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Apéndice.- NÚMEROS COMPLEJOS
Ampliación de Matemáticas.
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1.1
Números complejos. Generalidades
Definiciones
Llamaremos número complejo a toda expresión de la forma a+bi, donde a y b son números
reales; i es la llamada unidad imaginaria, definida por
√
o
i2 = −1.
i = −1
En un número complejo a + bi, a a se le denomina parte real y b es la parte imaginaria del
número complejo. Si a = 0, el número complejo 0 + bi es un número imaginario puro; si
b = 0, se obtiene un número real a + 0i = a. El conjunto de números complejos se denota
por C.
Dos números complejos a + bi y c + di son iguales si y sólo si a = c y b = d.
Dos números complejos z = a + bi y z = a − bi que se diferencian sólo por el signo de
su parte imaginaria se llaman conjugados.
1.2
Representación gráfica
Todo número complejo a + bi puede ser representado en el plano XY mediante un punto
de coordenadas (a, b) . Recíprocamente, todo punto del plano de coordenadas (a, b) puede
considerarse como la imagen geométrica del número complejo a + bi. Obsérvese que todos
los números imaginarios puros se representan en el eje OY que llamaremos eje imaginario;
igualmente los números reales se representan en el eje OX llamado eje real.
1.3
Forma trigonométrica de los números complejos
Si se designan por r (r ≥ 0) y θ las coordenadas polares del punto (a, b), se verifica que
a = r cos θ
b = rsen θ
y, por tanto, el número complejo puede ser representado en la forma:
a + bi = r (cos θ + isen θ)
1
A la expresión representada en el segundo miembro se le conoce como forma trigonométrica
del número complejo a + bi. Obsérvese que
r=
√
a2 + b2
θ = arctan
b
a
El número r se llama módulo y θ es el argumento del número complejo a+bi. El argumento
del número complejo es positivo cuando se toma a partir de la dirección positiva del eje
OX en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y es negativo, cuando se
calcula en dirección opuesta. Es evidente que el argumento θ no se determina de manera
unívoca.
Nota: el número complejo z = a + bi podemos escribirlo utilizando la llamada forma
polar, escribiendo abreviadamente z = rθ .
2
Operaciones con números complejos
• Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
• Producto:
En forma binómica: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + i (bc + ad)
En forma trigonométrica:
r1 (cos θ1 + isen θ1 ) · r2 (cos θ2 + isen θ2 ) = r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + isen (θ1 + θ2 ))
• División:
En forma binómica:
(a + bi)
(a + bi) · (c − di)
ac + bd
bc − ad
=
= 2
+i 2
2
(c + di)
(c + di) · (c − di)
c +d
c + d2
En forma trigonométrica:
r1 (cos θ1 + isen θ1 )
r1
= (cos (θ1 − θ2 ) + isen (θ1 − θ2 ))
r2 (cos θ2 + isen θ2 )
r2
• Potencia: Si z = a + bi = r (cos θ + isen θ) y n es un número entero positivo, se
verifica
z n = (a + bi)n = rn (cos nθ + isen nθ)
2
3
Función exponencial y forma exponencial de un
número complejo
Sea z = x + yi. Si x e y son variables reales, z es una variable compleja. Definimos la
exponencial compleja como sigue:
w = ez = ex+yi = ex (cos y + i sen y)
Propiedades:
1. ez1 +z2 = ez1 ez2
ez1
2. ez1 −z2 = z2
e
3. (ez )m = emz
para m ∈ Z.
• Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo
Si hacemos x = 0 en la fórmula correspondiente a la función exponencial de exponente
complejo, se tiene que
eyi = cos y + i sen y
Ésta es la fórmula de Euler y expresa la relación entre la función exponencial con exponente
imaginario y las funciones trigonométricas. En efecto,

eyi + e−yi


cos
y
=

¾

2
eyi = cos y + i sen y
=⇒

e−yi = cos y − i sen y
−yi
yi


 sen y = e − e
2i
Teniendo en cuenta la expresión trigonométrica de un número complejo y la fórmula de
Euler, resulta que cualquier número complejo puede representarse en forma exponencial
z = a + bi = r (cos θ + isen θ) = reθi .
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Bibliografía
Piskunov, N. Cálculo Diferencial e Integral, Tomo 1. Editorial Mir. Moscú.
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