TEMA 2 Concepto de campo magnético. Ley de Ampere, campo en el eje de una espira circular. Integral curvilínea del campo magnético, campo alrededor de una corriente lineal. Teorema de Stokes. Potencial vectorial magnético, campo de una línea infinita de hilos paralelos. Dipolo magnético: campo lejano de una espira de corriente. Divergencia del campo magnético. Potencial escalar magnético. Condiciones de contorno. Energía de un campo magnético estático. Concepto de campo magnético: Es la región del espacio donde se experimentan fuerzas debido a la presencia de corrientes eléctricas, incluidas las corrientes atómicas en los materiales ferromagnéticos. Dado que la corriente por tener dirección es vector, la ley que describe estas fuerzas será un poco mas compleja que para el caso de las fuerzas eléctricas. Sea una magnitud vectorial B, que denominamos densidad flujo magnético, y un elemento de corriente dado por un diferencial de longitud dl recorrido por una corriente I. La fuerza que experimenta este elemento de corriente estará dada por df =I dl B sen θ (ec. 2.1) siendo el ángulo θ el formado por B y dl. Se define el sentido de los vectores de modo que la fuerza df es perpendicular al plano formado por dl y B. Su sentido es de avance a derecha girando desde dl a B a través del angulo mas pequeño. Expresando la eq. 1 mediante producto vectorial ⃗ =I dl× ⃗ ⃗ df B (ec. 2.2) La magnitud denominada intensidad de campo magnético H se vincula con la densidad flujo magnético mediante la permeabilidad magnética µ del material ⃗ =μ H ⃗ B (ec. 2.3) Como se mostró en el tema 1 del presente curso la unidad de B es el Tesla o Weber sobre metro cuadrado. También se como Ampere Henry sobre metro cuadrado. Las unidades de H son de Ampere sobre metro, por lo tanto las unidades de µ deben ser de Henry sobre metro. La permeabilidad magnética del vacío es de μ 0=4 π 10−7 [ H / m] (ec. 2.4) La permeabilidad magnética de cualquier material se puede expresar como el producto de una permeabilidad relativa, y por lo tanto carente de unidades, por la permeabilidad del vacío μ =μ r μ0 (ec. 2.5) Ley de Ampere: Esta ley permite calcular el vector campo magnético producido por corrientes continuas. Sea un medio isótropo y homogéneo donde un elemento de corriente de intensidad I’ y longitud dl’ están situados a una distancia r` del origen de coordenadas y se desea encontrar el valor de H en un punto situado a una distancia r del origen de coordenadas tal como lo muestra la figura 2.1. Figura 2.1 Coordenadas para el campo magnético producido por un elemento de corriente. El módulo del campo magnético e este punto está dado por d H (⃗r )= I ' (⃗r ' ) dl ' sen ( ϕ ) 4 π|⃗r −⃗r '|2 (ec. 2.6) Tal como se describió anteriormente el vector H se encuentra perpendicular al plano formado entre el vector (r-r’) y dl’. El sentido es el correspondiente al avance a derecha de un tornillo desde el ángulo mas chico. Para lo cual se puede utilizar la ley de la mano derecha, posicionamos la mano abierta en la misma dirección y sentido de I’ dl’ y luego cerramos el puño hacia la dirección del punto de observación, el pulgar indica la dirección y sentido de H. Es conveniente describir esta ley de manera de obtener toda la información en el resultado, y esto lo podemos hacer utilizando el producto vectorial tal como en la ecuación 2.2 I ' (⃗r ' ) dl⃗ '×(⃗r −⃗r ') d H⃗(⃗r )= 3 4 π|⃗r −⃗r '| (ec. 2.7) Para obtener el campo magnético total de los elementos de corriente situados a lo largo de una trayectoria, se integra la ec. 2.7 H ⃗(⃗r )=∫ I '(⃗r ') dl⃗ '×(⃗r −⃗r ' ) 3 4 π|⃗r −⃗r '| (ec. 2.8) Campo en el eje de una espira circular: Como ejemplo de aplicación dela ley de Ampere calcularemos el campo magnético en punto del eje de una espira circular de hilo conductor recorrido por una corriente continua I0. La disposición de la espira se muestra en la figura 2.2, el punto de observación se encuentra situado en r=z sobre el eje de la espira, r’=a, el módulo del dl’ es el producto del radio a por la diferencial del ángulo dϕ y resulta perpendicular a r-r’ o sea sen(ϕ)=1. Figura 2.2 diferencial de campo magnético debido a un elemento de corriente en una espira circular. El diferencial de H está dado por: d H ( z)= I 0a d ϕ (ec. 2.9) 4 π ( z2 + a2)1 /2 Dada la simetría del problema la única componente de H distinta de 0 debe estar situada en el eje, por lo tanto si definimos el angulo θ como el formado por H y el plano de la espira, el seno de θ sera sen ( θ )= a (z +a 2)1 /2 (ec. 2.10) 2 Aplicando la ec. 2.9 y la ec. 2.10, la componente en z del diferencial de H está dada por d H z ( z )=d H (z ) sen( ϕ )= I 0 a2 d ϕ 2 2 3/ 2 4 π (z +a ) (ec. 2.11) Integrando en ϕ la ec. 2.11 2π H z (z)=∫0 I 0 a2 d ϕ 4 π ( z 2+ a2 )3/ 2 = I 0 a2 2( z 2 +a2 )3/ 2 (ec. 2.12) El campo en el centro de la espira (z=0) está dado por H z (0)= I0 2a (ec, 2.13) Integral curvilínea del campo magnético: Otra forma útil derivada de la ley de Ampere se da en la ec. 2.14, esta dice que la integral de linea de campo magnético H sobre una trayectoria cerrada es igual a la corriente encerrada por dicha trayectoria. ⃗ dl= ⃗ ∫ ⃗j⋅ds=I ⃗ ∮ H⋅ S (ec. 2.14) Campo alrededor de una corriente lineal: Un ejemplo de aplicación de la ec. 2.14 es el caso de un conductor lineal largo recorrido por una corriente I tal como se muestra en la figura 2.3. Si se integra a lo largo de una circunferencia de radio r centrada sobre el eje del conductor, por simetría se desprende que el campo magnético será constante e independiente del ángulo. La única componente posible para H debe encontrase fuera del plano que contiene a r y a I, por lo tanto en coordenadas cilíndricas corresponde a la componente en la dirección ϕ, o sea Hϕ. Figura 2.3 Campo magnético alrededor de una corriente lineal. Siendo H constante e independiente de la variable de integración en la trayectoria circular, se la puede sacar de la integral, siendo esta última el perímetro de la circunferencia. Aplicando las consideraciones expuestas y la ec. 2.14 se obtiene 2π ⃗ dl=H ⃗ ∮ H⋅ ϕ∫0 r d ϕ =H ϕ 2 π r =I (ec. 2.15) I 2πr (ec. 2.16) H ϕ= La ecuación 2.16 también es la solución para hallar el campo magnético en otros problemas similares, tales como en la región entre cilindros coaxiales. Teorema de Stokes: primeramente vamos definir el rotor del campo magnético, si realizamos la integral de la ec. 2.14 en el contorno de un ΔS y hacemos tender esa superficie a cero obtendremos la densidad de corriente, pero por definición esa operación se el rotor de H. ⃗ = lim ∇× H Δ S →0 ⃗ dl ⃗ ∮ H⋅ =⃗J ΔS (ec. 2.17) El teorema de Stokes nos dice que la integral curvilínea al rededor de un contorno de cualquier superficie puede obtenerse integrando componente normales del rotor sobre dicha superficie. Una imagen de esto se da en la figura 2.4 Figura 2.4 subdivisión de una superficie para demostrar el teorema de Stokes. Reescribiendo la ec. 2.17, en cada subdivisión de la figura 2.4 se cumple ⃗ dl=(∇ ⃗ ⃗ )⋅dS ⃗ ×H ∮ H⋅ (ec. 2.18) La integral en el contorno principal estará dada por la ec. 2.19. Para hacerse una imagen de la situación analicemos las integrales de línea en cada subdivisión. En el contorno de cada una aparecen sentidos opuestos de integración con lo cual se anulan las contribuciones, excepto en los límites de la superficie o sea en el contorno principal. ⃗ dl= ⃗ ∫ ( ∇× H ⃗ )⋅dS ⃗ ∮ H⋅ S (ec. 2.19) Esta última ecuación nos permite vincular una integral de linea con una de superficie y se denomina teorema de Stokes la cual es válida para cualquier campo vectorial continuo. Potencial vectorial magnético: La ley de ampere (ec. 2.8) puede dividirse en dos pasos empleando ciertas equivalencias vectoriales ⃗ (⃗r )=∇ × ⃗ B A( ⃗ r) (ec. 2.20) donde ⃗ (⃗r )=∫ A ⃗ μ 0 I '(⃗r ' ) dl' 4 π|⃗r −⃗r '| (ec. 2.21) reescribiendo la ec. 2.21 para una densidad de corriente J por unidad de superficie y distribuida en un volumen V’ ⃗ (⃗r )=∫ A V' μ 0 ⃗J ( ⃗r ') dV ' 4 π|⃗r −⃗r '| (ec. 2.22) El potencial vector magnético es una herramienta útil para calcular el campo magnético, el vector A tiene como ventaja sobre H, que se encuentra en la misma dirección de la corriente que lo produce. No tiene un significado físico sencillo como el potencial eléctrico. Campo de una línea infinita de hilos paralelos: Sea una línea de hilos paralelos de longitud infinita, recorrida por una corriente I en un conductor y -I en el otro y situados a una distancia 2a entre conductores. Figura 2.5 Lineas de hilos paralelos. En la figura 2.5 se muestra el sistema de coordenadas elegido, como los campos no varían en z, es conveniente calcularlos en el plano z=0. Para evitar indeterminaciones se realizará la integral de dz entre -L y L y luego se aplicará límites con L tendiendo a infinito. El vector A solo tendrá componentes en la dirección de la corriente, para este caso ambos conductores son recorridos por corrientes en la dirección z únicamente. Por lo tanto el vector A calculado en el punto P de la figura 2.5 será el resultado de las contribuciones de ambos conductores como se expresa en la ecuación siguiente L A z=∫− L μ I dz ' 2 μ I dz ' ' L 2 4 π √ (x−a) + y + z ' −∫−L 2 4 π √( x+ a)2 + y 2 + z ' ' 2 (ec. 2.23) Por simetría el aporte de 0 a L es el mismo que de -L a 0 y podemos reescribir las integrales A z= L μ0 I L dz ' dz ' ' [∫0 −∫0 ] 2 2 2 2π √(x−a) + y + z ' √(x+ a)2+ y 2 + z ' '2 (ec. 2.24) Resolviendo las integrales obtenemos A z= μ0 I 2 2 2 2 2 2 L [ln ( z ' + √( x−a) + y + z ' )−ln( z ' '+ √( x+ a) + y + z ' ' )]0 2π (ec. 2.25) haciendo tender L a infinito, el límite superior de la ec. 2.25 tiende a cero de manera que la expresión de A nos queda A z= μI ( x−a)2+ y 2 ln[ ] 2 2 4π ( x+ a) + y (ec. 2.26) Para obtener el vector de campo H hay que aplicar el rotor de A, a priori se puede esperar que las únicas componentes posibles sean en las direcciones de x e y. El rotor de A en coordenadas cartesianas esta dado por ⃗ =∇ × ⃗ H A = a⃗x [ ∂ Az ∂ Ay ∂ Ax ∂ Az ∂ A y ∂ Ax − ]+ a⃗y [ − ]+ a⃗x [ − ] ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (ec. 2.27) aplicando la ec. 2.27 a la ec. 2.26 se obtienen H x= I y y [ − ] 2 π (x+ a)2+ y 2 ( x −a)2+ y 2 (ec. 2.28) H y= (x−a) (x +a) I [ − ] 2 2 2 π (x−a) + y (x−a)2 + y 2 (ec. 2.29) Dipolo magnético, campo lejano de una espira de corriente: Mas arriba obtuvimos el campo magnético sobre el eje de una espira circular recorrida por una corriente I. Ahora vamos a calcular el campo magnético fuera del eje de la espira pero en un punto lejano o sea con r>>a. Primero calcularemos el vector magnético A en un sistema de coordenadas cilíndricas. En la figura 2.6 se muestra la espira y el sistema de coordenadas utilizado, dada la simetría de la espira resulta conveniente evaluar A en ϕ=0. Figura 2.6 coordenadas para el calculo del campo magnético lejano en una espira circular. La simetría del problema hace que las componentes en r se anulen y que solo existan componentes del vector A en la dirección ϕ, la contribución en esta dirección será dA ϕ= μ0 I dl ' cos ( ϕ ) μ0 I dl ' cos ( ϕ ) = 4 π|⃗r −⃗r '| 4π R (ec. 2.30) La distancia R depende de ϕ como R2=r 2 + a2−2 r a cos( ψ )=r 2 +a 2−2 r a sen ( θ )cos ( ϕ ) (ec. 2.31) para r>>a 2 1 1 a a a R=r [1+ 2 −2 sen( θ )cos ( ϕ )] 2 ≃r [1−2 sen(θ ) cos( ϕ )] 2 r r r (ec. 2.32) Aplicando desarrollo en serie de la ec. 2.32 R≃ r a 1− sen ( θ )cos( ϕ ) r (ec. 2.33) Reemplazando R por la ec. 2.33 y dl’=a dϕ en la ec. 2.30 e integrando Aϕ= μ0 I a 2 π μ 0 (I π a2 ) sen( θ ) a [cos ( ϕ )− cos ( ϕ )sen( θ )]d ϕ = ∫ 4πr 0 r 4 π r2 (ec. 2.34) El rotor del vector A en coordenadas esféricas está dado por ⃗= B a⃗r ∂(A ϕ sen ( θ )) ∂ A θ a⃗θ 1 ∂ A r ∂(rA ϕ ) a⃗ϕ ∂(rAθ ) ∂ Ar [ − ∂ ϕ ]+ [ − ]+ [ − ∂θ ] ∂ θ r sen ( θ ) r sen ( θ ) ∂ ϕ ∂r r ∂r (ec. 2.35) Aplicando la ec. 2.20 mediante la definición de la ec. 2.35 a la 2.34 se obtiene la densidad de flujo magnético ⃗= B a⃗r ∂( A ϕ sen ( θ )) a⃗θ ∂(rA ϕ ) μ 0 ( I π a2)cos( θ ) μ 0 (I π a2 )sen( θ ) − = a⃗r + a ⃗ θ ∂θ r sen ( θ ) r ∂r 2πr3 4 π r3 (ec. 2.36) el termino m=Iπa2 es el módulo del momento dipolar magnético Divergencia del campo magnético: Que un vector tenga divergencia distinta de cero indica que existen fuentes o sumideros, dado que no existen cargas magnéticas aisladas, la divergencia del campo magnético debe ser nula. Por otro lado de la ec. 2.20 se ve que la densidad de flujo magnético y por la ec. 2.3 el campo magnético también se pueden obtener del rotor de A se debe cumplir matemáticamente que la divergencia de un rotor debe ser nula. ∇⋅⃗ B=∇⋅[ ∇× ⃗ A ]=0 (ec. 2.37) Potencial escalar magnético: En muchos problemas es de interés calcular la distribución del campo magnético en regiones que no contienen corrientes. En dichas regiones el rotacional de H es nulo y para cualquier vector con rotacional nulo se puede representar como el gradiente de una función escalar ⃗ ∇⋅H=−∇ Φm La ec. 2.38 se puede expresar también como (ec. 2.38) 2 ⃗ Φ m2−Φm 1 =−∫1 H⋅dl (ec. 2.39) Si el camino de integración encierra una corriente dará un resultado distinto a si no lo hace, por tal motivo deben restringirse las regiones que incluyan corrientes. Estas regiones se denominan simplemente conexas. En la figura 2.7 se da un ejemplo para el caso de dos cilindros coaxiales. Figura 2.7, región simplemente conexa para dos cilindros coaxiales. Condiciones de contorno: Para establecer las condiciones de contorno, realizaremos el análisis en dos componentes. En primer lugar lo haremos con la componente normal a la superficie Bn para lo cual planteamos una superficie cerrada similar a una caja de pastillas cuyas tapas están muy cercas de manera que el área lateral de la caja es despreciable frente a la superficie de las tapas, las cuales se encuentran a ambos lados de la superficie límite como se muestra en la figura 2.8. El flujo de B a través de las superficie cerrada debe ser cero dado que no existen fuentes ni sumideros aisladas para campo magnético. Como se dijo si despreciamos el lateral de la caja y si en cada tapa la superficie ΔS es suficientemente pequeña para considerar que Bn es constante en ella se cumple que B n 1 Δ S=B n 2 Δ S →Bn 1=Bn 2 →μ 1 H n1=μ 2 H n 2 Figura 2.8, Campo magnéticos en el contorno entre dos medios. (ec. 2.40) Para encontrar las condiciones de contorno de la componente tangencial del campo magnético planteamos un camino cerrado compuesto por dos tramos Δl que se encuentran uno a cada lado de la superficie límite y suficientemente cerca de la superficie de manera que los tramos perpendiculares a Δl sean prácticamente despreciables frente a este. Esto se muestra esquemáticamente a la derecha de la figura 2.8. Aplicando la ecuación 2.14 al camino planteado I ⃗ dl=H ⃗ =J S ∮ H⋅ t 1 Δ L−H t 2 Δ L=I → H t 1 −H t 2= ΔL (ec. 2.41) Donde JS es una corriente por unidad de longitud de anchura, esta corriente fluye en forma laminar en la superficie interface. Energía de un campo magnético estático: La energía de un campo magnético se obtiene a partir de la ecuación 2.42 U H= 1 ⃗ ⃗ ∫ B⋅H dV 2 (ec. 2.42) Como ejemplo de aplicación de la ecuación 2.42 consideremos un solenoide largo de longitud l y radio R, el campo magnético dentro del mismo es constante y está dado por H= NI l (ec. 2.43) Aplicando la ecuación 2.42 2 2 1 1 μ0 N I N I 2 1 μ0 π R N 2 1 2 U H= B H V = R π l= I = LI 2 2 l l 2 l 2 (ec. 2.44) donde L es la inductancia del solenoide largo y V el volumen que encierra el mismo. El presente es un apunte para facilitar la información a los alumnos de la materia Electromagnetismo de la carrera ingeniería en electrónica de la FACENA UNNE. El mismo puede contener errores por lo que se suguiere consultar la bibliografía. RAMO, Simon; WHINNERY, John R.; VAN DUZER, Theodore. CAMPOS Y ONDAS: aplicación a las comunicaciones electrónicas. Ediciones Pirámide, 1974.
