Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas Taller: Matrices Semestre 2020-1 Álgebra Lineal I Profesor: Edwin Amaya 1. De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es cierta para la multiplicación de dos matrices 𝐴 y 𝐵? (a) (b) (c) (d) Se puede realizar sólo si 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas. Cada elemento 𝑐𝑖𝑗 es el producto de 𝑎𝑖𝑗 y 𝑏𝑖𝑗 . 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 Se puede realizar sólo si el número de columnas de 𝐴 es igual al número de filas de 𝐵. 2. Determine si cada una de las siguientes proposiciones es falsa o verdadera. Justifique. (a) Sean 𝐴 y 𝐵 son dos matrices cualquiera, entonces (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) = 𝐴2 − 𝐵2 . (b) La inversa de una matriz elemental es una matriz elemental. 𝑎 3. Encuentre una matriz 𝐴 = ( 𝑐 𝑏 2 3 1 0 ) tal que 𝐴 ( )=( ) 1 2 0 1 𝑑 4. Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑛×𝑝 , 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑞×𝑟 ¿Qué condiciones se deben cumplir sobre los tamaños de las matrices para que se puedan efectuar las siguientes operaciones? (b) 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) (a) 𝐴 ∙ 𝐶 ∙ 𝐵 5. Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices diagonales de orden 3. Demuestre que el producto de 𝐴 y 𝐵 es una matriz diagonal. 3 1 6. Calcule 3𝐴𝐴𝑇 − 2𝐼, donde 𝐴 = ( ). 5 2 7. Demuestre que si 𝐴 es invertible y 𝐴𝐵 = 0, entonces 𝐵 = 0. Muestre un contraejemplo en el que se evidencie que en resultado anterior puede fallar si 𝐴 no es invertible. 8. Resolver la siguiente ecuación matricial 2𝐴𝑋 − 𝐵 = 3𝐴𝑋, teniendo en cuenta que: 𝐴=( 1 2 −6 −2 ) y 𝐵=( ) 0 3 −9 0 1 𝑎 1 𝑏 9. Sean 𝐴 = ( )y𝐵 =( ) con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 0 1 0 1 Encuentre 𝐴𝐵 y determine una expresión general para (𝐴𝐵)𝑛 , con 𝑛 ∈ ℤ+ . 10. Exprese, si es posible, la matriz dada como el producto de matrices elementales. 𝐴=( 2 1 ) 3 2
