1 ( ) f ( x) = x 3 − 1 4 4 en [ −1,1] en [ −2, 2] en [ −1, 2] Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la función y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisfechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser extremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máximos o mínimos cuando no lo son. 4.2.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos Sea f una función de variable real. Sea “ x0 ” un punto del dominio de f . Entonces: 1. f ( x0 ) es un valor máximo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor máximo de f en (a, b ) . 2. f ( x0 ) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo (a, b ) en el dominio de f que contiene a “ x0 ” tal que f ( x0 ) es el valor mínimo de f en (a, b ) . 3. f ( x0 ) es un valor extremo local de f , si es un máximo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará extremos absolutos. Observe el siguiente gráfico: 116 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Un criterio para clasificar a los extremos locales es el que sigue. 4.2.6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea f continua en (a, b ) que contiene al punto crítico “ x0 ”. Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) < 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0 ) y f ´(x) > 0, ∀x ∈ ( x0 , b ) entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . 3.Si f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de “ x0 ” entonces f ( x0 ) NO es un valor extremo de f . 117 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo Para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 Analizando la primera derivada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observó que: x f ´(x) Positiva (+) Negativa (-) Positiva (+) x<0 0< x<2 x>2 f crece decrece crece Entonces: 1. Como antes de x = 0 la derivada es positiva y después es negativa se concluye que f (0) = 3 es un máximo local. 2. Como antes de x = 2 la derivada es negativa y después es positiva se concluye que f (2) = −1 es un mínimo local. Ejercicios Propuestos 4.3 Emplee el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos locales: 1. 2. 3. f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5 f ( x) = x5 4 3 − x 5 3 1 f ( x) = x3 − 4 x + 2 3 ( ) f (x ) = x 2 − 1 4. ( 5. ) f ( x) = x 3 − 1 6. 4 4 Si nuestro objetivo ahora fuese trazar la gráfica de las funciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la información que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo 1 2 Trazar la gráfica de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3] . SOLUCIÓN: Se ha obtenido x 0 = 1 como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráfica de la función es decreciente y después es creciente, por tanto su gráfica sería: •(3,11) f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 5 (0,5) • • (1,3) 118 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Note que para obtener la gráfica de la función anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de funciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya familiarizando con los criterios nuevos, expuestos en esta sección. Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios. Ejemplo 2 Graficar f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3 en [ −2,3] SOLUCIÓN: Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios x 0 = 0 y x0 = 2 , también se determinó que antes de x 0 = 0 la gráfica de la función es creciente y después es decreciente hasta el otro punto x0 = 2 ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráfica es: ymáx. f ( x) = x3 − 3x 2 + 3 ymín Ejercicios Propuestos 4.4 Elabore la gráfica de: 1. 2. 3. f ( x) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 y = 3x 5 − 20 x3 y = 13 x 3 − 9 x + 2 4. 5. 6. f ( x) = 3 x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5 ( ) f (x ) = x 2 − 1 ( ) f ( x) = x 3 − 1 4 4 Para los casos de funciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suficientes para obtener una buena aproximación de su gráfica, debido a que son funciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su 119 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graficar f ( x) = x SOLUCIÓN: 4 5 Analizando la derivada f ´( x) = Punto Crítico Singular: x 0 = 0 x x<0 x>0 4 − 15 4 x = 5 , tenemos: 5 5 x f ´(x) Negativa (-) Positiva (+) f decrece crece Por tanto, se puede decir que su gráfica es: y=x 4 5 Para la gráfica del último ejemplo se hace necesario determinar la forma de la curva, porque con la información de monotonía obtenida queda la duda de que la gráfica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos: 120 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4.3 CONCAVIDAD 4.3.1 Teorema de concavidad Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces: 1. Si f ´´(x) > 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia arriba en I. 2.Si f ´´(x) < 0, ∀x ∈ I entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 1 Analizar la concavidad de f ( x ) = x SOLUCIÓN: 4 3 Como la primera derivada de f es f ´( x) = 4 − 15 x 5 4 − 65 4 x =− entonces la segunda derivada es f ´´( x) = − 25 25 5 x 6 Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: x f ´´(x) f x>0 Negativa (-) Negativa (-) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo x<0 Certificando con esto que la gráfica de f es la que se proporcionó. Otra definición importante es la que presentamos a continuación. 4.3.2 Puntos de Inflexión continua en “ x0 ”, llamamos a (x0 , f ( x0 )) un punto de inflexión de la gráfica de f , si es cóncava hacia arriba a un lado de “ x0 ” y cóncava hacia abajo al otro lado. Sea f 121 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Es decir, en un punto de inflexión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo 2 Analizar la concavidad de f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: Como la primera derivada de f es f ´( x) = 3 x 2 − 6 x f ´´( x) = 6 x − 6 = 6( x − 1) x x <1 x >1 entonces la segunda derivada es f ´´(x) f Negativa (-) Positiva (+) Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Esto confirma la gráfica de f proporcionada anteriormente y además completa la información del comportamiento de la función. f ( x) = x3 − 3x 2 + 3 Note que en la función del ejemplo anterior hay un punto donde su gráfica cambia de concavidad, éste es el punto de inflexión. Ejercicios Propuestos 4.5 Determine los intervalos de concavidad: 1. 122 f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17 2. f ( x) = 3. f ( x) = x5 4 3 − x 5 3 1 3 x − 4x + 2 3 4. 5. 6. f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5 ( ) f (x ) = x 2 − 1 ( ) f ( x) = x 3 − 1 4 4 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Para clasificar los puntos críticos estacionarios en máximos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio. 4.3.3 Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que f ´ y f ´´ existen en (a, b ) que contiene a “ x0 ” y que f ´(x0 ) = 0 . 1. Si f ´´( x0 ) < 0 entonces f ( x0 ) es un valor máximo local de f . 2.Si f ´´( x0 ) > 0 entonces f ( x0 ) es un valor mínimo local de f . Ejemplo Determinar los extremos aplicando el criterio de la segunda derivada para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: x = 0 y x = 2 . f ´´( x ) = 6 x − 6 a) f ´´(0) = 6(0) − 6 = −6 < 0 (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO. Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual: b) f ´´(2) = 6 ( 2 ) − 6 = 6 > 0 (positivo) por tanto aquí hay un MÍNIMO. 123 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráficas de funciones con reglas de correspondencias sofisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes: 1.Establecer el dominio de la función. 2.Establecer la simetría de las gráficas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna. 3.Establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. 4.Establecer los puntos críticos de frontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los extremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inflexión. Ejemplo 1 Graficar f ( x) = 243 x x + 243 4 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) = 124 243 ( − x ) (− x) + 243 4 =− 243x = − f ( x) por tanto f es IMPAR. x + 243 4 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay (¿por qué?) HORIZONTALES: Calculamos límite al infinito 243 x 243 243 x 0 x4 x3 lím lím = = = =0 x →∞ x 4 + 243 x →∞ 243 x 4 1 x→∞ 243 + 1 243 + 0 + 4 x x4 x4 lím Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos infinito, es decir: lím x →−∞ 243 x =0 x 4 + 243 Por tanto el eje x ( y = 0 ) es asíntota horizontal tanto para el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: (x + 243) − x(4 x3 ) 4 (x + 243) 243 − 3 x 4 4 2 2 = 243 (x 4 + 243) 3 ( 81 − x 4 ) (x 3 ( 9 − x )( 9 + x ) 3 ( 3 − x )( 3 + x ) ( 9 + x ) = 243 = 243 ( x + 243) ( x + 243) f ´( x) = 243 2 = 243 2 + 243) 2 = 2 2 4 4 2 4 por lo tanto tenemos P.C.E: x0 = 3 y x0 = −3 • P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ −−−−−− f decrece −−−−−− ++++++ −3 crece decrece 3 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x0 = −3 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. 2. En x0 = 3 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2 ⎡ (81 − x 4 ) ⎥⎤ = 729 −4 x3 ( x 4 + 243) − (81 − x 4 ) 2 ( x4 + 243)( 4 x3 ) f ´´( x) = Dx ⎢729 2 4 ⎢ ( x 4 + 243) ⎥⎦ ( x 4 + 243) ⎣ Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada = 729 4 ( x 4 + 243) ⎡⎣ − x 3 ( x 4 + 243) − ( 81 − x 4 ) 2 ( x3 ) ⎤⎦ (x 4 + 243) 4 4 ⎡ − x 7 − 243x 3 − 162 x3 + 2 x 7 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x4 + 243) 4 ⎡ x 7 − 405 x3 ⎤⎦ = 729 ⎣ 3 ( x 4 + 243) = 729 = 729 = 729 4 x3 ⎡⎣ x 4 − 405⎤⎦ (x ( 4 + 243) 3 )( 4 x3 x 2 − 405 x 2 + 405 ( (x 4 + 243) )( 3 )( ) 4 x x − 405 x + 4 405 x 2 + 405 3 4 (x 4 + 243) 3 ) 125 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Entonces: f ´´ − − − − − − − 4 405 f Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN ( −−−−−− ++++++ 0 ) ) , (0,0) y ( Como la segunda derivada cambia de signo tanto en x = 0 , x = ( tres puntos de inflexión: − 4 405, f − 4 405 4 4 4 ++++++ 405 )) . 405 y x = − 4 405 entonces existen 405, f ( 4 405 En conclusión: x x < − 4 405 x = − 4 405 − 4 405 < x < −3 x = −3 −3 < x < 0 x=0 0< x<3 x=3 1 < x < 4 405 x = 4 405 f ´´(x ) - 0 - + 0 + + + + 0 - 0 - - 0 x > 4 405 - f ( x) = ( −4.49; − 1.68) 126 f ´(x) 243 x x 4 + 243 + 2.25 f Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba Punto de inflexión Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inflexión Decrece y cóncava hacia arriba ( 4.49;1.68 ) −2.25 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo 2 Graficar f ( x ) = x2 +1 x2 −1 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1, 1} Paso 2. SIMETRÍA: f ( − x) = (− x )2 + 1 = x 2 + 1 = (− x) 2 − 1 x 2 −1 f ( x) por tanto f es PAR. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: x = −1 y x = 1 (calcule los límites laterales) HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito x +1 2 x →∞ x 2 − 1 lím x2 = lím x x →∞ x 2 2 x2 + − 1 x2 = 1 1 x2 Por tanto, y = 1 es la asíntota horizontal tanto el infinito positivo como para el infinito negativo. Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay. ¿Por qué? • P.C.E: f ´(x) = • ( )( (x − 1) ) 2 x x 2 − 1 − x 2 + 1 (2 x) 2 2 = (x − 1) 2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x 2 2 = (x − 1) − 4x 2 Por lo tanto tenemos x 0 = 0 2 P.C.S: no hay. ¿Por qué? Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: f´ ++++++ f crece ++++ −1 −−−−−− −−−− crece decrece 0 decrece 1 Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En x 0 = 0 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. ( ) ( ) Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada ( ) 2⎞ ⎛ 2 2 ⎤ (− 4 )⎜⎜ x − 1 ⎟⎟ − (− 4 x )(2 ) x − 1 2 x ⎡ 4 − x ⎝ ⎠ ⎥= f ´´(x) = Dx ⎢ 2⎥ 2 ⎢ 2 2⎤ ⎡ 2 ⎢⎣ x − 1 ⎥⎦ 1 − x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) = f ´´= Entonces: f ´´ + + + + + + f −1 (x − 1) − 4 x 2 + 4 + 16 x 2 2 3 12 x 2 + 4 (x − 1)3 (x + 1)3 ++++++ −−−−−−−−−−− 1 127 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: x x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x=0 0 < x <1 x =1 x >1 f ´(x) f ´´(x) f + + + 0 - - - - + Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical Crece y cóncava hacia abajo Punto crítico estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical Decrece y cóncava hacia arriba y= x2 +1 x2 −1 Ejemplo 3 Graficar f ( x ) = x2 x +1 SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso 1. DOMINIO: Dom f = R − {−1} Paso 2. SIMETRÍA: f (− x) = (−x) x2 , = (−x) +1 −x +1 2 por tanto f no es par ni impar. Paso 3. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en x = −1 la función no se define (división entre cero) por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además: lím− x →−1 x2 = −∞ y x +1 x →−1 HORIZONTALES: Calculamos límites al infinito 128 lím+ x2 = +∞ x +1 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada lím x →∞ x2 x2 x 1 1 = = = =∞ 1 1 x +1 x + 1 + 2 0 2 2 x x x x 2 Por tanto, no hay asíntota horizontal. En ciertas funciones se cumple que: lím ⎡⎣ f ( x) − ( mx + b ) ⎤⎦ = 0 ASÍNTOTA OBLICUA: x →∞ f ( x) y b = lím [ f ( x) − mx] x →∞ x Si los límites existen, se dice que la gráfica de f tiene una asíntota oblicua donde m = lím x →∞ y = mx + b Entonces, para esta función sería: x2 x2 2 2 1 1 x = lím 2 x = lím = =1 m = lím x + 1 = lím 2 x →∞ x x x →∞ →∞ →∞ 1 1 x x +x x x 1+ + x x2 x2 ⎡ x2 ⎤ ⎡ x2 − x2 − x ⎤ ⎡ −x ⎤ − x ⎥ = lím ⎢ = −1 b = lím ⎢ ⎥ = lím x →∞ x + 1 x →∞ x →∞ ⎢ x − 2 ⎥ − 2 x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Por tanto, hay una asíntota oblicua y = x − 1 Paso 4. PUNTOS CRÍTICOS: • P.C.F : no hay • P.C.E: 2 ⎡ x 2 ⎤ ( 2 x )( x + 1) − x (1) f ´( x) = Dx ⎢ = ⎥ 2 ( x + 1) ⎣ x + 1⎦ = 2x2 + 2 x − x2 ( x + 1) x ( x + 2) f ´( x) = 2 ( x + 1) • P.C.S: no hay 2 = x2 + 2 x ( x + 1) 2 por lo tanto, tenemos P.C.E: x = 0 y x = −2 Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de f ´ f´ + ++ + ++ f crece −−−−−− −2 ++++++ decrece 0 crece Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: 1. En x = −2 la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí existe un Máximo local. 2. En x = 0 la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí existe un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 129 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada ⎡ x 2 + 2 x ⎤ ( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )( x + 1) f ´´( x) = Dx ⎢ ⎥= 2 2 ⎢⎣ ( x + 1) ⎥⎦ ⎡( x + 1)2 ⎤ ⎣ ⎦ 2 = = f ´´( x) = Entonces: ( x + 1) ⎡⎣( 2 x + 2 )( x + 1) − ( x 2 + 2 x ) ( 2 )⎤⎦ 4 ( x + 1) 2x2 + 4x + 2 − 2x2 − 4x ( x + 1) ( x + 1) 2 3 −−−−−− f ´´ 3 −1 f ++++++ Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo diferente en x = −1 , pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inflexión. En conclusión: x x < −2 x = −2 f ´(x) f ´´(x) f + 0 - - - - + 0 + + + Crece y cóncava hacia abajo Punto Crítico Estacionario, Máximo local Decrece y cóncava hacia abajo Decrece y cóncava hacia arriba Punto Crítico Estacionario, Mínimo local Crece y cóncava hacia arriba −2 < x < −1 −1 < x < 0 x=0 x>0 x = −1 f ( x) = 130 x2 x +1 y = x −1 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráfica de una función. Ejemplo Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: Dom f = \ f continua en (−∞,0 ) ∪ (0, ∞ ) 1. 2. f ( −1) = 0 , f ( 32 ) = f (4) = 0 , f ( −3) = f (0) = 2 , f (−2) = 4 , f (3) = −2 , 3. ∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε 4. f (1) = 1 ∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε 5. lím f ( x) = −∞ lím [ f ( x) − ( x − 3)] = 0 6. x →0 − 7. x → +∞ f ' (−2) = 0 , f ' ( x) > 0 para x < −2 ∨ 8. 9. f ' ( x) < 0 ,para −2 < x < 0 ∨ 10. x>3, 0< x<3 f ' ' (1) = 0 f ' ' ( x) > 0 para x < −3 ∨ 1 < x < 3 11. 12. f ' ' ( x) < 0 para −3 < x < 0 ∨ 13. 0 < x <1 ∨ x>3 SOLUCIÓN: Interpretemos las condiciones, tenemos: 1. Dominio de la función. 2. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede esperar que exista una asíntota vertical o un punto de no definición. 3. Puntos de la gráfica de la función. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano. 4. lím f ( x) = 1 . Asíntota horizontal y = 1 , para x negativos. x → −∞ 5. lím f ( x) = 3 . La función se aproxima a 3, por la derecha de 0. x →0 + 6. lím f ( x) = −∞ . Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 0 7. lím [ f ( x)] = x − 3 Asíntota oblicua y = x − 3 para x posoitivos. x →0 − x → +∞ 8. Punto crítico estacionario en x = −2 9. f crece en los intervalos (−∞,−2) o en (3, ∞ ) f decrece en los intervalos (−2,0 ) o en (0,3) 11. Punto de inflexión: (1,1) 10. 12. 13. f es cóncava hacia arriba en (−∞,−3) o en (1,3) f es cóncava hacia abajo en (−3,0 ) o en (0,1) o en (3, ∞ ) Entonces la grafica sería: 131 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada y = x−3 • D • • •2 • 3 • Ejercicios Propuestos 4.6 1. Graficar las siguientes funciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, extremos, concavidad, puntos de inflexión: 1. 2. 3. 4. 5. f ( x) = e f ( x) = f ( x) = − x2 10. f ( x) = 2 11. f ( x) = 12. f ( x) = 13. f ( x) = 14. f ( x) = xe (x − 2)2 x 3x − 5 f (x ) = x−2 f (x ) = 7. f ( x) = e 2 + x − x2 9. f ( x) = 3 2 ⎛⎜ 5 3 x 2 − 3 x 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 6. 8. 132 f ( x) = x 2 4 − x 2x2 9 − x2 1 f ( x) = (x + 2 ) x 2 3 − (x − 2) 2 3 (x − 1)2 2 + x − x2 x −1 ( x + 2 )2 x x −4 3 x2 x2 x−3 1 x MOISES VILLENA MUÑOZ 2. Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Bosqueje una función f de variable real que cumpla las siguientes condiciones: 3. x → −∞ lím f ( x) = +∞ x →1+ lím f ( x) = ∞ x →−1+ (32 ) = −1 , f ' (−3) = f ' (0) = f ' (3 / 2) = 0 f (−3) = 0 , f ⎛3 ⎞ f ' ( x) > 0 en (0,1) y ⎜ ,3 ⎟ ⎝2 ⎠ 6. 2 f ' ' (2) = 0 ∀M > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ∀ε > 0, ∃N > 0; ∀x : x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε lím [ f ( x) − x ] = 0 x →+∞ f ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,0) ∪ (2, ∞ ); f ' ( x) < 0, para x ∈ (0,2) f ' ' ( x) > 0, para x ∈ (−∞,−1); f ' ' ( x) < 0, para x ∈ (−1,2 ) ∪ (2, ∞ ) Suponga que f '( x ) = ( x − 3)( x − 1) 2 ( x + 2 ) esboce una gráfica para 5. f (2) = − 1 , f (0) = 0 Bosqueje el gráfico de una función f tal que: Dominio f =IR Contínua en (−∞,2 ) ∪ (2, ∞ ) f(-1)=4, f(0)=6, f(2)=-3, f(3)=0 ∀ε > 0, ∃∂ > 0; ∀x : 0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) + 1 < ε 4. f ( x) = f (− x) lím f ( x) = −2 f f (1) = 0 , f ( −2 ) = 5 , f (3) = −5 , . f (1) = 6 , f ( −1) = −7 , f ( 2 ) = −3 Bosqueje el gráfico de una función Bosqueje el gráfico de una función f (3) = 3 y f f continua en IR tal que f (−4) = f (5) = 0 , f (0) = 8 , y además la gráfica de su derivada es: continua en IR tal que f (−2) = 4 , f (1) = 0 , f (2) = 1 , y además la gráfica de su derivada es: 133 MOISES VILLENA MUÑOZ 7. 8. Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Bosqueje el gráfico de una función f (4) = 0 f continua en f (2) = −1 , f ( − tal que f (−1) = 2 , f (0) = 0 , f (2) = 1 , 7 2 IR tal que f (−1) = 1 , f (0) = 3 , f (1) = 5 , ) = −4 y además la gráfica de su derivada es: Bosqueje el gráfico de una función f continua en D D 134 IR y además la gráfica de su derivada es: MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE) Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) = f (b) − f (a ) b−a Lo que nos indica este teorema es que si la función es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces existirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los extremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Secante Recta Tangente y = f (x) f ( b) - f ( a ) f (b) b- a f (a ) a b x0 Sea S ( x ) = f ( x ) − g ( x) donde g es la recta entre los puntos (a, f ( a ) ) y (b, f (b) ) , Demostración: entonces podemos obtener su ecuación: y = g ( x) = f (a) + y − y 0 = m( x − x 0 ) y − f (a) = f (b) − f (a) (x − a ) b−a , es decir f (b) − f (a ) (x − a ) b−a 135 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Reemplazando, resulta: f (b) − f (a) ⎡ (x − a )⎤⎥ S ( x) = f ( x) − ⎢ f (a) + b−a ⎣ ⎦ f (b) − f (a ) ⎡ (a − a )⎤⎥ = 0 y b−a ⎣ ⎦ f (b) − f (a) ⎡ (b − a )⎤⎥ = 0 S (b) = f (b) − ⎢ f (a) + b−a ⎣ ⎦ Por tanto, ∃x 0 ∈ (a, b ) tal que S´(x 0 ) = 0 Obtengamos S ( a ) = f ( a ) − ⎢ f ( a ) + ⎡ f (b) − f (a) ⎤ ⎡ f (b) − f (a) ⎤ y S´(x 0 ) = f ´(x 0 ) − ⎢ ⎥ ⎥⎦ = 0 ⎣ b−a ⎦ ⎣ b−a f (b) − f (a ) L.Q.Q.D. Por lo último f ´(x 0 ) = b−a Para lo cual S´(x ) = f ´(x ) − ⎢ Ejemplo 1 f ( x ) = x 2 en [ −1, 2] . Encuentre el número “ x 0 ” garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si SOLUCIÓN: Observe que f es continua en [ −1, 2] y como f ´( x) = 2 x por tanto es diferenciable en cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la existencia de f ´( x0 ) = f (2) − f (−1) está garantizada y lo podemos encontrar. 2 − ( −1) Para lo cual f ´( x0 ) = 2 x0 f (2) − f (−1) 4 − 1 3 = = =1 2 − ( −1) 3 3 y Igualando y despejando, resulta: x0 2 x0 = 1 x0 = 1. 2 Geométricamente. Re nte ca e S cta f ( x) = x 2 [ 136 ct Re 0.5 nte ge an T a ] en ( −1, 2 ) se ( −1, 2 ) tal que MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo 2 Use el teorema del valor medio para demostrar que: sen b − sen a ≤ a − b SOLUCIÓN: Usemos f ( x) = senx . Note que es una función continua en [ a, b ] y derivable en ( a, b ) por tanto de acuerdo al teorema de Lagrange , existe un x0 ∈ ( a, b ) tal que f ´( x0 ) = Reemplazando y simplificando cos x0 = Por otro lado senb − sena b−a f (b) − f (a ) . b−a 0 ≤ cos x0 ≤ 1 senb − sena ≤1 b−a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb − sena ≤1 b−a Entonces 0≤ senb − sena ≤ b − a Que es lo que se quería demostrar. Ejemplo 3 Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 90 km por hora; 4 minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 70 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de 100 km por hora. SOLUCIÓN: Sea e = f ( t ) , el espacio recorrido por el camión, una función del tiempo, continua y diferenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos 4 minutos: vm = 7 km Δe = = 105 km h 4 Δt horas 60 Sea t1 el momento en que se le mide al camión una velocidad de v1 = 90 km y sea t2 el momento en que se mide una velocidad de v2 = 70 km . De acuerdo al teorema de Lagrange existe un t0 ∈ ( t1 , t2 ) en el cual h h de = f ´( t0 ) , la velocidad instantánea del camión, fue igual a la velocidad media ( 105 km ), lo cual h dt demuestra que ha superado el límite de velocidad ( 100 km ). h Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. 137 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 4.6 TEOREMA DE ROLLE Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b ) y si f (a) = f (b) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal que f ´(x0 ) = 0 El teorema del valor medio para dos funciones sería: Ejercicios Propuestos 4.7 1. 2. La función f ( x) = x satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,2]. Diga si esto es verdadero o falso, justificando apropiadamente su respuesta. Sea f ( x) = x − 2 x . Hallar todos los valores de " x 0 " en el intervalo [-2,2] que satisfacen el teorema de 4 2 Rolle. 3. La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente función: f (t ) = −16t 2 + 48t + 32 . a) b) 4. Sea Comprobar que f (1) = f (2). Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1,2]? f ( x) = αx 2 + βx + ∂ ; α , β , δ ∈ IR. Encontrar el valor de " x 0 " que satisfaga el teorema del valor medio para derivadas en [a,b]. 5. 6. 138 Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; 4 minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 50 millas por hora. Probar que en algún momento en esos 4 minutos ha superado el límite de velocidad de 70 millas por hora. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos b − cos a ≤ b − a MOISES VILLENA MUÑOZ 7. Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Considere f ( x ) = x Lagrange. Justifique. 8. Considere f ( x ) = 3 4 5 en el intervalo [ −1, 2] . Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de x en el intervalo [ −1,8] . Verifique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justifique. 4.7 TEOREMA DE CAUCHY Sean f y g funciones continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b ) entonces, existe al menos un número “ x0 ” en (a, b ) tal f ´(x 0 ) f (b) − f (a ) = g´(x0 ) g (b) − g (a ) que No olvide demostrarlo. Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones. 4.8 TEOREMA DE L’HOPITAL Suponga que lím f ( x) = lím g ( x) = 0 x →u lím f ( x) = lím g ( x) = ∞ . x →u x →u o infinito; entonces: Donde x →u f ´(x) existe g´(x) f ( x) f ´(x) lím = lím x →u g ( x ) x →u g´( x ) Si lím x→u o también en sentido finito u = a, a + , a − ,+∞,−∞ No olvide demostrarlo. Ejemplo 1 Calcular lím x →0 SOLUCIÓN: sen x x Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: x →0 lím sen x cos x = lím = cos 0 = 1 x →0 1 x 139 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Ejemplo 2 Calcular lím (1 + x ) x →0 1 x SOLUCIÓN: Transformando la expresión primero, resulta: lím (1 + x ) x →0 1 x = lím e ln (1+ x ) x →0 1 x = lím e x →0 ln (1+ x ) x = e x →0 lím ln (1+ x ) x Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 ln(1 + x) x =1 1 + = lím lím x →0 x →0 1 x Por tanto, lím (1 + x ) x →0 1 = e1 = e x Ejemplo 3 Calcular lím x →0 sen x − x x3 SOLUCIÓN: Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: x →0 lím sen x − x x 3 = lím x →0 cos x − 1 3x 2 Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L´Hopital, y así tantas veces como sea necesario: lím x →0 cos x − 1 3x 2 = lím x →0 1 − sen x =− 6x 6 Ejemplo 4 Calcular lím 3x 2 − 5 x + 1 x →∞ 4 x 2 SOLUCIÓN: + 2x − 3 ∞ ∞ Note que aquí tenemos: 6x − 5 x →∞ 8 x + 2 Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: lím 6 3 = x →∞ 8 4 Volviendo a aplicar L´Hopital resulta: lím Ejemplo 5 Calcular lím (2 − x )tg 2 x x →1 π SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos 1∞ . Entonces la regla de L´hopital no es aplicable directamente. Transformando la expresión primero, resulta: lím (2 − x ) x →1 140 π tg x 2 = lím e ln (2 − x ) x →1 tg π x 2 ln (2 − x ) (tg π x )[ln (2 − x )] = e x →1 cot g 2 x = lím e 2 lím x →1 π MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Aplicando el teorema de L´hopital al exponente, tenemos: 1 − −1 2 ln(2 − x) − x 2 = lím = π = lím x →1 cot g π x x →1 − csc 2 π x π π − 2 2 2 2 Por tanto, lím (2 − x )tg 2 x = e π π x →1 ( ) 2 Ejemplo 6 1 ⎤ ⎡ 1 Calcular lim ⎢ − x − 1 ⎥⎦ x →1 ⎣ ln x SOLUCIÓN: Observe que aquí tenemos ∞ − ∞ .. Transformando la expresión primero, resulta: 1 ⎤ x − 1 − ln x ⎡ 1 = lim lim ⎢ − x →1 ⎣ ln x x − 1 ⎥⎦ x →1 (ln x )(x − 1) Aplicando el teorema de L´hopital, tenemos: 1 x −1 1− 0 − x − 1 − ln x x −1 x x lim = lim = lim = lim 1 x →1 (ln x )(x − 1) x →1 1 x →1 x →1 x − 1 + ln x (x − 1) + ln x(1) 1 − + ln x x x x −1 1 1 Volviendo a aplicar L´hopital: lim = lim = 1 2 x →1 x − 1 + ln x x →1 1+ x Ejercicios Propuestos 4.8 Calcular: x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4 x − 2 sen x 2. lim tg x x →0 1. lim x →2 + sen x + tg x e x − e− x 1 4. lim c tg x − x x →0 5. lim (1 − cos x ) c tg x 3. lim x →0 − x→0 cos x − 1 6. lim x →0 − 1 − cos x 7. lim x →∞ x 8. lim x x →0 1 x sen x 9. lim (cos x ) x 1 x →0 10. lim (cos 2 x ) x→0 11. ( lim 1 + x 2 x →0 12. lim x 13. lim x →0 x→0 14. 15. ) 3 x2 1 x ⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 4 + ln x ⎠ ln (cos 3x ) 2x 2 ⎛ x ⎞ lim ⎜ ⎟ x →0 ⎝ x + 1 ⎠ x lim (c tg x )sen x x →0 141 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada Misceláneos 1. Bosqueje el grafico de f analizando dominio, simetría , asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, extremos locales y puntos de inflexión a) f ( x) = b) f ( x) = c) f ( x) = d) f ( x) = e) x−2 x −1 x−2 g) i) f ( x) = x 5 − x 3 x −1 x 2 j) f ( x) = x x −1 2 2 k) f ( x) = x 2 −1 f ( x) = x (8 − x ) 2 3 (x − 8) 2 x2 − 4x x − 4x + 3 2 3 f ( x) = xe 3 + 1 2 f) h) f ( x) = x 3 + x 2 − 5 x − 5 f ( x) = x x 2 −1 x 2. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: • • • • • f es continua en toda su extensión f (−4) = −3 , f (0) = 0 , f (3) = 2 f ´(−4) = 0 , f ´(3) = 0 , f ´(x) > 0 para x < −4 , f ´(x) > 0 para −4 < x < 3 , f ´(x) < 0 para x > 3 . f ´´(−4) = 0 , f ´´(0) = 0 , f ´´(x) < 0 para x < −4 f ´´(x) > 0 para −4 < x < 0 , f ´´(x) < 0 para x > 0 3. Bosqueje una gráfica posible de una función f que tenga todas las siguientes características: • • • • • lím f ( x) = 0 lím f ( x) = −∞ a < b < 0 < d < e lím f ( x) = +∞ x→a x → −∞ x → +∞ f (c) = f (e) = 0 , f (b) = 5 , f (0) = 3 , f (a ) = f (d ) = 1 f ´´(b) = 0 , f ´´(c) no existe, f ´(d ) = 0 , f ´´(d ) < 0 , ∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (c, d )[ f ´(x) > 0] , ∀x ∈ (a, c ) ∪ (d ,+∞ )[ f ´(x) < 0] ∀x ∈ (−∞, a ) ∪ (a, b )[ f ´´(x) > 0] , ∀x ∈ (b, c ) ∪ (c,+∞ )[ f ´´(x ) < 0] 4. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es: y −3 Suponga que f ( −1) = −1 142 −1 x 2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada 5. Grafique f tal que la gráfica de su derivada f ´ es: 5 −2 2 −5 Suponga que f (0) = 0 6. Calcular : a) lim (senx ) x2 x →0 + b) lim sec x − 2tgx 1 + cos 4 x 4 c) lim tgx − x arc senx − x x →π x →0 2 e x − cos x 2 d) lim x →0 ⎛ x2 e) lim ⎜ 2 x tan x − x→ 2 π ⎝ π ⎞ ⎟ cos x ⎠ 143 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 5 5.1 RAZÓN DE CAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Resuelva problemas de razón de cambio. • Resuelva problemas de máximos y mínimos. • Aproxime valores. • Aproxime funciones mediante polinomios 127 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 5.1 RAZÓN DE CAMBIO Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función y = f (x) , se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables " x " y " y " con dy dx respecto al tiempo " t ", es decir: " " y " ". Lo cual nos va a permitir dt dt resolver problemas de aplicación. Ejemplo 1 Hacia un tanque cónico fluye agua a razón de 8 p 3 , si la altura del tanque es de 12 min pies y el radio de la base es de 6 pies. ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel del agua cuando tiene 4 pies de altura?. SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Llamemos: M ≡ Cantidad de agua que entra en p 3 Q ≡ Cantidad de agua que sale en p 3 V ≡ Cantidad de agua alojada en p 3 Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M − Q = V Derivando con respecto al tiempo, resulta: dM dQ dV − = dt dt dt Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos: dM p3 =8 y dt min dQ p3 =0 . dt min El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la formula del volumen de un cono , es decir: V = 13 πr h . Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, que en este caso, lo más 2 indicado es que sea en función de h (¿por qué?). La forma geométrica del recipiente y la forma geométrica de la masa de agua que se va alojando en el recipiente nos permite hacer lo indicado. Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h . 128 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada h r h = entonces r = 12 6 2 reemplazando en la formula para el volumen del agua alojada, resulta: ⎛h⎞ π 3 V = 13 π⎜ ⎟ h = 12 h 2 ⎝ ⎠ 2 por tanto Entonces: dV π 2 dh = h dt dt 4 dM dQ dV − = dt dt dt π 2 dh 8−0 = 4 h dt dh 32 p = dt πh 2 min En h = 4 resulta: dh 32 32 2 p = = = dt π(4 )2 π16 π min Ejemplo 2 Una piscina tiene 40 p de largo y 20 p de ancho, 8 p de profundidad en el extremo mas hondo y 3 p en el extremo menos profundo, El fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 40 p3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene: a) 3 p b) 6 p SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 5p es una situación y otra situación después de los 5p. a) 0 < h ≤ 5 De manera análoga al problema anterior p3 p3 dV Entra − sale = Alojada min min dt 129 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la formula para un prisma de base triangular, es decir V = 12 bh(20) = 10bh . La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejentes; entonces: que resulta: b = 8h . b h = , 40 5 Por tanto, el volumen queda: V = 10(8h)h = 80h . 2 De aquí resulta dh dV = 160 h . dt dt Reemplazando, se obtiene: p3 p3 dV Entra − sale = Alojada min min dt dh 40 − 0 = 160h dt En h = 3 resulta 1 p3 dh = dt 4h min pu lg dh 1 1 p3 = = =1 dt 4(3) 12 min min b) si 5 ≤ h ≤ 8 , tenemos: V = V1 + V 2 El volumen de agua alojada en el recipiente se lo puede calcular de la siguiente manera: V = 12 (5)(40)(20) + 40h(20) V = 2000 + 800h entonces dV dh = 800 y al reemplazarlo resulta: dt dt p3 p3 dV Entra − sale = Alojada min dt min dh 40 − 0 = 800 dt dh 1 p 3 = dt 20 min Note que es independiente de h. Note también que como el volumen de la parte inferior del recipiente es constante, entonces su rapidez de cambio es "0"; por tanto no existiría ningún inconveniente si sólo trabajáramos con la parte superior de recipiente, pero con un nuevo nivel de referencia. 130 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Ejemplo 3 Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15). SOLUCIÓN: Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos: Referencia: 12h15 v= e t e = vt ⎛1⎞ e = (640 )⎜ ⎟ = 160 ⎝4⎠ z 2 = x 2 + (160 + y )2 dy dx dz = 2x + 2(160 + y ) dt dt dt dy dx x + (160 + y ) dz dt = dt z dt derivando con respecto al tiempo 2z x = 600 millas En 1 hora: y = 640 millas z= Por tanto: (600)2 + (640 + 160)2 = 1000 millas dz (600 )(600) + (160 + 640)(640) millas = = 872 dt 1000 hora 131 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Ejercicios Propuestos 5.1 1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud? 2. Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base 4 m., tiene inicialmente 10 m 3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m 3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas? 3. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del ( depósito? 1 Litro = 10−3 m3 4. ) Considere el reservorio de la figura adjunta, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m 3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el nivel del agua, cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m. 1 2 3 4 2 5. La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calcule aproximadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es: 4' a) 4 pies 9' b) 6 pies 20' 6. 40' Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de radio 10 pies. Si el nivel del agua en el tanque es 5 pies y ésta decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón disminuye el radio r de la superficie del agua? 10 r 7. Una piscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua. 50 4 20 25 132 15 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura hacia el sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.? 10. La rueda moscovita que se muestra en la figura dá una vuelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo? R R= 60 pies 64 pies 5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo expuesto en el capitulo anterior es posible resolver problemas prácticos de optimización. Ejemplo 1 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja? SOLUCIÓN: De acuerdo a la figura, la caja formada así tendrá un volumen que se puede calcular con la formula V = xyz . 133 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Observe 5 = 2 x + z , por tanto z = 5 − 2 x Observe también que 8 = 2 x + 2 y , por tanto y = 4 − x V = x(4 − x )(5 − 2 x) Reemplazando, el volumen sería: La derivada es: = (4 x − x 2 )(5 − 2 x) V = 2 x3 − 13x 2 + 20 x dV = 6 x 2 − 26 x + 20 dx dV =0 dx 2 Obteniendo los puntos críticos, tenemos: 6 x − 26 x + 20 = 0 x =1 ∨ x = 10 3 = 3.33 Escogemos x = 1 p , porque no es posible que x ≥ 2.5 Por tanto y = 4 − x = 4 − 1 = 3 p y z = 5 − 2 x = 5 − 2(1) = 3 p serían las dimensiones para obtener un volumen máximo. Cuyo valor es: Vmáx = xyz = 1(3)(3) = 9 p3 Ejemplo 2 Un triángulo isósceles tiene un vértice en el origen, la base paralela al eje x con los extremos en la curva 12y = 36 - x2. Determínese las dimensiones del triángulo de área máxima. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema con la información proporcionada, tenemos: El área de triángulo se la calcula con la formula Se observa que h = y = 3 − x2 12 A= b×h 2 y que b = 2 x Reemplazando, obtenemos el área en función de una sóla variable: A= ⎛ ⎞ ⎟ 12 ⎟⎠ (2 x )⎜⎜ 3 − x ⎝ 2 2 x3 A = 3x − 12 Derivando para obtener los puntos críticos, resulta: 134 MOISES VILLENA MUÑOZ Ahora, Cap. 5 Aplicaciones de la derivada dA =0 dx x2 3− =0 4 dA x2 = 3− dx 4 por tanto, despejando resulta x = ±2 3 ( ) ( ) Las dimensiones del triangula de área máxima sería: b = 2x = 2 2 3 = 4 3 por consiguiente: Amáx = y h = y = 3− ( ) b × h 4 3 (2) = = 4 3 u2 2 2 2 3 x2 = 3− 12 12 2 = 3 −1 = 2 Ejemplo 3 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de radio “R” y altura “H”. SOLUCIÓN: Haciendo un esquema tenemos: El volumen del cilindro se lo calcula con la formula V = πr h Para poner el volumen en función de una sola variable, relacionamos r y h por semejanza de triángulos: 2 Del gráfico observamos que: rH = HR − hR Entonces: hR = HR − rH HR − rH h= R ( HR − rH ⎞ πH 2 r R − r3 ⎟= R R ⎠ ⎝ 2⎛ Reemplazando, tenemos: V = πr h = πr ⎜ 2 r H −h = R H ) 135 MOISES VILLENA MUÑOZ Entonces: Cap. 5 Aplicaciones de la derivada ( dV πH = 2rR − 3r 2 dr R Por lo tanto: h = ) dV =0 dr πH 2rR − 3r 2 = 0 y para el óptimo: R r = 0 ∨ r = 23 R ( ) 2 HR − rH HR − 3 RH 1 = = H 3 R R Ejemplo 4 A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 millas por hora y el segundo al sur este a 30 millas por hora, ¿en qué momento se encuentra más próximos el uno del otro? SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos: ( z 2 = (60 − x )2 + y 2 − 2(60 − x )( y ) cos 45 o ) Aplicando la ley del coseno para calcular la distancia de separación z , resulta: Además como v = e entonces e = vt y para cada distancia tenemos: t x = v x t = 20t y y = v y t = 30t Reemplazando queda: ( z 2 = (60 − x )2 + y 2 − 2(60 − x )( y ) cos 45 o 2 ( ) D = (60 − 20t ) + (30t ) − 2(60 − 20t )(30t ) 2 Maximizar z es lo mismo que maximizar z por tanto si z 2 136 ) ( ) z = (60 − 20t ) + (30t ) − 2(60 − 20t )(30t ) 2 2 2 2 2 2 = D tenemos: 2 2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Derivando y simplificando resulta: dD = 2(60 − 20t )(−20) + 2(30t )(30) − 2(− 20)(30t )⎛⎜ 22 ⎞⎟ − 2(60 − 20t )(30 )⎛⎜ 22 ⎞⎟ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dD 2 2 2 = −2400 + 800t + 1800 + 1200 2 t − 3600 2 + 1200 2 t dt dD = −600 − 1800 2 + 800 + 1200 2 t dt ( Y para el óptimo: ) dD =0 dt ( ) − 600 − 1800 2 + 800 + 1200 2 t = 0 t= 600 + 1800 2 800 + 1200 2 t = 1.15 horas Es decir las 8:09 a.m. estarán más próximos uno del otro Ejercicios propuestos 5.2 1. Usted debe construir una caja rectangular cerrada con volumen 576 pulgadas cúbicas y cuyo fondo sea el doble de largo que de ancho como se muestra en la figura: x 2x Determine las dimensiones de la caja que minimizarán el área total de su superficie. 2. vértices pertenecen a la parábola cuya ecuación es: y = 8 − x 2 , y > 0 . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que tiene dos vértices en el eje x y sus otros dos 3. Determine la LONGITUD de la escalera MÁS CORTA que llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura, hasta una pared de un edificio, a 1 pie de distancia del muro. E d i f i c i o Escalera 1' Pared Piso 4. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque? 137 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 10 km Excursionista Cabaña θ 5. 2 km Bosque Determine el área máxima posible de un trapecio inscrito en un círculo de radio 1, como lo muestra la figura. π/2 θ 6. θ Carretera 1 Hallar el valor del área máxima del rectángulo que se puede circunscribir a otro rectángulo dado de longitud L y ancho W. θ W L 7. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen. 8. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm. 9. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo. ( ) −1 y el eje x, de manera que el área de la región sombreada sea máxima. f (x ) = x 2 + 4 10. Encuentre las dimensiones de los triángulos isósceles inscritos en la región comprendida entre el gráfico de y x 11. Se tiene 80 pies de tela de alambre con la que se planea cerrar un corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de máxima área? GRANERO CORRAL 138 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 12. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del A , a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A . Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min. a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro? b) ¿Cuál será su distancia más corta? 13. Halle la altura de un prisma triangular regular de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. Nota: Recuerde que en un triángulo equilátero las alturas y medianas coinciden y se intersecan en un punto P de modo que AP = 2 AM 3 C P M A B 5.3 DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES Supongase que y = f (x) es diferenciable en “ x ” y que dx , la diferencial de una variable independiente “ x ”, designa un incremento arbitrario de “ x ”. La diferencial de “ y ” correspondiente a la variable dependiente “ y ” se define como: dy = f ´(x)dx 5.3.1 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL 5.3.2 APROXIMACIONES Observe la gráfica 139 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Note que ∆x = dx Y que, si ∆x → 0 entonces ∆y ≈ dy , es decir: ∆y ≈ f ´( x ) ∆x . Entonces: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ≈ f ´(x0 )∆x . Es decir: f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )∆x Ejemplo 1 Aproximar 4.6 SOLUCIÓN: Debemos emplear la función Note que f ( x) = x . 4.6 = 4 + 0.6 , entonces x0 = 4 y ∆x = 0.6 Para emplear la formula f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )∆x , Obtenemos: f ( x0 + ∆x) = x0 + ∆x = 4 + 0.6 , f ( x0 ) = x0 = 4 = 2 y f ´(x0 ) = ⎛1⎞ 4 + 0.6 ≈ 2 + ⎜ ⎟0.6 ⎝4⎠ Entonces: 4.6 ≈ 2.15 Ejemplo 2 Aproximar sen 31° SOLUCIÓN: Para este caso empleamos f ( x ) = sen x , por tanto f ´( x ) = cos x Para aplicar la formula f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )∆x , para la cual definimos: x0 = 30° = π π , ∆x = 1° = entonces: 6 180 sen( x0 + ∆x) ≈ sen( x0 ) + cos( x0 ) ∆x ⎛ π ⎞ sen(30° + 1°) ≈ sen(30°) + cos 30°⎜ ⎟ ⎝ 180° ⎠ ⎛ 3 ⎞⎛ π ⎞ ⎟ sen 31° ≈ 0.5 + ⎜ ⎜ 2 ⎟⎜⎝ 180° ⎟⎠ ⎝ ⎠ sen 31° ≈ 0.501 140 1 2 x0 = 1 2 4 = 1 4 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 5.3.3 ESTIMACION DE ERRORES Sea y = f (x ) la variación en y cuando varía x se la se la calcula empleando la formula ∆y ≈ f ´( x ) ∆x Ejemplo El lado de un cubo se midió en 11.4 cm. con un posible error de ± 0.05 cm. Calcule el volumen del cubo y proporcione una estimación para el posible error de este valor. SOLUCIÓN: El volumen del cubo se lo obtiene con la formula V = l 3 . Como l = 11.4cm entonces V = (11.4 )3 = 1481 .5cm 3 . Pero como hay un margen de error (variabilidad) en la medición del lado: ∆l = ±0.05cm , se propaga un error en el valor del volumen calculado. dV Este margen de error en el volumen se lo calcula de la siguiente manera: ∆V ≈ ∆l Es decir: dl ∆V ≈ 3l 2 ∆l ∆V ≈ 3(11.4) 2 (±0.05) ∆V ≈ ±19.5cm 3 Esto quiere decir que V = (1481 .5 ± 19.5 )cm 3 Ejercicios Propuestos 5.3 1. En los siguientes ejercicios use diferenciales para calcular valores aproximados de los números dados. Compare con los valores reales: a) 2. 3. 4. b) 3 26.91 402 c) 35.9 d) 6 64.05 El diámetro exterior de un delgado casquete esférico es de 12 pies. Si el casquete tiene 0.3 pulgadas de espesor, use diferenciales para calcular el volumen aproximado de la región interior del mismo. Un rodillo cilíndrico mide exactamente 12 pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 ± 0.005 pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error. Se mide el radio de una esfera con un instrumento cuya precisión es de 0.05 cm.. Si la medición registra un radio de 15 cm. Determine el error que tendrá el volumen de la esfera 5.4 POLINOMIO DE TAYLOR La ecuación de la recta tangente en el punto y − f ( x0 ) = f ´(x0 )[x − x0 ] es decir y = f ( x 0 ) + f ´(x 0 )[x − x0 ] . (x0 , f ( x0 ) ) es En la vecindad de x 0 , y ≈ f (x ) ; por tanto una buena aproximación para una función diferenciable en un punto sería la recta tangente en ese punto; es decir: f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )[x − x0 ] . 141 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Lo anterior corresponde a la aproximación de una función mediante un polinomio lineal. Para mayor orden tenemos: f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )[x − x0 ] + n f ´´(x0 ) [x − x0 ]2 + f ´´´(x0 ) [x − x0 ]3 + ... + f ( x0 ) [x − x0 ]n 2! 3! n! El Polinomio de Taylor de orden “n” para una función. NO OLVIDE DEMOSTRARLO. Si x0 = 0 se llama Polinomio de Mclaurin. En tal caso sería: f ( x) ≈ f (0) + f ´(0)[x ] + f ´´(0) 2 f ´´´(0) 3 [x ] + [x] + ... 2! 3! Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 para f ( x) = e x y empleelo para calcular e 0.1 . SOLUCIÓN: f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ´(x0 )[x − x0 ] + e x ≈ e0 + e0 [x − 0] + ex ≈ 1 + x + IV f ´´(x0 ) [x − x0 ]2 + f ´´´(x0 ) [x − x0 ]3 + f ( x0 ) [x − x0 ]4 2! 3! 4! 0 0 e0 [x − 0]2 + e [x − 0]3 + e [x − 0]4 2! 3! 4! x 2 x3 x 4 + + 2 6 24 bien, ahora reemplazando x = 0.1 resulta: f (0.1) ≈ 1 + 0.1 + 0.005 + 0.000166666 + 0.000004166 f (0.1) ≈ 1.105170833 Ejercicios Propuestos 5.4 1. f (x ) = e3 x ; n=4 Hallar el polinomio de Maclaurin de orden “n” para: a) 2. b) f ( x ) = x 2 e − x ; n=4 d) f ( x ) = cosh x = b) 142 d) f ( x) = e x + e− x ; n=10 2 Hallar el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de a) c) f ( x ) = sen πx ; n=3 1 f ( x) = ; n=4; x0 = 1 x f ( x) = x ; n=4; x0 = 4 x0 . 1 x +1 2 ; n=4 c) f ( x ) = ln x ; n=4; x0 = 1 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada Misceláneos 1. Se tiene un tanque esférico de radio igual a 10m. En el tanque ingresa agua a razón de 2 m 3 h . ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5m. 2⎛ NOTA: Volumen del casquete esférico V = πh ⎜ R − ⎝ h⎞ ⎟ Observar la figura. 3⎠ 2. En la ribera de un río de 0.9 Km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera a 3 Km. Corriente arriba, hay una fábrica y la fábrica necesita energía eléctrica por lo que se debe tender cables entre la planta eléctrica y la fábrica. Tender los cables por tierra cuesta $3 por metro y hacerlo por el agua cuesta $5 por metro. ¿Cuál es la forma más económica de tender los cables entre la fábrica y la planta eléctrica?. 3. En un recipiente cónico de 10m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de 5m 3 min . Con que rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando éste tiene de 3m. 4. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm. 5. Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas. El punto A se mueve sobre la dirección positiva del eje x con la ley del movimiento x = x(t ) = 2t , en donde x se da en centímetros y t 2 en minutos. El punto B se mueve sobre la recta y = x a una rapidez constante de 2 cm min . Determine la rapidez a la que estos dos puntos se están alejando uno del otro después de 2 min. De haberse comenzado a mover. 6. Tres puntos A, B y C se encuentran de tal manera que el ángulo ABC es de 60° y la distancia entre A y B es de 3Km. Del punto A sale, dirigiéndose hacia B, un corredor a una velocidad de 18 Km/h. En el mismo instante sale B, dirigiéndose hacia C, un ciclista a una velocidad de 27 Km/h. Encuentre el momento en que el corredor se encuentra más próximo del ciclista. 7. En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 0.2 m 3 por minuto. El cono tiene 8 metros de profundidad y 4 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 5 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 8. Una pequeña isla está a 2 millas en línea recta del punto más cercano P de la ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 millas por hora, y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar desembarcar para llegar en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto P? 9. Del filtro cónico de una cafetera cae café a razón de 10 pul 3 min . (Ver figura). a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del café en la jarra, cuando el café tiene 5 pulgadas de profundidad en el cono?. b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café del cono en ese instante? 10. En un triángulo rectángulo isósceles se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir de esa manera, considerando que los catetos del triángulo miden 2 m. 11. Dos barcos navegan a partir de un mismo puerto isleño, uno hacia el norte a 24 millas por hora y el otro hacia el este a 30 millas por hora. El barco de la ruta NORTE partió a las 9:00 A.M., y el de la ruta ESTE a las 11:00 A.M.. ¿Con qué rapidez aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 P.M.? 12. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio R.? 13. Se tiene un tanque esférico de radio 15 pies. En el tanque sube el nivel del agua a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando el nivel del agua es de 5 pies? Observe la figura 143 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Aplicaciones de la derivada 14. Un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados se encuentra en el primer cuadrante de modo que sus vértices están sobre el origen, el eje X positivo, el eje Y positivo y sobre la recta 2 x + y = 100 . Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área posible que se encuentra localizado de la manera señalada. 15. En una página de un libro debe haber 150 cm 2 de texto escrito. Los márgenes laterales deben ser de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm. Determine las dimensiones de la hoja para que se gaste la menor cantidad de papel posible. 16. En el interior de un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 18 cm., se inscribe un rectángulo de manera que uno de sus lados reposa sobre la hipotenusa. Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse de esa manera. 17. En un recipiente cónico de 10 m. de altura y 5m. de radio en su abertura se ingresa agua a razón de 5 m3 min . ¿Con qué rapidez cambia el área de la superficie del líquido en el recipiente cuando éste tiene un nivel de 3m.?. 18. Determinar las dimensiones del triángulo de mayor área que se pueda inscribir en un semicírculo de radio 4 cm., donde uno de los lados es el diámetro del semicírculo. 19. El tumor del cuerpo de una persona es de forma esférica y su radio aumenta a razón de 0,001 cm por día. Determine con qué rapidez aumenta el área superficial del tumor cuando su diámetro es de 1cm. 20. Determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ubicarse en el primer cuadrante, donde dos de sus vértices pertenecen al eje X, y los otros dos vértices pertenecen respectivamente a las rectas y = 2 x y 3x + y = 30 . 21. Las rectas L1 : y = x + 2 y L2 : y = −2 x + 10 forman un triángulo con el eje x . Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área, con un lado contenido en el eje x , que puede inscribirse en el triángulo dado. 22. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 pulgadas/min. Calcule la razón con la que varía el área total del cubo en el instante que la diagonal mide 5 pulgadas. 23. Dos buses parten de una misma estación a las 09h00. Las carreteras por las que viajan forman un ángulo recto entre sí. Determine la rapidez con la que varía la distancia que los separa al cabo de media hora de viaje, si la velocidad de los buses es de 90 Km/h y 110 Km/h respectivamente. 24. Un escenario circular con radio de 3 metros de longitud, da una vuelta cada dos min utos, tal como se muestra en la figura. Una cámara fija en el punto P, está a 3 2 m. del centro O del escenario, y enfoca a una persona que se encuentra en el punto M. Determine a qué velocidad varía la distancia entre la cámara y la persona, en el o instante que los segmentos OM y OP forman un ángulo de 45 . • • • 144 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas 1 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral. 1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en el intervalo I , si D x F ( x ) = f ( x ) es decir F ´( x ) = f ( x ) 1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C 1.1.2 Teorema Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b) entonces existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b) Demostración: definida en un intervalo (a, b ) entonces Sea H ( x) = F ( x) − G ( x) H ´(x) = F´(x) − G´(x) . Por Hipótesis, como F´(x) = G´(x) entonces H ´(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b ) . Como H es derivable ∀x ∈ (a, b ) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para derivada, ∃x0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a, b ) tal que H ´(x 0 ) = tenemos H ( x1 ) − H ( x ) = 0 es decir H ( x) = H ( x1 ) = C . x1 − x Por lo tanto F ( x) − G ( x) = C 2 H ( x1 ) − H ( x ) . Haciendo H ´(x0 ) = 0 x1 − x MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1.2 INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. ∫ dx = x + C x 2. ∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1 1 3. ∫ x dx = ln x + C 4. ∫ e dx = e + C a 5. ∫ a dx = ln a + C 6. ∫ sen xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sen x + C 8. ∫ sec xdx = tg x + C 9. ∫ csc xdx = − cot gx + C 10. sec x tg xdx = sec x + C ∫ 1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales 1. n +1 n x x x x 2 2 11. ∫ csc x cot gdx = − csc x + C ∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C 13. cot gxdx = ln sen x + C ∫ 14. sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ 15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C ∫ 1 ⎛x⎞ 16. ∫ a − x dx = arcsen⎜⎝ a ⎟⎠ + C 12. 17. 18. 19. 20. ∫ ∫ ∫ 2 2 1 dx = a2 + x2 1 x x −a 2 2 1 ⎛ x⎞ arctg⎜ ⎟ + C a ⎝a⎠ dx = ⎛a⎞ ⎛ x⎞ 1 1 arcsen⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C ⎟ ⎜ ⎜ x⎟ a a ⎝a⎠ ⎝ ⎠ senh xdx = cosh x + C ∫ cosh xdx = senh x + C 3 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1 Calcular ∫ x dx 2 ∫ SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. x 2+1 x3 x 2 dx = +C = +C 2 +1 3 ∫ Ejemplo 2 Calcular 1 dx x SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. ∫ ∫ 4+ x 1 x dx = ∫x −1 2 dx = x − 12 +1 − 12 +1 +C Ejemplo 3 Calcular 1 2 dx ∫ SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17. 1 1 dx = arctan 2 2 2 2 +x (2x ) + C Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. 1.2.2 PROPIEDADES. La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir: ∫[ 2. ∫ 1. f ( x) ± g ( x)]dx = kf ( x)dx = k 4 ∫ ∫ ∫ f ( x)dx ± g ( x)dx f ( x)dx; k ∈ R MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ ⎜⎝ x + 3 sin x − 4e ⎟⎠dx Ejemplo 4 Calcular ⎛2 SOLUCIÓN: x ⎞ ∫ ∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx 1 =2 ∫ x dx + 3∫ sin xdx − 4∫ e dx Aplicando propiedades y fórmulas: ⎛2 x⎞ ⎜ + 3 sin x − 4e ⎟dx = ⎠ ⎝x 2 dx + x x x = 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo. 1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas. ∫ Ejemplo 1 Calcular (1 − x )3 dx x3 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta: (1 − x )3 dx = 3 x x = = = = 1 − 3x + 3x 2 − x 3 4 x dx 3 ⎡ 1 x3 3x 3x 2 ⎢ − + − 4 4 4 4 ⎢ 3 x 3 x 3 x 3 ⎣x ⎤ ⎥ dx ⎥ ⎦ 5 ⎤ 2 −1 ⎡ − 43 − 3x 3 + 3 x 3 − x 3 ⎥ dx ⎢x ⎣ ⎦ x x −4 −1 3 −1 3 = −3 x 3 dx − 3 −3 −1 3 ∫ x −1 3 dx + 3 ∫ 2 x 3 dx − x 3 x 3 x 3 +3 − +C 5 8 2 3 3 3 9 23 9 53 3 83 − x + x − x +C 2 5 8 2 5 8 ∫ 5 x 3 dx 5 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ ∫ ( ∫ Ejercicios Propuestos 1.1 (3 − x ) dx Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3. 23 4. ⎛ 1 ⎞ ⎟ x x dx ⎜1 − ⎟ ⎜ x2 ⎠ ⎝ )( x2 +1 x2 − 2 3 2 5. )dx ∫ ∫ 2 x +1 − 5 x −1 10 x dx x 4 + x −4 + 2 x3 dx x 1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas. En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable. ∫ Ejemplo 1 Calcular (1 − x )30 dx SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x . ∫ Ahora sustituyendo resulta: t 30 (− dt ) = − Una vez integrado, reemplazando ∫ ∫ dt = −1dx → dx = − dt . dx Del cambio de variable, tenemos: t t 30 dt = − se obtiene: ∫ t 31 +C 31 (1 − x )30 dx = − (1 − x ) 31 31 +C Ejemplo 2 Calcular sen x dx x SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x . ∫ Del cambio de variable se obtiene: Sustituyendo resulta: 6 sen x x dt 1 = → dx = 2 x dt . dx 2 x dx = ∫ sen t x 2 x dt = 2 ∫ sen tdt = 2(− cos t ) + C MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: ∫ La integral Indefinida sen x x dx = −2 cos x + C Ejemplo 3 Calcular x x − 1dx SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1 ∫x Sustituyendo resulta: x x − 1dx = Como no se simplifica la ∫ ∫ dt = 1 → dx = dt dx Del cambio de variable se obtiene: ∫ x t dt , debemos reemplazarla. ∫ ∫ ∫ En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1 Entonces: x t dt = = 52 t (t + 1) 5 2 t dt = + 23 t Una vez integrado, reemplazando ∫ ∫ 3 t 2 (t ) t + t dt = +C resulta: x x − 1dx = Ejemplo 4 Calcular ⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎜ ⎜ x 2 +1 ⎝ ∫ SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos: ∫ dx − x +1 4x 2 ∫ 1 x +1 2 2 5 ⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠ dx + 3 t 2 dt + ∫ arctanx x +1 2 dx − 3. x2 + 1 dx dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = x 2 + 1 , de donde x +1 4x Sustituyendo, resulta: ∫ ∫ ∫ e arc tan x 2 ∫ ∫ dt dt . = 2 x , entonces dx = dx 2x 2. 2 dt (x − 1)5 2 + 23 (x − 1) 32 + C Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado. 1. 1 t dx = x +1 4x 2 1 dx . Esta integral es directa. x 2 +1 arctg x x2 + 1 4 x dt =2 t 2x ∫ ∫ 1 dt = 2 ln t + C = 2 ln x 2 + 1 + C t 1 dx = arctanx + C x 2 +1 dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde ( ) dt 1 = , entonces dx = x 2 + 1 dt . dx x 2 + 1 7 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ Sustituyendo, resulta: 4. ∫ ∫ ∫ e arc tg x x2 + 1 arctanx x 2 +1 dx = ∫ t x2 ∫ (x + 1)dt = +1 2 ∫ La integral Indefinida tdt = ∫ (arctanx)2 + C t2 +C = 2 2 dx . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto: e arc tan x x +1 2 dx = FINALMENTE: ⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎜ ⎜ x 2 +1 ⎝ ∫( (x + 1)dt = +1 et x 2 2 e t dt = e t + C = e arctanx + C 2 ⎞ ⎟ dx = 2 ln x 2 + 1 − arc tan x + (arc tan x ) − e arc tan x + C ⎟ 2 ⎠ Ejemplo 5 Calcular SOLUCIÓN: ) dx 1 + x 2 ln⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ Tomando el cambio de variable: t = ln ⎛⎜ x + 1 + x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 1 ⎜1 + 2x ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎝ 2 1+ x ⎠ 2 ⎛ 1+ x + x ⎞ 1 ⎜ ⎟ = Del cambio de variable: ⎟ 2 ⎜ 2 x + 1+ x ⎝ 1+ x ⎠ dt 1 = → dx = 1 + x 2 dt 2 dx 1+ x dt 1 = dx x + 1 + x 2 Reemplazando, resulta: ∫( ) dx ⎛ ⎞ 1 + x 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ ⎝ ⎠ = = ∫ ∫ t 1 + x 2 dt 1 + x2 t −1 1 2 dt = 2t 2 + C ⎛ ⎞ = 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ + C ⎝ ⎠ 8 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. (5x − 2) dx 5 11. 2 x 2 x − 1dx 12. dx π⎞ ⎛ sen 2 ⎜ 2 x + ⎟ 4⎠ ⎝ 13. 1 − sen (2 x ) dx 14. x2 +1 dx x −1 (1 + x )2 1+ x2 (1 + x ) 15. 16. dx dx 17. x x (1 + x ) arc tan x 1 1 − x2 10. 18. dx ⎛1+ x ⎞ ln ⎜ ⎟ dx ⎝1− x ⎠ 19. dx x +1 + x −1 20. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1+ x2 + x 1− x2 1 − x4 dx ln x dx x 1 + ln x dx x ln x ln (ln x ) a+x dx a−x sen x cos x a sen 2 x + b 2 cos 2 x dx 2 dx sen 2 x 4 c tg x ⎞ ⎛ ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ ⎠ ⎝ 1+ x 2 2 x 3x 9x − 4x dx dx (1 + x ) x dx 1 + x2 + x −1 4 x − 8x + 3 2 3 dx 2 1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu udv = d (uv ) − vdu Despejando y tomando integral, resulta: ∫ ∫ ∫ udv = ∫ d (uv ) − ∫ vdu En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es: ∫ udv = uv − vdu Ejemplo 1 Calcular x e x dx SOLUCIÓN: Haciendo u = x y dv = e x dx . 9 MOISES VILLENA MUÑOZ Entonces du = dx y v = Integrando, resulta: ∫ ∫ e x dx = e x dv8 v 67 u } } x x e dx = x e x − u } ∫( Ejemplo 2 Calcular La integral Indefinida = x e x ∫ v du } } e x dx − ex + C ) 2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx SOLUCIÓN: ∫ Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx . Entonces du = (4 x + 3 )dx y v = ∫ ( ) ( Por lo tanto, integrando tenemos: ) u 44 u 44 dv 4 v4 6 447 86 6 447 86 47 8 47 8 2 2 2 x + 3 x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) − Ahora, la integral v = ∫ ∫( ) dv = cos x dx . y cos xdx = sen x Por tanto: ∫( 4 x + 3) cos xdx = (4 x + 3) sen x − FINALMENTE: (2 x ( = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + 2 ∫ v4 du 4 6 47 8 647 8 4 x + 3 ) cos xdx Entonces du = 4 dx y = (4 x + 3) sen x + 4 cos x ) ( ) + 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + (4 x + 3 )sen x + 4 cos x + C ∫ e x cos xdx SOLUCIÓN: ∫ Haciendo u = e x y dv = cos x dx . Entonces du = e x dx y v = 10 (− cos x )(4 x + 3 )dx sen x(4dx ) Ejemplo 3 Calcular ∫( ∫ 4 x + 3) cos xdx también se la realiza por partes. u = 4x + 3 Haciendo ∫ sen xdx = − cos x cos xdx = sen x MOISES VILLENA MUÑOZ Por tanto: ∫ ∫ e x cos xdx = e x sen x − La integral ∫ ∫ sen xdx = − cos x . e x sen xdx = −e x cos x + ∫ ∫ FINALMENTE: sen x e x dx sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx . Entonces du = e x dx y v = Por lo tanto ∫ La integral Indefinida ∫ e x cos xdx ⎡ e x cos xdx = e x sen x − ⎢− e x cos x + ⎢ ⎣ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x − ∫ ∫ ∫ ∫ ⎤ e x cos xdx ⎥ ⎥ ⎦ e x cos xdx Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando 2 ∫ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x e x cos xdx = e x sen x + e x cos x +C 2 Ejemplo 4 Calcular x ln xdx ∫ SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?) Entonces du = 1 dx y v = x Por tanto: ∫ ∫ xdx = x2 2 ∫ ∫ ⎛ x2 ⎞ x ln xdx = (ln x )⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ = 1 x 2 ln x − 1 2 2 = 1 x 2 ln x − 1 ⎜ 2 2⎜ x2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ dx ⎟ 2 ⎝x ⎠ xdx ⎛ x2 ⎞ ⎟+C ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ejemplo 5 Calcular ln xdx SOLUCIÓN: 11 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ u = ln x Entonces, aquí sería también v = dx = x ∫ Por tanto: ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dv = dx . Entonces y du = 1 dx x ⎛1 ⎞ x⎜ dx ⎟ ⎝x ⎠ = x ln x − x + C Ejemplo 6 Calcular x arctg x dx SOLUCIÓN: Tomamos u = arctg x y dv = xdx , entonces: du = ∫ Por tanto: ⎛ x2 ⎞ x arctg xdx = (arctg x )⎜ ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ = 1 x 2 arctg x − 1 2 2 ∫ ∫ ∫ 1 1+ x 2 dx y v = x2 2 x2 ⎛ 1 ⎞ dx ⎟⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎝1+ x ⎠ x2 dx x +1 2 ∫ ∫ Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: Reemplazando FINALMENTE: x dx = x2 + 1 2 x arctg xdx = 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟dx = ⎜⎜1 − 2 x +1⎠ ⎝ 1 x 2 arctg x − 1 2 2 dx − ∫ ∫( Encuentre las antiderivadas de: 2. 3. 4. 5. 6. 7. 12 ∫ ∫ x e 3 x dx ∫ 11. x + 1)e 2 x dx 12. (2 x − 1)sen 3xdx 13. x sen (3 x − 1)dx 14. x 2 e − 2 x dx 15. ∫ ∫( ) x 2 − 3x + 2 e 2 x dx (2 x − 1)ln xdx x +1 2 16. 17. ∫( ∫ ∫ ∫ x arctg x )2 dx e x dx ⎛ ⎞ ln ⎜ x + 1 + x 2 ⎟ dx ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ =1− 1 dx = x − arctg x x2 + 1 [x − arctg x] + C Ejercicios Propuestos 1.3 1. x2 arcsin x dx arctg xdx ( ) arc tan x dx cos (ln x ) dx 1 x +1 2 y MOISES VILLENA MUÑOZ 8. 9. ∫ ∫ 10. 18. x ln 2 x dx ∫ x ln x dx 19. x cos x dx 20. sen 2 x ∫ ∫ ∫ La integral Indefinida sen x dx sen (ln x ) dx sen x ln (tg x ) dx 1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera: TIPO I: Integrales de la forma: ∫ ∫ sen n x dx o cos n x dx Para este caso se sugiere, lo siguiente: 1. 2. ∫ Si " n " es IMPAR usar: Si " n " es PAR usar: sen 2 x = 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − sen 2 x 1 − cos 2 x 2 1 + cos 2x cos 2 x = 2 sen 2 x = Ejemplo 1 Calcular cos 2 x dx ∫ SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par: ∫ cos2 x dx = ∫ ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎜ ⎟dx 2 ⎝ ⎠ ∫ ∫ ⎤ cos 2 xdx⎥ ⎥⎦ 1⎡ sen 2 x ⎤ +C = ⎢x + 2⎣ 2 ⎥⎦ = 1⎡ ⎢ 1dx + 2 ⎢⎣ Ejemplo 2 Calcular sen 3 x dx ∫ ∫ ∫( ∫ SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar: sen 3 x dx = = = sen 2 x sen xdx ) 1 − cos 2 x sen xdx sen xdx − ∫ cos2 x sen xdx De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución. 13 MOISES VILLENA MUÑOZ 1. 2. ∫ ∫ La integral Indefinida sen xdx = − cos x cos 2 x sen xdx requiere el cambio de variable t = cos x entonces dt = − sen xdx . ∫ Reemplazando resulta: FINALMENTE: ∫ ∫ cos 2 x sen xdx = sen 3 xdx = − cos x + ∫ t 2 (− dt ) = − cos3 x 3 cos x +C 3 3 Ejemplo 3 Calcular cos 4 x dx ∫ ∫ (cos x) dx SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par: cos 4 x dx = = = = ∫ 2 2 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎟ dx ⎜ 2 ⎠ ⎝ ∫ ∫ 1⎡ ⎢ 1dx + 4⎢ ⎣ 2 2 cos 2 xdx + sen 2 x 1⎡ ⎢x + 2 + 2 4⎢ ⎣ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎤ cos 2 2 xdx ⎥ ⎥⎦ ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤ ⎟dx ⎥ ⎜ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎞⎤ 1⎛ 1 ⎡⎢ x + sen 2 x + ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟⎥ ⎜ ⎟⎥ 2 4⎢ ⎠⎦ ⎝ ⎣ 1⎛ sen 4 x ⎞⎤ 1⎡ = ⎢ x + sen 2 x + ⎜ x + ⎟⎥ + C 2⎝ 4 ⎠⎦ 4⎣ = TIPO II. Integrales de la forma 1. si m ∨ n son impares ∫ ∫ sen m x cos n x dx Ejemplo Calcular sen 3 x cos − 4 x dx ∫ ∫ ∫( ∫( SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente: sen 3 x cos − 4 x dx = = = sen 2 x sen x cos − 4 x dx ) 1 − cos2 x sen x cos − 4 x dx cos x )− 4 sen x dx − ∫( cos x )− 2 sen x dx Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable t = cos x de donde dt = − sen xdx , resulta 14 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ ∫ (cos x )−4 sen x dx − (cos x )−2 sen x dx = ∫ =− = La integral Indefinida t − 4 (− dt ) − ∫ t − 2 (− dt ) t −3 t −1 + +C − 3 −1 cos −3 x − cos −1 x + C 3 2. si m ∧ n son pares ∫ Ejemplo Calcular sen 2 x cos 4 x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ( ∫( ∫ ∫ ∫ SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces: sen 2 x cos4 x dx = = = 2 1 8 1 8 ⎡ 1⎢ 8⎢ ⎣ (1 − cos 2 x )1 + 2 cos 2 x + cos2 2 x )dx ) 1 + cos 2 x − cos2 2 x − cos3 2 x dx 1dx + ∫ cos 2 xdx − Las dos últimas integrales son trigonométricas = )2 dx ⎛ 1 − cos 2 x ⎞⎛ 1 + cos 2 x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = ( sen 2 x cos2 x 1⎡ sen 2 x − ⎢x + 8 ⎢⎣ 2 ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎟dx − ⎜ 2 ⎠ ⎝ ∫ ∫ ∫ cos2 2 xdx − ∫ ⎤ cos3 2 xdx ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ cos 2 2 x cos 2 xdx ⎥ ⎥⎦ ∫( ) ⎤ ⎞ 1⎡ sen 2 x 1 ⎛⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟ − 1 − sen 2 2 x cos 2 x ⎥ − ⎢x + ⎜ ⎟ 8⎢ 2 2⎝ ⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎞⎤ 1⎡ sen 2 x 1 ⎛ sen 4 x ⎞ ⎛⎜ = ⎢x + − ⎜x+ ⎟ − ⎜ cos 2 xdx − sen 2 2 x cos 2 xdx ⎟⎟ ⎥ 8 ⎣⎢ 2 2⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ = = ∫ ∫ 1⎡ sen 2 x x sen 4 x ⎛⎜ sen 2 x sen 3 2 x ⎞⎟⎤ ⎢x + ⎥+C − − − − ⎜ 2 ⎟⎥ 8⎢ 2 2 8 6 ⎝ ⎠⎦ ⎣ ∫ FINALMENTE: sen 2 x cos 4 x dx = 1 ⎡ x sen 4 x sen 3 2 x ⎤ ⎢ − ⎥+C + 8 ⎢2 8 6 ⎥ ⎣ ⎦ 15 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ TIPO III. Integrales de la ∫ forma: La integral Indefinida ∫ sen mx cos nxdx , sen mx sen nxdx , cos mx cos nxdx En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea conveniente: 1 [sen(m + n )x + sen(m − n )x] 2 1 sen mx sen nx = − [cos(m + n )x − cos(m − n )x ] 2 1 cos mx cos nx = [cos(m + n )x + cos(m − n )x ] 2 sen mx cos nx = ∫ Ejemplo 1 Calcular: sen 2 x cos 3x dx ∫ SOLUCIÓN: ∫ ∫ Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta: ∫ sen 2 x cos 3x dx = 1 [sen (2 + 3)x + sen (2 − 3)x]dx 2 ∫ ⎤ ⎡ 1⎢ sen 5 xdx + sen (− x )dx ⎥ ⎥ 2⎢ ⎦ ⎣ 1 ⎡ cos 5 x ⎤ = ⎢− + cos x ⎥ + C 2⎣ 5 ⎦ = Ejemplo 2 Calcular sen x sen 2 x sen 3xdx ∫ ∫( ∫ SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos: sen x sen 2 x sen 3 xdx = = =− sen x sen 2 x )sen 3xdx − 1 2 1 [cos(1 + 2)x − cos(1 − 2)x]sen 3xdx 2 ∫[ ∫ ∫ ∫ cos 3 x sen 3 x − cos(− x )sen 3x ]dx 1⎡ = − ⎢ sen 3 x cos 3 xdx − 2 ⎣⎢ 1⎡ =− ⎢ 2 ⎣⎢ ∫ ⎤ sen 3 x cos xdx ⎥ ⎦⎥ 1 [sen 6 x + sen 0 x] − 2 ∫ ∫ ⎤ 1 [sen 4 x + sen 2 x]dx ⎥ 2 ⎦⎥ ∫ ⎤ 1⎡ = − ⎢ sen 6 xdx − sen 4 xdx − sen 2 xdx ⎥ 4 ⎢⎣ ⎥⎦ 1 ⎡ cos 6 x cos 4 x cos 2 x ⎤ = − ⎢− + + +C 4⎣ 6 4 2 ⎥⎦ 16 MOISES VILLENA MUÑOZ TIPO IV. Integrales de la forma: ∫ ∫ tg n x dx y Aquí se recomienda usar las identidades: ∫ La integral Indefinida cot g n x dx tg 2 x = sec 2 x − 1 cot g 2 x = csc 2 x − 1 Ejemplo 1 Calcular tg 3 x dx SOLUCIÓN: ∫ ∫ ∫( ∫ tg3 x dx = = = tg 2 x t gxdx ) ∫ sec2 x − 1 tg xdx sec2 x tg xdx − tg xdx La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. t = tg x de donde dt = sec 2 xdx FINALMENTE: ∫ ∫ tg 3 x dx = ∫ = ( tdt − − ln cos x ) tg 2 x + ln cos x + C 2 Ejemplo 2 Calcular cot g 4 x dx ∫ ∫ ∫ ∫ SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta: cot g 4 x dx = = = cot g 2 x cot g 2 x dx ( ) ∫ cot g 2 x csc2 x − 1 dx cot g 2 x csc2 xdx − cot g 2 xdx La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir: 17 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ cot g 4 x dx = ∫ TIPO V. Integrales de la forma: ∫ La integral Indefinida ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ gx ⎟ csc2 x dx − ⎜ cot 1 2 3 424 3 ⎜ ⎟ 1 − dt ⎝ t ⎠ 2 ∫ ∫ ∫ cot g 2 x dx (csc2 x − 1)dx =− cot g 3 x − 3 =− cot g 3 x − 3 =− cot g 3 x + cot gx + x + C 3 csc2 xdx + tg m x sec n xdx y ∫ ∫ dx cot g m x csc n xdx Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede con el diferencial de la tangente o cotangente. ∫ Ejemplo ∫ Calcular tg −3 2 x sec 4 xdx SOLUCIÓN: ∫ tg −3 2 x sec4 x dx = = = ∫ ∫ ∫ tg tg ∫ −3 −3 2 x sec2 x sec2 xdx 123 ) ( ∫ 2 x tg 2 x + 1 sec2 x dx tg 2 x sec2 x dx + 1 tg ∫ Las dos integrales últimas se hacen por sustitución: tg −3 2 x sec xdx = 4 = ⎛ ⎞ 2 ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx + ⎜⎜ { ⎟⎟ 1 424 3 ⎝ t ⎠ dt 1 −1 3 tg 2 x tg 2 x + +C 3 −1 2 2 −3 2 x sec2 x dx ⎛ ⎞ ⎜ tg x ⎟ ⎜⎜ { ⎟⎟ ⎝ t ⎠ −3 2 sec2 x dx 1 424 3 dt − = 2 tg 2 x − 2 tg 2 x + C 3 1 3 Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante. ∫ Ejemplo Calcular 18 tg 3 x sec −1 2 xdx MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ ∫ SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante ∫ tg 3 x sec y luego resolviendo, tenemos: ∫ tg 3 x sec −1 2 −1 xdx = 2 xdx = = ∫ ∫ ∫ tg 2 x sec (sec sec ) −3 2 x(sec x tg xdx ) 142 4 43 4 d (sec x ) −3 x(sec x tg xdx ) 2 x − 1 sec 1 x(sec x tg xdx ) − 2 2 estas últimas integrales se resuelven por sustitución: 3 tg x sec −1 2 xdx = ⎛ ⎞ 2 ⎜ sec x ⎟ (sec x tg xdx ) − 4 43 4 ⎜ { ⎟ 142 ⎝ t ⎠ dt 1 = 2 sec 2 x + 2 sec 3 −1 3 2x ∫ ∫ sec −3 2 ⎛ ⎞ ⎜ sec x ⎟ ⎜{⎟ ⎝ t ⎠ x(sec x tg xdx ) −3 2 (1 sec x tg xdx ) 42 4 43 4 dt Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos: ∫ Ejemplo Calcular sec 3 x dx ∫ SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes sec 3 x dx = ∫ 2 sec {xsec 1 42xdx 4 3 u dv Entonces si tomamos u = sec x tenemos du = sec x tg xdx y si tomamos dv = sec 2 xdx tenemos v = tg x Ahora, integrando ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ u v }} sec 3 x dx = sec x tg x − = sec x tg x − tg 2 x sec xdx = sec x tg x − sec 2 x − 1 sec xdx = sec x tg x − sec 3 x dx = sec x tg x − ∫ ∫ du 48 v 647 } tg xsec x tg xdx sec 3 xdx + ) ∫ sec xdx sec 3 xdx + ln sec x + tg x FINALMENTE, despejamos la integral buscada 2 sec 3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x sec 3 x dx = 12 sec x tg x + 12 ln sec x + tg x + C 19 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ Ejercicios Propuestos 1.4 (2 − 3 cos 2x)dx Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 10. 11. 2 12. sen 3 3 xdx 13. cos6 x dx 14. cos 5 x sen x dx 15. sen 3x sen 5 x dx x 2x sen cos dx 3 3 16. π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sen ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ 3x + ⎟ dx 6⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ 2 17. 18. cos x cos 3x dx sen 3 (2 x ) cos 7 (2 x ) dx 19. 20. cos x cos 2 x cos 3 x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ tan 5 x dx c tg 6 x dx tan 2 5 x dx tg 5 x sec − 32 xdx dx sen 2 x cos 2 x (2 ) (2 ) dx Sen x Cos 3 x ( dx ) dx sen 2 x cos 4 x sen x + π 4 sen x cos x dx sen 2 x cos x csc3 x dx 1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda: Si tenemos x = a sen t sustituir Si tenemos a2 + x2 sustituir Si tenemos x2 − a2 sustituir x = a tg t x = a sec t 20 a2 − x2 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ Ejemplo 1 Calcular 4 − x2 x2 dx SOLUCIÓN: En este caso hacemos x = 2 sen t entonces dx = 2 cos tdt Reemplazando y resolviendo, resulta: ∫ 4 − x2 x 2 dx = = = = = = = = = ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ∫ ∫ 4 − (2 sen t )2 (2 sen t )2 4 − 4 sen 2 t 4 sen 2 t 4 1 − sen 2t 2 sen 2 t 4 cos 2 t 2 sen 2 t 2 cos t 2 sen 2 t cos 2 t sen 2 t 2 cos tdt 2 cos tdt cos tdt cos tdt cos tdt dt cot g 2tdt csc2t − 1 dt csc2 tdt − dt = − cot gt − t + C Ahora hay regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos x sen t = . Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo: 2 De la figura, observamos que cot g t = t = arcsen 2 x t 4 − x2 ∫ 4 − x2 x y como x tenemos: 2 4 − x2 x2 dx = − cot gt − t + C =− x 4 − x2 − arcsen + C x 2 21 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫( Ejemplo 2 Calcular SOLUCIÓN: ) x 3 dx x2 + 9 3 2 ∫( ∫( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ En este caso hacemos x = 3 tg t entonces dx = 3 sec2 t dt Reemplazando y resolviendo, resulta: ) x3dx x +9 2 3 2 = = = = (3 tg t )3 = (3 tg t ) 2 27 tg 3 t 3 sec2 t ⎛ ⎞ 2 ⎜ 9 tg t + 9 ⎟ ⎝ ⎠ (3 sec t )3 81 tg 3 t sec2 t 81 tg 3 t sec2 t 27 sec3 t 3 3 sec2 tdt +9 2 3 dt 3 dt dt tg 3 t dt sec t =3 tg t tg 2 t dt sec t =3 tg t sec2 t − 1 dt sec t ⎡ ⎤ ⎢ tg t sec2 t tg t ⎥ dt ⎥ dt − = 3⎢ sec t sec t ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ sen tdt ⎥ = 3⎢ sec t tg tdt − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 3[sec t + cos t ] + C Ahora por trigonometría, del cambio de variable tg t = tenemos el siguiente triángulo: Por tanto sec t = x2 + 9 ∫( FINALMENTE, x t 3 22 x 3 ) x 3 dx x2 + 9 3 2 x2 + 9 y cos t = 3 ⎡ x2 +9 = 3⎢ + 3 ⎢⎣ 3 x +9 2 ⎤ ⎥+C x 2 + 9 ⎥⎦ 3 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ Ejemplo 3 Calcular x 2 − 16 x3 dx SOLUCIÓN: En este caso hacemos x = 4 sec t entonces dx = 4 sec t tg tdt Reemplazando y resolviendo, resulta: ∫ x 2 − 16 x 3 ∫ ∫ ) ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx = = = = = = = (4 sec t )2 − 16 4 sec t tg tdt (4 sec t )3 16 sec 2 t − 16 43 sec3 t 16 sec 2 t − 1 tg tdt 4 2 sec 2 t 16 tg 2 t tg tdt 4 2 sec 2 t 4 tg t 4 2 sec 2 t tg 2 t 4 sec 2 t 4 sec t tg tdt tg tdt dt sen 2 t 1 4 cos 2 t dt 1 cos 2 t = = = = = 1 4 sen 2 tdt 1 4 ⎛ 1 − cos 2t ⎞ ⎜ ⎟dt 2 ⎝ ⎠ ⎡ 1⎢ 8⎢ ⎣⎢ 1dt − ⎤ cos 2tdt ⎥ ⎥ ⎥⎦ 1 ⎡ sen 2t ⎤ +C t− 8 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t− ⎥+C 8 ⎢⎣ 2 ⎦ Ahora por trigonometría , del cambio de variable sec t = x x tenemos el siguiente triángulo: 4 x 2 − 16 t 4 Por tanto, t = arc sec x , sen t = 4 x 2 − 16 4 y cos t = x x 23 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ FINALMENTE: La integral Indefinida x 2 − 16 x 3 dx = = 1 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t− ⎥+C 8 ⎢⎣ 2 ⎦ x 1 ⎡⎢ arc sec − 8⎢ 4 ⎣ x 2 − 16 4 ⎤⎥ +C x x⎥ ⎦ En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero. ∫ Ejemplo 4 Calcular 5 − 4 x − x 2 dx ∫ ∫ ∫ SOLUCIÓN: Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebráica y luego la sustitución trigonométrica que convenga. 5 − 4 x − x 2 dx = = ∫ ( ) 5 − x 2 + 4 x + 4 + 4 dx 9 − (x + 2 )2 dx En la última integral podemos hacer u = x + 2 entonces du = dx y la integral quedará así: 9 − u 2 du Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es u = 3 sen t de la cual resulta du = 3 cos tdt . Reemplazando y resolviendo, tenemos: ∫ 9 − u 2 du = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 9 − 9 sen 2 t 3 cos tdt = 3 cos t 3 cos tdt =9 cos 2 tdt =9 ⎛ 1 + cos 2t ⎞ ⎜ ⎟dt 2 ⎝ ⎠ ⎤ ⎡ 9⎢ 1dt + cos 2tdt ⎥ ⎥ 2⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ 9 ⎡ sen 2t ⎤ = ⎢t + +C 2⎣ 2 ⎥⎦ = = Del cambio de variable sen t = 9 ⎡ 2 sen t cos t ⎤ t+ ⎥+C 2 ⎢⎣ 2 ⎦ u obtenemos el siguiente triángulo: 3 3 u t 24 9−u2 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida u y cos t = 3 Entonces t = arcsen ∫ Por tanto, 9−u2 3 9 [t + sen t cos t ] + C 2 9 − u 2 du = 9 ⎡⎢ ⎛ u ⎞ u 9−u2 arcsen⎜ ⎟ + 2⎢ 3 ⎝3⎠ 3 ⎣ Finalmente, como u = x + 2 , reemplazando resulta: = ∫ 9 ⎡⎢ ⎛ u ⎞ u 9−u2 arcsen⎜ ⎟ + 2⎢ 9 ⎝3⎠ ⎣ ⎡ 9 ⎛ x + 2 ⎞ (x + 2 ) = ⎢arcsen⎜ ⎟+ 2⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎣ 9 − u 2 du = ∫ ∫( Ejercicio Propuestos 1.5 Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. x 2 9 − x 2 dx 11. ) 12. ∫( dx 1 − x2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 10. 3 x2 1− x 2 ) 3 13. dx 2 x2 9 − x2 14. dx dx 15. x x2 + 9 dx x 3 x 4 x2 − 9 16. dx x2 −1 x 17. 2 x2 − 2 ∫( dx 18. 2 x dx 4x − x 2 19. dx ) x 2 + 4x + 13 3 20. ⎤ ⎥+C ⎥ ⎦ ⎤ ⎥+C ⎥ ⎦ 9 − (x + 2 )2 ⎤⎥ +C ⎥ 9 ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ dx 1+ e 2x sec 2 xdx tg 2 x + 4 tg x + 1 sen x cos xdx 9 + sen 4 x ∫( ∫ ∫ x arctg xdx 1 + x2 ) x e arc tanx 1+ x 2 3 dx 2 x 2 arc cos x dx ∫( ∫ ∫ ln x dx x 1 − 4 ln x − ln 2 x 1+ x ) 1− x xdx 2 4 x 3 dx x − x2 + 2 4 x11 dx x 8 + 3x 4 + 2 25 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES p( x) es una fracción propia, o sea que q( x) Cuando la función racional el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales. REGLA GENERAL Sea p( x) una fracción propia. Entonces: q( x) 1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador q(x) . 2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de q(x) . 3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador. Ahora veámos por caso. CASO I: q (x) se descompone en factores lineales diferentes ∫ Ejemplo Calcular 5x + 3 x 3 − 2 x 2 − 3x dx SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador 5x + 3 5x + 3 5x + 3 = = x(x − 3)(x + 1) x3 − 2 x 2 − 3 x x x 2 − 2 x − 2 ( ) El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente: 5x + 3 A B C = + + x(x − 3)(x + 1) x x − 3 x + 1 Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C Multiplicando por x (x − 3)(x + 1) a cada termino, resulta: 5 x + 3 = A(x − 3)(x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 3) Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de q (x ) : Si x = 0 , resulta: 5(0) + 3 = A(0 − 3)(0 + 1) + B(0)(0 + 1) + C (0)(0 − 3) 3 = −3 A Si x = 3 , resulta: Si x = −1 , resulta: 26 A = −1 5(3) + 3 = A(3 − 3)(3 + 1) + B (3)(3 + 1) + C (3)(3 − 3) 18 = 12 B B=3 2 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 5(−1) + 3 = A(−1 − 3)(−1 + 1) + B (−1)(−1 + 1) + C (−1)(−1 − 3) Integrando, − 2 = 4C C=−1 2 ∫ 5x + 3 x − 2 x − 3x 3 2 dx = ∫ ∫ 3 −1 ⎞ ⎛ −1 ⎜ + 2 + 2 ⎟dx ⎜ x x − 3 x +1 ⎟ ⎝ ⎠ =− 1 3 dx + 2 x ∫ 1 1 dx − 2 x −3 ∫ 1 dx x +1 = − ln x + ln x − 3 − ln x + 1 + C 3 2 1 2 CASO II. En q(x) hay factores lineales repetidos ∫( Ejemplo Calcular 3x 2 − 8 x + 13 x + 3)(x − 1)2 dx SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: 3 x 2 − 8 x + 13 multiplicando por = + + (x + 3)(x − 1)2 x + 3 x − 1 (x − 1)2 (x + 3)(x − 1)2 se obtiene: 3 x 2 − 8 x + 13 = A(x − 1)2 + B (x + 3)(x − 1) + C ( x + 3) A B C Evaluando para las raíces: Si x = −3 , resulta: 3(− 3)2 − 8(−3) + 13 = A(− 3 − 1)2 + B(− 3 + 3)(x − 1) + C (−3 + 3) 64 = 16 A A=4 Si x = 1 , resulta: 3(1) 2 − 8(1) + 13 = A(1 − 1)2 + B(1 + 3)(1 − 1) + C (1 + 3) 8 = 4C C=2 Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados: Si x = 0 , resulta: Integrando 3(0) 2 − 8(0) + 13 = 4(0 − 1)2 + B(0 + 3)(0 − 1) + 2(0 + 3) 13 = 4 − 3B + +6 B = −1 ∫( 3x 2 − 8 x + 13 x + 3)(x − 1) 2 dx = ∫ ∫ =4 ⎛ 4 −1 2 ⎜ + + ⎜ x + 3 x − 1 (x − 1)2 ⎝ 1 dx − x+3 ∫ ⎞ ⎟ dx ⎟ ⎠ 1 dx + 2 x −1 = 4 ln x + 3 − ln x − 1 − ∫( 2 +C x −1 x − 1)2 1 dx 27 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida CASO III. En q(x) hay factores cuadráticos irreducibles ∫ Ejemplo 1 Calcular 5x 2 + 2 x 3 − 4x 2 + 5x dx SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: A B(2 x − 4 ) + C + 2 x x − 4 x + 5x x x − 4 x + 5 x − 4x + 5 Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada. 5x2 + 2 3 ( = 2 ) 5x2 + 2 2 ( ) = Simplificando, tenemos: 5 x 2 + 2 = A x 2 − 4 x + 5 + [B (2 x − 4 ) + C ](x ) Evaluando para x = 0 , ( ) 5(0 )2 + 2 = A (0)2 − 4(0) + 5 + [B (2(0 ) − 4 ) + C ](0 ) 2 = 5A A= 2 ( ) 5 Para x = 2 , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A 5(2)2 + 2 = A (2 )2 − 4(2 ) + 5 + [B(2(2 ) − 4 ) + C ](2) 22 = 2 5 (1) + 2C C = 54 ((1) )[ Evaluando para x = 1 y empleando lo valores de A y C, tenemos: 5(1)2 + 2 = 2 5 7= ∫ 2 5 5x 2 + 2 x 3 − 4x 2 + 5x dx = = = = ] (1) − 4(1) + 5 + B(2(1) − 4 ) + 54 5 (2) + [B(− 2) + 545 ] 2 B = 23 10 Ahora, integrando resulta ∫ 5 ∫ ∫ ⎛ 25 ⎜ + ⎜ x ⎝ 2 5 23 10 (2 x − 4) + 54 5 ⎞⎟ ∫ x 2 − 4x + 5 1 23 dx + x 10 2x − 4 dx ⎟ ⎠ x − 4x + 5 2 dx + 54 23 2 ln x 2 − 4 x + 5 + ln x + 5 10 5 ∫ 54 5 ∫ 1 x − 4x + 5 2 dx (x − 2 )2 + 1 1 dx 54 23 2 arctg(x − 2 ) + C ln x 2 − 4 x + 5 + ln x + 5 10 5 Ejemplo 2 Calcular x 3 −1 x3 + x dx SOLUCIÓN: Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene: x 3 −1 La integral sería ahora: 28 x3 + x = 1− x +1 x3 + x MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ x3 −1 x3 + x dx = = ∫ ∫ ∫ La integral Indefinida ⎛ x +1 ⎞ ⎟⎟dx ⎜⎜1 − ⎝ x3 + x ⎠ 1dx − x +1 x3 + x dx La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces: x +1 x +1 A B (2 x ) + C = + = x x3 + x x x 2 +1 x 2 +1 ( ( ) ) Simplificando tenemos: x + 1 = A x + 1 + [B (2 x ) + C ](x ) ( ) 0 + 1 = A 0 2 + 1 + [B(2(0) ) + C ](0) 1 = A(1) Evaluando para x = 0 , resulta: A =1 Evaluando para x = 1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta 1 + 1 = 1 12 + 1 + [B(2(1) ) + C ](1) 2 = 2 + 2B + C 2B + C = 0 Evaluando para x = −1 y utilizando el valor obtenido para A, resulta 2 ( ) ( ) − 1 + 1 = 1 (− 1)2 + 1 + [B(2(− 1)) + C ](− 1) 0 = 2 + 2B − C 2 B − C = −2 Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C ⎧2 B + C = 0 ⎨ ⎩ 2 B − C = −2 Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B: C = −2 B ⎛ 1⎞ Entonces C = −2⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ C =1 ( 4 B = −2 B=−1 2 ) En la expresión x + 1 = A x 2 + 1 + [B (2 x ) + C ](x ) simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir: OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue: x + 1 = Ax 2 + A + 2 Bx 2 + Cx x + 1 = ( A + 2 B )x 2 + Cx + A ⎧0 = A + 2 B ⎪ De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎨1 = C ⎪1 = A ⎩ ⎧A = 1 ⎪ Por tanto ⎨ B = − 1 2 ⎪ ⎩C = 1 En fin, ahora integrando tenemos: 29 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ x3 −1 x3 + x dx = La integral Indefinida ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ x +1 1dx − x3 + x dx ⎛ 1 − 1 2x + 1 ⎞ ⎜ + 2 ⎟dx ⎜x ⎟ 2 + 1 x ⎝ ⎠ = x− ∫ ⎡ 1 ⎤ 1 2x 1 = x−⎢ dx − dx + dx ⎥ ⎢ x 2 x 2 +1 x 2 + 1 ⎥⎦ ⎣ = x − ⎡ln x − 12 ln x 2 + 1 + arctg(x )⎤ + C ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ Ejercicios Propuestos 1.6 Encuentre las antiderivadas de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ∫ dx 11. (4 x − 2)dx 12. x − x − 2x 3 ∫ ( ∫ 2 (x + 1)(x + 2)(x + 3)2 x dx (2 − x )dx 13. 2 14. x 3 + 3x 2 + 2 x ∫ ) dx 15. 4x2 − x + 1 dx 16. (2 x − 3)(x 2 + 4) x 2 + x − 10 ∫ ∫( ∫( ∫ 10. 30 (x − 1)(x + 3) x3 − x 2 + x − 1 x 3 dx x + x−2 2 17. )( dx x 2 − 4x + 4 x 2 − 5x + 6 )( 3x − 1 x + 1 x + 2x + 2 2 2 ) dx x5 + 9x3 − 9x 2 − 9 x3 + 9x dx ) 18. 19. 20. ∫ ( ∫ ∫( ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 x 4 −1 dx ) (x + 2)(x 2 + 2 x + 2) 2 x 2 + 3x + 2 x5 x2 + 4 ) dx dx 2 ) 4x 2 + 2x + 8 x x2 + 2 2 dx (x − 1)2 (x 2 + 1) x 2 − 4x + 3 x3 − 1 4x3 − x dx dx sen x dx cos 2 x + cos x − 6 sec 2 t dt sec 2 t − 3 tan t + 1 (2 + cos x ) sen x dx dx 1+ e 2 + e 3 + e 6 x x x MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS CASO I. Integrales del tipo ∫( R sen x, cos x )dx Se recomienda la siguiente sustitución tg 2x = t de donde ∫ 2t ⎧ ⎪sen x = 1+ t 2 ⎪ 1− t 2 ⎪⎪ ⎨cos x = 1+ t 2 ⎪ ⎪ 2 dt ⎪dx = 1+ t 2 ⎩⎪ Ejemplo Calcular 1 dx 1 + sen x + cos x ∫ SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando resulta: ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ 1 dx = 1 + sen x + cos x = = = = 1+ 1 2t 1+ t2 + ⎛ 2 ⎞ dt ⎟⎟ ⎜⎜ 2 1− t ⎝1+ t ⎠ 2 1+ t2 ⎛ 2 ⎞ dt ⎟⎟ ⎜⎜ 2 1 + t + 2t + 1 − t ⎝ 1 + t ⎠ 1 2 1+ t2 2 2 dt 2 + 2t 2 dt 2 1+ t) 1 dt 1+ t = ln 1 + t + C = ln 1 + tg 2x + C CASO II ∫( Integrales donde se cumple que R − sen x,− cos x )dx = Se recomienda usar la sustitución tg x = t de donde ∫( t ⎧ ⎪sen x = 1+ t 2 ⎪ ⎪⎪ 1 ⎨cos x = 1+ t 2 ⎪ ⎪ dt ⎪dx = 1+ t 2 ⎩⎪ R sen x, cos x )dx 31 MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ Ejemplo Calcular 1 1 + sen 2 x ∫ dx SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando 1 1 + sen x 2 dx = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎛ dt ⎜ 2 ⎝1+ t ⎞ t ⎟ ⎟ 1 + t 2 ⎟⎠ ⎛ 1 + ⎜⎜ ⎜ ⎝ 1 1+ 2⎜ 1 t2 1 + t2 ⎛ dt ⎜ ⎜ 2 ⎝1+ t 1 + t2 1 + 2t 2 ( 2 t )2 1 arctg( 2 t ) + C 2 1 arctg( 2 tg x ) + C 2 1+ 1 dt Encuentre las antiderivadas de: 2. 3. 4. ∫ ∫ ∫ ∫ dx 2 sen x + cos x + 5 5. dx 3 sen x + 4 cos x 6. 1 dx 3 sen x − 4 cos x 7. 2 sen x 1 + sen 2 x dx 8. 2. 3. 32 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx sen x + tg x dx cot x + csc x sin x + cos x − 1 dx sin x + cos x + 1 sin x − 2 cos x dx sin x + cos x + 1 Misceláneos Encuentre las antiderivadas de: 1. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ dt Ejercicios Propuestos 1.7 1. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ dt 1 ⎜ ⎜ 1 + t2 + t2 ⎝1 + t2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ x −1 x + 4x 3 x2 − 1 x 3 dx 43. dx 44. x 3 x 2 + 9 dx 45. e ar sen x + 3x 2 − 4 x + 2 x2 − 4 x2 1 − x2 dx sen 2 x cos 2 xdx dx MOISES VILLENA MUÑOZ 4. 5. 6. 7. 8. 9. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ (3x 2 47. (x − 1)(x 2 + 1) 48. x 2 − 5 x + 3 e − 2 x dx 50. 19. 20. 21. 22. 23. ex 2x + 4e + 1 ( x ) dx x x x +1 1 − x2 dx x 51. dx 52. ) x 2 + 4 x + 5 (x − 1) 13. 18. ) senh 12. 17. dx 49. 11. 16. 2x − 6 2 cos x dx 9 − cos 2 x 10. 15. 46. 3 sen 2 x cos 5 2 xdx e 14. ) − 2 x e 2 x dx dx 54. 55. sen 2 2 x cos xdx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos x 56. dx cos 2 x cos 3 x cos 7 xdx ∫ 53. (x − 2)2 (x 2 + 2 x + 3) 3x 2 − 5 x + 4 ( sen x ) dx cos x cos 2 x + 1 x +1 dx x 57. dx 58. 59. 2 60. x 3 x 2 + 9 dx 61. (x − 3)2 x x dx 62. 3 x 2 + 25 dx 3x x4 + 4x2 + 5 63. dx 64. x 2 arctgxdx 65. ∫ ∫ La integral Indefinida x 1+ 4 x ∫( ∫ ∫( ∫ dx dx 1 + senx + cos x ) 3 x 2 − 2 x + 5 ln xdx e3 x + 1 ex + 1 dx ) 2 3 x 2 + 5 xdx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x3 x +4 (6x dx 8 2 ) − 4 x + 3 arctgx dx sen 4 x dx cos 4 x 2 cos x − sen x dx 3 sen x + cos x cos x dx ∫ x x3 − 1 ∫ ∫ ∫ ( ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ dx x −1 x + 4x 3 x −1 x + 4x 3 dx dx 5 x3 − 3x 2 + 2 x − 1 x4 + x2 ln x x + 4 x ln 2 x 9 − x2 x6 ) dx 3 dx ) 7x + 3 x 2 + 2 x´+2 (x − 1) 2x + 3 x3 + 4 x e2 x ex + 1 1+ x 1 + x2 dx dx dx dx dx 33 MOISES VILLENA MUÑOZ 24. 25. 26. 27. ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 34 1 − 4x2 dx x 66. e 2 x sen xdx 67. 1 − sen x dx cos x 68. e 28. La integral Indefinida ex 2x ln x e2 x + 4 69. dx dx 70. x 2 x + 1dx 71. x 3e − x dx 72. x 2 1 x 1 + ln x 73. dx 2x − 1 x3 − 2 x 2 − 3x dx x 4 + 3x3 − 5 x 2 − 4 x + 7 x3 + x 2 − 5 x + 3 ( dx x 3 x 1+ 3 x x2 − 2 dx 3x + 1 ) (3x − 1)cos 2 xdx ln (2 x + 3)dx 2x + 3 x − 3x + 2 2 74. dx 75. 76. 77. 78. 79. dx ) dx 80. x3 − 1 x2 + 4 x 81. 1 − sen x dx x + cos x 2x + 3 x 2 − 3x + 2 82. dx 83. 2 sen xdx sen x + 2 cos x 84. ∫ ∫ ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x2 1 − x2 dx x3 + 1 dx x2 − 2x 16 + x 2 x2 ) 3 2 dx 3 cos x − 4 sen x dx sen x + cos x + 1 3 tg x − 4 cos 2 x dx cos x 1 dx x (3 + ln x ) dx x3 − x ∫ 2x − 5 3x 2 + 6 x + 9 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x −1 x + 4x 3 dx dx 2 x arcsen xdx dx sen x cos 3 x cos x dx 1 + sen x + cos 2 x cos x dx 1 + sen x + cos 2 x 1 + x dx (x + 1)(x 2 + 2 x + 2) dx e 4 x + 3e 2 x e4 x + 5 dx sin 2 x cos 3 x cos 2 xdx x x+3 x dx (sin x + cos x )2 dx Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ 2 2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Analice Monotonía de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma. 35 Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ 2.1. SUCESIONES 2.1.1 DEFINICIÓN. Sucesión es una función, denotada como {a n }, cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango son números reales. Es decir: IN a X ⊆ IR n a f ( n) = a n . presenta como una secuencia de términos {a1 , a 2 , a3, ,L}. Si la sucesión tiene Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se SUCESIÓN FINITA. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN INFINITA. una cantidad determinada de términos se la llamará Ejemplo {an } = ⎧⎨ n ⎫ ⎧1 2 3 n ⎫ ,L⎬ ⎬ = ⎨ , , ,L, 2n + 1 ⎭ ⎩ 2n + 1 ⎭ ⎩ 3 5 7 La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión. Ejemplo a1 = 1; a n = a n −1 + 3; n ≥ 2 Es decir: a 2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4 a3 = a 2 + 3 = 4 + 3 = 7 Y así sucesivamente. 36 Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ 2.1.2 Convergencia y Límite Una sucesión {a n } , es convergente si y sólo si lim an n →∞ existe. Caso contrario; es decir, si lim an no existe, se n →∞ dice que la sucesión es divergente. a = L , significa que: Si lim an existe, es decir si lim n →∞ n n →∞ ∀ξ > 0, ∃N > 0 talque n > N ⇒ an − L < ξ Ejemplo. ⎧ n ⎫ Determinar si {an } = ⎨ ⎬ es convergente o divergente. ⎩ 2n + 1 ⎭ SOLUCIÖN: Para determinar si es convergente o divergente se halla n →∞ lim a n . n 1 n n = lim = lim 2 1 n 2 n→∞ 2n + 1 n→∞ + n n Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 1 2 TEOREMA Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión sea convergente es que sea acotada. Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 12 y la máxima cota inferior es 13 . PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? 37 Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ { Ejemplo Determinar si {a n } = n sen (πn )} es convergente o divergente. ⎡ sen (π )⎤ n(πn )sen (πn ) n ⎥ π ( ) lim n sen n = lim = lim π⎢ π π ⎥ n →∞ n →∞ n →∞ ⎢ SOLUCION: ⎣ n Haciendo n ⎦ u = πn entonces, si n → ∞ tenemos que u → 0 ( )⎤⎥ ⎡ sen π n lim π⎢ π n →∞ ⎢ ⎣ n converge. ⎡ sen u ⎤ ⎡ sen u ⎤ = lim π⎢ = π lim ⎢ ⎥ ⎥ = π(1) = π . u ⎥ u →0 ⎣ u →0 ⎣ u ⎦ ⎦ ⎦ Por TEOREMA Si an y bn son sucesiones convergentes, entonces: 1. lím kan = k lím an ; k ∈ IR n →∞ n →∞ (an ± bn ) = lím an ± lím bn 2. lím n →∞ n →∞ n →∞ (an bn ) = lím an lím bn 3. lím n →∞ n →∞ n →∞ an ⎛ an ⎞ lím ⎟⎟ = n→∞ si lím b b ⎝ n⎠ n ⎜ 4. lím n →∞ ⎜ n →∞ lím bn ≠ 0 n →∞ 2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS Una sucesión {a n } es monótona si sus términos son no decrecientes, es decir: a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤ L ≤ a n ≤ a n +1 ≤ L ; ó si sus términos son no crecientes; es decir: a1 ≥ a 2 ≥ a3 ≥ L ≥ a n ≥ a n +1 ≥ L . 38 tanto Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ a n +1 ≥ 1 será an una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que a n ≥ a n +1 o a n +1 ≤ 1 será una sucesión DECRECIENTE. an Lo anterior quiere decir que si se cumple que a n ≤ a n +1 o Ejemplo 1 Determinar si la sucesión a n = n es creciente o decreciente. 2n + 1 SOLUCIÖN: En este caso a n +1 = n +1 n +1 = 2(n + 1) + 1 2n + 3 Al dividir ambas expresiones, resulta: n +1 a n +1 2n + 3 (n + 1)(2n + 1) 2n 2 + 3n + 1 = = = n an n(2n + 3) 2n 2 + 3n 2n + 1 note que en la última expresión se observa que a n +1 ≥ 1 ¿Por qué?. an Por tanto, la sucesión será CRECIENTE. Ejemplo 2 Analice la sucesión a n = 3 + (− 1)n SOLUCIÖN: Desarrollando la sucesión tenemos {a n } = {3 + (− 1)n }= {2,4,2,4, L} Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada. 39 Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ Ejemplo 3 Analice la sucesión a n = 2n n! SOLUCIÖN: 1. 0. 2. 3. 2n = 0 . El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a n →∞ n! lim La sucesión es acotada debido a que es convergente. n +1 2 a n +1 (n + 1)! 2 n 21 n! 2 2 n +1 . Ahora a n +1 = = = = n n (n + 1)! an n! (n + 1) 2 n +1 2 n! Se observa que para n ≥ 1 , 2 ≤ 1 por tanto la sucesión es decreciente. n +1 Ejercicios propuestos 2.1 1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. ⎧⎪ 3n 2 + 1 ⎫⎪ e. a. ⎬ ⎨ 2 ⎪ ⎪ b. c. d. ⎩ 2n − n ⎭ ⎧⎪ 2n 2 + 1 ⎫⎪ ⎬ ⎨ ⎪⎩ 3n − 1 ⎪⎭ nπ ⎫ ⎧ n sen ⎬ ⎨ 2⎭ ⎩n +1 f. g. ⎧⎪⎛ 3 ⎞ n ⎫⎪ ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎪⎭ 2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas. a. ⎧ 3n − 1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ 4n + 5 ⎭ ⎧⎪ 5 ⎪⎫ ⎬ ⎨ 2 n ⎪⎩1 + 5 ⎪⎭ ⎧ ⎫ n! ⎨ ⎬ ⎩1 • 3 • 5 • L • (2n − 1) ⎭ n b. c. 40 d. e. ⎧ 2n + 1 ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩ 3n − n ⎭ ⎧ ln n ⎫ ⎨ 2 ⎬ ⎩n ⎭ n ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ 1 + ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎪⎩⎝ 2n ⎠ ⎪⎭ sen(nπ) ⎧ n! ⎫ ⎨ n⎬ ⎩3 ⎭ Sucesiones MOISÉS VILLENA MUÑOZ 2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sea la secuencia a1 , a 2 , a3 ,L a n . La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma: a1 + a2 + a3 + L an = ∑a n i =1 i Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita. Ejemplo 1 ∑ 4 i =1 1 2 3 4 i = + + + 2 { 5 10 17 i2 + 1 { { { i =1 i=2 i =3 Ejemplo 1 1+ 2 + 3 + 4 +L + n +L = i =4 ∑ ∞ n =1 n 2.2.1 Propiedades Sean {ai } y {bi } dos sucesiones y sea C una constante, entonces 1. ∑ Cai = C ∑ ai n n i =1 i =1 2. ∑ (ai ± bi ) = ∑ ai ± ∑ bi n n n i =1 i =1 i =1 Alguna formulas que se necesitarán más adelante son: 41 MOISÉS VILLENA MUÑOZ ∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + L + n = n 1. 2. i =1 ∑i n 2 i =1 = 12 + 2 2 + 32 + L + n 2 = n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 ⎡ n(n + 1)⎤ 3. ∑ i = 1 + 2 + 3 + L + n = ⎢ i =1 ⎣ 2 ⎥⎦ n 3 3 3 3 Sucesiones 2 3 n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) 4. ∑ i = 1 + 2 + 3 + L + n = 30 i =1 n 4 4 4 ¡No olvide demostrarlas! 42 4 4 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6 1.1 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS SERIES ALTERNANTES SERIES DE POTENCIAS Objetivo: Se pretende que el estudiante: • Determine convergencia o divergencia de series. • Emplee series para resolver problemas numéricos. 105 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6. 1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS Sea {a n } una sucesión infinita. Y sea 6.1.1 DEFINICIÓN S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n . {S n } = {S1 , S 2 , S3 ,L} = {a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3,L }, La sucesión de suma parciales denotada como ∑a ∞ n =1 n , se llama Serie Infinita. Ejemplo ⎧ 1 ⎫ Sea la sucesión {a n } = ⎨ ⎬ ⎩2n ⎭ ⎧1 1 1 ⎫ Algunos términos de la sucesión serían ⎨ , , , L⎬ 4 8 2 ⎩ ⎭ La sucesión de sumas parciales sería {S1 , S 2 , S 3 , L} = ⎧⎨ 1 , 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , L⎫⎬ = ⎧⎨ 1 , 3 , 7 , L⎫⎬ ⎩2 2 4 2 4 8 ⎭ ⎩2 4 8 ⎭ 6.1.2 CONVERGENCIA DE SERIES Una serie S n = ∑ an , es convergente si y sólo si lim S n n →∞ existe. Caso contrario; es decir, si lim S n no existe, se n →∞ dice que la sucesión es divergente. En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma S , es decir ocurrirá que lim S n = S . n →∞ Si tuviésemos S n o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series 106 MOISES VILLENA Cap. 6 Series telescópica que si se les puede determinar S n , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos S n 6.1.3 LA SERIE GEOMÉTRICA. Una serie geométrica es de la forma a + ar + ar 2 + ar 3 + L + ar n −1 a (1 − r n ) . ¡Demuéstrela! 1− r La suma parcial de los n términos está dada por Sn = a (1 − r n ) . n →∞ 1− r Para determinar su convergencia, deberíamos obtener lím S n = lím a(1 − r n ) = ∞ (¿POR QUÉ?) y por tanto la Observe que si r ≥ 1 entonces lím n →∞ 1− r n →∞ a(1 − r n ) a = la serie es convergente. Si r < 1 , entonces lím n →∞ 1− r 1− r serie geométrica es divergente Ejemplo Determinar si la serie 1 1 1 + + + es convergente o no. 2 4 8 SOLUCIÓN: Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con a = ∑ ∞ serie de la forma n =1 1 1 y r = es decir una 2 2 1 y por tanto converge a S = 2 = 1 2n 1 − 12 1 107 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6.1.4 SERIES TELESCÓPICA Para este tipo de serie también es posible obtener S n , se lo hace empleando fracciones parciales. ∑ Ejemplo Sea la serie ∞ n =1 (n +1)(n + 2 ) . Obtener S n . 1 SOLUCIÓN: Empleando fracciones parciales, tenemos: A B + n +1 n + 2 = A(n + 2 ) + B(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 Si n = −1 entonces: = 1 = A(−1 + 2) + B(−1 + 1) 1= A Si n = −2 entonces: 1 = A(−2 + 2) + B(−2 + 1) 1 = −B B = −1 Por tanto: ∑ ∞ ∑ n =1 1 = (n + 1)(n + 2) ∑ ∞ n =1 1 ⎞ ⎛ 1 − ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠ Obteniendo algunos términos de su desarrollo ∞ n =1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 − − ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ +L+ ⎜ ⎟ ⎝ n +1 n + 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ n +1 n + 2 ⎠ Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término. Entonces S n = 1 − 1 1 ⎞ ⎛ , por tanto lím S n = lím ⎜1 − ⎟ =1 n →∞ n →∞⎝ n+2 n+2⎠ La serie es convergente 108 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejercicios Propuestos 6.1 1.Encuentre la serie infinita que es la secuencia indicada de suma parcial. Si la serie es convergente, encuentre su suma. (SUGERENCIA: Hallar a n , sabiendo que S n = S n −1 + a n ) ⎧1 ⎫ a) {S n } = ⎨ n ⎬ ⎩2 ⎭ {S n } = {ln(2n + 1)} b) 2.Encuentre S n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma: ∑ +∞ a) ∑ n =1 +∞ c) ∑ n =1 +∞ e) n =1 ∑ +∞ 1 n(n + 1) b) ∑ n =1 1 (3n − 1)(3n + 2) +∞ d) n =1 ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ n 4⎞ ⎛ 1 ⎜ n + n⎟ 3 ⎠ ⎝2 1 (n + 2)(n + 3) 6.1.5 CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA TEOREMA Si la serie ∑ a converge entonces lim a = 0 n Es decir si lim an ≠ 0 entonces la serie n →∞ ∑ Ejemplo ∞ La serie n =1 ∑a n →∞ n n diverge n n =1 es divergente debido a que lím n→∞ n + 1 n +1 Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple el teorema. No olvide que lim an = 0 es una condición necesaria pero no suficiente. n →∞ 109 MOISES VILLENA Cap. 6 Series ∑ Ejemplo. ∞ La serie n =1 1 , llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante), n 1 =0 n →∞ n sin embargo lím ∑ a y ∑b 6.1.6 PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES. Si n ∑Ca y ∑ (a ± b ) y convergen y si C es una constante, n entonces también convergen ∑ Ca = C∑ a 2. ∑ (a ± b ) = ∑ a ± ∑ b además 1. n n n n n n n n 6.1.7 TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE n ∑ a diverge y C es una constate diferente de cero, entonces la serie C ∑ a también diverge. Si n n 110 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6. 2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS TEOREMA Una serie ∑a n de términos no negativos converge si y sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba. 6.2.1 CRITERIOS PARA ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 6.2.1.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL Sea f una función continua positiva, no creciente, definida en el intervalo [1, ∞ ) y suponga que a n = f (n ) ∑a ∞ para todo entero positivo n . Entonces la seria converge si y sólo si la integral impropia ∫ f ( x)dx ∞ n =1 n 1 converge. Ejemplo 1 ∑ ∞ Determine si la SERIE ARMÓNICA n =1 1 converge o diverge n SOLUCIÓN: Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes. ∫ ∞ 1 1 = lím x n →∞ ∫ x = lím [ln x] N 1 n→∞ N 1 = lím ln N = ∞ n →∞ 1 Por tanto la serie diverge. 111 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 2. Sea la serie “p” ∑ ∞ n =1 valores diverge. SOLUCIÓN: Analizando la integral 1 , determine para qué valores de “ p ” converge y para que nP ∫ ∞ = lím 1 ∫ N 1 P n →∞ x 1 x Si P = 1 , tenemos la serie armónica, que es divergente Si p ≠ 1 , la integración es diferente P 1 n→∞ lím ∫ N 1 1 xP ⎡ x − P +1 ⎤ ⎡ N − P +1 1− P +1 ⎤ = lím ⎢ − ⎥ = lím ⎢ ⎥ n →∞ ⎢ − p + 1 ⎥ n →∞ ⎢ − p + 1 − p + 1 ⎥⎦ ⎣ ⎦1 ⎣ N ⎡ N 1− P 1 ⎤ + lím ⎢ ⎥ n→∞ ⎢ 1 − P P − 1 ⎦⎥ ⎣ ⎡ ⎤ ⎢ ∞ 1− P 1 ⎥ 1 + Ahora, si P > 1 , ⎢ ⎥ = p − 1 , la integral converge 1 1 − − P P ⎢ 123 ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ∞1− P 1 ⎥ = ∞ la integral diverge + Si P < 1 , ⎢ −3 12 P P − 1 ⎥⎥ ⎢1 ⎣ ∞ ⎦ ∑ ∞ En conclusión, la serie Ejemplo 3 ∑ ∞ Determine si la serie ∫ n =1 n =2 1 nP 1 ⎧ ⎪Si P > 1 converge a p −1 =⎨ ⎪Si P ≤ 1 diverge ⎩ 1 converge o diverge. n ln n SOLUCIÖN: Aplicando el criterio de la integral ∞ 2 1 = lím [ln(ln N ) − ln(ln 2)] = ∞ x ln x x→∞ Por tanto diverge Ejercicios propuestos 6.2 Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica ∑( +∞ 1) 112 n =2 n ln n ) ∑ +∞ 1 2 2) n =1 ne − n ∑( +∞ 3) n =1 n + 1) ln(n + 1) 1 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6.2.1.2 CRITERIO DE COMPARACIÓN ORDINARIA Suponga que 0 ≤ a n ≤ bn para n ≥ N ∑ b converge, entonces ∑ a converge. Si ∑ a diverge, entonces ∑ b diverge Si n n n n ∑ Ejemplo. ∞ Determine si la serie n 2n 2 − 1 n =1 converge o diverge. SOLUCIÓN: Empleando el criterio de comparación. ∑ ∑ ∑ Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador: ∞ n =1 = n 2n 2 ∞ n =1 1 1 = 2n 2 ∞ n =1 1 n Resulta una serie divergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie dada sea divergente. (Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio). Se observa que n 2n − 1 2 > n 2n 2 para ∀n ≥ 1 . Por tanto se concluye que la serie dada es divergente. Note que también se puede aplicar el criterio de la integral. Ejemplo 2 ∑ ∞ Determine si la serie ∑ n=1 3n (n + 1) n ∑ SOLUCIÓN: Utilicemos la serie ∞ n =1 n n 3 n = ∞ n =1 1 3n converge o diverge. . Esta serie es geométrica convergente ¿por qué? Los términos de la serie dada deben ser menores que los de esta serie, para que la serie dada sea convergente. Observamos que: 3 (n + 1) n n < n n 3 n . Por tanto la serie dada es convergente. 113 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6.2.1.3 CRITERIO DE COMPARACIÓN DE LÍMITE. Suponga que a ≥ 0 , bn > 0 y que lim n →∞ ∑a Si 0 < L < ∞ entonces ∑b divergen juntas. Si L = 0 y ∑b y n Ejemplo 1 ∑ ∞ Determine si la serie n =1 Solución: 3n − 2 n − 2n 2 + 11 ∑ a converge. n converge o diverge. 3 ∑ convergen o n converge entonces n an =L bn ∑ Igual que el criterio anterior busquemos una serie de trabajo. ∞ n =1 3n n3 =3 ∞ n =1 1 n2 tenemos una serie convergente ¿por qué? Obtenemos ahora 3n − 2 2 3n 3 − 2n 2 lim n − 2n + 11 = lim 3 =1 3 n→∞ n→∞ 3n − 6n 2 + 11 n2 3 Por tanto la serie dada es también convergente. Ejemplo 2 Determine si la serie ∑ ∞ n=1 Solución: 1 n +n 2 ∑ ∞ Nuestra serie de trabajo seria Entonces: n =1 converge o diverge. 1 n 2 = ∑ 1 n →∞ Por tanto serie dada también es divergente. 114 n =1 1 La serie armónica (divergente) n n n +1 = lim =1 1 n→∞ n2 + n n 2 lim ∞ MOISES VILLENA Cap. 6 Series ∑ a una serie de términos positivos y suponga que 6.2.1.4 CRITERIO DEL COCIENTE Sea n an+1 =L n →∞ an lím Si L < 1 la serie converge. Si L > 1 la serie Diverge. Si L = 1 no se puede concluir. Ejemplo 1 ∑ ∞ Determine si la serie SOLUCIÓN: En este caso a n = n =1 2n converge o diverge. n! ( ) 2n 2 n +1 2 2n = entonces a n +1 = n! (n + 1)! (n + 1)n! Luego a lím n+1 = lím n→∞ a n n →∞ ( ) 2 2n (n + 1)n! n 2 n! = lím 2 =0 n →∞ n + 1 El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente. Ejemplo 2 ∑ ∞ Determine si la serie n =1 3n n 30 converge o diverge. SOLUCIÓN: En este caso a n = 3n n 30 entonces a n+1 = 3 n+1 (n + 1) 30 = ( ) (n + 1)30 3 3n Ahora 115 MOISES VILLENA Cap. 6 Series ( ) a n+1 (n + 1)30 = lím 3n 30 = 3 lím ⎛ n ⎞ = lím ⎜ ⎟ n →∞ a n n→∞ (n + 1)30 n →∞ ⎝ n + 1 ⎠ n →∞ 3n 3 3n 30 lím =3 n 30 El resultado es un número mayor que, por tanto la serie es divergente. ∑ Ejemplo 3 ∞ Determine si la serie n =1 n! nn converge o diverge. SOLUCIÓN: En este caso a n = n! n n Ahora a n +1 (n + 1) = lím n! → ∞ n an nn n! n n →∞ lím (n + 1)! = (n + 1)n! = n! (n + 1)n+1 (n + 1)(n + 1)n (n + 1)n entonces a n+1 = ⎛ n ⎜ ⎛ n ⎞ = lím ⎜ ⎟ = lím ⎜ n 1 n →∞ ⎝ n + 1 ⎠ n →∞ ⎜ n ⎜ + ⎝n n n ⎞ ⎟ 1 1 ⎟ = lím = n n → ∞ ⎟ e ⎛ 1⎞ ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎠ ⎝ n⎠ n El resultado es un número menor que 1, por tanto la serie es convergente. Ejercicios propuestos 6.3 ∑( ∑ Determine la convergencia o divergencia de las series: +∞ a) ∑ n =1 +∞ d) ∑ n =1 +∞ h) 116 n =1 n + 1) +∞ 1 2 b) ∑ n =1 +∞ ⎛ π ⎞ cos⎜ ⎟ ⎝ n +1⎠ e) nn n! i) ∑ n =1 +∞ n =1 1 n +1 2 n n +1 (n + 1)2 (n + 2)! c) ∑ +∞ 1 + senn ∑ n2 n =1 +∞ f) ∑ n =1 +∞ j) n =1 20 n n! n 2 n! (n + 3)! MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6. 3. SERIES ALTERNANTES ∑ (− 1) ∑ (− 1) a Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos ∞ alternados, es decir series de la forma n +1 n =1 ∞ an o también n n =1 n TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES an = 0 Una serie alternante con a n ≥ a n+1 > 0 . Si lím n →∞ entonces la serie converge. Ejemplo 1 Sea la serie ∑ (−1) ∞ n +1 n =1 divergente. 1 1 1 1 = 1 − + − + L Determine si es convergente o 2 3 4 n SOLUCIÓN. Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes. Comparamos a n = 1 1 con a n+1 = . Se observa que: n +1 n 1 1 < n +1 n los términos son decrecientes. Segundo, veamos si lím a n = 0 n →∞ 1 =0 n →∞ n Se observa que: lím Por tanto la serie armónica alternante es convergente. ∑ (− 1) Ejemplo 2 ∞ Sea la serie n +1 1 2n n =1 Determine si es convergente o divergente. SOLUCIÓN. Primero. En este caso a n = Se observa que ( ) 1 22 n < 1 2n 1 2n y a n+1 = 1 2 n +1 los términos son decrecientes. 117 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Segundo. lím n →∞ =0 1 2n Por tanto la serie es convergente. A continuación analicemos el teorema ∑a TEOREMA Si n converge, entonces ∑a n también converge. Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge. 6.3.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA. DEFINICIÓN. Una serie converge ∑a ∑ Ejemplo ∞ La serie n =1 converge absolutamente si n (− 1)n +1 ∑a n ∑ 21 ∞ 1 es absolutamente convergente, debido a que 2n convergente DEFINICIÓN. ∑a Una serie n ∑a converge y n diverge. Ejemplo ∞ La serie n =1 n +1 1 n ∑ 1n ∞ es condicionalmente convergente, debido a que divergente, mientras que ella es convergente. 118 es es condicionalmente convergente si n ∑ (−1) ∑a n =1 n n =1 es MOISES VILLENA Cap. 6 Series Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales. ∑a 6.3.2 CRITERIO DEL COCIENTE ABSOLUTO. Sea que lím n →∞ n una serie de términos no nulos y suponga an+1 = L. an Si L < 1 la serie converge absolutamente. Si L > 1 la serie diverge. Si L = 1 no se concluye. Ejemplo ∑ ∞ Muestre que la serie n =1 (− 1)n+1 3 n n! es absolutamente convergente. SOLUCIÓN: Aplicando el criterio del cociente tenemos: n→∞ lím a n+1 an = lím n→∞ 3 n+1 (n + 1)! 3n n! ⎛ 3 n 3 ⎞⎛ n! ⎞ ⎟⎜ ⎟ = lím ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 0 = lím ⎜⎜ n→∞⎝ n + 1 ⎠ n→∞ (n + 1)n! ⎟⎝ 3 n ⎠ ⎠ ⎝ Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. ∑a 6.3.3 CRITERIO DE LA RAÍZ. Sea n n a = L. una serie infinita y suponga que lím n n →∞ Si L < 1 la serie converge absolutamente. Si L > 1 o L = ∞ la serie diverge. Si L = 1 no se concluye. 119 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 1 Analice la serie ∑ ∞ n =1 (− 1)n 3 2 n +1 . n 2n SOLUCIÓN: Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz. n →∞ lím n a n = lím n →∞ n 3 2 n +1 n 2n = lím n →∞ 3 2 n +1 n 2n nn = lím n →∞ 3 2+ 1 n n2 =0 Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. Ejemplo 2 ∑ [ln(1 1+ n)] ∞ Analice la serie n n =1 . Debido a la forma de la serie, se aplica el criterio de la raíz. n→∞ lím n a n = lím n →∞ n [ln(1 + n )] 1 n = lím n →∞ [ln(1 + n )] 1 n n = lím n →∞ 1 1 = =0 [ln(1 + n )] ∞ Como el resultado es un número menor que 1 por tanto la serie es absolutamente convergente. Ejercicios Propuestos 6.4 Determine la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de las siguientes series numérica: ∑ (− 1) +∞ a. ∑ n =1 +∞ c. n −1 (− 1) n (n + 1) 3 b. 4 d. +∞ e. 120 n n =1 ∑ n =1 +∞ 5 2 n +1 (2n + 1)! ∑ (− 1) ln 1n n =1 ∑ (− 1) +∞ 1 f. n =1 n n! n (− 1)n −1 2 n 3n n 1 1 1 1 + + + +L 1• 2 3 • 4 5 • 6 7 • 8 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 6. 4. SERIES DE POTENCIAS Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos. 6.4.1 DEFINICIÓN. ∑a x Una serie de potencia en “ x ” tiene la forma: ∞ n n n =0 = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + L Una serie de potencia en “ x − x0 ” tiene la forma: ∑ a (x − x ) ∞ n n =0 n 0 = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + L 2 3 Algo importante aquí es determinar los valores de “ x ”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente. 6.4.2 INTERVALO DE CONVERGENCIA. Empleando el criterio del cociente absoluto para que la serie sea convergente tenemos: ∑a x ∞ n =0 n n a n +1 x n +1 <1 lim n →∞ an x n a n +1 x n x <1 lim n →∞ an x n ⎡a ⎤ lim ⎢ n +1 x ⎥ < 1 n →∞ ⎣ an ⎦ x lim n →∞ Ahora, suponga que lim n →∞ a n +1 <1 an a n +1 = L entonces tenemos: an 121 MOISES VILLENA Cap. 6 Series x L <1 x< − A R= 1 L 1 1 <x< L L 1 se lo llama Radio de Convergencia. L 1 1 Si L = 0 entonces R = = = ∞ (el radio de convergencia es infinito), L 0 es decir la serie converge para todo número real. Si L = ∞ entonces R = 1 = 0 (el radio de convergencia es cero) ∞ Ejemplo 1 ∑ ax ∞ Determine el intervalo de convergencia para n =0 n . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente para que sea convergente: n →∞ lim n →∞ lim a n+1 x n+1 an x n ax n+1 ax n <1 <1 lim x < 1 n →∞ x <1 −1 < x < 1 Se requiere además determinar la convergencia o divergencia en los puntos extremos. En este caso: Si x = −1 , tenemos Si x = 1 , tenemos ∑ a(− 1) ∞ n ∑ a(1) n =0 una serie no convergente ¿porqué? ∞ n n =0 una serie no convergente. ¿porqué? Finalmente el intervalo de convergencia para la serie dada es: −1 < x < 1 Observe que se la puede observar como una serie geométrica de razón x . 122 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 2 ∑ (n + 1)2 ∞ Determine el intervalo de convergencia para xn n =0 n . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente n→∞ lim n→∞ lim a n+1 x n+1 an x n <1 x n+1 (n + 2)2 n+1 • (n + 1)2 n xn n +1 <1 2(n + 2 ) n→∞ lim x 1 <1 2 −2< x < 2 <1 x ∑ En los puntos extremos: Si ∞ x = −2 , tenemos ∑ n =0 (− 2)n (n + 1)2 n alternante convergente ¿Por qué?. Si x = 2 , tenemos ∞ n =0 (2)n (n + 1)2 n = = ∑ (n + 1)2 = ∑ (− 1) (n 1+ 1) ∞ 2 n (− 1)n n n =0 ∞ n n =0 una serie ∑ (n 1+ 1) una serie divergente ¿Porqué? ∞ n =0 Finalmente, el intervalo de convergencia sería −2 ≤ x < 2 Ejemplo 3 ∑ ∞ Determine el intervalo de convergencia para n =0 xn . n! SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente n →∞ lim a n+1 x n+1 an x n <1 x n+1 n! • <1 n→∞ (n + 1)! x n lim n →∞ lim x n →∞ n! <1 n + ( 1)n! x lim x0 <1 1 <1 n +1 123 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Entonces, la serie es convergente para x ∈ R (para todo x ) Ejemplo 4 ∑ n! x ∞ Determine el intervalo de convergencia para n =0 n . SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente n →∞ lim a n+1 x n+1 an x n <1 (n + 1)! x n+1 < 1 n →∞ (n )! x n (n + 1)n! < 1 lim x lim n →∞ n! x lim n + 1 < 1 n →∞ x∞ <1 Veamos para x = 0 , ∑ n! 0 ∞ n n =0 = 0 , tenemos una serie convergente. Finalmente la serie dado converge sólo para x = 0 . Ejemplo 5 SOLUCIÓN Aplicando el criterio del cociente n →∞ lim a n +1 x n +1 an x n <1 (n + 1)(x − 1)n +1 < 1 n →∞ n(x − 1)n (n + 1) < 1 lim x − 1 lim n →∞ x − 1 lim n →∞ x −1 < 1 n n +1 <1 n −1 < x −1 < 1 0< x<2 124 ∑ n (x −1) ∞ Determine el intervalo de convergencia para n =0 n . MOISES VILLENA Ahora, en x = 0 , En x = 2 , ∑ n (0 −1) tenemos una serie no convergente. ∞ n ∑ n (2 −1) = ∑ n (1) ∞ Cap. 6 Series n =0 ∞ n n =0 n =0 n , una serie no convergente. Por tanto la serie converge para x ∈ (0,2) Ejercicios propuestos 6.5 ∑ ∑ Determine el intervalo de convergencia para: +∞ a) n =1 ∑ +∞ c) n =1 (1)n−1 x 2n −1 (2n − 1)! b) ∑ +∞ n! x n d) nn n =2 +∞ (x − 1)n n =1 n! ∑ +∞ xn ln(n ) e) n =∞ ⎞ ⎛x ⎜ − 3⎟ ⎠ ⎝2 n(ln (n )) n 6.4.3 SERIE DE TAYLOR Una serie de potencia particular es la serie de Taylor. ∑ a (x − x ) Suponga que: f ( x) = ∞ n n =0 n 0 = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + L 2 3 Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función f Evaluando en x = x0 f ( x0 ) = a 0 + a1 [x0 − x0 ] + a 2 [x0 − x0 ]2 + a3 [x0 − x0 ]3 + L + a n [x0 − x0 ]n Obtenemos: a 0 = f ( x0 ) Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en x = x0 2 1 f ´(x) = a1 + 2a 2 [x − x0 ] + 3a3 [x − x0 ] + L + na n [x − x0 ]n − n− f ´(x0 ) = a1 + 2a 2 [x0 − x0 ] + 3a3 [x0 − x0 ] + L + na n [x0 − x0 ] 2 1 Entonces: a1 = f ´(x0 ) Obteniendo la segunda derivada y evaluando en x = x0 125 MOISES VILLENA Cap. 6 Series 2 f ´´(x) = 2a 2 + (3)(2)a3 [x − x0 ] + L + (n )(n − 1)a n [x − x0 ]n − f ´´(x0 ) = 2a 2 + (3)(2 )a3 [x0 − x0 ] + L + (n )(n − 1)a n [x0 − x0 ] f ´´(x0 ) = 2a 2 De la última expresión, se tiene a 2 = n−2 f ´´(x0 ) 2 Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en x = x0 3 f ´´´(x) = (3)(2 )a3 + L + (n )(n − 1)(n − 2 )a n [x − x0 ]n − f ´´´(x0 ) = (3)(2 )a3 + L + (n )(n − 1)(n − 2 )a n [x0 − x0 ] n −3 f ´´´(x0 ) = (3)(2 )a3 De la última expresión, se tiene a3 = Por lo tanto: f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )[x − x0 ] + f ( x) = ∑ f n ( x0 ) [x − x0 ]n n! ∞ n =0 f ´´´(x0 ) 3! ´´´ f ´´ ( x0 ) [x − x0 ]2 + f ( x0 ) [x − x0 ]3 + L 2! 3! Si x0 = 0 se llama Serie de Maclaurin, es decir: f ( x) = ∑ ∞ n =0 ′′ ′′′ f n (0) n [x] = f (0) + f ′(0) x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + L 2 6 n! Ejemplo 1 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x , alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Obtenemos primero f ( x) = e x f ′( x) = e x f ′′( x) = e x f ′′′( x) = e x ⇒ f ( 0) = 1 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 1 f ′′′(0) = 1 Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x + Resulta e = 1 + x + x 126 1 2 1 3 1 4 x + x + x +L = 2 3! 4! f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6 ∑ ∞ n =0 xn n! MOISES VILLENA Cap. 6 Series ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! Observe que podemos tener una buena aproximación de e 0.1 utilizando la serie: e 0.1 ≈ 1 + 0.1 + e 0.1 ≈ 1.10517 1 1 (0.1) 2 + (0.1) 3 2 6 Ejemplo 2 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e − x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: ∑ Empleando la serie anteriormente encontrada: ex = ∞ n =0 xn n! Sería cuestión de reemplazar − x por x , es decir: e −x e −x = ∑ ∞ (− x )n n =0 n! = ∑ ∞ n =0 (− 1)n 1 1 1 xn =1 + (− x) + (− x) 2 + (− x) 3 + (− x) 4 + L 4! 3! 2 n! 1 1 1 = 1− x + x 2 − x3 + x4 +L 2 3! 4! Ejemplo 3 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = e x alrededor de x 0 = 0 2 SOLUCIÓN: ∑ (x ) ∑ Ahora, es cuestión de reemplazar x 2 por x , es decir: ex = 2 ex 2 ∞ n =0 2 n n! = ∞ n =0 1 x 2n 1 1 = 1+ x 2 + (x 2 ) 2 + (x 2 )3 + (x 2 ) 4 +L 4! n! 3! 2 1 1 1 = 1+ x 2 + x 4 + x6 + x8 +L 2 3! 4! 127 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 4 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = sen x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: f ( x) = sen x f ′( x) = cos x f ′′( x) = − sen x Obtenemos primero f ′′′( x) = − cos x / f IV f V ( x) = sen x ⇒ ( x) = cos x Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x + f (0) = 0 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 0 f ′′′(0) = −1 f IV f V (0) = 0 (0) = 1 f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6 Se obtiene: senx = 0 + x + 0 − 1 1 3 x + 0 + x5 + L 5! 3! 1 1 1 senx = x − x3 + x5 − x 7 + L = 3! 5! 7! ∑ ∞ n =0 (− 1)n x 2n +1 (2n + 1)! ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! Ejemplo 5 Hallar la serie de Taylor para f ( x) = cos x alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: f ( x) = cos x f ′( x ) = − sen x Obtenemos primero f ′′( x ) = − cos x f/ ′′′( x ) = sen x ⇒ f IV ( x) = cos x Luego, reemplazando en: f ( x) = f (0) + f ′(0) x + Se obtiene: cos x = 1 + 0 x + cos x = 1 − f ′′(0) = −1 f ′′′(0) = 0 f IV (0) = 1 f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3 x + x +L 2 6 (−1) 2 0 3 1 4 x + x + x +L 2! 3! 4! 1 2 1 4 1 6 x + x − x +L = 2 4! 6! ¡DEDUZCA SU INTERVALO DE CONVERGENCIA! 128 f ( 0) = 1 f ′(0) = 0 ∑ ∞ n =0 (− 1)n x 2n (2n )! MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 6 Hallar la serie de de Taylor para f ( x) = e ix alrededor de x 0 = 0 SOLUCIÓN: Sería cuestión de reemplazar ix por x , en la serie de f ( x) = e es decir: eix = ∑ ∞ (ix )n n =0 n! = ∑ (i)n!x ∞ n n n =0 x = 1 + (ix) + 1 1 1 1 (ix) 2 + (ix)3 + (ix) 4 + (ix )5 + L 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 = 1 + ix + i 2 x 2 + i 3 x 3 + i 4 x 4 + i 5 x 5 + L 2 3! 4! 5! 1 1 1 1 = 1 + ix − x 2 − ix 3 + x 4 + ix 5 + L 2 3! 4! 5! 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜1 − x 2 + x 4 + L ⎟ + i ⎜ x − x 3 + x 5 + L ⎟ 4! 3! 5! ⎝14244 ⎠ ⎝ 424444 3 1444 424444 3⎠ i = −1 cos x senx i 3 = i 2 i = (− 1)i = −i 2 Recuerde que: i 4 = i 2 i 2 = (− 1)(− 1) = 1 Por lo tanto, se concluye que e = cos x + i sen Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER ix x 6.4.4 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia. Ejemplo 1 Obtener la serie de f ( x) = cos x a partir de la serie del seno. SOLUCIÓN: ∑ La serie del seno es: senx = ∞ n =0 Derivándola se tiene: (− 1)n x 2n +1 (2n + 1)! ∑ ⎡ ∞ (− 1)n x 2 n +1 ⎤ ⎥= cos x = D x (senx ) = D x ⎢ ⎢ ( 2n + 1)! ⎥ ⎦ ⎣ n =0 ∑ ∞ n =0 (− 1)n (2n + 1)x 2n+1−1 (2n + 1)(2n!) = ∑ ∞ n =0 (− 1)n x 2n (2n )! 129 MOISES VILLENA Cap. 6 Series Ejemplo 2. a) Encuentre una serie de potencia para f ( x) = 1 1+ x La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1 y razón r = − x entonces: 1 f ( x) = = 1+ x ∑( ∞ − x) = n =0 n ∑( ∞ n =0 − 1)n x n b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de f ( x ) = ln (x + 1) Integrando f ( x) = ln(x + 1) = ∫ 1 dx = 1+ x ∫∑ ∑ ∞ ⎡ ∞ ⎤ n +1 ⎢ n n⎥ x 1 = ( ) (− 1)n x − ⎢ ⎥ n +1 ⎢ ⎥ ⎣ n =0 ⎦ n =0 c) Determine su intervalo de convergencia. Aplicando el criterio n→∞ lim xn+ 2 n + 1 <1 n + 2 x n +1 n→∞ lim x x <1 Si x = −1 , tenemos ∑ divergente. ¿por qué? Si x = 1 tenemos ∞ n =0 −1 < x < 1 ∑ ∞ n +1 <1 n+2 n =0 (− 1)n (− 1) n +1 n +1 (− 1)n (1) n +1 n +1 = ∑( = ∞ n =0 ∑ ∞ n =0 − 1)n (− 1)2n +1 n +1 = −1− 1 1 1 − − − L una serie 2 3 4 1 una serie alternante convergente. n +1 Por tanto su intervalo de convergencia es x ∈ (−1,1] Ejercicios Propuestos. 6.6 1. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f ( x) = tan( x) alrededor de x 0 = 0 . b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para g ( x) = sec 2 ( x) . c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para h( x ) = ln(cos( x)) . 2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f ( x) = ln x alrededor de x0 = 1 . b) Determine su intervalo de convergencia. 3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x y analice su convergencia: 130 MOISES VILLENA a. f ( x) = ln( x + 1) b. f ( x) = ∫e − x2 f ( x) = arctgx d. f ( x) = xarctgx e. ∫ 4. Calcular usando series de potencias: 1 a. e −x 2 dx d. 0 b. c. x ∫ 0 g. f ( x) = h. f ( x) = x 3 cos x 2 i. f ( x) = ∫ sen senx dx x x 1+ x2 e x + e−x 2 2 x dx ∫ arctgx dx 0 1 2 2 0 1 f ( x) = 1 ∫ e senxdx π f. dx f ( x) = x 2 ln( x + 1) c. ∫ Cap. 6 Series e. ⎛ cosh x − 1 ⎞ ⎜ ⎟ |dx x ⎝ ⎠ 2 ∫ xsenh 0 1 f. 5. Considere la función f ( x) = arctan( x) x dx 0 a. Determine una representación para f en series de potencias de x y especifique su intervalo de convergencia. b. A partir de la serie obtenida aproxime el valor de π . Utilice los cincos primeros términos de la serie. 6. Considere la función f ( x) = xe − x 2 a. Determine una representación para f en series de potencia de x . ∑ (−1) b. Diferencie término a término la serie ontenida y a partir de este resultado demuestre que +∞ n =1 n +1 2n + 1 2 n n! =1. ⎛ p⎞ ⎛ p⎞ ⎛ p⎞ 7. Utilice la Serie Binomial (1 + x ) p = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ x + ⎜⎜ ⎟⎟ x 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ x 3 + L 1 2 ⎝3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ para calcular la serie de 1+ x4 131 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3 3.1 DEFINICIÓN 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD PROPIEDAD INTEGRAL DE DE DE DE DE DE DE DE LINEALIDAD ADITIVIDAD COMPARACIÓN ACOTAMIENTO SUSTITUCIÓN SIMETRÍA PERIODICIDAD LA DERIVADA DE UNA Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales definidas aplicando teoremas y propiedades 43 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.1 DEFINICIÓN Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación del área bajo una curva y = f (x ) . El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a esta problemática. Dividiendo la región en " n " rectángulos. Observe la figura: Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha denotado como x . El área del primer rectángulo sería A1 = f ( x1 ) ∆x1 , el área del segundo rectángulo sería A2 = f ( x 2 )∆x2 ; y así , el área del n-ésimo rectángulo sería An = f ( x n ) ∆xn . xn 44 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Observe que si tomamos x1 = x1 , x 2 = x2 , x 3 = x3 , …, x i = xi , se tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma x1 = x0 , x 2 = x1 , x 3 = x2 , …, x i = xi −1 se tendrían rectángulos inscritos. ( ) ( ) ( ) La suma de las áreas de los n rectángulos sería: ( ) f x1 ∆x1 + f x 2 ∆x2 + f x 3 ∆x3 + K + f x n ∆xn ∑ f (x )∆x Que de manera abreviada tenemos: n i i =1 i Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por: ∑ ( ) ⎤ ⎡ n A = lím ⎢ f x i ∆xi ⎥ n →∞ ⎦ ⎣ i =1 De aquí surge la definición de Integral Definida. Sea f una función que está definida en el intervalo [a, b] . ⎡ f (x i )∆x ⎤ se le denomina la integral definida (o Al lím ∑ i n →∞ ⎢ ⎥⎦ ⎣ i =1 integral de Riemann) de f de " a " a " b " y se denota de la n siguiente manera: ∫ f ( x)dx . b a Además, si existe este límite decimos que f es integrable en [a, b] . Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando una función es integrable. 45 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Si f es acotada en [a, b] y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [a, b] . En particular si f es continua en todo [a, b] entonces es integrable en [a, b] Ejemplo Hallar el área bajo la curva f ( x ) = x en 2 SOLUCIÓN: [1,3] ∑ f ( x )∆x = lím [ f ( x )∆x + f ( x )∆x Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene: A = lím n →∞ n i =1 i i n→∞ 1 2 1 2 + f ( x 3 ) ∆x3 + K + f ( x n )∆xn ] PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos x 1 = x1 , x 2 = x 2 , x 3 = x3 , …, x i = xi Representando la región, tenemos: y = x2 x 0 x1 x 2 {{ ∆x ∆x xn { ∆x Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos ∆x = y 46 b − a 3 −1 2 = = n n n MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida x0 = a = 1 x1 = x 0 + ∆x = 1 + 2 n 4 ⎛2⎞ x 2 = x1 + ∆x = x 0 + 2∆x = 1 + 2⎜ ⎟ = 1 + , n n ⎝ ⎠ Entonces: 6 ⎛2⎞ x 3 = x 2 + ∆x = x 0 + 3∆x = 1 + 3⎜ ⎟ = 1 + n ⎝n⎠ M ⎛2⎞ x i = x 0 + i ∆x = 1 + i ∆x = 1 + i ⎜ ⎟ ⎝n⎠ A = lím [ f (x1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + L f (x n )∆x ] n →∞ = lím n →∞ = lím n →∞ = lím ∑ f ( x )∆x n ∑ i =1 n 2⎞ 2 ⎛ ⎜1 + i ⎟ n⎠ n ⎝ 2 ∑ ⎛⎜⎝1 + i n4 + i i =1 2 n →∞ n i n 2 ∑ ∑ i =1 4 ⎞ ⎟ n2 ⎠ ∑ n n n ⎤ 2 ⎡⎢ 4 4 1+ i+ 2 i2 ⎥ n →∞ n ⎢ ⎥ n n i =1 i =1 ⎦ ⎣ i =1 2⎡ 4 n(n + 1) 4 n(n + 1)(2n + 1) ⎤ = lím ⎢n + + 2 ⎥ n →∞ n ⎣ 2 6 n n ⎦ = lím 2(n + 1)(2n + 1) ⎤ 2⎡ n + 2(n + 1) + ⎢ ⎥ n →∞ n ⎣ 3n ⎦ = lím 2⎡ 4n 2 + 6n + 2 ⎤ + + 3 2 n ⎢ ⎥ n →∞ n ⎢ 3n ⎣ ⎦⎥ = lím = lím n →∞ 2⎡ 4n 2⎤ +2+ ⎥ 3n + 2 + 3 3n ⎦ n ⎢⎣ 4 ⎤ ⎡ 8 8 = lím ⎢6 + + + 2 ⎥ n →∞ ⎣ n 3 3n ⎦ 26 A= 3 SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos x 1 = x 0 , x 2 = x1 , x 3 = x 2 , …, x i = x i −1 Representando la región, tenemos: 47 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida y = x2 x 0 x1 x 2 {{ ∆x ∆x xn −1 x n { ∆x Ahora, igual que el método anterior: ∆x = Entonces: 2 n ⎛2⎞ x i = 1 + i⎜ ⎟ ⎝n⎠ y A = lím [ f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + L f (xn −1 )∆x ] n →∞ = lím n →∞ = lím n →∞ = lím n →∞ ∑ n −1 ∑ i =0 n −1 f ( xi )∆x 2⎞ 2 ⎛ ⎜1 + i ⎟ n⎠ n ⎝ ∑ i =0 n −1 2 n 2 4 2 4 ⎞ ⎛ ⎜⎜1 + i n + i 2 ⎟⎟ n ⎠ ⎝ ∑ ∑ ∑ i =0 ⎡ 2 = lím ⎢ n →∞ n ⎢ ⎣⎢ n −1 i =0 1+ n 4 n i =1 i+ ⎤ n 4 n2 i =1 i 2⎥ ⎥ ⎦⎥ 2⎡ (n − 1) + 4 (n − 1)(n) + 42 (n − 1)(n)[2(n − 1) + 1]⎤⎥ n ⎢⎣ n 2 6 n ⎦ 2⎡ 2(n − 1)(2n − 1) ⎤ = lím ⎢n − 1 + 2(n − 1) + ⎥ n →∞ n ⎣ 3n ⎦ = lím n →∞ 2⎡ 4n 2 − 6n + 2 ⎤ ⎢3n − 3 + ⎥ n →∞ n ⎢ 3n ⎣ ⎦⎥ = lím 2⎤ 2⎡ 4n −2+ ⎥ 3n − 3 + ⎢ n →∞ n ⎣ 3 3n ⎦ = lím 4 ⎤ ⎡ 10 8 = lím ⎢6 − + + 2 ⎥ n →∞ ⎣ n 3 3n ⎦ 26 A= 3 48 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular integrales definidas empleando su definición. 3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f continua en [a, b] y sea F cualquier antiderivada de f en [a, b] entonces: ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) b a Demostración: En la expresión F (b) − F ( a ) , haciendo b = x n y a = x0 tenemos: F (b) − F (a) = F ( x n ) − F ( x0 ) Restando y sumando términos, resulta: F (b) − F (a ) = F ( x n ) − F ( x0 ) = [F ( x n ) − F ( x n −1 )] + [F ( x n −1 ) − F ( x n − 2 )] + F ( x n − 2 ) − K − F ( x1 ) + [F ( x1 ) − F ( x 0 )] = ∑[ n i =1 F ( xi ) − F ( xi −1 )] Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a F en el intervalo [xi −1 , xi ] Como F es continua y diferenciable en [xi −1 , xi ] entonces ∃x i tal que F ´(x i ) = Como F ´(x i ) = f ( x i ) y xi − xi −1 = ∆xi entonces: f (xi ) = Despejando resulta: F ( x i ) − F (x i −1 ) = f ( x i ) ∆x i . F ( xi ) − F (xi −1 ) ∆xi F ( xi ) − F (xi −1 ) xi − xi −1 49 MOISES VILLENA MUÑOZ Reemplazando en F (b) − F (a ) = Tomando límite queda: Cap 3 La Integral Definida ∑[ n i =1 F ( xi ) − F ( xi −1 )] tenemos: F (b) − F (a) = lím [F (b) − F (a )] = lím n →∞ n →∞ F (b) − F (a ) = lím ∫ n →∞ ∑ n i =1 i =1 f ( x i )∆xi ∑ f ( x )∆x n i =1 i i f ( xi )∆xi = ∫ f ( x)dx b a La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en Por tanto F (b) − F (a ) = ∑ n [a, b] . b L.Q.Q.D. f ( x)dx a Ejemplo Hallar el área bajo la curva y = x en SOLUCIÓN: 2 El área bajo la curva estará dada por A = A= ∫ 3 1 ∫ [1,3] 3 x 2 dx , aplicando el teorema fundamental del calculo 1 ⎛ 33 ⎞ 27 1 26 ⎛ x3 ⎞ 13 − = x 2 dx = ⎜⎜ + C ⎟⎟ = ⎜⎜ + C − − C ⎟⎟ = 3 3 ⎠ 3 3 ⎠1 ⎝ 3 ⎝ 3 3 Hemos dado solución a una gran problemática. Observe que 50 ∫ f ( x)dx = 0 y ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ¿Porqué? a b a a a b MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD Suponga que f y g son integrables en el intervalo [a, b] y sea k ∈ R , entonces: 1. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ [ f ( x)]dx ± ∫ [g ( x)]dx b b b 2. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx a b b a a a a 3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c (no importar su orden), entonces: ∫ b f ( x)dx = a ∫ c f ( x)dx + a ∫ b f ( x)dx c Demostración: ∫ ∫ Por el teorema fundamental del cálculo: c a f ( x)dx + b f ( x)dx = F (c) − F (a ) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a ) = c ∫ b f ( x)dx a ∫ ∫ PREGUNTA: ¿Verdadero o falso? 3 1 x 2 dx = 5 1 ∫ x 2 dx + x 2 dx 3 5 51 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ∫ Ejemplo 1 5 Calcular 1 ;x ≥ 3 ⎧2 x − 1 f ( x)dx donde f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − 3x + 1 ; x < 3 SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir: ∫ ∫( ) ∫( Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: 5 f ( x)dx = 1 3 x − 3 x + 1 dx + 2 1 5 2 x − 1)dx 3 ⎞ ⎛ 2x 2 ⎞ ⎛ x 3 3x 2 − x ⎟⎟ = ⎜⎜ − + x ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎠3 ⎠1 ⎝ 2 ⎝ 3 3 5 ⎡⎛ 27 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞⎤ = ⎢⎜ 9 − + 3 ⎟ − ⎜ − + 1⎟⎥ + [(25 − 5) − (9 − 3)] 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 38 = 3 Ejemplo 2 ∫ 4 Calcular −2 x − 1 − 2 dx SOLUCIÓN: Para obtener las reglas de correspondencia que definen a y = x −1 − 2 Entonces: 52 f , obtenemos la gráfica de MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ 4 x − 1 − 2 dx = −2 ∫ −1 (− x − 1)dx + −2 ∫ 1 (x + 1)dx + −1 −1 ∫ 3 Cap 3 La Integral Definida (− x + 3)dx + 1 ∫ 4 (x − 3)dx 3 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞ ⎛ x2 ⎞ = ⎜− − x⎟ + 3x ⎟ + ⎜ +⎜ + x⎟ + ⎜− − 3x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ −2 ⎝ ⎠ −1 ⎝ ⎠1 ⎝ ⎠3 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎞⎤ ⎡ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡⎛ 9 ⎞⎤ ⎛9 ⎞ ⎛1 = ⎢⎜ − + 1⎟ − (− 2 + 2)⎥ + ⎢⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟⎥ + ⎢⎜ − + 9 ⎟ − ⎜ − + 3 ⎟⎥ + ⎢(8 − 12) − ⎜ − 9 ⎟⎥ ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 2 ⎠⎦ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎦ ⎣⎝ 2 ⎣⎝ 2 =5 2 ⎛ x2 1 2 4 3 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN Si f y g son integrables en [a, b] y si f ( x) ≤ g ( x) , ∀x ∈ [a, b] ; entonces: ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx b b a a 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO Si m≤ es integrable en f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] ; entonces: f [a, b] y si m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) b a 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN Supóngase que g tiene una derivada continua en [a, b] y sea f continua en el rango de g . Entonces: ∫ f ( g ( x))g´(x)dx = ∫ f (t )dt donde t = g (x) x =b t = g (b ) x=a t=g (a) ∫ Ejemplo π2 4 Calcular π2 9 cos x dx x SOLUCIÓN: 53 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Tomando el cambio de variable t = ⎧⎪ x = π integración ⎨ ⎪⎩ x = π ∫ π2 π3 ⇒ t = π2 2 ⇒ t = π3 4 2 9 cos t x por tanto la integral en términos de t sería: 2 x dt = 2 = 2(1) − 2 x entonces tenemos dx = 2 x dt , y para los límites de ∫ π2 π3 cos tdt = 2 sen t π 3 = 2 sen π2 − 2 sen π3 π2 3 = 2− 3 2 Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?. 3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA 1. Si 2. Si f f ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx es una función PAR entonces: a a −a 0 ∫ es una función IMPAR entonces: a −a f ( x)dx = 0 Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma análoga y se recomienda al lector que la realice. DEMOSTRACIÓN ∫ a Aplicando la propiedad de aditividad f ( x)dx = −a ∫ ∫ 0 f ( x)dx + −a ∫ a f ( x)dx 0 ∫ Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución: Si tomamos el cambio de variable t = − x entonces dt = − dx y para los límites de integración ⎧x = 0 ⇒ t = 0 . Sustituyendo resulta ⎨ ⎩ x = −a ⇒ t = a 0 a 54 f (−t )[− dt ] = − 0 a f (−t )dt MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que f (−t ) = f (t ) y además si invertimos los límites de integración, tenemos: − la última integral si t = x queda ∫ a Finalmente f ( x)dx = −a ∫ a ∫ 0 f (−t )[− dt ] = a f ( x )dx + 0 ∫ ∫ a ∫ 0 ∫ f (−t )dt = f (t )dt 0 a a f ( x )dx 0 f ( x )dx = 2 0 ∫ a ∫ a f ( x)dx L.Q.Q.D. 0 Ejemplo 5 Calcular −5 x5 dx x2 + 4 SOLUCIÓN: Obtengamos primero f ( − x ) para f ( x ) = f (− x) = x5 x2 + 4 (− x) 5 . (− x) + 4 2 =− x5 x +4 2 Observe f (− x ) = − f ( x) , por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría, rápidamente concluimos que: ∫ 5 −5 x5 x2 + 4 dx = 0 3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD Si f es periódica con período T , entonces: ∫ b +T a +T ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx b a DEMOSTRACIÓN b +T En la integral f ( x)dx , haciendo cambio de variable t = x − T . a +T 55 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Del cambio de variable se obtiene x = t + T , dx = dt y los límites para la nueva variable son: ⎧x = b + T ⇒ t = b ⎨ ⎩x = a + T ⇒ t = a ∫ b +T Reemplazando, resulta: f ( x)dx = a +T ∫ b f (t + T )dt y como, por hipótesis, f es una función a periódica se cumple que f (t + T ) = f (t ) , entonces Que finalmente, si t = x quedaría ∫ b +T f ( x)dx = a +T ∫ ∫ b f (t + T )dt = a ∫ b f (t )dt a b f ( x)dx L.Q.Q.D. a 3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del Cálculo. Sea f continua en [a, b] y sea " x " un punto variable de (a, b) . Entonces: d ⎡x ⎤ f (t )dt ⎥ = f ( x) ∫ ⎢ dx ⎣ a ⎦ ∫ Ejemplo 1 ⎡x Calcular D x ⎢ ⎢ ⎣2 ⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦ t 3 2 ∫ SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que: ⎡x ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣2 56 ⎤ ⎥ dt ⎥ = 2 t + 17 ⎥ ⎦ t 3 2 x 3 2 x + 17 2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ∫ Ejemplo 2 ⎡2 Calcular D x ⎢ ⎢ ⎣x ⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦ t 3 2 ∫ SOLUCIÓN: Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que: ⎡ ⎢ D x ⎢− ⎢ ⎣ x 2 ⎤ 3 ⎥ x 2 dt ⎥ = − x 2 + 17 t 2 + 17 ⎥ ⎦ t 3 2 ∫ La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera: ⎡u ( x ) ⎤ d ⎢ du f (t )dt ⎥ = [ f (u )] ⎥ dx ⎢ dx ⎢⎣ a ⎥⎦ ∫ Ejemplo 3 ⎡x ⎢ Calcular D x ⎢ ⎢⎣ 2 3 ⎤ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎥⎦ t ∫ 3 2 SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad, concluimos que: ⎡ x3 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎢⎣ 2 ∫ ⎤ ⎥ dt ⎥ = t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦ t 3 2 (x ) (3x ) = (x ) + 17 3 3 2 2 3 2 3x 13 2 x 6 + 17 Ejemplo 4 3 ⎡x ⎤ t 2 ⎢ Calcular D x dt ⎥ 2 ⎢ t + 17 ⎥ ⎣⎢ x 2 ⎦⎥ 3 ∫ ∫ SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que: ⎡ x3 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣⎢ x 2 ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ = D x ⎢ 2 ⎢ t + 17 ⎥ ⎢⎣ x 2 ⎦⎥ 3 2 t 3 2 t 2 + 17 Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta: dt + ∫ x3 0 ⎤ ⎥ dt ⎥ 2 t + 17 ⎥ ⎦⎥ t 3 2 57 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ ⎡0 ⎢ Dx ⎢ ⎢ ⎣⎢ x 2 t 3 2 t 2 + 17 dt + ∫ ∫ ∫ ⎤ ⎡0 ⎥ ⎢ t dt ⎥ = D x ⎢ 2 t + 17 ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎦⎥ x3 3 0 ⎡ x3 ⎢ FINALMENTE: D x ⎢ ⎢ ⎢⎣ x 2 2 ⎤ ⎥ dt ⎥ = t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦ ∫ 3 2 ∫ ⎡ x3 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ + D x ⎢ ⎢ t 2 + 17 ⎥ ⎦ ⎣⎢ 0 3 ∫ ⎡ ⎢ = D x ⎢− ⎢ ⎢⎣ 2 ∫ ⎡ x3 ⎤ ⎢ ⎥ t dt ⎥ + D x ⎢ ⎢ t 2 + 17 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ x2 3 2 0 3 2 3 2 13 − 2 x 6 + 17 2 3 2 2 2 3x 3 2x 4 x 4 + 17 Ejemplo 5 ⎡x ⎤ ⎢ Calcular D x xtdt ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣1 SOLUCIÓN: ∫ x Observe que 1 xtdt = x ∫ x tdt por tanto: ∫ ⎡ ⎡x ⎤ ⎛ ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ Dx ⎢ xtdt ⎥ = Dx ⎢(x ) • ⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎣1 ⎦ ⎝ 1 ⎛ ⎜ = ( Dx x ) • ⎜ ⎜⎜ ⎝ = 1• = = 2 t 2 ∫ x 1 x 1 tdt ∫ x ∫ 1 x 1 58 ⎞⎤ ⎟⎥ tdt ⎟⎥ ⎟⎟⎥ ⎠⎥⎦ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ tdt + (x ) • ⎜ Dx ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ + + x2 1 x − + x2 2 2 3 2 1 = x − 2 2 2 ⎤ ⎥ dt ⎥ t 2 + 17 ⎥ ⎦⎥ t 3 2 ⎤ ⎥ dt ⎥ t 2 + 17 ⎥ ⎥⎦ t 3 2 (x ) (2 x) + (x ) (3x (x ) + 17 (x ) + 17 =− t Cap 3 La Integral Definida x • (x ) ∫ x 1 ⎞ ⎟ tdt ⎟ ⎟⎟ ⎠ 2 ) MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ∫ Ejemplo 6 x Calcular lím 1 − t 2 dt 0 x →0 x SOLUCIÓN: 0 0 La expresión presenta una indeterminación de la forma: ∫ Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos: ⎡x ⎤ ⎢ ⎥ 2 1 − t dt ⎥ Dx ⎢ ⎢ ⎥ 1− x 2 1− 02 ⎣0 ⎦ lím = lím = =1 x →0 x →0 1 1 D x [x ] Ejercicios Propuestos 3.1 1. ∫ Calcular 3 a. −2 f (x )dx , si f. ⎧⎪2 x 2 , − 2 ≤ x ≤ 1 f (x ) = ⎨ ⎪⎩1 − 2 x, 1 < x ≤ 3 ∫ ∫ 0 4 c. d. e. 2. ∫ −2 5 −2 g. x− ∫ π2 x − 1 dx h. 3 x − 1 dx ∫( −2 4 ∫( 0 4 k. x dx π2 [ x ])dx l. ) 3 x − 1 + 2 − x dx j. ∫ x − 1 − 2 dx 9 − x 2 dx ∫( e 4 x cos ∫( 0 1 ∫ 5 ) 0 m. dx x 9 1 i. ∫ sen (2 π x )dx 2 0 0 4 b. ∫ 1 10 x+2 x2 + 4x + 1 ) 2 ∫( x 2 − 2 x + 3 ln (x )dx 1 1 n. [3 x + cos (3 x − 3 )]dx 1+ x2 ∫ −1 100 dx o. x3 ) 4 dx ( ) x 2 sen 97 x 3 − 3 x dx − 100 0 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo. [ ] Si f (x ) ≤ g (x ) en a , b , a. ∫( 99 b. − 99 ) ∫ b f (x )dx ≤ a ax 3 + bx 2 + cx dx = 2 ∫ ∫ b g (x )dx a 99 bx 2 dx 0 59 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ∫ b +T c. Si f es periódica con período T, entonces: d. ∀ f ∫ b , f (− x )dx = a −b a +T f (x )dx e. Si f es una función par ∀x ∈ [− a , a ] , entonces f. Si f (x ) ≤ g (x ) en [a, b ] , entonces g. h. 3. ∫ −a [ ] Si F ′(x ) = G ′(x ) ∀x ∈ a, b , ∫ b ∫ ∫ a f ( x ) dx 0 g (x ) dx b F (b ) − F (a ) = G(b ) − G(a ) a a ∫ f (g (x))g′(x)dx = F (g (x)) + C Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces Encuentre f ′ si f toma las siguientes reglas de correspondencia: ∫ a. ∫ x 3 + sen x 1 dt 1− t ∫ 0 b. 2 x 3 sec x 3 d. 1 − t dt ∫ ∫ ( e. ∫ ln x ex3x c. 1 dt 2−t 6 log f. e ln x sec x Determine: ∫ x a. x→ 0 lim x x→1 lim + 1 2 x3 c. sent dt x −1 +1 5 d. x→ ∞ lim ) ) −1 dt 1− t3 cos t − sen t 1 + sen t 2 1− ∫ x x b. x 2 0 ∫ 3 2 ( )dt sen t t 2 x 5 2t 4 x 3 sen (tanx ln x tanx 60 −a f (x )dx a f (x )dx = 2 f (x ) dx ≤ sen x ln x 4. ∫ a ∫ f (x )dx = b cos dt t 1 + e − t dt 1 ∫ x ⎡ x2 d ⎢ dt ⎢ dx ⎢ 1 − 5t 2 ⎣0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 dt MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Misceláneos 1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su respuesta. a) Si f ´ es una función continua en el intervalo [a , b ] entonces ∫ b ∫ b 2 f ( x ) f ´( x ) dx = [ f ( b ) ]2 [ f ( a ) ]2 − a f ( x ) dx = 0 entonces f ( x ) = 0 para ∀ x ∈ [a , b ] b) Si c) Si f es una función continua en IR , entonces: a ∫[ n +1 d) ∫ ⎛ arctgx ⎜ d ⎜ f ( x ) dx dx ⎜ ⎜ 2 ⎝ x ] ∫( ∫ ⎡x ⎢ Dx⎢ ⎢ ⎢ 4 ⎣ −5 2 ∫ 2 g) 1+ t 4 ⎡ 4 x2 − x3 ⎢ 5 x + xe ⎣ ∫ b Si ∫ 2π j) 2 ∫ Si ∫ 1 l) = 0 ⎤ 1 + x 4 ⎥ dx = 64 ⎦ 0 ∫ 1 f (1 − x )g (x )dx 0 f ( x ) dx ≥ 0 entonces f ( x ) ≥ 0 para ∀ x ∈ [a , b ] ∫ π senx dx = 4 ∫ f (x )g (1 − x )dx = 0 a 3 k) )(x )dx ⎤ ⎥ dt ⎥ = 2 x 1 + x 4 ⎥ ⎥ ⎦ 1 i) f o g Si f y g son funciones continuas en el intervalo [0 ,1 ] entonces −2 h) ( ) f x2 Si f y g son funciones impares y continuas en IR , entonces 5 f) )− n (n + 1 ) ; n ∈ IN 2 x dx = 0 e) ⎞ ⎟ ⎟ = f (arctgx ⎟ x2 +1 ⎟ ⎠ 2 senxdx 0 f ( x ) dx = 3 y 0 xdx ≥ ∫ 1 ∫ 4 0 f ( x ) dx = 7 ∫ 3 entonces f ( x ) dx = − 4 4 1 + x 2 dx 0 61 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida m) ∫ Si 2 x1 −x n) o) ∫ IR tal que para cualquier número real x , es una función continua en f f (t )dt = 2 x1 f (t )dt = 0 entonces f es una función impar. x Si F es una antiderivada de la dunción f , entonces F (2 x + 1) = Si es una función continua en el intervalo f ∫ [2,5] ∫ f (2 x + 1)dx ∫ 5 y f ( x )dx = 7 entonces 2 −5 f ( x )dx = −7 −2 ∫ x2 p) Si f es una función tal que 2 f ( x) + 3 cos t dt = 0 entonces f ´(x) = −3 x cos x q) Si r) ∫ 0 son funciones tales que y g f x ∈ [0 ,1 ] entonces 1 f ( x ) = xe g (x )dx ≤ 1 . 0 [ ] Si ∀x ∈ 0,2 , 0 ≤ f ( x) ≤ 1 entonces 0 ≤ ∫ 2 Si f es una función continua en el intervalo [0,10 ] x ∈ [0,10] entonces f ´(1) = ∫ 2π t) senx dx = 2 ∑ n u) n → +∞ v) p →0 w) 62 lim lim Si ∑ i =1 n π n ∫ 2π f ( x ) ≥ g ( x ) para todo ∫ ⎞ ⎛ 3x 2 ⎟ ⎜ et ⎜ y f ( x ) = Dx ⎜ dt ⎟⎟ para 2 ⎜⎜ t + 1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ 0 3 3 e . 5 cos x dx 2 ⎛ πi ⎞ cos⎜ ⎟ = π ⎝n⎠ cos 2 xi = π donde p = max.{∆xi } p es una partición del intervalo [0, π ] . ∫ (2 f (x) + x2 )dx = 1 , entonces ∫ f (x)dx = −1 i =1 y f ( x)dx ≤ 1 0 s) x 2 2 2 −1 −1 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida ∫ ( ) x x) x→ 0 lim 0 + ∑ n y) z) n →∞ lim i =1 sen t 2 dt ⎛ 3 ⎞ ⎟ ⎜ tg ⎜ x 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ∫ n senx dx = a 2. Calcular a. x→ 0 ∫( lim 1 − cos t )dt )3 2 ∫ 1 π j. dx l. 2 3 x 1 + 2x + 2 2 ∫ e. x→ 0 ∫( lim 3 f. ∫ 0 3 g. ∫ −2 5 h. m. sen t 2 dt e 2x − ∫ ∫ 1 + cos x dx 2 π 2 n. x→ 0 ∫ lim 4 o. 2 + x −1 p. dx ∫ e −3 2 −2 dt 2 x + 3 dx ∫ x2 [ x ])dx + 16 ) 6 (x x + 1 − x − 2 )dx 1 2t 2 x − 1 − 3 dx 0 x dx 12 ∫( −2 2π dx ( ) x2 ∫ −2 3 cos 2 xsen 3 xdx ∫ x − 4 x3 − x ln 2 21 k. 0 d. i. 2 ln 5 2 c. ∫ 4 x3 6 − x2 1 cos xdx 0 2 b. ∫ b + 2π b ∫( x 1 3 ⎛ 2i ⎞ ⎜⎜1+ ⎟⎟ 2 e⎝ n ⎠ = e 2 − 1 a + 2π ∀a, b ∈ R, = sen (t ) t2 +1 dt 0 x3 − 2 x−3 ( ) dx ⎛ sen x 3 x ⎜ +e ⎜ x2 + 1 ⎝ ⎞ ⎟dx ⎟ ⎠ 1 63 MOISES VILLENA MUÑOZ 3. Cap 3 La Integral Definida ∫( 3 Si f es una función tal que f ( x) = x ∫ gráfico de f es cóncava hacia arriba. 4 4. Si f y g son funciones tales que ∫[ 1 el valor de 7 64 5 f ( x) + g ( x)]dx 1 ) 9t 2 − 48t + 56 e −3t dt , f ( x ) dx = 3 , ∫ 7 4 x ∈ IR . Determine los intervalos donde el f ( x)dx = −2 y ∫ 7 1 3 g ( x ) dx = 6 , entonces calcule MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 4 4.1 4.2 4.3 4.4 ÁREAS DE REGIONES PLANAS VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN LONGITUD DE UNA CURVA PLANA VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana 65 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana El área del elemento diferencial será: dA= hdx= f (x)dx Por tanto, el área de la región plana es: A = ∫ b f ( x ) dx a 4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS Si la región plana tuviera la siguiente forma: El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx 66 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral Entonces el área de la región plana esta dada por: A = ∫[ b f ( x) − g ( x )]dx a CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida. Ejemplo 1 ⎧⎪ y = x + 4 Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ y = x 2 − 2 SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x − 2 2 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. x + 4 = x2 − 2 x2 − x − 6 = 0 (x − 3)( x + 2) = 0 x=3 ∨ ∫ [(x + 4) − (x PASO 4: La integral definida para el área sería: A= 3 −2 2 x = −2 )] − 2 dx PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 67 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral A= ∫ 3 −2 [(x + 4) − (x 2 )] − 2 dx = ∫ 3 −2 [− x 2 ] + x + 6 dx ⎛ x3 x2 ⎞ = ⎜− + + 6x ⎟ ⎟ ⎜ 3 2 ⎠ −2 ⎝ 3 ⎞ ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2 )2 ⎛ 33 3 2 + + 6(− 2 )⎟ = ⎜− + + 6(3) ⎟ − ⎜ − ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ 2 3 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 8 9 = −9 + + 18 − + 2 − 12 3 2 5 A= 6 Ejemplo 2 ⎧⎪ y = x 3 − x 2 − 6 x Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ y = 0 SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. ( ) x3 − x 2 − 6 x = 0 x x2 − x − 6 = 0 x(x − 3)( x + 2) = 0 x=0 ∨ ∫ [(x ) PASO 4: La integral definida para el área sería: A= 0 −2 3 ] − x − 6 x − (0) dx + 2 PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 68 ∫ 3 0 [(0) − ( x 3 ] − x 2 − 6 x dx x=3 ∨ x = −2 MOISES VILLENA MUÑOZ A= = Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ∫ [( 0 ∫ −2 0 −2 ] ) x 3 − x 2 − 6 x − (0) dx + [x 3 ] − x 2 − 6 x dx + ∫ 3 ∫[ [− x 3 ] (0) − ( x 3 − x 2 − 6 x dx ] 0 3 + x 2 + 6 x dx 0 ⎛ x4 x3 ⎛ x4 x3 x 2 ⎞⎟ x 2 ⎞⎟ + ⎜− + +6 =⎜ − −6 ⎜ 4 ⎜ 4 3 2 ⎟⎠ 3 2 ⎟⎠ ⎝ 0 −2 ⎝ 0 ⎡ ⎛ (− 2)4 (− 2 )3 (− 2)2 = ⎢0 − ⎜ − −6 3 2 ⎢⎣ ⎜⎝ 4 81 8 = −4 − + 12 − + 9 + 27 4 3 253 A= 12 3 ⎞⎤ ⎡⎛ 3 4 3 3 32 ⎟⎥ + ⎢⎜ − + +6 ⎟⎥ ⎢⎜ 4 2 3 ⎠⎦ ⎣⎝ ⎤ ⎞ ⎟ − (0)⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠ 4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la siguiente forma: Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y ) dy Entonces el área de la región plana es: A = ∫ d f ( y ) dy c Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos: 69 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral El área del elemento diferencial será: dA = hdy = [ f ( y ) − g ( y ) ]dy ∫[ Entonces el área de la región plana esta dada por: A= d f ( y ) − g ( y )]dy c Ejemplo 3 ⎧y = x ⎪ Calcular el área de la región limitada por ⎨ y = − x + 6 ⎪y = 0 ⎩ SOLUCIÓN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano y = x y y = −x + 6 PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. PRIMER MÉTODO. Escogemos el elemento diferencial vertical ( x) 2 x = −x + 6 = (− x + 6)2 x = x − 12 x + 36 2 x 2 − 13x + 36 = 0 (x − 9)(x − 4) = 0 x=9 ∨ El área está dado por: 70 x=4 MOISES VILLENA MUÑOZ ∫ ∫ 4 A= 6 x dx + 0 () 3 =2 x 2 3 Cap. 4 Aplicaciones de la Integral (− x + 6)dx 4 ⎞ ⎛ x2 + ⎜− + 6x ⎟ ⎟ ⎜ 2 0 ⎝ ⎠4 6 4 2 ⎞ ⎞ ⎛ 42 3 ⎤ ⎛ 6 ⎡ + 6(4 )⎟ + 6(6 )⎟ − ⎜ − = ⎢ 2 (4 ) 2 − 0⎥ + ⎜ − ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎦ ⎜⎝ 2 ⎣3 ⎠ ⎠ ⎝ = 16 − 18 + 36 + 8 − 24 3 22 A= 3 SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por: ∫ 2 A= [(6 − y ) − y ]dy 2 0 ⎛ y 2 y 3 ⎞⎟ = ⎜6y − − ⎜ 2 3 ⎟ ⎠0 ⎝ ⎛ 2 2 23 ⎞⎟ = ⎜ 6(2) − − − (0) ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ ⎠ 8 = 12 − 2 − 3 22 A= 3 2 Ejemplo 4 ⎧⎪ y = x − 1 Calcular el área de la región limitada por ⎨ ⎪⎩ x = 3 − y 2 SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso 71 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral y + 1 = 3 − y2 y2 + y − 2 = 0 ( y + 2)( y − 1) = 0 y = −2 ∨ ∫ [(3 − y )− (y + 1)]dy Paso 4 y 5: El área de la región sería: 1 A= ∫ −2 1 = −2 [− y 2 2 ] − y + 2 dy ⎞ ⎛ y3 y 2 = ⎜− − + 2y⎟ ⎟ ⎜ 3 2 ⎝ ⎠ −2 1 ⎞ ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2)2 ⎛ 13 12 − + 2(− 2 )⎟ = ⎜− − + 2(1)⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 2 3 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 8 =− − +2− +2+4 3 2 3 9 A= 2 Ejercicios propuestos 4.1 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 72 y = 2 − x 2 , y = x, y = 4 x − x 2 , y = 0, y = x − 4, entre x = 1 y x = 3 . y = 0, x = 8 . y = x − 4 x + 3, x − y − 1 = 0 . 2 y = 2x , y = 2 x − 4, y − 2 x = 0, 2 x = 0. y + 4 x − 12 = 0 . 2 y 2 = x + 2, y = x − 4 y = x2 , y = −x 2 + 4x 2x y = x3 , y = − 4 2 y = x − 1, y = x − 3 y = x + 6, y = x 3 + 3 x 2 , y = x, y = x 3 − 6 x 2 + 8 x, . y = x 2 − 4x y =1 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES. Ahora trataremos regiones simple- θ , regiones que están limitadas por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar. En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular, entonces su área está dada por: 1 dA = r 2 dθ 2 ∫ Por tanto el área de la región está dada por: 1 A= 2 θ2 θ1 [ f (θ) ]2 d θ Ejemplo 1 Hallar el área de la región encerrada por r = a SOLUCIÓN: Graficando la circunferencia r = a e identificando la región, tenemos: 73 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 1 A= 2 1 = 2 ∫[ θ2 ∫ θ1 2π 0 El área estaría dada por: 1 = a2 2 f ( θ ) ]2 d θ [a ]2 d θ ∫ 2π dθ 0 1 2π = a2θ 0 2 A = πa 2 Ejemplo 2 Hallar el área de la región encerrada por r = 1 + cos θ SOLUCIÓN: Graficando la cardioide r = 1 + cos θ e identificando la región, tenemos: 1 A= 2 ∫[ θ2 θ1 ⎡ ⎢1 = 2⎢ ⎢2 ⎣ = El área estaría dada por: = = ∫[ π f ( θ ) ]2 d θ ∫ π 0 ⎤ [1 + cos θ ] d θ ⎥⎥ ⎥ ⎦ 2 ∫ ∫ 0 π dθ + 2 π ∫ ∫ 0 π 0 dθ + 2 0 π cos θ d θ + cos θ d θ + 0 A = θ + 2 sen θ + A=π 74 ] 1 + 2 cos θ + cos 2 θ d θ ∫ π ∫ 0 π 0 1 2 + sen 2 θ 4 cos 2 θ d θ ⎛ 1 cos 2 θ ⎞ ⎜ + ⎟dθ 2 ⎠ ⎝2 π 0 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 3 Hallar el área de la región encerrada por r = 4 sen 3θ SOLUCIÓN: Graficando la rosa r = 4 sen 3θ e identificando la región, tenemos: ∫[ f (θ ) ]2 d θ ∫[ ] El área estaría dada por: 1 A= 2 θ2 θ1 ∫ ⎡ π ⎤ 6 ⎢ ⎥ ⎢1 2 [4 sen 3θ ] dθ ⎥⎥ = 6⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ π =3 6 16 sen 2 3θ d θ ∫ π 0 = 48 6 ⎡ 1 − cos 6θ ⎢ 2 ⎣ 0 ⎤ ⎥ dθ ⎦ π sen 6θ ⎤ 6 ⎡ = 24 ⎢θ − 6 ⎥⎦ 0 ⎣ ⎤ ⎡⎛ sen 6 π ⎞⎟ ⎛ ⎜π 6 − ⎜ 0 − sen 0 ⎞⎟ ⎥ A = 24 ⎢⎜ − ⎟ ⎢⎜ 6 6 ⎠⎥ 6 ⎟ ⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎛π ⎞ A = 24 ⎜ ⎟ ⎝6⎠ A = 4π Ejemplo 4 Hallar el área de la región encerrada por el rizo de r = 2 − 4 cos θ SOLUCIÓN: Graficando el caracol r = 2 − 4 cos θ e identificando la región, tenemos: 75 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ∫ El área estaría dada por: 1 A= 2 θ2 θ1 [ f (θ) ]2 dθ ∫ ⎡ π ⎤ 3 ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ = 2⎢ (2 − 4 cos θ )2 d θ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ∫[ π = = 3 ∫ ∫ 0 π 3 =4 [4 ]dθ − π [16 cos θ ]dθ + 3 ∫ ∫ 0 π ] 4 − 16 cos θ + 16 cos 2 θ d θ 3 0 π d θ − 16 0 3 ∫[ π [cos θ ]dθ + 16 0 A = 4 θ − 16 sen θ + 8θ + 4 3 ∫ 0 π ] 16 cos 2 θ d θ 3 ⎡ 1 + cos 2 θ ⎤ ⎢ ⎥ dθ 2 ⎣ ⎦ 0 π sen 2 θ 3 2 0 π π⎞ ⎛ π A = ⎜ 12 − 16 sen + 2 sen 2 ⎟ − (12 ( 0 ) − 16 sen 0 + 2 sen 0 ) 3 3⎠ ⎝ 3 A = 4 π − 16 3 3 +2 2 2 A = 4π − 7 3 Ejemplo 5 ⎧ r = 3 sen θ ⎩ r = 1 + cos θ Hallar el área de la región interior a ambas curvas ⎨ SOLUCIÓN: Graficando las figuras e identificando la región, tenemos: 76 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuación trigonométrica que se forma, es decir: ( 3 sen θ = 1 + cos θ ( 3 sen θ )2 = (1 + cos θ )2 ) 3 sen 2 θ = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ 3 1 − cos 2 θ = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ 4 cos θ + 2 cos θ − 2 = 0 2 2 cos 2 θ + cos θ − 1 = 0 (cos θ + 1)(2 cos θ − 1) = 0 cos θ = − 1 ∨ cos θ = 1 ∫[ θ=π El área estaría dada por: π 1 A= 2 3 ∨ ] 1 3 sen θ d θ + 2 2 0 π θ=π ∫ π π 2 3 [1 + cos θ ]2 d θ 3 π 3⎛1 sen 2 θ ⎞ 3 1 ⎡ 1 sen 2 θ ⎤ A= ⎜ θ− + ⎢ θ + 2 sen θ + θ + ⎟ 2⎝2 4 ⎠0 2⎣ 2 4 ⎥⎦ π 3⎛π 3 ⎞⎟ 1 ⎛⎜ ⎛ 3 ⎞ ⎛⎜ π A= ⎜ − + + ⎜ π⎟ − 2 ⎜⎝ 6 8 ⎟⎠ 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎝ π π π 3 9 A= − 3 +3 − − 3 4 16 4 4 16 π 3 A=3 − 3 4 4 3 3+ 8 ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ 3 Ejercicios propuestos 4.2 r = a cos 3θ . 1. Hallar el área limitada por la curva 2. Determinar el área de la región exterior a 3. Determine el área de la región interior de la cardioide r = 3+ 3senθ en el primer cuadrante 4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia r = 2 + sen θ , e interior a r = 5 sen θ r = 3 + 3 cosθ y exterior a la cardioide r = 3senθ y fuera de r = 2 − senθ . 77 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral r 2 = 8 cos 2θ Determinar el área interior a 6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide r = 2 + 2senθ e interna a la cardioide 7. Determine el área interior al limaron r = 3 − 6senθ pero exterior al rizo. 8. Hallar el área de la región interna común entre r = cos 2θ y r = sen2θ 9. y exterior a r =2. 5. r = 2 + 2 cosθ { Determine el área de la región R = (r ,θ ) / 3 3 ≤ r ≤ 6 cos 2θ } 4.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 360 con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN. 0 En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan. CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución: El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera: Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. 78 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por: dV = πr 2 dx = π[ f ( x)] dx 2 Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir: V =π ∫ b [ f ( x)] 2 dx a CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma: Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO 79 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral [ ] El volumen del sólido diferencial estaría dado por: dV = π r2 −r 1 dx 2 2 pero observe que: r2 = f ( x) y r1 = g ( x) entonces: [ ] dV = π ( f ( x) ) − ( g ( x) ) dx . 2 2 Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje "x", estaría dado por: V =π ∫ [( f ( x)) b 2 ] − ( g ( x) ) dx 2 a CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región anterior en torno al eje "y": El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA: 80 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular: 2πr h dx Su volumen sería: dV = 2πrhdx r=x Pero observe que: h = f ( x) − g ( x) ∫ Por tanto el volumen total del sólido sería: V = 2π x[ f ( x) − g ( x)]dx . b a Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos. Ejemplo 1 ⎧⎪ y = x Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje x. 2 SOLUCIÓN: PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la región. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical x 2 = 8x ( x 4 = 8x ) x x3 − 8 = 0 x=0 ∨ x=2 81 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral [ ] Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por: dV = π r2 − r 1 dx y en este caso r2 = 8 x y r1 = x PASO 4: Por tanto 2 2 V =π ∫ 2 =π ∫ 0 2 2 ( ) − (x ) ⎤⎥⎦ dx ⎡ 8x ⎢⎣ 2 2 2 [8x − x ]dx 4 0 ⎛ x2 x5 ⎞ ⎟ = π⎜ 8 − ⎟ ⎜ 2 5 ⎠0 ⎝ 2 32 ⎞ ⎛ = π⎜16 − ⎟ 5 ⎠ ⎝ 48 V= π u3 5 NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal. Ejemplo 2 ⎧⎪ y = x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje y. SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza Cuyo h = volumen 8 x − x PASO 4: Por tanto: 82 está dado 2 por dV = 2 πrhdx y en este caso r=x y MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral V = 2π = 2π ∫[ ( 2 ∫ 0 2 0 )] x 8 x − x 2 dx 3 ⎞ ⎛ ⎜ 8 x 2 − x3 ⎟dx ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎡2 8 5 x4 ⎤ x 2− ⎥ = 2π ⎢ 5 4 ⎥ ⎦0 ⎣⎢ ⎡⎛ 2 8 5 ⎤ 24 ⎞⎟ − ( 0) ⎥ = 2π ⎢⎜ 2 2− ⎟ ⎜ ⎢ 5 ⎥ 4 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎡ 32 ⎤ = 2π ⎢ − 4⎥ ⎣5 ⎦ 2 V = 24π 3 u 5 Ejemplo 3 ⎧⎪ y = x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje y = 4 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y = 4 " da lugar a una Anillo [ ] El volumen de este diferencial está dado por dV = π r2 − r 1 dx y en este caso r2 = 4 − x 2 y r1 = 4 − 8 x 2 2 PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos: 83 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral V =π =π =π ∫( 2 ∫ [( 0 2 ∫ 0 2 0 ) ( ) 2⎤ ⎡ 22 ⎢ 4 − x − 4 − 8 x ⎥ dx ⎣ ⎦ )( )] 16 − 8 x 2 + x 4 − 16 − 8 8 x + 8 x dx 1 ⎞ ⎛ 4 ⎜ x − 8 x 2 − 8 x + 8 8 x 2 ⎟dx ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛ x5 x3 x 2 32 2 3 2 ⎞⎟ = π⎜ −8 −8 + x ⎜ 5 ⎟ 3 2 3 ⎝ ⎠0 3 2 ⎡⎛ 25 ⎤ 2 2 32 2 3 2 ⎞⎟ = π ⎢⎜ −8 −8 + − ( 0) ⎥ 2 ⎟ ⎢⎜ 5 3 2 3 ⎥ ⎠ ⎣⎝ ⎦ 2 128 ⎞ ⎛ 32 64 = π⎜ − − 16 + ⎟ 5 3 3 ⎠ ⎝ 206 π u3 V = 15 Ejemplo 4 ⎧⎪ y = x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje y = −1 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " y = −1 " da lugar a una Anillo El volumen de este r1 = 1 + x y r2 = 1 + 8 x 2 PASO 4: Por tanto: 84 [ ] diferencial está dado por dV = π r2 − r 1 dx y en este caso 2 2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral V =π =π =π ∫( 2 ∫ [( 0 2 ∫ 0 2 ) ( ) 2 ⎡ 2 2⎤ ⎢ 1 + 8 x − 1 + x ⎥ dx ⎣ ⎦ )( )] 1 + 2 8 x + 8 x − 1 + 2 x 2 + x 4 dx 1 ⎛ 2 4⎞ ⎜ 2 8 (x ) 2 + 8 x − 2 x − x ⎟dx ⎠ ⎝ 0 3 ⎞ ⎛ ⎜ x 2 x2 x 3 x5 ⎟ = π⎜2 8 +8 −2 − ⎟ 3 2 3 5 ⎟ ⎜ 2 ⎠0 ⎝ 2 ( ) ⎤ ⎡⎛ 8 2 3 23 25 ⎞⎟ 2 2 + 4 22 − 2 = π ⎢⎜ − − (0)⎥ 3 5 ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 16 32 ⎞ ⎛ 32 = π⎜ + 16 − − ⎟ 3 5 ⎠ ⎝ 3 174 3 V = πu 15 Ejemplo 5 ⎧⎪ y = x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje x = 2 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x = 2 " da lugar a una corteza El volumen de este diferencial está dado por dV = 2 πrhdx y en este caso r = 2 − x y h = 8x − x 2 PASO 4: Por tanto: 85 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral V = 2π = 2π = 2π ∫( 2 ∫( 0 2 ∫ 0 2 ( ) 2 − x ) 8 x − x 2 dx ) 2 8 x − 2 x 2 − x 8 x + x3 dx 3 1 ⎛ 2 3⎞ ⎜ 4 2 (x ) 2 − 2 x − 2 2 (x ) 2 + x ⎟dx ⎝ ⎠ 0 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ x 2 x3 x 2 x4 ⎟ = 2π ⎜ 4 2 −2 −2 2 + ⎟ 3 5 3 4 ⎟ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠0 2 ⎡⎛ 8 2 3 ⎤ 23 4 2 5 2 24 ⎞⎟ 2) 2 − 2 2 + ( = 2π ⎢⎜ − − ( 0) ⎥ 3 5 4 ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎛ 32 16 32 16 ⎞ = 2π ⎜ − − + ⎟ 3 5 4 ⎠ ⎝ 3 88 3 V = πu 15 Ejemplo 6 ⎧⎪ y = x 2 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R : ⎨ ⎪⎩ y = 8 x alrededor del eje x = −1 SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " x = −1 " da lugar a una corteza El volumen de este diferencial está dado por dV = 2 πrhdx y en este caso r = 1 + x y h = 8x − x 2 PASO 4: Por tanto: 86 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral V = 2π = 2π = 2π ∫( 2 ∫( 0 2 ∫ 0 2 ) ( 1 + x ) 8 x − x 2 dx ) 8 x − x 2 + x 8 x − x3 dx 3 1 ⎛ 2 3⎞ ⎜ 2 2 (x ) 2 − x + 2 2 (x ) 2 − x ⎟dx ⎝ ⎠ 0 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ x 2 x3 x 2 x4 ⎟ = 2π ⎜ 2 2 − +2 2 − ⎟ 3 5 3 4 ⎟ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠0 2 ⎡⎛ 4 2 3 ⎤ 23 4 2 5 2 24 ⎞⎟ 2) 2 − 2 − ( = 2π ⎢⎜ + − (0)⎥ 3 5 4 ⎟ ⎥ ⎢⎜ 3 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎛ 16 8 32 16 ⎞ = 2π ⎜ − + − ⎟ 4⎠ ⎝ 3 3 5 152 3 V = πu 15 Ejercicios Propuestos 4.3 1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R la región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación: a. 2. 4. 5. b. x = 1, c. y = 0, π y= , 2 y = 0, x = 0, y = arc tg x, x = 1 ; eje y y = 3, x = 1, x = 3, Sea R la región limitada por las curvas: y = x 2 , a) b) 3. y = 2x − x 2 , x = 4 ; eje y . y= 1 ; eje x = 1 . x −1 y= 1 y las rectas y = 0, x = 2 .. x Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje x = 2 . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje y = 1 . Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje x = 9 la región limitada por las curvas: y 2 = 9 − x, y = 3− x . Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta x = −4 , la región acotada por las curvas: x = y − y 2 , x = y2 −3 . Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta y = 2 de la región del primer 6. cuadrante limitada por las parábolas 3 x 2 − 16 y + 48 = 0 , x 2 − 16 y + 80 = 0 y el eje de las y . Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es: 7. Sea la región R = (x, y ) / x + 1 ≤ y ≤ 4 − 2 x { ⎧x 2 + y 2 − 4 y + 3 = 0 ⎪ ⎪x = 2 ⎪ ⎪y = 0 ⎨ ⎪y = 4 ⎪x + y − 5 = 0 ⎪ ⎪⎩ x = 0 2 alrededor del eje: a) x = 1 , b) y = −1 } . Calcule el volumen del sólido generado al girar R 87 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 4.3 LONGITUD DE ARCO Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita. Una partición diferencial tendrá la forma: ds i dy dx Y su longitud está dada por: ds = dx 2 + dy 2 1. Si y = f (x) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: ds = Es decir: s= dx 2 + dy 2 ∫ b a dx ⎛ dy ⎞ dx = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 2 ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 2 2. Si x = f ( y ) entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: ds = Es decir: s = ∫ d c 88 dx 2 + dy 2 dy ⎛ dx ⎞ dy = 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dy ⎝ dy ⎠ ⎛ dx ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ dy ⎝ dy ⎠ 2 2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ⎧ x = x(t ) entonces se utiliza el diferencial de arco = ( ) y y t ⎩ 3. Finalmente si C : ⎨ de la forma: ds = Es decir: s = dx 2 + dy 2 ∫ t2 t1 dt ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ dt = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 2 Ejemplo 1 Encuentre la longitud de arco de la curva y = x 3 2 desde el punto (1,1) al punto ( 4,8) SOLUCIÓN: En este caso usamos el diferencial de arco de la forma s = ∫ b ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ¿por qué? ⎝ dx ⎠ 2 a dy 3 12 Ahora = x dx 2 Por tanto: s= = = ∫ 4 ∫ 1 4 ∫ 1 4 ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 2 ⎛3 1 ⎞ 1 + ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ dx ⎝2 ⎠ 2 1+ 9 x dx 4 1 ⎛ 9 ⎞ ⎜1 + x ⎟ 2⎝ 4 ⎠ = 9 3 4 8 ⎛ 32 ⎜10 − s= 27 ⎜⎝ 3 4 2 (134 )32 ⎞⎟⎟ 1 ⎠ 89 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral Ejemplo 2 Encuentre la longitud de la curva y = SOLUCIÓN: La longitud de arco esta dada por: s = ∫ dy Para lo cual la derivada sería: = Dx dx Reemplazando resulta: s= = = = ∫ u 3 − 1du ; 1 ≤ x ≤ 2 1 ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 2 1 ∫ x 2 ∫ x u 3 − 1du = x 3 − 1 1 ⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 2 2 ∫ 1 2 1 + ⎛⎜ x 3 − 1 ⎞⎟ dx ⎝ ⎠ 2 ∫ 1 2 1 + x 3 − 1dx ∫ 1 2 x 3 dx 1 x 2 = 5 2 5 2 5 ⎞ 2⎛ 5 = ⎜ 2 2 −1 2 ⎟ 5⎝ ⎠ 2 s = 4 2 −1 5 ( 1 ) Ejemplo 3 Calcular la longitud de la circunferencia SOLUCIÓN: 90 x2 + y2 = a2 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ∫ Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica s= t2 ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 2 t1 La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es: Por tanto dx = − a sen t y dt s= = = = = ∫ 2π ∫ 0 2π ∫ 0 2π ⎧ x = a cos t C:⎨ ⎩ y = a sen t ;0 ≤ t ≤ 2π dy = a cos t . Reemplazando resulta: dt ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2 2 (− a sen t )2 + (a cos t )2 dt a 2 sen 2 t + a 2 cos 2 t dt ∫ a (sen 0 2π 2 2 ∫ a dt ) t + cos 2 t dt 0 2π ∫ 0 2π = a dt = 0 2π at 0 s = 2πa Ejercicios Propuestos 4.4 1. Determine la longitud de arco de la curva y = 1 − ln (cos x ); x≤π ⎧ x = t − sen t 2. Determine la longitud de arco de la curva: ⎨ en el intervalo 0 ≤ t ≤ 4π ⎩ y = 1 − cos t 4 ⎧ x = a cos t + atsent en el intervalo −1 ≤ t ≤ 1 ⎩ y = asent − at cos t 3. Determine la longitud de arco de la curva: ⎨ 4. Encuentre la longitud de la curva y = ∫ x π 64sen 2u cos 4 u − 1 du , π 6 ≤x≤ π 3 6 91 MOISES VILLENA MUÑOZ 4.3.1 Cap. 4 Aplicaciones de la Integral LONGITUD POLARES. DE ∫ ARCO EN COORDENADAS La longitud de arco esta dada por: s= ∫ θ2 ⎛ dy ⎞ ⎛ dx ⎞ ⎟ dθ ⎜ ⎟ +⎜ ⎝ dθ ⎠ ⎝ dθ ⎠ 2 θ1 2 Reemplazando, tenemos: s= s= s= θ2 θ1 ∫ θ2 θ1 ∫ θ2 θ1 ( f ´(θ ) cos θ − f (θ ) sen θ ) 2 + ( f ´(θ )sen θ + f (θ ) cos θ ) 2 d θ [ f ´(θ ) ]2 cos 2 θ − 2 f ´(θ ) f (θ ) cos θsen θ + [ f (θ ) ]2 sen 2θ + + [ f ´(θ ) ]2 sen 2θ + 2 f ´(θ ) f (θ ) cos θ sen θ + [ f (θ ) ]2 cos 2 θ [ f ´(θ ) ]2 (cos 2 θ + sen 2θ )+ [ f (θ ) ]2 (sen 2θ + cos 2 θ )dθ ∫ Resultando finamente: s= θ2 θ1 ( f (θ) )2 + ( f ´(θ) )2 d θ Ejemplo 1 Hallar la longitud de la circunferencia r=a SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta: s= s= ∫ θ2 ( f (θ) )2 + ( f ´(θ) )2 d θ ∫ θ1 2π ∫ a 2 + o 2 dθ 0 s= 2π ad θ s = aθ 0 0 2π s = 2 πa Ejemplo 2 Hallar la longitud de la cardioide r = 1 + cos θ SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta: 92 dθ MOISES VILLENA MUÑOZ s= ∫ θ2 ∫ θ1 s=2 s=2 s=2 Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ( f ( θ) )2 + ( f ´(θ ) )2 d θ π (1 + cos θ )2 + (− sen θ )2 dθ ∫ 0 π ∫ 2 2 θ2 + sen 1 + 2 cos θ + cos 144 4 43θ d θ 1 0 π 0 s=2 2 s=2 2 s=2 2 2 + 2 cos θ d θ ∫ π ∫ 1 + cos θ d θ 0 π ∫ s = 4 sen 0 π 0 π θ 2 0 2 cos 2 θ dθ 2 2 cos θ2 d θ =8 Ejemplo 3 ⎧ r = 3 sen θ ⎩ r = 1 + cos θ Hallar perímetro de región interior a las curvas ⎨ SOLUCIÓN: En este caso el perímetro estaría dado por 93 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ∫ π Per = 3 ∫ ( ) ( ) 3 sen θ + 3 cos θ d θ + 2 2 0 π Per = 3 3 sen θ + 3 cos θ d θ + 0 Per = 3θ Per = 2 π 0 3 2 + 4 sen 3 π+4−4 3 3 π+2 Per = 3 π θ 2 π ∫ π π ∫ π π (1 + cos θ )2 + (− sen θ )2 3 2 cos θ 2 dθ 3 3 1 2 Ejercicios propuestos 4.5 1. Determine el área y el perímetro de la región interior a las curvas 2. Determinar: a) El valor de r = 3 cos θ y r = 1 + cos θ . a para el cual el área de la región limitada por la cardioide r = a(1 − cos θ ) sea igual a 9π unidades cuadradas. b) La longitud de la cardioide definida en el literal a). 4.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE Sea f una función continua en el intervalo [a, b] . El VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de f , denotado como f , está dado por: f = ∫ b 1 b−a f ( x)dx a Ejemplo Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era p(t ) = 0.09t − 0.2t + 1.6 dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3 primeros meses?. 2 SOLUCIÓN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es: 94 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral ∫ p(t)dt b 1 p= b−a = ∫ (0.09t a 3 1 3−0 2 ) − 0.2t + 1.6 dt 0 ⎤ 1 ⎡ 0.09t 3 0.2t 2 = ⎢ − + 1.6t ⎥ 3 ⎣⎢ 3 2 ⎦⎥ 1 = [0.81 − 0.9 + 4.8] 3 p = $1.57 3 0 { } Misceláneos 1. 2. Sea R la región definida por : R = (x, y ) ∈ IR 2 / ln x ≤ y ≤ 1 ∧ 1 ≤ x ≤ e . Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y" c) 3. [ { 5. 6. } El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta { R = (x, y ) ∈ IR 2 / x 2 − 14 ≤ y ≤ x } x = 4. r =1. = 4 − x . Determine el valor de " a " de tal Calcular el área de la región interior a la rosa r = 2 cos 2θ y exterior a la circunferencia Sea la región R limitada por la recta x = 0 y la curva y modo que la recta x = a divida a la región R en dos regiones de igual área. { } 2 Sea la región R = (x, y ) / 0 ≤ y ≤ 4 − x 2 . Determine el valor de " { a " de tal modo que la recta y = a Calcule el área de la región R = (x, y )/ y ≥ 2 x ∧ y ≤ x 2 + 2 x ∧ y ≤ 12 − 2 x divida a la región R en dos regiones de igual área. 7. 8. y=4 x =1 Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta 4. ] R = (x, y ) ∈ IR 2 / x + 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 ∧ x ≤ 0 ∨ [x + 2 ≤ y ≤ 4 − x ∧ x ≥ 0] Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta Sea la región { } } Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de r = 2 − cosθ . Sea R = (x, y ) / 2 x ≤ y ≤ x 2 + 1 ∧ 0 ≤ x ≤ 1 . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta x = 1 10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de r = 2 + 4 cosθ . 11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎧ x = 2 cos t − cos 2t , t ∈ [0,2π ] ⎨ ⎩ y = 2sent − sen2t ⎧y = 0 ⎪⎪ 12. Sea R la región limitada por ⎨ y = x 2 ⎪ ⎪⎩ y = − x 2 + 4 x Calcule: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta x = −1 9. { ( ) }. Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar 13. Calcular el área de la región interior a r = 1 + 2 cosθ y exterior a la 14. Sea R = (x, y ) / y ≥ 0 ∧ x ≥ 3 y − 2 ∧ x ≤ y 2 la región R alrededor del eje y = 1 . 2 r =1. 95 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 4 Aplicaciones de la Integral 15. Calcule el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por y = y= 2 3 (x − 1)3 , y = −x + 8 , x =0, y =0 . 3 16. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por y = { x = 3 − y , x = 0 alrededor de y = 2 . } 2 3 x +1 , 3 x2 , x = ( y − 1)2 , 4 17. Sea R = (x, y ) ∈ IR 2 / x − 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 . Determine: a) b) c) El área de dicha región R El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y" El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta y = −2 . 18. Determine el área de la región dentro de r 2 = 2sen2θ y fuera de r = 2senθ 19. Encuentre el área de la región limitada por las curvas y = xe 3 , y = 0 , x = 9 . x 20. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por y = x3 + 1 , y = 0 , , x = 1 alrededor de x = 1 . 21. Calcule el área de la región que es externa a la cardioide r = 2 + 2senθ e interna a la cardioide r = 2 + 2 cosθ . 22. Sea R la región limitada por y = x 3 , y = 1 (x − 1) , y = − x + 10 . Calcule el volumen del sólido que se 2 genera cuando la región R rota alrededor de la recta x=8. 23. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por y = x , y = 2 , x = 0 alrededor de la recta y = 2 . 24. Hallar el área de la región limitada por y 2 − 2 x = 0 , y 2 + 4 x − 12 = 0 25. Hallar el área de la región limitada por r = 4 cos 3θ que está fuera del circulo r = 2 26. Calcular el área de la región interior a la circunferencia r = a y exterior a la rosa r = asen3θ , a > 0 . 3 27. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas y = x , y = x 2 + 2 x alrededor de la recta x = 2 28. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas y = 4 − x 2 ; x ≥ 0 , y = 0 , x = 0 alrededor de la recta x = 2 29. Hallar el área interior a r = −6 cosθ y exterior a r = 2 − 2 cosθ . 30. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por y = ln 2 x , y = 0 , alrededor del eje: a) x = e b) y = ln (2e ) x=e ⎧⎪ x = et sent ,0 ≤ t ≤ π 31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨ ⎪⎩ y = et cos t { ( 32. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región R = (x, y ) / x 2 − 14 ≤ y ≤ x alrededor de la recta x = 4 33. Calcule el área de la región comprendida entre y = (x − 3)2 y la recta y = 2(x + 1) )} 34. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar la región comprendida entre y = x − x 2 , y = 0 alrededor de la recta y = −1 { ( 35. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región R = (x, y ) / 0 ≤ y ≤ x − x 2 de la recta x = 2 . 96 )} alrededor MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias 5 5.1 LÍMITES INFINITOS 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule integrales sobre regiones no acotadas y resuelva problemas de aplicación relacionados con las integrales impropias 97 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales 5.1 LÍMITES INFINITOS. ∫ ∞ Se presentan cuando se plantean integrales de la forma de la forma ∫ f ( x) dx , o de la forma ∫ −∞ o a ∞ a f ( x)dx , f ( x) dx . −∞ En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas con propiedad. Es decir: ∫ ∞ ∫ a a −∞ ∫ ⎡N ⎤ ⎢ ⎥ f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣a ⎦ ∫ ⎡a ⎤ ⎢ ⎥ f ( x)dx = lím ⎢ f ( x)dx ⎥ N → −∞ ⎢ ⎥ ⎣N ⎦ y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así: ∫ ∞ f ( x)dx = −∞ ∫ a −∞ f ( x)dx + ∫ ∞ f ( x)dx a Ejemplo 1 ⎧y = e −x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ y = 0 , en el primer cuadrante. ⎪x = 0 ⎩ SOLUCIÓN: Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos: 98 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias El área de la región estaría dada por A = escribiéndola con propiedad tenemos: A = ∫ ∫ ∞ 0 ∫ ∞ e − x dx , la cual es una integral impropia, que −x Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta: [ ⎡N ⎤ ⎢ ⎥ −x lím ⎢ e dx ⎥ = lím − e − x N →∞ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ] ∫ ⎡N ⎤ ⎢ ⎥ −x e dx = lím ⎢ e dx ⎥ N →∞ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ 0 N 0 [ ] = lím 1 − e − N = 1 − e −∞ = 1 N →∞ En este caso se dice que el área converge a 1 ( A = 1 u ) 2 Ejemplo 2 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ x ≥ 1 ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎩ SOLUCIÓN: El área de la región estaría dada por A = escribiéndola con propiedad tenemos: A = ∫ ∫ ∞ 1 ∫ ∞ 1 dx , la cual es una integral impropia, que x ∫ ⎡N ⎤ ⎢ 1 ⎥ 1 dx = lím ⎢ dx ⎥ N →∞ x x ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ 1 Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta: ⎡N ⎤ ⎢ 1 ⎥ lím ⎢ dx ⎥ = lím [ln x]1N = lím [ln N − ln 1] = ln ∞ − ln 1 = ∞ N →∞ N →∞ N →∞ x ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A = ∞ ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande. 99 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias Ejemplo 3 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región R : ⎨ x ≥ 1 , alrededor ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎩ del eje x. SOLUCIÓN: El volumen del sólido estaría dado por V = π ∫ ∫ ∞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ dx , esto es una integral impropia, que ⎝x⎠ 2 ∫ ⎡N ⎤ 2 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ escribiéndola con propiedad tenemos: V = π ⎜ ⎟ dx = π lím ⎢ ⎜ ⎟ dx ⎥ ⎥ N →∞ ⎢ ⎝ x ⎠ ⎝x⎠ 1 ⎣1 ⎦ ∞ ∫ 1 Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta: ⎡N ⎤ N 1 ⎥ = π lím ⎡− 1 ⎤ = π lím ⎡1 − 1 ⎤ = π dx π lím ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ N →∞ ⎢ x 2 N →∞ ⎢ N →∞ ⎢ ⎣ N⎦ ⎣ x ⎦1 ⎣1 ⎦ Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica. Ejemplo 3 Determina el valor de "k" para que el área bajo la curva de y = 1. k 1+ x 2 SOLUCIÓN: Dibujando la curva para un k positivo sería: El área estaría dado por A = ∫ ∞ −∞ k 1+ x 2 dx . Como es una función par, aplicando simetría, tendremos A = 2 ∫ ∞ 0 Escribiéndola con propiedad y resolviendo: 100 k 1+ x 2 dx . sea iguala a MOISES VILLENA MUÑOZ A = 2 lím ∫ N N →∞ = 2k lím N →∞ Cap. 5 Integrales Impropias ∫ k 1+ x 2 dx 0 N 1 1+ x 2 dx = 2k lím [arctg x ]0N 0 = 2k [arctg ∞ − arctg 0] N →∞ = 2k π 2 A = kπ Si la condición es que A = 1 u entonces kπ = 1 por tanto k = 2 Ejemplo 4 1 π ∫ ∞ Determine para que valores de "p" la integral impropia que valores diverge. SOLUCIÓN: ∫ 1 xp dx converge y para 1 N Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos: lím N →∞ Se observa que hay que considerar 2 casos: si p = 1 y si p ≠ 1 1 xp dx 1 Primero si p = 1 tenemos: ∫ N N →∞ lím Segundo si p ≠ 1 tenemos: ∫ 1 N N →∞ lím 1 dx = lím [ln x ]1N = lím [LnN − ln 1] = ∞ (Diverge) N →∞ N →∞ x x −p 1 ⎡ N 1− p 11− p ⎤ ⎡ x − p +1 ⎤ dx = lím ⎢ − ⎥ ⎥ = lím ⎢ N →∞ ⎢ 1 − p N →∞ ⎢ − p + 1 ⎥ 1 − p ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦1 N de lo último hay que considerar dos casos: ⎡ N 1− p Si p < 1 entonces lím ⎢ N →∞ ⎢ 1 − ⎣ ⎡ N 1− p Si p > 1 entonces lím ⎢ ∫ N →∞ ⎢ 1 − ⎣ ∞ Por lo tanto: 1 p 1 xp p − − 11− p ⎤ 1 = ∞ (diverge) ⎥ =∞− 1 − p ⎥⎦ 1− p 11− p ⎤ 1 1 1 = 0− (converge) ⎥= − 1 − p ⎥⎦ ∞ 1 − p 1− p ; p ≤1 ⎧∞ ⎪ dx = ⎨ 1 ⎪ p −1 ; p > 1 ⎩ 101 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias 5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las graficas de las curvas tienen asíntotas verticales Ejemplo 1 1 ⎧ ⎪y ≤ x ⎪ Hallar el área de la región R : ⎨ x ≥ 0 . ⎪y ≤ 0 ⎪ ⎩ SOLUCIÓN: La región referida sería: La integral para el área es: A = ∫ ∫ ∫ 1 1 1 dx note que la función f ( x) = no está definida en x x x = 0 por tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta: A= 1 1 dx = lím+ t →0 x 0 t ∫ Ejemplo 2 2 Calcular −1 SOLUCIÓN: 102 1 1 x2 dx 0 1 dx = lím+ [ln x ]1t = lím+ [ln 1 − ln t ] = 0 − ln 0 + = ∞ (diverge) t →0 t →0 x MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias La función no está definida x = 0 , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente manera: ∫ 2 −1 1 x 2 dx = lím− t →0 ∫ t −1 dx + lím+ 1 x t →0 2 ∫ 2 ∫ 2 1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ = lím− ⎢− 1 − ⎥ + lím+ ⎢ − ⎥ t →0 ⎣ t ⎦ t →0 ⎣ t 2 ⎦ = ∞+∞ 1 x2 dx = ∞(diverge) Ejercicios propuestos 5.1 1. dx ⎡ 1⎤ ⎡ 1⎤ = lím− ⎢− ⎥ + lím+ ⎢− ⎥ t →0 ⎣ x ⎦ −1 t →0 ⎣ x ⎦ t 2 −1 x2 t t ∫ 1 ∫( Evalúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente. ∞ 1. ∫ ∞ e x dx 4. 2. ∫ dx −∞ ∞ 3. x2 + 4 ∫ −∞ ∞ 1 ∞ x + 2x + 5 5. 2 6. ∫ ) 2 dx xdx 9 + x2 3 3 e− x sen x dx x dx x + x−2 2 0 0 2. Dada la curva y = e − x , determine el área bajo la curva para x ≥ ln 2 . { R = ( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ x } 3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje −1 y. 4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por y = x, alrededor del eje x (en el primer cuadrante). 5. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva y = x a) b) −2 ∫ 3 y a la izquierda de Determine el área de la región R. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y = −1 . y= 1 , x y = 0; x = 1. 1 6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral 1 xp dx converge y los valores para los 0 cuales diverge. 103 MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 5 Integrales Impropias Misceláneos 1. Sea la región R definida por R = ⎨(x, y ) ∈ IR 2 / x ≥ 0 ∧ ⎧ a) b) ⎩ x ⎫ ≤ y ≤ 1⎬ . Calcule si es posible: x +1 ⎭ El área de la región R. El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 2. Calcular si es posible la longitud de la espiral r = e −2θ ; θ ≥ 0. y =1 3. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por y = e x , y = 0 , x = ln 3 ; alrededor del eje x . 4. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por y= 1 ; x x > 0 y los ejes coodenados; alrededor del eje y . 5. Si R = ⎨(x, y ) ∈ IR 2 / 0 ≤ y ≤ ⎧ región R. ⎩ ⎫ ∧ x ≥ 0⎬ . x +1 ⎭ 1 Determine si es posible el área de la 2 2 6. Si R = ⎨(x, y ) ∈ IR / y ≥ 0 ∧ x ≥ 1 ∧ y ≤ ⎧ 1 ⎫ ⎬ . Si es posible calcule el volumen del sólido x3 ⎭ ⎩ que se genera al rotar la región R alrededor del eje x = 1 . 1 ∧ y = 0. 7. Determine el valor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por y = (x − 1)2 ⎛1⎞ ⎝2⎠ 8. Encuentre el área de la región limitada por las y = ⎜ ⎟ , y los ejes coordenados en el primer { cuadrante. R = (x, y ) ∈ IR 2 / y ≥ 0 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≤ e − x x } 9. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x, donde . 10. Determine el volumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y" la región bajo la y = e −x ; x≥0. 11. Determine los valores de c, c > 0 , tal que el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del 1 exista. eje x, de la región limitada por el eje x, x ≥ 1 y la función f ( x) = xC curva 2 { } 2 12. Sea R la región definida por R = (x, y ) ∈ IR / ln x ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ e . Calcule si es posible: a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje θ = ln 2 r = 1 + cos θ y. 13. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por: a) Una parte de la recta b) El tramo de la cardioide −θ c) La espiral r = 2e , 104 para 0 ≤ θ ≤ ln 2 π ≤ θ ≤ 2π , y Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES. Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares 77 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto. Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando ( ) el par ordenado r ,θ , en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones: ⎧ 2 2 ⎪r = x + y De rectangulares a polares: ⎨ ⎪θ = arctg y x ⎩ ⎧ x = r cos θ De polares a rectangulares: ⎨ ⎩ y = r sen θ Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1) SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos: 78 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares ⎧r = 1 2 + 1 2 = 2 ⎪ Utilizando las transformaciones ⎨ π ⎪θ = arctg 11 = 4 ⎩ Además se podría utilizar otras equivalencias polares: ( 2 , π4 ) = ( 2 ,−7 π4 ) = (− 2 ,5 π4 ) = (− 2 ,−3 π4 ) (Analícelas) Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama π “Eje 2 ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”. 79 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 105D 120D Eje π 75D 60D 2 45D 135D 30D 150D 15D 165D Eje Polar 180D Polo 195D 345D 330D 210D 225D 315D 240D 255D 270D 300D D 285 Ejercicios propuestos 4.1 1. 2. 3. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 . π b. (3,0) a. (1, ) 2 2π c. (4,− ) d. (−1, π) 3 3π e. (−2, ) 2 Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. π e. (4,3π) a. ( 2 , ) 4 π 2π b. (−1, ) f. (2, ) 3 3 7π 5π g. (−2,− ) c. (4,− ) 6 3 5π 3 3π d. ( , ) h. (−4, ) 4 2 2 Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. (−1,1) b. (2 3 ,−2) c. (−1,− 3 ) 4. 80 d. (3,4) (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. π π π π 3π c. (1, ) − (1, ) b. ( 2 , ) − (1,4π) a. (1, ) − (3, ) . 4 4 3 6 6 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 4.2 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen(θ) = 2 b. r = 2 sen(θ) 1 d. r 2 = sen(2θ) c. r = 1 − cos(θ) e. r 2 = θ 2. f. r = Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. a. y = 5 e. y = x + 1 b. x 2 + y 2 = 25 c. 2 xy = 1 d. b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 3. 3 2 − 4 cos(θ) f. x 2 = 4 y g. x 2 − y 2 = 1 h. y = x2 4p Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. r= 6 cos θ 6 r= sen θ r = 6 cos θ r = 3 + 3 cos θ r = 6 + 3 cos θ r = 3 + 6 cos θ r= 9 3 + 3 cos θ 9 r= 6 + 3 cos θ 9 r= 3 + 6 cos θ 81 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico. 4.3.1 RECTAS 4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx Realizando las transformaciones respectivas: y = mx r sen θ = m r cos θ sen θ =m cos θ tg θ = tg φ Resulta, finalmente: θ=φ Ejemplo Graficar θ = π 4 Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de π4 . Es decir: 82 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo. Observemos la siguiente representación gráfica: Del triangulo tenemos: cos(θ − φ) = d r Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería: r= d cos(θ − φ) Ejemplo Graficar r = cos(θ − π6 ) 4 83 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es π6 . ES decir: Ahora veamos casos especiales: 1. Si φ = 0 D entonces la ecuación resulta r = vertical. Al despejar resulta r cos θ = d 2. Si φ = π 2 es decir x = d . entonces la ecuación resulta: r= d d d = = π π π cos(θ − 2 ) cos θ cos 2 + sen θ sen 2 sen θ Una recta horizontal. 84 d . Una recta cos θ Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 3. Si φ = π entonces la ecuación resulta: r= d d d = = cos(θ − π ) cos θ cos π + sen θ sen π − cos θ Una recta vertical. 4. Si φ = 3 π2 entonces la ecuación resulta: r= d d d = = cos(θ − 3 π2 ) cos θ cos 3 π2 + sen θ sen 3 π2 − sen θ Una recta horizontal. 4.3.2 CIRCUNFERENCIAS 4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x2 + y 2 = a2 Aplicando transformaciones tenemos: x2 + y2 = a2 (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = a 2 r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = a 2 ( ) r 2 cos 2 θ + sen 2 θ = a 2 r =a 2 2 Resultando, finamente: r=a 85 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo Graficar r = 2 SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2. 4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto (a, φ) Observemos el gráfico: De allí obtenemos el triángulo: 86 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: a 2 = r 2 + a 2 − 2ar cos(θ − φ ) r 2 = 2ar cos(θ − φ ) Resultando, finalmente: r = 2a cos(θ − φ) Ejemplo ( Graficar r = 4 cos θ − π3 ) SOLUCIÓN: ( ) Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto 2, π3 . Por tanto su gráfico es: ( Casos especiales, serían: ) 1. Si φ = 0 D tenemos r = 2a cos θ − 0 D = 2a cos θ Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: r = 2a cos θ r = 2a x r 2 r = 2ax x 2 + y 2 = 2ax (x ) − 2ax + a 2 + y 2 = 0 + a 2 (x − a ) 2 2 + y2 = a2 87 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Una circunferencia con centro el punto (a,0) y radio r = a 2. Si φ = π tenemos r = 2a cos(θ − π) = −2a cos θ Una circunferencia con centro el punto (− a,0) y radio r = a 3. Si φ = π 2 tenemos r = 2a cos(θ − π2 ) = 2a sen θ Una circunferencia con centro el punto (0, a ) y radio r = a 88 Moisés Villena Muñoz 4. Si φ = 3 π2 tenemos r = 2a cos(θ − 3 π2 ) = −2a sen θ Coordenadas Polares Una circunferencia con centro el punto (0,− a ) y radio r = a 4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo Observe la figura. Se define a la parábola ( e = 1 ), a la elipse ( 0 < e < 1 ) y a la hipérbola ( e > 1 ) como el conjunto de puntos del plano tales que: d ( P, F ) = e d ( P, l ) 89 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Entonces: d ( P , F ) = e d ( P, l ) r = e[d − r cos(θ − φ)] r = ed − er cos(θ − φ) r + er cos(θ − φ) = ed r [1 + e cos(θ − φ)] = ed ed r= 1 + e cos(θ − φ) Casos especiales son: r= 1. Si φ = 0 D tenemos ed 1 + e cos θ ed r= 2. Si φ = π tenemos 1 − e cos θ ed π r= 3. Si φ = tenemos 1 + e sen θ 2 ed π r= 4. Si φ = 3 tenemos 1 − e sen θ 2 Ejemplo 1 Graficar r = 6 1 + cos θ SOLUCIÓN: En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y paralela al eje 90 π ). Parábola cóncava a la izquierda. 2 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 2 Graficar r = 6 1 − cos θ SOLUCIÓN: Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ x = −6 " (a la izquierda y paralela al eje π 2 ). Cóncava hacia la derecha. Ejemplo 3 Graficar r = 6 1 + sen θ SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar). Cóncava hacia abajo. 91 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 4 Graficar r = 6 1 − sen θ SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = −6 (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba. Ejemplo 5 Graficar r = 6 1 + 1 cos θ 2 SOLUCIÓN: En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el 2 polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: r= 92 12 ¿Por qué? 2 + cos θ Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 6 Graficar r = 6 1 − 1 cos θ 2 SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. Ejemplo 7 Graficar r = 6 1 + 1 sen θ 2 SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje π hacia abajo. 2 93 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 8 Graficar r = 6 1 − 1 sen θ 2 SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje π hacia arriba. 2 Ejemplo 9 Graficar r = SOLUCIÓN: 6 1 + 2 cos θ En este caso " e = 2 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su derecha en el eje polar. 94 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 10 Graficar r = 6 1 − 2 cos θ SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. Ejemplo 11 Graficar r = SOLUCIÓN: 6 1 + 2 sen θ Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje π hacia arriba. 2 95 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 12 Graficar r = SOLUCIÓN: 6 1 − 2 sen θ Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje π hacia abajo. 2 4.3.4 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cos θ o de la forma r = a ± b sen θ Consideremos tres casos: 1. Si a = b se llama CARDIOIDES Ejemplo 1 Graficar r = 6 + 6 cos θ Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) = f ( −θ) 96 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 2 Graficar r = 6 − 6 cos θ Ejemplo 3 Graficar r = 6 + 6 sen θ Ejemplo 4 Graficar r = 6 − 6 sen θ 97 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 2. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO Ejemplo 1 Graficar r = 6 + 3 cos θ Ejemplo 2 Graficar r = 6 − 3 cos θ Ejemplo 3 Graficar r = 6 + 3 sen θ Esta gráfica presenta simetría al eje 98 π , es decir: 2 f (π − θ) = f (θ) Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 4 Graficar r = 6 − 3 sen θ 3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO Ejemplo 1 Graficar r = 3 + 6 cos θ Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. Ejemplo 2 Graficar r = 3 − 6 cos θ 99 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 3 Graficar r = 3 + 6 sen θ Ejemplo 4 Graficar r = 3 − 6 sen θ 4.3.5 ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma r = a cos (n θ ) o r = a sen (n θ ) para n > 1 ∧ n ∈ N De aquí consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de 2 n petálos 100 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo Graficar r = 4 sen (2 θ ) SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos 2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos Ejemplo Graficar r = 4 cos (3θ ) SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos 101 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.3.6 LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma r 2 = a cos 2 θ o de la forma r = a sen 2 θ 2 Ejemplo 1 2 Graficar r = 4 cos 2 θ Ejemplo 2 Graficar r 2 = − 4 cos 2 θ 102 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares Ejemplo 3 2 Graficar r = 4 sen 2 θ 4.3.7 ESPIRALES Consideramos dos tipos: 4.3.7.1 Espiral de Arquímedes. Su ecuación polar es de la forma r = a θ Ejemplo Graficar r = 2 θ 103 Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.3.7.2 Espiral de Logarítmica. Su ecuación polar es de la forma r = ae bθ Ejemplo Graficar r = 2e 3θ Ejercicios propuestos 4.3 1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 11. 1. r =5 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 104 π θ= 4 r = 2 sen(θ) r = − cos(θ) r = −3 cos(θ) 2 r= 1 − sen(θ) 2 r= 2 − sen(θ) r= 2 1 − 2 sen(θ) r = 1 − 2 cos(θ) r = 3 + 2 sen(θ) 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. r = 2 − 4 sen θ ; r = 3(1 − cos(θ)) r = 2 + 4 sen(θ) r − 2 + 5 sen(θ) = 0 r = sen(3θ) r = sen(5θ) r = 2 cos(4θ) 0≤θ≤π r 2 = 4 cos(2θ) r 2 = 3 sen(2θ) r = −6 cos(3θ) r = − 4 sen 3θ r = θ, θ > 0 r = sen(θ) + cos(θ) sen(θ) + cos(θ) = 0 ⎧ r = 3 cos θ Graficar en un mismo plano ⎨ y determine los puntos de intersección. ⎩ r = 1 + cos θ ⎧ r = 3 sen θ Graficar en un mismo plano ⎪ y determine los puntos de intersección. ⎨ ⎪⎩ r = 1 + cos θ ⎧ r 2 = − 8 cos 2 θ Graficar en un mismo plano ⎪ y determine los puntos de intersección. ⎨ ⎪⎩ r = 2 3 ⎧ r= Graficar en un mismo plano ⎪ + senθ y determine los puntos de intersección. 2 ⎨ ⎪ r = 4 + 4 senθ ⎩ Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4 cos(2θ ) y exterior a r = 2 ⎧r ≤ 2sen3θ , determine Ap ( r ,θ ) ⎩r ≥ 1 Sea p ( r ,θ ) : ⎨ Moisés Villena Muñoz Cónicas 3 3 .1 3 .2 3 .3 3 .4 Cir cu n fe r e n cia Pa r á bola Elipse H ipe r bola Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Identifique, grafique y determine los elementos de una cónica conociendo su ecuación general. • Dado elementos de una cónica encuentre su ecuación. • Resuelva problemas de aplicación empleando teoría de cónicas 49 Moisés Villena Muñoz Cónicas Las cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuando un doble cono se interseca con planos. No estamos interesados en los lugares geométricos de \ , 2 estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en \ . Se obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano. 3 Descubriremos que la ecuación de una cónica, tiene la forma: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos, y E = 0 . 3.1. Circunferencia 3.1.1. Definición. Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a O es igual a “ r ”. Es decir: Circunferencia = { P ( x, y ) / d ( P, O) = r} Al punto “ O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia. 50 Moisés Villena Muñoz Cónicas 3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia Supongamos que O tiene coordenadas ( h, k ) y P (x, y ) r O(h, k ) x La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 , entonces, tenemos: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Ecuación canónica de una circunferencia. Para r 2 > 0 . Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación: x2 + y2 = r 2 Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen: y y = x2 − r 2 O (0,0 ) x r y = − x2 − r 2 51 Moisés Villena Muñoz Cónicas Despejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior. Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O ( 4, 2 ) y radio 3 SOLUCIÓN: Reemplazando en ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 tenemos: ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 32 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 9 La ecuación canónica pedida. Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior ( x − 4) + ( y − 2) = 3 , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se obtiene: 2 2 2 x 2 − 4 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 = 9 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 16 + 11 = 0 Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá la forma: x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0 O también: Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0 Esta última ecuación es llamada CIRCUNFERENCIA. ECUACIÓN GENERAL DE UNA Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios cuadrados perfectos. 52 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados (x 2 ) ( ) − 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9 ( x − 2) + ( y + 3) = 25 2 2 Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3) r =5 C (2,−3) No toda ecuación de la forma representará una circunferencia. Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0 Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2 = 0 , es 2 2 decir resulta ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h, k ) . ¿Por qué? Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué? Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 2 ) , ( 3, 0 ) y ( 3 + 3,3 ) Solución: Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso empleamos la ecuación general x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0 . Reemplazando las coordenadas de los puntos dados: 53 Moisés Villena Muñoz Cónicas ⎧2 2 ⎪1 + 2 + C´(1) + D (´2 ) + F´= 0 ⎪ 2 2 ⎨3 + 0 + C´( 3) + D´( 0 ) + F´= 0 ⎪ 2 ⎪ 3 + 3 + 32 + C´ 3 + 3 + D´( 3) + F´= 0 ⎩ ( ) ( ) Resolviendo simultáneamente el sistema: ⎧ ⎪C´+2 D + F´= −5 ⎪ ⎨3C´ + F´= −9 ⎪ 2 ⎪ 3 + 3 C´+3D´+ F´= − 3 + 3 − 9 ⎩ En la segunda ecuación se obtiene F ´= −9 − 3C´ Reemplazando en la primera: C´+2 D´+ F ´= −5 C´+2 D´−9 − 3C´= −5 −2C´+2 D´= 4 ( ) ( ) D´= 2 + C´ Reemplazando D´ y F ´ en la tercera ecuación: (3 + 3 ) C´+3D´+ F´= − ( 3 + 3 ) − 9 (3 + 3 ) C´+3 ( 2 + C´) + ( −9 − 3C´) = − (3 + 3 ) 2 3C´+ 3C´+6 + 3C´−9 − 3C´= −9 − 6 3 − 3 − 9 ( Entonces: 3C´+3C´= −18 − 6 3 ) ( 3 + 3 C´= −6 3 + 3 C´= −6 D´= 2 + C´ = 2−6 D´= −4 2 −9 ) F ´= −9 − 3C´ = −9 − 3 ( −6 ) y F ´= 9 Por tanto, la ecuación general de la circunferencia sería: x2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 = 0 Agrupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica: x2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 = 0 (x 2 − 6 x + 9 ) + ( y 2 − 4 y + 4 ) = −9 + 9 + 4 ( x − 3) 2 + ( y − 2) = 4 2 Ejercicios Propuestos 3.1 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: a. x2 + y 2 − 2x − 4 y + 1 = 0 b. 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y + 9 = 0 b. c. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 17 = 0 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0 2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 . Resp. (x + 3)2 + ( y − 2 )2 = 25 54 Moisés Villena Muñoz Cónicas 3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2 x − 3 y + 5 = 0 , y está centrada en el punto (−1,−2) Resp. 13x 2 + 13 y 2 + 26 x + 52 y − 16 = 0 4. La intersección de las rectas L1 : 2 x − y + 3 = 0 y L2 : 4 x + y − 2 = 0 es el centro de una circunferencia que es tangente a la recta L3 : x − y + 1 = 0 . Determine la ecuación de la ( Resp. x + circunferencia. ) + (y − 83 )2 = 121 72 1 2 6 5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación x 2 + y 2 − 6 x − 14 y − 111 = 0 conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas (172 , 72 ) . Resp. 6. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene los puntos ( 0,0 ) , (1, −1) y ( 9, −1) . 506 Resp. ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 41 2 2 7. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones y = x y x + y = 1 y que contiene al punto ( 2, 2 ) . Resp. ( x − 52 ) + ( y + 12 ) = 2 2 9 2 3.2. Parábola 3.2.1. Definición Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P ( x, y ) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir: Parábola = {P ( x, y ) / d ( P, F ) = d ( p, l )} Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola. 3.2.2 Ecuación canónica Supongamos que F tiene coordenadas ecuación y = − p con p > 0 . Observe la gráfica: (0, p ) y la recta l tiene y d ( p, F ) P ( x, y ) F (0, p) p V (0,0) l d ( p, l ) x −p y = −p 55 Moisés Villena Muñoz Cónicas Observe que d ( P, F ) = ( x − 0) 2 + ( y − p ) 2 y que d ( P, l ) = y + p . Igualando distancias y resolviendo: d ( P, F ) = d ( P, l ) ( ( x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = y + p ( x − 0) 2 + ( y − p ) 2 ) = ( y + p) 2 2 x 2 + y 2 − 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p 2 x 2 = 4 py Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0 ) . A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y . Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se denomina lado recto y tiene una medida de 4 p . ¡Demuéstrele! Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos V ( h, k ) , entonces su ecuación sería: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) Y su gráfico sería: y P ( x, y ) F ( h, k + p ) p V ( h, k ) p l y=k− p x Para otros casos, tenemos: ( x − h) 2 = −4 p ( y − k ) 56 Moisés Villena Muñoz Cónicas Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo. y Eje focal y=k+p directriz l p V (h, k ) p foco F ( h, k − p) x Si la parábola tiene ecuación ( y − k ) = 4 p ( x − h) , Su eje focal será horizontal y además será cóncava hacia la derecha: 2 y l x = h− p p V ( h, k ) p F (h + p, k ) x Si la parábola tiene ecuación ( y − k ) = −4 p ( x − h) . Su eje focal será horizontal , pero ahora será cóncava hacia la izquierda: 2 57 Moisés Villena Muñoz Cónicas y x=h+ p p l p F ( h − p, k ) V (h, k ) x La ecuación general de esta cónica será de la forma Ax + By 2 + Cx + Dy + F = 0 con A = 0 o B = 0 pero no ambos. Es decir 2 tendremos ecuaciones de la forma Ax + Cx + Dy + F = 0 o de la forma 2 By 2 + Cx + Dy + F = 0 , según sea la dirección del eje focal. O más simplemente x + C´x + D´ y + F ´= 0 2 y 2 + C´x + D´ y + F ´= 0 Ejemplo 1 Graficar la parábola que tiene por ecuación 4 x 2 − 20 x − 24 y + 97 = 0 . Indique coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directriz. SOLUCIÓN: Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos: 4 x 2 − 20 x = −24 y − 97 4⎛ 2 25 ⎞ 24 97 25 + y− ⎜ x − 5x + ⎟ = 4⎝ 4 ⎠ 4 4 4 5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = 6 y − 18 2⎠ ⎝ 2 5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = 6( y − 3) 2⎠ ⎝ 2 Se deduce entonces que: 58 Moisés Villena Muñoz Cónicas 1. ⎛5 ⎞ La parábola tiene vértice V ⎜ ,3 ⎟ . ⎝3 ⎠ 2. El eje focal es paralelo al eje y 3. La parábola es cóncava hacia arriba 4. p= 3 debido a que 6 = 4 p . 2 Realizando su gráfica tenemos: p= p= 3 2 3 2 ⎛5 9⎞ F⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠ ⎛5 ⎞ V ⎜ ,3 ⎟ ⎝2 ⎠ y= 3 2 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas (−3,−2) y directriz la recta con ecuación x = 1 . SOLUCIÓN En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano. directriz x =1 F (− 3,−2 ) p=2 V(−1− , 2) Eje focal Concluimos que: 1. El vértice debe tener coordenadas (−1,−2) 59 Moisés Villena Muñoz Cónicas 2. El eje focal es paralelo al eje x 3. La parábola es cóncava hacia la izquierda. 4. p = 2 , distancia del vértice al foco o distancia del vértice a la directriz. 5. La ecuación de trabajo es ( y − k ) 2 = −4 p ( x − h) Bien, reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos: ( y + 2) 2 = −4(2)( x + 1) y 2 + 4 y + 4 = −8 x − 8 8 x + y 2 + 4 y + 12 = 0 Ejemplo 3 Un puente colgante de 120m de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable está a 15m de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres. SOLUCIÓN: Primero hacemos una representación gráfica de la información proporcionada, trabajando en el plano cartesiano, es mejor poner el vértice en el origen: } y 120 m P (60, y ) y = 60 x V (0,0) Superficie terrestre La ecuación de la trayectoria sería: } 15m Directriz x 2 = 4(15) y x 2 = 60 y x 2 = 60 y Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y”: 60 2 = 60 y y = 60 h= y+ p Por lo tanto la altura de las torres sería: h = 60 + 15 h = 75m 60 y h x Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los puntos ( −1,5 ) , ( 3,1) y ( 7,5) . SOLUCIÓN: Ya que tiene eje focal vertical empleamos la ecuación x 2 + C´x + D´ y + F ´= 0 ¿Porqué?). Cómo los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer su ecuación. Reemplazando y simplificando: ⎧( −1)2 + C´( −1) + D´( 5 ) + F ´= 0 ⎧−C´+5 D´+ F ´= −1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨( 3) + C´( 3) + D´(1) + F´= 0 ⇒ ⎨3C´+ D´+ F ´= −9 ⎪ 2 ⎪7C´+5D´+ F´= −49 ⎩ ⎪⎩( 7 ) + C´( 7 ) + D´( 5 ) + F ´= 0 Resolviendo el sistema simultáneo se obtiene: C´= −6 , D´= −4 y F ´= 13 Por tanto la ecuación buscada sería: x 2 + −6 x − 4 y + 13 = 0 Ejercicios Propuestos 3.2 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. b. c. x2 − 2x − 4 y + 1 = 0 2 y2 − 2x − 2 y + 9 = 0 y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0 d. − x 2 − 4 x − 6 y + 17 = 0 2. Determine la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta definida por y = 1 , contiene al punto (0,3) y la menor distancia entre la parábola y la directriz es igual a 2. Resp. x 2 = 8( y − 3) 3. Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación y + 2 = 0 y los extremos del lado recto son los puntos A(0,2) y B(8,2) . Resp. (x − 4)2 = 8 y 4. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los 2 3 1 Resp. x − 78 = 34 y + 49 puntos: (0,0), (1,−1), ( ,− ) 48 2 2 5. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es horizontal. ( ) ( ) 25 Resp. ( y + 85 ) = − 14 ( x − 16 ) 2 6. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal horizontal contiene los puntos: (−1,−1), (0,1), (1,0) ( Resp. y − 16 )2 = − 23 (x − 254 ) 25 Resp. ( x − 16 ) = − 32 ( y − 24 ) 7. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es vertical. 2 61 Moisés Villena Muñoz Cónicas 3.3. Elipse 3.3.1 Definición. Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el conjunto de puntos P( x, y) tales que la suma de su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a . Es decir: Elipse= {P( x, y ) / d (P, F1 ) + d (P, F2 ) = 2a} A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y “ a ” representa la medida del semieje mayor de la elipse. Sean F1 (− c,0) y F2 (c,0) , observe el gráfico: 3.3.2 Ecuación Canónica y P(x, y) b V1 (− a,0) c F1 (−c,0) c F2 (c,0) O (0,0) V2 (a,0) Eje focal a x a b d (P, F2 ) + d ( P, F1 ) = 2a De la definición tenemos: ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 + ( x + c) 2 + ( y − 0) 2 = 2a Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: 62 Moisés Villena Muñoz ( ( x − c) 2 + y2 ) = (2a − ( x + c) 2 + y 2 2 ) Cónicas 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 4a (x + c )2 + y 2 = 4a 2 + 4cx Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: (a ( x + c) 2 + y 2 [ a [x ) = (a ] 2 2 + cx ) 2 a 2 ( x + c ) 2 + y 2 = a 4 + 2a 2 c + c 2 x 2 2 2 ] + 2cx + c 2 + y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2c 2 (a 2 ) ( Dividiendo para a a − c 2 ( − c2 x2 + a2 y2 = a2 a2 − c2 2 2 ) ) x 2 (a 2 − c 2 ) a2 y2 a 2 (a 2 − c 2 ) + = a 2 (a 2 − c 2 ) a 2 (a 2 − c 2 ) a 2 (a 2 − c 2 ) x2 y2 + =1 a2 a2 − c2 Finamente, llamando b 2 = a 2 − c 2 tenemos: x2 y2 + =1 a2 b2 Ecuación canónica de la elipse con centro O(0,0) y eje focal horizontal “ b ” representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica anterior. Aquí el lado recto tiene dimensión 2b 2 . ¡Demuéstrelo! a Para los casos generales tenemos: Suponga que el vértice es el punto V ( h, k ) , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación sería: (x − h ) 2 a2 (y − k ) + 2 b2 =1 Y su gráfica sería: 63 Moisés Villena Muñoz Cónicas y V1 (h − a, k ) F1 (h − c, k ) F2 (h + c, k ) O(h, k ) V2 (h + a, k ) x Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término que 2 tiene el mayor denominador, es este caso ese sería el valor de “ a ”. Observe también que a > b . (y − k ) (x − h ) + Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: 2 a2 2 b2 =1 Y su gráfica sería: y V2 (h, k + a ) F2 ( h, k + c) a c O (h, k ) b b c F1 (h, k − c) a V1 (h, k − a) x 64 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo 1 Graficar la Elipse que tiene por ecuación 25 x 2 + 16 y 2 + 100 x − 96 y − 156 = 0 . Indique todos sus elementos. Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados ( ) ( ) 25 x 2 + 4 x + 4 + 16 y 2 − 6 y + 9 = 156 + 100 + 144 25(x + 2 ) + 16( y − 3) = 400 2 2 Ahora dividimos para 400 25(x + 2 )2 16( y − 3) 400 + = 400 400 400 2 (x + 2)2 + ( y − 3)2 16 25 =1 Centro 0(−2,3) La última ecuación nos indica que la elipse tiene: 1. 2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que contiene a “ y ” Entonces a 2 = 25 ⇒ a = 5 3. b 2 = 16 ⇒ b = 4 4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c . c = a2 − b2 c = 25 − 16 c= 9 c=3 Por lo tanto la gráfica sería: y Eje Focal V1 (−2,8) F1 ( −2,6) O(−2,3) F2 (−2,0) x V2 (−2,2) 65 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos son los puntos de coordenadas (0,.5 3 ) y (0,−5 3 ) . SOLUCIÓN: Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados. V1 (0,10) y F1 (0,5 3 ) O(0,0) F2 (0,−5 3 ) V2 (0,−10) Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que c = 5 3 . Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, entonces a = 10 Esto, nos permite calcular b : b2 = a 2 − c 2 ( ) b2 = (10 ) − 5 3 2 2 b2 = 100 − 75 b2 = 25 ⇒ b = 5 Finalmente la ecuación de la elipse sería: y2 x2 + =1 100 25 4 x2 + y 2 = 100 Ejemplo 3 Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos. Solución Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos: 66 Moisés Villena Muñoz Cónicas carro d V2 ( −5,0) b2 a O(0,0) F1 ( −4,0) V1 ( 5 , 0 ) F2 (4,0) La ecuación de la elipse sería: x2 y 2 + =1 52 32 2 2 2 Como a = 5 y b = 3 entonces c = a − b = 25 − 9 = 16 c=4 La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión del lado recto b2 9 = a 5 d c=4 Empleando el teorema de Pitágoras, resulta: d = 4 2 + ( 95 ) d= 2 481 5 Ejercicios Propuestos 3.3 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. 4 x 2 + 9 y 2 − 16 x + 18 y − 11 = 0 b. 9 x 2 + 4 y 2 + 18 x − 16 y − 11 = 0 2. Si los focos de una elipse son los puntos F1 = (−4,3), F2 = (2,3) y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la Resp. elipse. (x + 1)2 + ( y − 3)2 25 16 =1 3. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base tiene 30 m. y su parte más alta con respecto a la tierra es 10 m. Determine la altura del arco a 6 m. del centro de la Resp. h = 2 21 m base. 4. Determine los valores de elipse. k para que la ecuación x 2 + 2 y 2 + 2 x + 12 y = k describa una Resp. k > −19 67 Moisés Villena Muñoz Cónicas 5. La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica con excentricidad igual a 0.0172 y eje mayor de 299 × 106 Km. Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse , determine la mayor y la menor distancia entre la Tierra y el Sol. (NOTA: excentricidad e = c a ) Resp. d MAYOR = 152.0714 Km. d MENOR = 146.9286 Km. 3.4. Hiperbola 3.4.1 Definición. Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Hipérbola se define como el conjunto de puntos P( x, y) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a . Es decir: Elipse= {P( x, y ) / d (P, F1 ) − d (P, F2 ) = 2a} A F1 y F2 se les denomina focos de la hipérbola. Sean F1 (− c,0) y F2 (c,0) , observe el gráfico: 3.4.2 Ecuación Canónica y P(x, y) b F1 (−c,0) V1 (−a,0) V2 (a,0) F2 (c,0) O(0,0) b De la definición tenemos: d (P, F1 ) − d ( P, F2 ) = 2a ( x + c) 2 + ( y − 0) 2 − ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = 2a 68 x Moisés Villena Muñoz Cónicas Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: ( ( x + c) 2 + y2 ) = (2a + ( x − c) 2 + y 2 2 ) 2 ( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 + 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 (x − c )2 + y 2 4cx − 4a 2 = 4a Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes: (cx − a ) 2 2 ( = a ( x − c) 2 + y 2 [ = a [x ) 2 c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 ( x − c) 2 + y 2 c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 2 2 ] − 2cx + c 2 + y 2 ] c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 c 2 x 2 − a 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2c 2 − a 4 (c 2 ) ( ) − a2 x2 − a2 y2 = a2 c2 − a2 ( Dividiendo para a c − a 2 2 2 ) x 2 (c 2 − a 2 ) a2 y2 a 2 (c 2 − a 2 ) − = a 2 ( c 2 − a 2 ) (c 2 − a 2 ) a 2 (c 2 − a 2 ) x2 y2 − =1 a2 c2 − a2 Finamente, llamando b = c − a tenemos: 2 2 2 x2 y2 − = 1 Ecuación canónica de la hipérbola con centro O(0,0) a2 b2 y eje focal horizontal Aquí “ b ” representa la longitud del segmento anterior) llamado semieje conjugado. (Observe la gráfica Para los casos generales tenemos: Suponga que el vértice es el punto V ( h, k ) , y que el eje focal sea horizontal entonces su ecuación sería: (x − h ) 2 a2 (y − k ) − 2 b2 =1 Y su gráfica sería: 69 Moisés Villena Muñoz Cónicas y F1 (h − c, k ) V1 (h − a, k ) F2 (h + c, k ) O(h, k ) V2 ( h + a, k ) x OBSERVACIÓN: La dirección del eje focal esta indicada por el término 2 positivo y además sobre este término estará “ a ”. (y − k ) (x − h ) − Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: 2 a2 2 b2 =1 Y su gráfica sería: y Eje focal F2 (h, k + c) V2 (h, k + a ) O(h, k ) V1 (h, k − a) F1 (h, k − c) x 70 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo 1 Graficar la hipérbola que tiene por ecuación x 2 − 3 y 2 + 2 x + 6 y − 1 = 0 . Indique coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN: (x ) ( ) Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación: + 2x +1 − 3 y 2 − 2 y +1 = 1+1− 3 (x + 1) − 3( y − 1) = −1 3( y − 1)2 − (x + 1)2 = 1 ( y − 1)2 − (x + 1)2 = 1 2 2 1 3 2 1 Se concluye que: 1. 2. 3. La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a “y”. a 2 = 13 ⇒ a = b2 = 1⇒ b = 1 1 3 El valor de c se lo calcula empleando la fórmula c = c = a2 + b2 = 1 3 +1 = =2 4 3 a 2 + b 2 , es decir: 1 3 Por lo tanto su gráfica sería: Eje focal F1 = (−1, 1 + 2 V1 = (−1, 1 + V2 = (−1, 1 − 1 3 1 3 C (−1,1) 1 3 F2 = (−1, 1 − 2 1 3 Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica: 3 ( y − 1) − ( x + 1) = 0 2 2 3 ( y − 1) = ( x + 1) 2 3 ( y − 1) = 2 3 2 ( x + 1) 2 ( y − 1) = ± ( x + 1) ± ( x + 1) 2 y −1 = 3 y = 1± ( x + 1) 3 71 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de la cónica que tiene por focos los puntos (1,3) y (7,3) ; y por vértices los puntos (2,3) y (6,3) SOLUCIÓN: Representando los focos y vértices en el plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para plantear la ecuación buscada F1 (1,3) O(4,3) V1 (2,3) V2 (6,3) F2 (7,3) Del gráfico se observa que: 1. 2. 3. El centro tiene coordenadas 0(4,3) . El eje focal debe ser horizontal. a=2 y c=3 El valor de b se calcula empleando la formula b = c 2 − a 2 , es decir: b = c2 − a2 = 9 − 4 = 5 Ahora hallando la ecuación de la hipérbola, tenemos: ( x − 4 ) 2 − ( y − 3) 2 =1 5 5 x 2 − 8 x + 16 − 4 y 2 − 6 y + 9 = 20 ( 4 ) ( ) 5 x − 40 x + 80 − 4 y + 24 y − 36 − 20 = 0 2 2 5 x 2 − 4 y 2 − 40 x + 24 y + 24 = 0 Ejercicios Propuestos 3.4 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus elementos). a. b. 4 x 2 − 9 y 2 − 16 x + 18 y − 9 = 0 9 x 2 − 4 y 2 + 18 x − 16 y − 9 = 0 2. Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola definida por 4 x 2 − 3 y 2 + 8 x + 16 = 0 . Resp. x + 1 = ± 72 3 2 y Moisés Villena Muñoz Cónicas 3. Determine la ecuación de la recta que contiene al centro de la hiperbola cuya ecuación es 4 x 2 − y 2 + 32 x − 8 y + 49 = 0 y es perpendicular a la recta definida por la ecuación 2x − 9 y + 3 = 0 . Resp. 9 x + 2 y + 44 = 0 4. Determine la distancia entre − 9 x 2 + 18 x + 4 y 2 + 24 y = 9 los vértices de la cónica con ecuación Resp. 6 5. Si una hipérbola, una circunferencia de radio 5 y el rectángulo ABCD de lado AB = 6 , están ubicados en el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre los vértices de la hipérbola. Resp. d = 2 10 Otras regiones del plano, importantes a considerar, serían aquellas que están definidas por inecuaciones. Ejemplo 1 { } 2 Grafique la región del plano R = (x, y ) / y > x − 4 SOLUCIÓN: y y > x2 − 4 y = x2 − 4 x y < x2 − 4 73 Moisés Villena Muñoz Cónicas { Ejemplo 2 } Grafique la región del plano R = (x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 4 y x2 + y2 = 4 x2 + y2 < 4 2 x x2 + y2 > 4 { Ejemplo 3 } Grafique la región del plano R = (x, y ) / x 2 − y 2 ≤ 1 y x2 − y2 < 1 x − y >1 2 74 2 x2 − y2 =1 1 x x2 − y2 > 1 Moisés Villena Muñoz Cónicas { Ejemplo 4 } Grafique la región del plano R = (x, y ) / x 2 − 4 ≤ y ≤ 2 x − 1 y = 2x − 1 (− 1,−3) Ejemplo 5 Grafique la región del plano R = {( x, y ) / − (3,5) y = x2 − 4 } 4 − x 2 ≤ y ≤ − 12 x + 2 y = − 12 x + 2 y = − 4 − x2 75 Moisés Villena Muñoz Cónicas Ejercicios Propuestos 3.5 1. Si p( x, y ) : x2 a2 − y2 b2 ≤ 1 , grafique Ap( x, y ) . 2. Grafique las regiones en el plano definidas por: 3x 2 + 5 y 2 ≤ 9 1. x 2 + y 2 ≥ 16 2. 3. x2 y2 + <1 18 9 x2 y2 − ≥ −1 25 100 4. 3. Grafique en el plano el conjunto solución de los siguientes sistemas: 1) ⎧⎪ x 2 + y 2 ≤ 16 ⎨ ⎪⎩ x + y ≥ 2 ⎧⎪ x 2 + y 2 > 1 ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 < 4 2) Misceláneos 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (indique vértices, focos, centros asíntotas) 1. y 2 + 4 y − 6 x + 22 = 0 8. ( y − 1) 2 = 2 x + 4 3. x 2 + y 2 − 12 x − 12 y + 36 = 0 10. 2. 3x 2 − 5 y 2 + 6 x + 10 y = 32 4. 5. 9. x 2 −4 x − 4 y = 0 x 2 + 3y 2 + 6x + 6 = 0 11. x 2 + y 2 + 4x − 3 y + 9 = 0 12. 6. 9 x 2 − 4 y 2 − 54 x + 8 y + 113 = 0 7. 13. 4 x 2 + 9 y 2 − 8 x = 32 x 2 − 4 x + y 2 − 16 y + 4 = 0 25 x 2 + 16 y 2 + 100 x − 96 y − 156 = 0 y 2 − 4 y − 8 x + 28 = 0 4 x 2 − 3 y 2 + 8 x + 16 = 0 2. Califique como Verdadera o falsa cada una de las proposiciones. Justifique formalmente su respuesta. a. La ecuación x 2 + y 2 + ax + by = c representa una circunferencia para todos los números reales diferentes de cero a,b,c. b. La distancia entre los focos de la gráfica de x2 a 2 + y2 b2 = 1 es 2 a 2 − b 2 c. La ecuación x 2 + y 2 − 2kx + 4 = 0 describe una circunferencia si y sólo si k ∈ (−∞,−2 ) ∪ (2,+∞ ) d. El vértice de una parábola es el foco de la otra parábola y viceversa, si la ecuación de una de ellas es y 2 − 2 y − 4 x + 1 = 0 , entonces la ecuación de la otra parábola es y2 + 2 y + 2x − 4 = 0 2 e. La cónica de ecuación y = x + 2 x − 1 , tiene su foco en (1, 0 ) . f. Sea la parábola P , cuya ecuación es P : 2 y 2 − 3 y + 5 x + 2 = 0 , su foco tiene por ⎛ 107 3 ⎞ coordenadas F0 ⎜ − , ⎟ ⎝ 40 4 ⎠ g. Sea la ecuación Ax 2 − 2 y 2 + 3 x − 2 y = 0 con Re = \ ; ∀A > 0 , la ecuación describe una hipérbola. h. 3. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el vértice de la parábola que tiene por ecuación x + 3 y 2 − y = 0 , y contiene al foco de la misma. ( 1 Resp. x − 12 76 )2 + (y − 16 )2 = 1441 Moisés Villena Muñoz Cónicas 4. 5. Una circunferencia tiene por ecuación x 2 + ( y − 2)2 = 1 . La recta de ecuación y = kx donde k ∈ R , es tangente a la circunferencia. Halle todos los valores posibles de k . Resp. k = ± 3 Determine la ecuación del conjunto de puntos P( x, y ) tales que la suma de la distancia de P a los puntos (−4,0) y (4,0) es 14. Resp. 6. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x, y ) tales que la distancia al punto (1,−3) es dos veces la distancia a la recta definida por la ecuación x − 4 = 0 . Resp. 7. x2 y2 + =1 49 33 (x − 5)2 − ( y + 3)2 4 12 =1 Un avión sigue una trayectoria tal que su distancia a una estación de radar situada en el punto (2,0) es igual a un tercio de su distancia a una carretera que sigue el trayecto de la recta definida por x = −2 . Determine la ecuación de la trayectoria que sigue el avión. 2 ( x − 52 ) y2 Resp. + =1 9 4 8. 2 Determine la ecuación del lugar geométrico compuesto de puntos P( x, y ) que cumplen con la condición de que su distancia al eje ‘y’ es el doble que su distancia al punto (2,-3). Resp. 3x 2 + 4 y 2 − 16 x + 24 y + 52 = 0 9. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un tercio de su distancia al punto (4,1). Determine la ecuación del lugar geométrico, Resp. 8 x 2 + 8 y 2 − 28 x + 38 y + 55 = 0 10. Determine la ecuación general del lugar geométrico definido por el conjunto de puntos (x, y ) ubicados en el plano tales que la distancia al punto (−1,−2) es el doble de la distancia a la recta definida por la ecuación x − 3 = 0 . Resp. 3x 2 − y 2 − 26 x − 4 y + 31 = 0 11. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la distancia a la recta x + 3 = 0 es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto (1,1). Resp. y 2 − 2 y − 4 x + 1 = 0 ⎧⎪ x 2 + 4 y 2 − 25 = 0 hallar Ap( x, y ) . 12. Sea p( x, y ) : ⎨ ⎪⎩2 x 2 − 2 y 2 − 5 = 0 Resp. Ap( x, y ) = {( 7 , )( )( )( 2 , 7 ,− 32 2 , − 7 , 32 2 , − 7 ,− 32 2 3 2 )} ⎧⎪ x 2 + y 2 = 4 13. Hallar los valores de ‘b’ para los cuales el sistema: ⎨ tiene solución única. ⎪⎩ y = x + b Resp. b = ±2 2 ⎧⎪ y 2 − 8 y − a1 x + 3a1 + 16 = 0 14. Sea el sistema ⎨ , a1 , a 2 ∈ R + . Encuentre los valores de 2 ⎪⎩ y − 8 y − a 2 x − 2a 2 + 16 = 0 a1 , a 2 para que el sistema tenga solución en R 2 . Resp. a1 > a2 > 0 15. Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas (realice las respectivas gráficas) 1. ⎧⎪ y = x 2 ⎨ ⎪⎩ y = 2 x + 3 3. ⎧⎪ yx 2 = 20 ⎨ ⎪⎩ y = 9 − x 2 77 Moisés Villena Muñoz Cónicas 2. ⎧ x 2 + y 2 = 25 ⎨ 2 ⎩x − 6 y = 9 Resp. 4. ⎧⎪ x 2 + y 2 = 12 ⎨ 2 ⎪⎩ x − y 2 = 4 1. Ap( x, y ) = {(3,9), (− 1,1)} {( 21,2), (− 21,2)} { ( ) ( )} 4. Ap( x, y ) = {(2 2 ,2), (2 2 ,−2 ), (− 2 2 ,2 ), (2 2. Ap( x, y ) = 3. Ap( x, y ) = (2,5), (− 2,5), 5 ,4 , − 5 ,4 )} 2 ,−2 16. Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto (-1,6) y es tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 3 = 0 . 2 x − 3 y + 20 = 0 3 17. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente − y es tangente al lugar geométrico 2 Resp. que tiene por ecuación 4 x 2 + 4 y 2 + 8 x + 4 y − 47 = 0 . Resp. y = − 32 x + 92 o y = − 32 x − 172 18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta que tiene por ecuación x + 4 y + 31 = 0 y es tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación x 2 + y 2 + 6x − 8 = 0 . Resp. y = − 14 x + 7 2 o y = − 14 x − 5 19. Determine la ecuación de la recta l que contiene al centro de la elipse de ecuación 4 x 2 + 9 y 2 + 8 x − 36 y + 4 = 0 y contiene al foco de la parábola de ecuación x2 − 6x − 4 y + 5 = 0 . Resp. x + 2 y − 3 = 0 20. Determine la ecuación de la parábola que es cóncava hacia arriba y contiene tres de los 2 2 vértices de la elipse cuya ecuación es 9 x + 4 y = 36 . Resp. x 2 = − 4 ( y − 3) 3 21. Determine el valor de la distancia mínima entre la circunferencia C y la recta L , si sus ecuaciones son respectivamente C : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 4 = 0 y L : x − 2 y − 6 = 0 . 11 −1 Resp. d = 5 22. Dadas una circunferencia C y una elipse E que son concentricas de las cuales se conoce la ecuación de la elipse E : 9 x 2 + 16 y 2 + 18 x − 64 y − 62 = 0 y que C es tangente al eje , determine la ecuación de C . Resp. ( x + 1) + ( y − 2 ) = 22 2 2 23. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = r 2 , en el punto ( x1 , y1 ) perteneciente a la circunferencia es: x1 x + y1 y = r 2 . 78