1 PRUEBA - 1S 2009

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
Equation Chapter 1 Section 1Prueba No. 1
Física Contemporánea (Ingeniería civil)
Semestre de Otoño
28 de mayo 2009
1. (Problema optativo) (3.0 ptos.) Se tienen dos ondas escalares que viajan en el agua:
ψ 1 (r1 , t ) = 0.4sin (1.9r1 − ωt )
ψ 2 (r2 , t ) = 0.7sin (1.9r2 − ωt )
a) Hallar ψ R = ψ 1 + ψ 2
ψ R = 0.4sin (1.9r1 − ωt ) + 0.7sin (1.9r2 − ωt )
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
(1)
b) Hallar la Irradiancia resultante I R
I R = ψ Rψ R
t
=
( 0.4sin (1.9r − ωt ) + 0.7 sin (1.9r
1
2
− ωt ) )
2
(2)
t
I R = 0.42 sin 2 (1.9r1 − ωt ) + 0.7 2 sin 2 (1.9r2 − ωt ) +
t
t
2 0.4sin (1.9r1 − ωt ) × 0.7 sin (1.9r2 − ωt )
(3)
t
I R = 0.16 sin 2 (1.9r1 − ωt ) + 0.49 sin 2 (1.9r2 − ωt ) +
t
t
0.56 sin (1.9r1 − ωt ) × sin (1.9r2 − ωt )
t
⎛1⎞
⎛1⎞
I R = 0.16 ⎜ ⎟ + 0.49 ⎜ ⎟ + 0.56 sin (1.9r1 − ωt ) × sin (1.9r2 − ωt )
⎝2⎠
⎝2⎠
Usando sin α sin β =
Th
t
(5)
1
⎡cos (α − β ) − cos (α + β ) ⎤⎦ , se tiene
2⎣
sin (1.9r1 − ωt ) sin (1.9r2 − ωt ) t =
(
(4)
Pero cos 1.9 ( r1 + r2 ) − 2ωt
)
t
1
1
cos1.9 ( r1 − r2 ) t − cos (1.9 ( r1 + r2 ) − 2ωt ) (6)
t
2
2
= 0 , luego,
1
sin (1.9r1 − ωt ) sin (1.9r2 − ωt ) t = cos1.9 ( r1 − r2 )
2
(7)
En consecuencia, la irradiancia resultante (5), queda:
1
⎛1⎞
⎛1⎞
I R = 0.16 ⎜ ⎟ + 0.49 ⎜ ⎟ + 0.56 cos1.9 ( r1 − r2 )
2
⎝2⎠
⎝2⎠
(8)
I R = 0.325 + 0.28cos1.9 ( r1 − r2 )
(9)
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
c) Hallar el término de interferencia I12 = 2 ψ (r1 , t )ψ (r2 , t )
t
I12 = 0.28cos1.9 ( r1 − r2 )
(10)
d) Hallar el valor de la irradiancia resultante I R en los puntos P1 y P2 , mostrados en la figura y compare
los valores obtenidos. ¿dónde es mayor la irradiancia resultante?. En la figura se indican, a modo de
ejemplo, los r1 y r2 para el punto P1 .
P2
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
0.35(m)
P1
r2
ψ 2 (r2 , t )
0.25(m)
r1
ψ 1 (r1 , t )
1(m)
pantalla
Punto P1 :
De acuerdo a la figura vemos que r2 = 1.0 . Usando teorema de Pitágoras, obtenemos para r1
r1 = 12 + 0.252 = 1.030776
(11)
La irradiancia resultante en P1 , queda
(12)
I R ( P1 ) = 0.604521
(13)
Th
Punto P2 :
I R ( P1 ) = 0.325 + 0.28cos1.9 (1.030776 − 1.0 )
P2
0.35(m)
r2
ψ 2 (r2 , t )
ψ 1 (r1 , t )
P1
r1
0.25(m)
1(m)
pantalla
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
De acuerdo a la figura, y usando teorema de Pitágoras, obtenemos para r1
r1 = 12 + 0.62 = 1.16619
(14)
r2 = 12 + 0.352 = 1.05948
(15)
La irradiancia resultante en P2 , queda
(16)
I R ( P1 ) = 0.599265
(17)
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
I R ( P2 ) = 0.325 + 0.28cos1.9 (1.16619 − 1.05948 )
Comparando los valores de irradiancia en P1 y P2 , vemos que I R ( P2 ) < I R ( P1 ) .
Equation Section (Next)
2. (Problema optativo) (3.0 ptos.) En la región comprendida entre x = 0 y x = L , se superponen dos
ondas idénticas que viajan en sentido contrario sobre la misma recta:
ψ 1 ( x, t ) = A sin ( kx − ωt ) + B cos ( kx − ωt )
ψ 2 ( x, t ) = A sin ( kx + ωt ) + B cos ( kx + ωt )
(1)
a) Calcule ψ R = ψ 1 + ψ 2 ¿qué clase de onda resulta? Explique.
Sumando, se tiene
ψ R ( x, t ) = A ⎡⎣sin ( kx + ωt ) + sin ( kx − ωt ) ⎤⎦ + B ⎡⎣ cos ( kx + ωt ) + cos ( kx − ωt )⎤⎦
(2)
Aplicando la fórmula del seno y coseno de la suma y resta, obtenemos:
ψ R ( x, t ) = 2 [ A sin kx + B cos kx ] cos ωt
(3)
Esta expresión no representa a una onda viajera armónica, sino que se trata de una “onda estacionaria”.
Th
Dejó de ser una onda viajera porque ya no es una función de la expresión ( kx ± ωt ) .
b) A la expresión ψ R resultante, aplíquele la siguiente condición de borde en el extremo izquierdo x = 0 :
∂ψ R ( x, t )
∂x
= 0, ∀t
(4)
x =0
es decir, derive ψ R parcialmente con respecto a x , y luego exija que la derivada parcial sea cero en
x = 0 . ¿Qué valor debe obtener una de las constantes para que se cumpla la condición anterior?
Derivando la relación (3), se tiene
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
∂ψ R ( x, t )
= 2k [ A cos kx − B sin kx ] cos ωt
∂x
(5)
Si evaluamos en x = 0 , se obtiene
∂ψ R ( x = 0, t )
= 2k [ A cos k 0 − B sin k 0] cos ωt
∂x
(6)
∂ψ R ( x = 0, t )
= 2kA cos ωt
∂x
(7)
Igualando a cero esta expresión, nos queda:
∂ψ R ( x = 0, t )
= 2kA cos ωt = 0
∂x
(8)
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
Para que esta relación sea cierta para todo tiempo t , la constante A debe ser cero. Luego A = 0
c) Reescriba ψ R , usando el valor de la constante recién encontrada. A continuación, exija que se cumpla
una segunda condición de borde para la función de onda resultante ψ R , pero ahora en el extremo derecho
x=L:
Con el valor de A = 0 , la onda resultante ψ R queda:
ψ R ( x, t ) = 2 B cos kx cos ωt
(9)
La segunda condición de borde para la función de onda resultante ψ R en el extremo derecho x = L , viene
dada por
ψ R ( x = L, t ) = 0, ∀t
(10)
A partir de la aplicación de esta segunda condición de borde, obtenga la condición matemática que debe
cumplir el número de onda k , para que se logre establecerse esta onda resultante ψ R en la región
comprendida entre x = 0 y x = L ; es decir, obtenga la serie de valores de kn que son permitidos cuando
se cumplen las condiciones de borde mixtas antes aplicadas.
Th
Evaluemos la relación (9) en x = L
ψ R ( x = L, t ) = 2 B cos kL cos ωt
(11)
Ahora exigimos que se cumpla la condición de borde ψ R ( x = L, t ) = 0, ∀t . Se obtiene,
ψ R ( x = L, t ) = 2 B cos kL cos ωt = 0
(12)
La única posibilidad, para que esta condición de cumpla para todo tiempo t , es la siguiente
cos kL = 0
(13)
de esta relación se obtienen los valores permitidos kn del número angular de ondas:
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
⎛π ⎞
kn L = ( 2n + 1) ⎜ ⎟ , n ∈ ]
⎝2⎠
(14)
⎛π ⎞
kn = ⎜
⎟ ( 2n + 1) , n ∈ ]
⎝ 2L ⎠
(15)
Equation Section (Next)
3. (Problema obligatorio) (3.0 ptos.) Un movimiento armónico simple de frecuencia ν = 0.5 ( Hz )
viene dado por la relación
x(t ) = A cos (ωt + φ0 )
(1)
⎛m⎞
⎟.
⎝s⎠
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
La máxima velocidad de este M.A.S. vale vmax = 2π ⎜
⎛ rad ⎞
La frecuencia angular viene dada por ω = 2πν = 2π × 0.5 = π ⎜
⎟ . La máxima velocidad en el M.A.S.
⎝ s ⎠
viene dada por vmax = Aω . Igualando esta expresión, con el valor dado de la máxima velocidad,
obtenemos
vmax = Aω = 2π
(2)
Pero ω = π , luego, de relación (2) se obtiene la amplitud A del movimiento:
A = 2(m)
(3)
Si en t = 1.3( s ) la posición es x(1.3) = −0.209(m) y se sabe que la velocidad es positiva, v > 0 , calcule
ω , A y φ0 . Recuerde que cos(2π − θ ) = cos θ , y debe escoger el φ0 que hace que la velocidad sea
positiva.
El movimiento armónico viene dada por
x(t ) = 2 cos (π t + φ0 )
(4)
x(t = 1.3( s )) = 2 cos (1.3π + φ0 )
(5)
Th
Si evaluamos en t = 1.3( s ) , se tiene
Pero x(1.3) = −0.209(m) , luego,
2 cos (1.3π + φ0 ) = −0.209
(6)
cos (1.3π + φ0 ) = −0.1045
(7)
1.3π + φ0 = arccos ( −0.1045 )
(8)
1.3π + φ01 = 1.675487
(9)
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
____________________________________________________________________________________________
La otra solución es
1.3π + φ02 = 2π − 1.675487 = 4.607698
(10)
Despejando se obtienen φ01 y φ02
φ01 = 1.675487 − 1.3π = −2.408583
(11)
φ02 = 4.607698 − 1.3π = 0.523628
(12)
La constante de fase correcta es aquella que hace que la velocidad en t = 1.3( s ) , sea positiva. Calculemos
la velocidad con estas constantes de fase:
(13)
v(t = 1.3( s )) = −2π sin (1.3π + φ02 )
(14)
sh is
ar stu
ed d
vi y re
aC s
o
ou urc
rs e
eH w
er as
o.
co
m
v(t = 1.3( s )) = −2π sin (1.3π + φ01 )
Reemplazando los valores obtenidos en (11) y (12), se tiene
v(t = 1.3( s )) = −2π sin (1.675487 ) = −6.248784
(15)
v(t = 1.3( s )) = −2π sin ( 4.607698 ) = +6.248784
(16)
Por lo tanto, la constante de fase φ02 es la que produce la velocidad positiva en t = 1.3( s ) . Entonces el
M.A.S. viene dado por
(17)
x(t ) = 2cos (π t + 0.523628 )
(18)
Th
x(t ) = 2 cos (π t + φ02 )
______________________________________________________________________________
Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379
https://www.coursehero.com/file/69417202/2009-Solucionario-Prueba-No-1-Fisica-Contemporaneapdf/
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)