Tema1 numeros complejos

Introducción histórica
Concepto y propiedades
Formas de representación
Operaciones
Tema 1: Números complejos
Matemáticas I
Grados en Ingeniería
Tema 1: Números complejos
Introducción histórica
Concepto y propiedades
Formas de representación
Operaciones
Contenidos
1
Introducción histórica
2
Concepto y propiedades
3
Formas de representación
4
Operaciones
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Introducción histórica
Concepto y propiedades
Formas de representación
Operaciones
Siglo I a.C.: Herón de Alejandría y las pirámides
Siglo XVI: Cardano en su Ars Magna resalta la
resolución de ecuaciones de grados 2 y 3.
Siglo XVII: Descartes crea el término de número
imaginario.
Redescubierto por Gauss 100 años después.
1777: Euler desarrolla la teoría y concepto de unidad
imaginaria.
Se usan en Matemáticas, Física e Ingeniería. Importantes
aplicaciones en corriente eléctrica y ondas electromagnéticas.
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Operaciones
Clasicación de los distintos conjuntos numéricos:
x + 3 = 8,
x = 5,
num.
x + 3 = 1,
x = −2,
2x = 5,
5
x= ,
2
x2 = 2,
√
x = ± 2,
num.
num.
naturales
N
enteros
Z
racionales
num.
reales
Q
R
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Operaciones
R=Q∪I
donde
e,...
I
es el conjunto de los números irracionales:
(innitas cifras decimales).
x2
Observemos que la ecuación
R.
+1=0
√
2, π ,
no tiene solución en
Cardano en el siglo XVI representó por
i
(unidad
imaginaria) a la solución de esta ecuación. Así,
i2 = −1
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Operaciones
Denición (número complejo)
Un número complejo
x
e
y
escrito como
Diremos que
z es un par ordenado de números reales
z = (x, y) en el que Re(z) = x, Im(z) = y .
(x, y) son
z.
las coordenadas cartesianas del
número complejo
Ejemplo
z = (1, 2).
La parte real de
z
es 1 y la parte imaginaria es
Notación
Denotaremos el conjunto de los números complejos como
C = {(x, y) | x, y ∈ R}.
Denición (unidad imaginaria)
El número complejo
(0, 1)
se llama unidad imaginaria y se
denota por i.
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2.
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Operaciones
Ejemplo
i2 = −1,
Así,
√
−4 =
i=
√
−1
√ √
4 −1 = ±2i
Ahora podemos resolver ecuaciones de 2o grado como
x2 + 8x + 25 = 0
√
√
−8 ± −36
−8 ± 6i
−8 ± 64 − 4 · 25
=
=
= −4 ± 3i
x=
2
2
2
Las soluciones son los números complejos (−4, 3) y (−4, −3).
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Operaciones
Denición (forma binómica)
Un número complejo
binómica como
z = (x, y)
z = x + iy .
se puede expresar en forma
Ejemplo
z = (1, 2), z = 1 + 2i
Nota
z = x + iy . Si y = 0, entonces z = x ∈ R (número
x = 0, entonces z = iy (número imaginario puro).
Sea
Si
real).
Denición (módulo)
El módulo
pde un número complejo z = x + iy se dene como
|z| = r = x2 + y 2 . Siempre es un número real positivo.
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Denición (ajo)
Un número complejo
vector con origen en
z = x + iy se representa mediante
O(0, 0) y extremo en P (x, y). Esta
un
representación se denomina ajo del número complejo.
Denición (argumento)
El argumento de un número complejo z = x + iy se dene
y
como arg(z) = θ = arctg x . Es el ángulo que forma el ajo
con OX + .
Nota
Por la periodicidad de la función tangente, tendremos que
vericar el correcto argumento con la representación del
número complejo.
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Operaciones
Ejemplo
Calcular módulo y argumento de
|z| =
p
√
12 + 12 = 2,
z = 1 + i.
1
arg(z) = arctg( ) = arctg(1)
1
tg( π4 ) = tg( 5π
4 ) = 1. Como el ajo
π
encuentra en el primer cuadrante, arg(z) = 4 .
5π
Observemos que arg(−1 − i) = 4 .
Observemos que
de
z
se
Usando el módulo y argumento podemos dar nuevas formas
de representación de un número complejo.
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Formas de representación
Operaciones
Formas polar, trigonométrica y exponencial
Dado un número complejo
z
de módulo
r
y argumento
θ,
se
denen las formas:
Polar:
z = rθ
Trigonométrica:
Exponencial:
z = r(cos(θ) + isen(θ))
z = reiθ
Fórmula de Euler
Igualando las formas trigonométrica y exponencial se obtiene
eiθ = cos(θ) + isen(θ)
En particular, para
θ = 2π ,
obtenemos
e2πi − 1 = 0
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Operaciones
Cartesiana Binomica P olar
(1, −1)
√
3−i
3 π4
T rigonometrica
2(cos( π3 ) + isen( π3 ))
Fórmulas de cambio de binómica a polar:
r=
p
x2 + y 2 ,
y
θ = arctg( )
x
Fórmulas de cambio de polar a binómica:
x = r cos(θ),
y = r sen(θ)
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Exponencial
4eiπ
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Operaciones
SOLUCIÓN:
Cartesiana
(1, −1)
√
( 3, −1)
√
√
(322, 322)
√
(1, 3)
(−4, 0)
Binomica
1−i
√
3−i
√
3 2
2
√
+ i322
√
1 + 3i
−4
P olar T rigonometrica
Expon.
√
√
√ i 7π
7π
7π
2 7π
2(cos( 4 ) + isen( 4 ))
2e 4
4
2 11π
6
3 π4
2 π3
4π
11π
6
11π
2(cos( 11π
6 ) + isen( 6 ))
2e
3(cos( π4 ) + isen( π4 ))
2(cos( π3 ) + isen( π3 ))
4(cos(π) + isen(π))
3ei 4
π
2ei 3
4eiπ
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π
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Operaciones
Sean
z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
Denimos:
Suma y resta
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 − z2 = (x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
Producto
z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 =
(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 )
Conjugado y opuesto
Dado un número complejo
Conjugado:
Opuesto:
z = x + iy ,
se denen:
z = x − iy
−z = −x − iy
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Formas de representación
Operaciones
Cociente
z1
z2
=
x1 +iy1
x2 +iy2
=
(x1 +iy1 )(x2 −iy2 )
(x2 +iy2 )(x2 −iy2 )
=
(x1 x2 +y1 y2 )+i(−x1 y2 +x2 y1 )
x22 +y22
Propiedades
Sea
z, z 0 ∈ C.
Se verican:
z=z
z=z⇔z∈R
|z| = |z|
z + z0 = z + z0
z · z0 = z · z0
z · z = |z|2
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Formas de representación
Operaciones
Potencias

1 si k = 0, 4, 8, 12, ...(k = 4n, n ∈ N)



i si k = 1, 5, 9, 13, ...(k = 2n + 1, n par)
ik =
−1
si k = 2, 6, 10, 14, ...(k = 2n, n impar)



−i si k = 3, 7, 11, 14, ...(k = 2n + 1, n impar)
Dado n ∈ Z, se dene la n-ésima potencia del número
complejo z = reiθ como z n = r n einθ .
Fórmula de Moivre
(cos(θ) + isen(θ))n = cos(nθ) + isen(nθ)
Operaciones en forma polar
Sean
z = rα
y
z 0 = rβ0 .
Entonces
rα · rβ0 = (r · r0 )α+β ,
n
(rα )n = rαn
,
rα r = 0
rβ0
r α−β
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Formas de representación
Operaciones
Ejemplo
Dados
Hallar
z1 = 1 + i y z2 = 1 − 2i, calcular: z1 + z2 , z1 · z2 ,
también i2019 + i2020 + i2021 .
z1 + z2 = 2 − i,
z1
z2 ,
z112
z 1 · z2 = 3 − i
1+i
(1 + i)(1 + 2i)
−1 + 3i
−1
3
z1
=
=
=
=
+i
z2
1 − 2i
(1 − 2i)(1 + 2i)
5
5
5
√
√
π
|z1 | = 2, arg(z1 ) = , z112 = ( 2)12
12 π4 = 643π = 64π = −64
4
2019 = 4 · 504 + 3, 2020 = 4 · 505, 2021 = 4 · 505 + 1,
i2019 = i4·504+3 = (i4 )504 · i3 = 1504 · i3 = −i
i2020 = (i4 )505 = 1,
i2021 = i4·505+1 = . . . = i
i2019 + i2020 + i2021 = −i + 1 + i = 1
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Formas de representación
Operaciones
Raíces
n ∈ N, si z = wn , entonces w es
√
1
escribe w = z n = n z . Si z 6= 0, sus
Dado
la raíz
se
raíces vendrán dadas
por
wk =
√
n
r ei
θ+2kπ
n
,
z son


w0 =






 w1 =
w2 =

..

 ...

.



 w
=
n−1
con
n-ésima
de
z
y
k = 0, 1, . . . , n − 1
Por tanto las raíces de
Las raíces
n-ésimas
de
z
√
θ
n
rei n
√
θ+2π
n
r ei n
√
θ+4π
n
r ei n
..
.
θ+2(n−1)
√
n
r ei n
forman un polígono regular de
n
vértices inscrito en una circunferencia de centro el origen y
radio
√
n
r.
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Operaciones
Ejemplo
Calcular las raíces cúbicas de
r = |z| =
p
32 + 32 =
w1



w2
18,
3
π
θ = arg(z) = arctg( ) =
3
4
π +2kπ
4
18 ei 3 ,
π
√
4
= 6 18 ei 3 =
π
√
4 +2π
= 6 18 ei 3
π +4π
√
4
= 6 18 ei 3
wk =



 w0
√
6
√
z = 3 + 3i.
k = 0, 1, 2
√
π
6
18 ei 12
√
3π
= 6 18 ei 4
√
17π
= 6 18 ei 12
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Operaciones
Ejemplo
Resolver la ecuación
z 4 − 81 = 0,
con
z ∈ C.
z 4 = 81 = 81(cos0 + isen0) = 81ei0 ,
wk =

w0



 w
1

w2



w3
√
4
81 ei
0+2kπ
4
,
r = 81,
θ=0
k = 0, 1, 2, 3
3 e0
=
=3
π
i 2π
= 3 e 4 = 3 ei 2 = 3i
4π
= 3 ei 4 = 3 eiπ = −3
3π
6π
= 3 ei 4 = 3 ei 2 = −3i
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