PRÁCTICA DE MATRICES (1)

PRÁCTICA 2 ALGEBRA LINEAL / ALGEBRA II Lic Gonzalo Salinas P. MATRICES
1. Si
a  2b 2a  b
2c  d c  2d
4 2

determinar a, b, c y d.
4 3
2. Tomando en cuenta las siguientes matrices
1 0
1 2 3
A
; B
; C
2 1
2 1 4
3 2
D
2 4 5
3 2
2
3 1 3
; E
4
0
1
4
3
2
1
; F
4
1
5
2
1
3
4 5
2
3
De ser posible calcule:
a. C  E y E  F
T
b. A  B
T
f. C  E y C  T E
1
3. Si A 
2
5
2
g. 3 2B 
3
6 2 3
4
c. D  F
T
1A
3
d. 2C  3E
h.
T
e. T A y T  T A
T
2A  B
1 0 0
, I3 
0 1 0
y  es un número real, calcule I 3  A.
0 0 1
1 0 1
4. Sea A 
1 2
1
0 3
2
i. T A  T A
, Calcule A  T A, A  T A, T A  T A,
T
T
A A
5. Si A, B son matrices arbitrarias de m  n y ,   , empleando propiedades, demostrar que:
T
A  B  T A  T B
6. Un matríz cuadrada M es antisimétrica cuando T M  M. ¿Que puedes decir acerca de las entradas de su
diagonal?
7. Demostrar que para cualquier matríz cuadrada, la matríz A  T A es simétrica ( T M  M)
8. Demostrar que para cualquier matríz cuadrada, la matríz A  t A es antisimétrica ( t M  M)
9.
1
10. Tomando en cuenta las siguientes matrices, calcular si es posible:
a. AB y BA
b. CB  D
c. AB  DF
f. D  F 2 y D 2  2DF  F 2
1 2 3
A
D
2
3
1 2
g. D  FD  F y D 2  F 2
;B 
4 0 2
3
1
2
4
2
;C 
1 5
1
;E 
e. ABD y ABD
d. BA  FD
3
1
3 4
5
1 1 2
0 3
2 1
y F
5
2 3
4 1
3 4 2
11. Si la matriz I n es un matríz n  n con las entradas de la diagonal iguales a 1 y el resto de las entradas iguales a
cero, calcula si es posible (tomando en cuenta las matrices del ejercicio 9):
a. I 2 A
b. AI 2
c. I 2 B
c. BI 2
d. I 3 C
e. CI 3
f. I 2 D
b. DI 2
12. ¿Cuál es la conclusión que se obtiene de los resultados del ejercicio 11.?
a 11 a 12 a 13
13. Si A 
a 21 a 22 a 23
x1
yX 
x2
a 31 a 32 a 33
a 11
14. Calcular: x 1
a 21
x3
a 12
 x2
a 31
, ¿a qué es igual AX?
a 13
 x3
a 22
a 32
a 23
a 33
15. Usar el hecho que las matrices obtenidas en los ejercicios 13 y 14 son iguales, descomponer la siguiente matríz
empleando la forma en el ejercicio 14.
2x  4y  3z
AX 
x  3y  5z
x  2y  z
2x  4y  3z 
16. Dado el sistema:
4
x  3y  5z  3
x  2y  z

2
a. Respresentarlo en forma matricial, con la correspondiente matríz aumentada y resolverlo por Eliminación
b.
c.
2
Gaussiana.
Verificar que el sistema se puede escribir en la forma matricial: AX  B, donde A es la matríz de coeficientes
3  3, X es la matríz columna 3  1 de variables y B es la matríz de términos constantes 3  1.
Descomponer AX, como en el ejercicio anterior y resolver el sistema.
17.
18.
19. Determinar una solución no trivial del sistema homogeneo 4I 3  AX  O, donde:
A
1 0
5
1 1
1
1 0 0
y I3 
0 1 4
0 1 0
0 0 1
20. Determinar una matríz X de 3  1 cuyas entradas no todas sean nulas, tal que AX  3X, donde:
A
1
2
1
1
0
1
4 4
5
21. Tomando en cuenta las matrices:
0 1 6
A
0 0 4
0 0 0
1 1 1
;B 
0 1 1
0 0 1
1 0 0
;C 
0 2 0
0 0 3
Calcular: A 2 , A 3 , B 2 , B 3 , B k , C 2 , C 3 , C k
22. Si p es un entero no negativo y c es un escalar, demostrar que cA p  c p A p
23. Verificar con ejemplos que AB p generalmente no es igual a A p B p
24. Dadas las matrices A, B, C, D, encontrar el menor costo relativo a la propiedad asociativa del producto, si las
dimensiones de las matrices son: A10x30, B30x50, C50x1, D1x100. (Sugerencia: analiza las siguientes
asociaciones: (AxB)xC)xD;
(AxB)x(CxD);
;(Ax(BxC)xD;
Ax((BxC)xD);
Ax(Bx(CxD)
25. Determine todas las matrices A de 2  2 tales que A 2  O.
(Una matríz cuadrada A es Nilpotente cuando existe un número entero positivo k, tal que A k  O
3
2n 0 2n
1 0 1
26. Si A 
0 1 0
, hallar A 2 , A 3 y probar por inducción que A n1 
2n 0 2n
1 0 1
27. Si A 
28. Si A 
1 0
2 1
1 a
0 1
0 1 0
calcular
T
2 A
5
. (sugerencia: M p  M 1  p 
, hallar una fórmula para la inversa de A n .
1 1 1
29. Si A 
0 1 1
, hallar A 2 , A 3 y comprobar que A 3  3A 2  3A  I 3. luego calcular
0 0 1
1
A . sugerencia:extraer factor A
30. Si A una matríz cuadrada, calcular:
a. I  AI  A
b. I  AI  A  A 2 
c. I  AI  A  A 2    A n1 
31. Sea A una matríz cuadrada, empleando solo la definición.: (Sugerencia: verificar "productos notables" con
matrices)
a. Si A 2  O, demostrar que I  A es invertible
b. Si A 3  O, demostrar que I  A es invertible
c. En general, si A n  O para, algún entero positivo n, demostrar que I  A es invertible
32. Sea A una matríz Idempotente (A 2  A). Probar que la matríz B  I  A es Idempotente y que
AB  BA  O. ¿En que caso A es invertible?
33. Sea R  
cos   sin 
sin  cos 
una matríz 2  2, denominada Matríz de Rotación.
a. Demostrar que la matriz R  es invertible y hallar su inversa, empleando solo la definición.
b. Para cualquier vector X  x 1 , x 2  de  2 , sea Y  R  t X, su correspondiente rotación en un ángulo
. Demostrar que  Y  X 
( X  x 21  x 22 ,  Y  y 21  y 22 
34. Si A una matríz invertible, demostrar que kA 1  1 A 1 , (cuando el número k  0)
k
35. Si A es simétrica y no singular (invertible), entonces A 1 es simétrica
4
36. Si A es antisimétrica y no singular (invertible), entonces A 1 es antisimétrica
37. Demostrar que una matríz N nilpotente (N k  0, para algún k    ) no es invertible. Luego demostrar que
I n  N es invertible
38. Sean A y B matrices cuadradas n  n, tal que la matríz B es invertible, con inversa B 1 . Demostrar que
n
BAB 1   BA n B 1 (Usar inducción)
39. Hallar la inversa de las siguientes matrices, si es que existe, empleando el procedimiento práctico:
1 1 1 1
1 3 4
4 1
3 2
1 2 1 2
d
a
b
c
2
1
0
2 1
7 5
1 1 2 1
2
4 2 5
1 3 3 2
e
4
5
7
1
2
3
3
3
4
15
3
18 1
0
0
1
0
0
0
1
0
f
g
1 k 0 0
0 1 k 0
cos 
i
[k  0
0 0
d1 0
40. ¿Cuándo una matriz diagonal D 
3
sin  0
 sin  cos  0
0
0 0 1 k
0
0 12 0
15 3 36 21
k 0 0 0
h
2 0
0
1
 0
0
d2  0


 
0
0
 dn
es invertible?, ¿Y cuál es su inversa?
41. Una matríz A cuadrada es ortogonal si: A 1  T A. Verificar, si la siguiente matríz es ortogonal:
1 2 2
A
1
3
2
1
2
2 2 1
42. Si A es una matríz ortogonal (A T  A 1 ), marca la relación correcta:
nn
5
43. Mostrar que la matriz triangular superior T (las entradas a ij  0 cuando i  j) es equivalente por renglones a
la matriz identidad I 4 , si a ii  0 para i  1, 2, 3, 4
a 11 a 12 a 13 a 14
T
0
a 22 a 23 a 24
0
0
a 33 a 34
0
0
0
44. Describir las matrices elementales que llevan a la matriz
a 44
3 2
7 5
a su inversa y calcular está última como
el producto de matrices elementales.
45. Demostrar que las matrices elementales son invertibles y que sus inversas son también matrices elementales.
(Tomar el caso particular de matrices 3  3 y usar la definición de inversa)
46. Sea A nn equivalente por renglones a una matriz B. Demostrar: A es invertible, si y solo si, B es invertible
47. Si A nn es equivalente por renglones a la matriz identidad (es invertible) después de k operaciones
1
1
1
elementales, entonces se puede escribir como: A  E 1  E 2  E k  donde E i es la i-ésima matriz
elemental que determina la i-ésima operación elemental
48. Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden (n  n. Mostrar que si AB  I n entonces, B  A 1 .
Luego si AB  I n si y solo sí, BA  I n .
49. Dado el sistema AX  B donde A es la matriz asociada al sistema, X n1 es el vector de las incógnitas y B n1 es
vector de términos independientes. Mostrar que el sistema tiene solución única X  A 1 B si A es invertible.
50. Demostrar: Si el sistema homogéneo n  n, AX  O tiene como única solución la trivial entonces la matriz
asociada A es invertible.
2x  4y  3z  10
51. Resolver el sistema:
x  3y
2y  z

0

1
emplenado la matriz asociada y su inversa.
52. Hallar la matriz X en la ecuación matricial: t A  3BXC  D Donde:
2
0 11
1 1
3
2
4 1
0
2 1
A
;B 
2
6
1
4 1
2
2
2
C
6
5 3
3 2
1 2
;D 
2
1
1
0
53. Resolver la ecuación matricial: t BA  CX  2C. Donde:
2 3
0 1 2
2 3 1
B
;A 
;C 
1 1
1 1 2
0 1 1
2 3
1 1 3
3
54. Dadas las matrices A 
8 9
0
yB 
2 5 2
y X es una matriz 3  3
1
1
1 0
1
2 7 1
1 1 0
a. Calcular la inversa de la matríz: 4I n  A
T
b. Emplear propiedades para despejar la matríz X que en la ecuación: T 12 BA  X 12 A
 2 T B  2X
55. Calcular el valor de la traza de X. Hallar la matriz X en la ecuación matricial: T CAX 1  T ABD 
T
2A  BX 1  T BX 1
1 1 2
0 1 1
2 0 0
1 0
donde: A 
0 2
1
,B 
1 2 0
1 0
56. A 
1
1
0 2
0
1
y B 
0
1 0
1
2 3
1
2
0
0
0
2
0
0
0
2
,C 
1
2 1
1 3 1
,D 
0
2 0
1
1
a. Calcular la inversa de A mediante el método Gauss - Jordan.
b. Resolver la ecuación matricial XA  AB, empleando la inversa.
a 11 a 12 a 13 a 14
57. Si A 
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
a.
b.
c.
d.
7
trcA  ctrA
trA  B  trA  trB
trAB  trBA
tr t A  trA
0
y la traza de A es trA  a 11  a 22  a 33  a 44 , demostrar:
3