Semana 01. Clase 01. Jueves 12-05-16

Cálculo IV
Tema 1. Operaciones con números complejos
SEMANA 01. CLASE 01. JUEVES 12/05/16
1. Número complejo.
1.1. Definición. Un número complejo z, es un número que se expresa como
z = a + ib ó z = a + bi , a,b ∈ R ,
donde i es conocida como la unidad imaginaria con i2 = −1 .
1.2. Observaciones de interés.
• Se denotará con a = Re z la parte real del número z y con b = Im z la parte
imaginaria de z
• Los números de la forma z = a + 0i se denominan reales puros o, simplemente
reales
• Los números de la forma z = 0 + bi se denominan imaginarios puros
• Si n es un entero positivo, entonces los únicos valores posibles para in son los
números 1, -1, i o –i
2. Número complejo conjugado.
2.1. Definición. Si z = a + bi , al número z = a − bi se le llama conjugado de z.
3. Definiciones de interés.
Sean z1 = a + bi , z2 = c + di números complejos.
3.1. Suma de números complejos. La suma de los números complejos z1 y z2 se define
como z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i .
3.2. Resta de números complejos. La resta de los números complejos z1 y z2 se define
como z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i .
3.3. Multiplicación de números complejos. La multiplicación de los números complejos
z1 y z2 se define como
z1.z2 = (a + bi)(c + di) = (ac + adi + bci − bd) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
3.4. División de números complejos. La división de los números complejos z1 y z2 , (con
z2 ≠ 0 ) se define como
z1
a + bi a + bi c − di ac − adi + bci + bd ac + bd bc − ad
=
=
.
=
= 2
+
i.
z2
c + di c + di c − di
c2 + d2
c + d2 c2 + d2
4. Valor absoluto de un número complejo.
4.1. Definición. Se define el valor absoluto del número complejo z = a + bi , denotado por
z , como z =
a2 + b2 .
5. Plano complejo.
5.1. Definición. Es un plano cartesiano configurado para la representación del número
complejo z = a + bi , donde el eje horizontal se denomina eje de los números reales y
el eje vertical se denomina eje de los números imaginarios.
5.2. Observaciones de interés.
• Cada número complejo se puede representar como un punto en el plano cartesiano
xy
José Luis Quintero
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Tema 1. Operaciones con números complejos
• Otra representación posible de z en el plano cartesiano xy es en forma de vector. Se
muestra a z = a + bi como una línea dirigida que comienza en el origen del plano y
termina en el punto (a,b). Así, se puede representar un número complejo como un
punto o como un vector en el plano xy
• z = a + bi es denominada representación binómica de un número complejo
• Geométricamente, el número z es la distancia del punto z = a + bi al origen
•
z
2
= z.z
• La distancia entre los puntos z1 = a + bi y z2 = c + di se denota z1 − z2 y viene dada
por z1 − z2 = (a − c)2 + (b − d)2
• Los números complejos z correspondientes a los puntos de la circunferencia de
centro z0 y radio R satisfacen, en consecuencia, la ecuación z − z0 = R
6. Representación polar o trigonométrica.
6.1. Definición. El número complejo z = a + bi se puede representar como un vector cuyo
extremo final tiene coordenadas polares (r, θ) . Es fácil ver que a = r cos(θ) , b = rsen(θ) .
Así pues, z = r(cos(θ) + isen(θ)) es la forma polar o trigonométrica de un número
complejo. r es llamado módulo de z.
6.2. Argumento de un número complejo. Para cualquier número complejo z ≠ 0 , el
argumento de z, denotado por argz , es el ángulo medido en radianes, que forma z
con la parte positiva del eje real. Por lo tanto, tiene un valor cualquiera de una cantidad
infinita de valores reales que difieren entre sí en múltiplos enteros de 2π .
7. Multiplicación en la forma polar.
7.1. Definición. Aplicando fórmulas trigonométricas se tiene
z1.z2 = r1(cos(θ1 ) + isen(θ1 ))r2 (cos(θ2 ) + isen(θ2 ))
= r1r2 (cos(θ1 ) cos(θ2 ) − sen(θ1 )sen(θ2 )) + i(cos(θ1 )sen(θ2 ) + sen(θ1 ) cos(θ2 ))
= r1r2 cos(θ1 + θ2 ) + i(sen(θ1 + θ2 )
7.2. Observaciones de interés.
• Se puede extender la fórmula anterior a cualquier número de multiplicadores, es
decir,
n
z1.z2.....zn =
n
∏z = ∏
i
i =1
i =1


ri cos 




n
∑
i =1

 n



θi + isen
θi  




 i =1  
∑
• De lo anterior se deduce que el módulo del producto es igual al producto de los
módulos y el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos.
• Un caso particular de la expresión anterior es la fórmula de De Moivre:
n
zn = rn cos(θ) + isen(θ) = rn cos(nθ) + isen(nθ)
n
⇒ cos(θ) + isen(θ) = cos(nθ) + isen(nθ)
(potencia n-ésima) en donde n es un número natural.
José Luis Quintero
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