Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x6
si x, y 0,0
2
1.- Sea la función f x, y x y x 6
. Probar que:
0
si x, y 0,0
a) Existen las derivadas parciales de f en (0, 0).
b) f no es continua en (0,0).
1
si x y 0
x y sen
xy
2.- Sea la función f x , y
.
0
si x y 0
a) Probar que f es continua en (0,0).
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? (Nota: investigar la existencia de derivadas
parciales).
x3
3.- Hallar la derivada direccional de z x 2 y 2
0
según la dirección del vector u (1, 2) :
si x, y 0,0
si x, y 0,0
en el punto (0,0),
a) Mediante la definición de derivada direccional.
b) Aplicando la regla de la cadena.
c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones
diferenciables.
A la vista del apartado anterior, ¿es f diferenciable en (0, 0)?
4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del viento viene dada por
E = 0,0817 (3,71 v +5,81-0,25v)(T-91,4) + 91,4
donde v es la velocidad del viento en millas/h y T la temperatura en grados Fahrenheit.
Supongamos que la velocidad del viento es 23 3 millas/h y la temperatura 8º 1º.
Usar dE para estimar el error propagado máximo y el error relativo al calcular el efecto
enfriador E.
5.- La superficie de una montaña admite aproximadamente el modelo:
h ( x, y) 5000 0.001 x 2 0.004 y 2 .
Si un montañero se encuentra en el punto (50, 300), ¿En qué dirección debe moverse si
desea ascender con la mayor rapidez posible?
6.- La temperatura en un entorno del origen viene dada por una función de la forma
T ( x , y) T0 e y sen x . Hallar la trayectoria seguida por una partícula, originada en el
origen, que huye del calor. Hallar la variación de temperatura que experimentaría la
partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-2).
7.- Un campo escalar diferenciable z = f(x, y) tiene, en el punto P(1,2) las derivadas
direccionales +2 en dirección al punto A(2,2) y –2 en dirección al punto B(1,1).
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Asignatura: Métodos Matemáticos 1
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Determinar el vector gradiente en P y calcular la derivada direccional en P en dirección
al punto C(4,6).
8.- Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas
x c 2 y 2 z 2 3 ; x 2 y c 2 z 2 1
los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí.
x cost
y la
y sent
temperatura del agua en el estanque está dada por la expresión T = x2 ey – x y3. Hallar el
T
coeficiente de variación de la temperatura
que puede sentir el pato:
t
a) Expresando T en términos de t y diferenciando.
b) Mediante la regla de la cadena.
9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad
x u v
10.- El cambio de variables
transforma z = f(x,y) en z = g(u,v). Calcular el
2
y uv
f 2 f 2 f
2f
2f
2z
2 2
1 en
valor de
en el punto u =1, v =1, sabiendo que
y x
y
xy yx
vu
dicho punto.
11.- La ecuación xy + xz3 + zy + 1 = 0 define implícitamente una función real de dos
variables reales z=f(x,y).
a) Hallar el vector gradiente de f en el punto P(-1,1,0).
b) Calcular la derivada direccional de z en P en la dirección de descenso más
pronunciado.
c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P.
2z
en P.
d) Hallar
y 2
12.- Dada la función f(x, y) = x tg y , se pide:
a) Hallar el dominio de f.
b) Dar las direcciones de máximo y nulo crecimiento de f en el punto P 2, .
4
c) Calcular la derivada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo
con el eje de abscisas.
d) Hallar la aproximación lineal (plano tangente) de f(x,y) en P.
e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud “x” es de un 2% y el de
“y” un 5% ¿cuál es la estimación del error propagado?
x cos t
.
f) Calcula la derivada de f respecto de t en la circunferencia
y sen t
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Asignatura: Métodos Matemáticos 2
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
13.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es T ( x , y)
3x
.
x y2
2
a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1).
b) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en P.
c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la
bisectriz del primer cuadrante.
d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la temperatura a
x 2 sent
.
lo largo de la curva
y cos t
e) Si la cota de error en la medida de “x” es de 1% y en la de “y” es de 2% , hallar
el máximo error propagado de T en P.
14.- La ecuación z 2 x 2 z 2 xy yz 3 0 define z f x, y como función implícita de
x e y. Hallar:
a) f P0 , siendo P0(1,1,0).
b) Plano tangente a la superficie en el punto P0 .
c) La derivada direccional de f en el mismo punto P0 , en la dirección de la bisectriz del
segundo cuadrante. Decir si z f x, y , en P y en esa dirección, es creciente, decreciente,
o si está en la dirección de una curva de nivel.
2z
P0 .
d)
y 2
15.- En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P ,0 viene dada por
4
y
la función T(x,y)= 2e cosx
a) Hallar la dirección de máximo calor seguida por una partícula que parte de P.
b) Hallar la variación de temperatura experimentada por la partícula si toma, desde
P, la dirección del vector u (1,-2).
16.- Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva intersección de
las superficies xy + z=0, x2 + y2 + z2=9, en el punto P0(2,1,-2).
17.- La ecuación cos x x 2 y e xz yz 4 define implícitamente la función z f x, y .
Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular:
a) Plano tangente a la superficie en el punto P0 0,1 .
b) Derivada direccional de z en P0 0,1 y en la dirección .
4
c) Ecuación y dibujo aproximado de la curva de nivel que pasa por P0 .
d)
2z
P0 .
x y
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Asignatura: Métodos Matemáticos 3
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
18.- Un posible modelo para el consumo de leche “per cápita” viene dado por la función
z = -1,83x- 1,09 y +140,7 donde x es el consumo de leche desnatada, y el de leche
semidesnatada y z el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo
“per cápita” de 35,1 1 litros de leche desnatada y 40,1 1 litros de leche semidesnatada.
Se pide estimar el máximo error propagado y el error porcentual en la predicción sobre
el consumo de leche entera.
19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada dz/dt a lo largo de la curva
x=cost, y=sent, siendo z e x seny y evaluar si, en t=π/2, z es creciente o decreciente.
b) El radio y la altura de un cilindro circular recto verifican que:
dh
dr
6cm / min, 4cm / min
dt
dt
Si V=r2h es el volumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena,
hallar para r=h=5cm, su ritmo de variación, es decir, la derivada,
dV
.
dt
20.- La ecuación x ln y y 2 z z 3 10 define de forma implícita a z como función de x e y,
se pide:
a. La derivada direccional de z en el punto P(2,1) en la dirección del vector (2,-2)
b. Las direcciones de la curva de nivel de z en P.
c. El plano tangente y la recta normal en P.
21.- a) Sea una función diferenciable z = f(x,y) y sean x = s + , y = s, escribir las
ecuaciones de un cambio de variable
z z
z z
,
en función de
,
s
x y
b) La ecuación de Laplace es la ecuación en derivadas parciales
2z
x 2
2z
y 2
0
Comprobar que la siguiente función verifica la ecuación de Laplace z e x seny
6 xy
si x,y 0,0
22.- a) Dada la función f(x, y) = x 2 y 2
, se pide calcular f (0,0) y
si x,y 0,0
0
la derivada direccional de f en (1, 1) y en la dirección de la curva de nivel.
b) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos piezas con forma de
cono circular recto, aproximar el error propagado y el error relativo cometidos en el
cálculo del área lateral A r r 2 h 2 de uno de los conos si se han obtenido r=13,5
cm y h=20,1 cm con un error máximo de medida de 2mm.
8 xy
, se pide:
1 x2 y 2
a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-2), si se ha medido x=1 con un
error de ±1% e y=-2 con un error de ±2%.
23.- Sea la función f x, y
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Asignatura: Métodos Matemáticos 4
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
b) Hallar la curva de nivel correspondiente a z=2 y comprobar que es una hipérbola.
c) Hallar en P(1,-2) la derivada direccional en la dirección de máximo crecimiento.
24.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S x y z = 1 y S’
x2+ 2y2 + 3z2 =0, respectivamente, en el punto P(1,1,1).
b) ¿Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las superficies S
y S’?
25.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de
2
2
u x y
z z z z
variables:
y probar que
x y u v
v x y
s e n x2 y2
si x,y 0,0
26.- Sea f x, y x 2 y 2
. Se pide:
si x,y 0,0
1
a) Dominio f.
b) Estudiar la continuidad de f.
c) Calcular, si existen, las derivadas parciales de f en (0, 0).
d) Calcular, si existen, las derivadas parciales de f en (π, -π).
27.- Al hacer un levantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos
lados a=150m y b=200m, así como el ángulo comprendido C=60º ¿Cuál es el error
porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a y b es de
2cm y la de C es de 2º.
28.- Sea la función f ( x, y) x 2 4 y 2 e1 x
2
y2
, hallar:
x sen (2t )
y cos t 2
a) La derivada de f a lo largo de la curva
b)¿Es f creciente o decreciente en t=?
29.- La ecuación x 3 y 3 z 3 xyz 0 define de forma implícita a z como función de x e
y, se pide:
a) La derivada direccional de z en el punto P(1,-1) en la dirección del vector (1,-2)
b) La dirección en P donde la z tiene el máximo decrecimiento y el valor del máximo
decrecimiento.
c) El plano tangente y la recta normal en P.
30.- Sea una función diferenciable z=f(x,y) y sean r y las coordenadas polares de cada
punto (x,y), se pide hallar
z z
z z
,
en función de
, . Comprobar el resultado anterior
r
x y
considerando el cambio a polares de la función
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Asignatura: Métodos Matemáticos 5
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
z 25 5x 2 5y 2
31.- La ecuación z 3 2 x z y z - x 0 define una función z f x, y diferenciable en un
entorno del punto P(1, -2). Se pide:
2z
P .
a) El gradiente de z en el punto P y la derivada de segundo orden
x2
b) El plano tangente y la recta normal en P.
c) La derivada direccional en P en la dirección .
3
32.- La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función
T(x, y) e x cos y e y cos x .
a) ¿En qué dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0,0)?
b) Calcular el coeficiente de variación de la temperatura (derivada direccional) en
dicho punto y en la dirección de máximo crecimiento de T.
c) ¿En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura a partir de (0,0)?
d) Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a dicha superficie en el
punto (0, ).
e) Estimar mediante la diferencial el incremento de T cuando se pasa del punto (0,0)
al , .
6 6
2
2
33.- Dada la superficie ze x y 3 0 . Se pide:
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = 1. ¿Qué tipo de curva es?
b) Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie en P(2, 2).
c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto
P (2,2) al punto (2.01, 1.99).
xy y 3
si (x, y) 0,0
. Se pide:
34.- Sea la función f ( x, y) x 2 y 2
0
si (x, y) 0,0
a) Razonar si esta función es continua en el punto (0,0).
b) Hallar, si existen, las derivadas parciales f x 0,0 y f y 0,0 .
35.- a) Hallar la derivada direccional de z
xy
en el punto (1,0), según la dirección
x y2
2
del vector u (-1, 1):
a1) Aplicando la definición.
a2) Mediante la diferencial.
b) ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento de z en el punto (1, 0)?
36.- Dada la superficie x2 + 2y2 + z2 = 10, con z 0 , se pide:
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Asignatura: Métodos Matemáticos 6
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = 1. ¿Qué tipo de curva es?
b) Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie en P (2, 1).
c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto
(2,1) de su dominio, al (2.01, 0.99).
37.- a) Deducir cuál es la dirección de máximo crecimiento de una función diferenciable
z=f(x, y) en un punto P( x0 , y0 ).
b) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
lím f ( x, y) = L, entonces obligatoriamente existe el límite a lo largo de
b1) Si
x , y x 0 , y0
cualquier camino que pasa por (x0,y0) y vale L.
b2) Si f es diferenciable en (x0, y0), entonces f es continua en (x0, y0).
b3) Si f tiene derivadas parciales en (x0,y0), entonces f es continua en (x0, y0).
xy
38.- a) Hallar la derivada direccional de z
en el punto P(1,0), según la dirección
x y
del vector u (1,1) :
a1) Aplicando la definición.
a2) Mediante la diferencial.
b) Razonar si z es creciente o decreciente en P en la dirección de u .
39.- Dada F (x,y, z ) = x2 + y2 + z2 + xy + 2z −1= 0, se pide:
a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función z=f(x,y) en el punto
(0,-1,0)
b) Hallar en (0,-1) el valor de dz cuando dx = dy = 0.02.
c) Hallar el plano tangente a la superficie F(x,y,z) en el punto (0,-1, 0)
40.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de z respecto de u siendo
z = x2 – 2xy + y2, con x= u + 2v e y = u·v
1
2
2
(2x
+3y
)sen
si (x,y) (0,0)
41.- Sea f : R 2 R la función: f (x, y)
x 2 y2
.
0
si (x,y) = (0,0)
Estudiar si f es diferenciable en un punto (a,b).
x 2 y senx seny
x+y+
si (x,y) (0,0)
42.- Sea f : R 2 R la función: f (x, y)
x 2 y2
xy
.
0
si (x,y) = (0,0)
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Asignatura: Métodos Matemáticos 7
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
f (0, 0)
respecto del vector u (cos ,sen ) y en particular las
u
f (0, 0) f (0, 0)
derivadas parciales
.
y
y
x
a) Hallar la derivada
b) Estudiar si f es diferenciable en un punto (0,0).
43.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de
u xy
2 z
2 z 2 z
2 z z
variables:
2
2
a la expresión:
2
2
2
x
xy y
x y x y
v x y
x3
si x, y (0, 0)
44.- Sea f (x, y) 2x 2 y 2 xy
0
si (x, y) = (0, 0)
a) Hallar el dominio de la función f(x, y).
b) Calcular el límite de f(x, y) en (0, 0) a lo largo del camino y = x – 2 x2.
c) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen.
f x, y
f x, y
y
en los puntos (0,0) y (2, -1).
d) Calcular
y
x
e) Determinar en el punto P(2, -1) el valor de la derivada de f(x,y) en la dirección del
vector u 1, 3 .
x 2y 5
2x y si y 2x
45.- Consideremos f(x,y)=
. Se pide:
1
si y=2x
2
a) ¿Existe el límite: lím f(x,y) ?
x,y 1,2
b) ¿Es continua la función en (1,2)?
c) ¿Es diferenciable la función en (1,2)?
x u v
46.- Sea la función z f (x, y) con derivadas parciales continuas y sean
las
y v u
z z
ecuaciones de un cambio de variable, se pide demostrar que
0 y comprobarlo
u v
para z (x y)sen(y x)
x 2u v
47.- Sea la función z = sen (2x + 3y). Se efectúa el cambio de variables:
y v 2u
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Asignatura: Métodos Matemáticos 8
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
z z
Hallar
y
en
u v
u
2
v 0
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Asignatura: Métodos Matemáticos 9
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x6
si x, y 0,0
1.- Sea la función f x, y x 2 y x 6
. Probar que:
0
si x, y 0,0
a) Existen las derivadas parciales de f en (0, 0).
b) f no es continua en (0,0).
Solución:
h6
0
h2 0 h6
f h, 0 f 0, 0
h5
f
lim
lim
a) f x (0, 0)
0, 0 lim
h 0
h 0
h 0 1 h 4
h
h
x
0
0
f 0, k f 0, 0
0 k 0
f
f y (0, 0) 0, 0 lim
lim
lim 0 0 .
k 0
k 0
k 0
k
k
y
b) f no es continua en (0,0) al no existir el
lím
x , y 0, 0
0.
f x, y . Y es que los límites radiales son
todos nulos, en cambio, el límite a lo largo de la parábola y x 2 es 1.
Límites reiterados en (0, 0):
lim lim f ( x, y ) lim(0) 0
x 0 y 0
x0
lim lim f ( x, y ) lim(0) 0
y 0 x 0
y 0
Límites radiales en (0, 0):
lim
( x , y ) 0,0
y mx
x6
x5
0
lim
0
5
2
6
x 0 x mx x
x 0 ( x m) x
m
f ( x, y ) lim
Límite a lo largo de la parábola y=x2:
x6
lim f ( x, y ) lim 2
lim1 1
x 0 x x 2 x 6
x 0
( x , y ) 0,0
2
yx
Luego no existe el límite
lim
( x,y) 0,0
f (x, y) y, por tanto, f no es continua en (0, 0).
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Asignatura: Métodos Matemáticos 10
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1
si x y 0
x y sen
xy
2.- Sea la función f x , y
.
0
si x y 0
a) Probar que f es continua en (0,0).
b)¿Es f diferenciable en (0, 0)? (Nota: investigar la existencia de derivadas parciales).
Solución:
a)
Los límites radiales son nulos.
1
r cos rsen sen
0 r cos rsen r cos sen 2r g ( r ) , con
r cos rsen
lim g ( r ) 0
r 0
Luego
lím f ( x, y) 0 f (0,0) , y, por tanto f es continua en (0,0).
x , y 0, 0
b)
f h ,0 f 0,0
f
0,0 lim
lim
h
0
h 0
h
x
1
0
1
h0
lim sen No existe.
h
0
h
h
h 0sen
Luego, f no es diferenciable en (0,0), ya que si lo fuera existirían las derivadas parciales de f
en dicho punto.
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Asignatura: Métodos Matemáticos 11
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x3
3.- Hallar la derivada direccional de z x 2 y 2
0
según la dirección del vector u (1, 2) :
si x, y 0,0
si x, y 0,0
en el punto (0,0),
a) Mediante la definición de derivada direccional.
b) Aplicando la regla de la cadena.
c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones diferenciables.
A la vista del apartado anterior, ¿es f diferenciable en (0, 0)?
Solución:
a) Mediante la definición de derivada direccional.
1,2 1 , 2
u
u
1 4 5 5
h3
f
0, 0
u
h 2h
3
f
,
f 0, 0
5
5 5
lim
lim
lim
h 0
h 0
h
h 2 4h 2 h 0
h
5
5
1
5
3
1
5 5
b) Aplicando la regla de la cadena.
f
t x t , yt z f x , y zt
u
Recta que pasa por O(0, 0) y tiene de dirección :
u
t
x 5
,
r
2
t
y
5
x
t
y
t
z
z dy
f
z dx
dz
0,0
u
dt t 0 x 0, 0 dt t 0 y 0,0 dt t 0
h3
0
2
f h ,0 f 0,0
z
h
0
lim
lim
1 ; análogamente,
h 0
h
h
x 0,0 h 0
Por tanto,
z
0.
y 0,0
1
f
1
2
dz
0
0, 0 1
u
5
5
5
dt t 0
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Asignatura: Métodos Matemáticos 12
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
c) Mediante la fórmula para calcular derivadas direccionales de funciones diferenciables.
1
f
u
1 2
,
0, 0 f 0, 0 1, 0
u
u
5
5 5
A la vista del apartado anterior, ¿es f diferenciable en (0, 0)?
f no es diferenciable en (0,0), ya que si lo fuera, deberíamos haber obtenido el mismo
f
resultado por los tres métodos al calcular 0,0 .
u
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Asignatura: Métodos Matemáticos 13
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
4.- La fórmula que mide el efecto enfriador del viento viene dada por
E = 0,0817 (3,71 v +5,81-0,25v)(T-91,4) + 91,4
donde v es la velocidad del viento en millas/h y T la temperatura en grados Fahrenheit.
Supongamos que la velocidad del viento es 23 3 millas/h y la temperatura 8º 1º.
Usar dE para estimar el error propagado máximo y el error relativo al calcular el efecto
enfriador E.
Solución:
Error propagado máximo E dE
E
E
dv
dT
v
T
dv 3, dT 1, v 23, T 8
E 817(371 50 v )(5T 457)
0.9320858435
7
v 23,T 8
v
10 v
817(25v 371 v 581)
E
1
.
458552105
v 23,T 8
t
10 6
dE 0.9320858435 3 1.458552105 1
3 0.9320858435 1 1.458552105 1
1.337705425
Error relativo
E dE 1.337705425
0.04423154322 4.4%
E
E 30.24324560
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 14
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
5.- La superficie de una montaña admite aproximadamente el modelo:
h ( x, y) 5000 0.001 x 2 0.004 y 2 .
Si un montañero se encuentra en el punto (50, 300), ¿En qué dirección debe moverse si
desea ascender con la mayor rapidez posible?
Solución:
Debe tomar la dirección dada por el vector:
h h
h 50,300 ,
0.002x,0.008y 50,300 0.1,2.4
x y 50,300
Que es lo mismo que seguir la dirección del vector (-1,-24).
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 15
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
6.- La temperatura en un entorno del origen viene dada por una función de la forma
T ( x , y) T0 e y sen x . Hallar la trayectoria seguida por una partícula, originada en el
origen, que huye del calor. Hallar la variación de temperatura que experimentaría la
partícula si tomase la dirección del vector u = (1,-2).
Solución:
Representamos la trayectoria por unas ecuaciones paramétricas: r t xt , yt .
Un vector tangente a dicha trayectoria en cada punto x t , yt viene dado por
dx dy
r `t , .
dt dt
Como la partícula huye del calor, tomará la dirección de máximo descenso de temperatura,
que viene dada por el vector:
T T
Tx , y , e y cos x , e y senx
x y
Por tanto, las direcciones de r `t y de e y cos x ,e y senx son la misma a lo largo de toda la
trayectoria. Así pues,
dx
dy
y e y senx k
, donde k depende de t.
e y cos x k
dt
dt
dt
en cada ecuación e igualando los resultados, se obtiene:
Despejando
k
dx
dy
tgx dx dy y tgx dx -lncosx C
cos x senx
Como sabemos que la partícula parte del origen, ha de ser: 0 -lncos0 C C .
Por consiguiente, la trayectoria seguida por la partícula será:
y -lncosx
La figura muestra esa trayectoria.
Observación: La trayectoria es perpendicular a las
curvas de nivel (isotermas) pues en cada punto su vector
tangente es paralelo al vector gradiente en ese punto.
La variación de temperatura que experimentaría la partícula si
tomase la dirección del vector u = (1,-2) sería la derivada
direccional de T en el (0, 0) en la dirección de dicho vector:
T
u
1 2 1
5
,
0, 0 T 0, 0 1, 0
5
u
u
5
5 5
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Asignatura: Métodos Matemáticos 16
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
7.- Un campo escalar diferenciable z = f(x, y) tiene, en el punto P(1,2) las derivadas
direccionales +2 en dirección al punto A(2,2) y –2 en dirección al punto B(1,1).
Determinar el vector gradiente en P y calcular la derivada direccional en P en dirección
al punto C(4,6).
Solución:
C
6
w
2
1
P
v
1
u
A
B
2
4
Sea f P a , b
Vector dirección de P a A: u 2,2 1,2 1,0
Vector dirección de P a B: v 1,1 1,2 0,1
f
P
f P 1,0 2
u
f
P f P 0,1 2
v
a, b 1, 0 a 2
a 2, b 2 f P 2, 2
a, b 0, 1 b 2
Vector dirección de P a C: w 4,6 1,2 3,4 w 9 16 5
3,4 14
f
P 2,2
w
5
5
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Asignatura: Métodos Matemáticos 17
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
8.- Hallar la constante c tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas
x c 2 y 2 z 2 3 ; x 2 y c 2 z 2 1
los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares entre sí.
Solución:
Unas ecuaciones implícitas de ambas esferas son, respectivamente:
2
F x , y , z x c y 2 z 2 3 0
G x , y, z x 2 y c z 2 1 0
2
Un vector normal al plano tangente a la primera superficie es:
F F F
n 1 , , 2x c , 2 y, 2z
x y z
Un vector normal al plano tangente a la segunda superficie es:
G G G
2 x , 2y c , 2z
n 2
,
,
x y z
Para que se cumplan las condiciones exigidas en el enunciado del problema, para el punto
genérico P(x, y, z) se ha de verificar:
1) P debe pertenecer a la primera superficie: x c y 2 z 2 3 0
2
2) P debe pertenecer a la segunda superficie: x 2 y c z 2 1 0
3) n 1 n 2 0 2x c , 2 y, 2z 2 x , 2y c , 2z 0 x 2 cx y 2 cy z 2 0
2
Resolviendo con DERIVE el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores, se obtiene
que ha de ser c 2 .
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Asignatura: Métodos Matemáticos 18
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x cost
y la
y sent
temperatura del agua en el estanque está dada por la expresión T = x2 ey – x y3. Hallar el
T
coeficiente de variación de la temperatura
que puede sentir el pato:
t
a) Expresando T en términos de t y diferenciando.
b) Mediante la regla de la cadena.
9.- Un pato está nadando a lo largo de la circunferencia unidad
Solución:
a) T( t ) cos 2 t e sent cost sen 3 t
dT
2 cost (-sent)e sent cos 2 t e sent cost - (-sent)sen 3 t cos t 3 sen 2 t cost
dt
2 cost sent e sent cos 3 t e sent sen 4 t 3 sen 2 t cos 2 t
b)
T T dx T dy
t
x
t x dt y dt
2 xe y y 3 sent x 2 e y 3xy 2 cos t
T
y
t
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
2 cost sent e
sent
cos t e
3
sent
sen 4 t 3 sen 2 t cos 2 t
Asignatura: Métodos Matemáticos 19
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x u v
10.- El cambio de variables
transforma z = f(x,y) en z = g(u,v). Calcular el
2
y uv
f 2 f 2 f
2f
2f
2z
1 en
valor de
en el punto u =1, v =1, sabiendo que
y x 2 y 2 xy yx
vu
dicho punto.
Solución:
x
f g
u
y
x
f , f
x y
2g
g
vu v u
f 2
g f x f y f
1
v
u x u y u x
y
2g
f
f 2 f f 2 f
2 f
1
v
v
v
vu v x
y
v y
v x v y
v x
u
y
u
u
f f x f y
v x x x v y x v
f f x f y
v y x y v y y v
Sustituyendo estas dos últimas expresiones en la anterior a
ellas, queda:
f x f y f 2
2g
f x f y
v2
v
vu x x v y x v
x y v y y v y v
2
f
2f
2f
2f
2 f
1
2uv
v
1
2uv 2v 1 2 1 2 2 8
2
2
x
yx
y
xy
y u,v 1,1
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Asignatura: Métodos Matemáticos 20
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
11.- La ecuación xy + xz3 + zy + 1 = 0 define implícitamente una función real de dos
variables reales z=f(x,y).
a) Hallar el vector gradiente de f en el punto P(-1,1,0).
b) Calcular la derivada direccional de z en P en la dirección de descenso más
pronunciado.
c) Dar la ecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P.
2z
d) Hallar
en P.
y 2
Solución:
a) F(x, y, z) = xy + xz3 + zy + 1 = 0 define implícitamente a la función z = f(x,y).
z z
El vector gradiente de f en el punto P es f P ,
x y P
F
z
y z3
z
1
x
P
1
F
x
3xz 2 y
x
1
z
F
z
xz
z
1
y
P 1
2
F
y
3xz y
y
1
z
f P 1,1
b) La dirección de descenso más pronunciado viene dada por el vector:
u f P 1,1
La derivada direccional de z en P en esta dirección es:
1, 1 1 1 2
f
u
P f 1,1 1,1
u
u
2
2
2
2
c) Ecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P:
f
f
z z0
P x x 0 P y y0 z 0 1 x 1 1 y 1 x y z 2 0
x
y
xz
z z
d)
y 2 y y y 3xz 2 y
2
3xz
2
y
z
z
x z 3x2z 1
y
y
3xz
2
y
2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
3xz
2
y
y x z x z y 3xz
3xz
2
y
2
2
y
2z
0 1 1 1 0 0 1 = 2
2
2
0 1
y P
Asignatura: Métodos Matemáticos 21
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
12.- Dada la función f(x, y) = x tg y , se pide:
a) Hallar el dominio de f.
b) Dar las direcciones de máximo y nulo crecimiento de f en el punto P 2, .
4
c) Calcular la derivada direccional h() de f en P en la dirección que forma un ángulo
con el eje de abscisas.
d) Hallar la aproximación lineal (plano tangente) de f(x,y) en P.
e) Suponiendo que el error estimado al medir la magnitud “x” es de un 2% y el de “y”
un 5% ¿cuál es la estimación del error propagado?
x cos t
f) Calcula la derivada de f respecto de t en la circunferencia
.
y sen t
Solución
a) Domf = R2- {(x, y) tales que y= /2+k, kZ}
b) La dirección de máximo crecimiento es la del gradiente:
x
f (P ) = t gy,
= (1,4).
cos 2 y P
Análogamente la dirección de nulo crecimiento es u f ( P ) , luego u = (4,-1).
c) Un vector en la dirección indicada es u = (cos, sen), además u 1 , por tanto,
h()= f (P ) (cos, sen)= (1,4) (cos, sen)= cos+4sen.
d) La ecuación de la aproximación lineal es la del plano tangente en P:
f
f
z = z0+ ( x x 0 ) ( y y 0 )
x P
y P
z0 = f(2,/4) = 2 z = 2+ 1( x 2) 4( y )
4
f
f
e) dz= dx dy el error propagado es
x P
y P
E1ꞏ(0,02) + 4ꞏ(0,05) = 0,22
dx
dt s en t
x
cos
t
f)
y sen t
dy cos t
dt
cos 2 t
df f dx f dy
x
t
g
sent
s
ent
= t gy s ent
cos t =
cos 2 sent
dt x dt y dt
cos 2 y
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 22
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
13.- La temperatura en un punto (x, y) de una lámina metálica es T ( x , y)
3x
.
x y2
2
a) Hallar la curva de nivel (isoterma) que pasa por el punto P(2, -1).
b) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en P.
c) Hallar el coeficiente de variación de la temperatura en P en la dirección de la
bisectriz del primer cuadrante.
d) Hallar, usando la regla de la cadena, el coeficiente de variación de la temperatura a
x 2 sent
lo largo de la curva
.
y
cos
t
e) Si la cota de error en la medida de “x” es de 1% y en la de “y” es de 2% , hallar
el máximo error propagado de T en P.
Solución
a)
Para hallar la curva de nivel en P(2,-1) calculamos previamente el valor de T(P)
T(2, 1)
3 2
22 1
2
6
5
La curva de nivel en P tiene por ecuación
6
3x
2
5 x y2
Operando obtenemos x2+y2-5/2x=0 que corresponde a una circunferencia de centro (5/4,0) y
radio 5/4.
b)
La dirección de máximo crecimiento sabemos, por teoría que es la del vector gradiente.
2
3y 3x 2
6xy
,
T(P) Tx (P),Tx (P)
x 2 y 2 2 x 2 y 2 2
Y en P es:
2
2
3(
1)
3
2
6
2
(
1)
9 , 12
,
T(2, 1)
2
2
22 (1) 2 22 (1) 2 25 25
c)
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Asignatura: Métodos Matemáticos 23
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Se nos pide la derivada direccional de T en P y en la dirección α=π/4
9 12 2 2
Tv (P) T(P) v Tx (P),Tx (P) cos ,sen ,
,
25 25 2 2
3 2
50
d)
Aplicamos la regla de la cadena a T a lo largo de la curva x=2sent, y= cost, y sustituimos x e
y por las funciones de t que definen x e y
x 2 sent dx 2 cost
y cos t
dy sent
T
3y 2 3x 2
6xy
T
dT dx dy
2cos t
(sent)
2
2
2
2
2 2
y
x
x y
x y
3(cos t) 2 3(2sent)2
(2sent)
2
(cos t)2
2cos t
2
6(2sent)(cos t)
(sent)
(2sent)2 (cos t)2
6cos t 1 3sen 2 t
1 3sen t
2
2
e)
El error propagado máximo (en la medición de T) se obtiene a partir de la fórmula de la
diferencial total de T
T
T
dT dx dy
x P
y P
hora sustituimos x=2, y=-1, dx=±0.01, dy=±0.02 y se obtiene la cota de error que
denominamos "error propagado máximo"
error propagado máximo = (-0.36)·(±0.01) + 0.48·(±0.02)
error propagado máximo = ±0.0132
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Asignatura: Métodos Matemáticos 24
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
14.- La ecuación z 2 x 2 z 2 xy yz 3 0 define z f x, y como función implícita de
x e y. Hallar:
a) f P0 , siendo P0(1,1,0).
b) Plano tangente a la superficie en el punto P0 .
c) La derivada direccional de f en el mismo punto P0 , en la dirección de la bisectriz del
segundo cuadrante. Decir si z f x, y , en P y en esa dirección, es creciente,
decreciente, o si está en la dirección de una curva de nivel.
2z
P0 .
d)
y 2
Solución
a) F( x, y, z) z 2 x 2 z 2xy yz 3
F
2xz 2 y
zx x
Fx 2 xz 2 y
Fz
2z x 2 y
Fy 2 x z
Fy
2x z
zy
Fz 2z x 2 y
Fz
2z x 2 y
Sustituyendo en P0 : z x 1 , z y 1 , luego, f P0 = (-1, -1).
b) Plano tangente a la superficie en el punto P0 :
f
f
z z 0 P0 x x 0 P0 y y0 z 0 1 x 1 1 y 1 x y z 2 0
x
y
c) Vector unitario en la dirección de la bisectriz del segundo cuadrante:
u 1 1
,
u 2 2
Derivada direccional de f en P0 , en la dirección de este vector:
u
z
1 1
1
,
1
z
1
,
1
,
0
1,1
u
u
2 2
Luego, en P y en esa dirección, z está en una curva de nivel.
d)
2z
z
2x z
2
y y y 2z x 2 y
y
2z x 2 y y 2x z 2x z y 2z x 2 y
2z x 2 y2
2z x
2
y
yz 2x z 2 yz 1
2z x
2
y
2
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2
z P 12 2 2 1 0
0
4
y 2
Asignatura: Métodos Matemáticos 25
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
15.- En una superficie, la temperatura en un entorno del punto P ,0 viene dada por
4
y
la función T(x,y)= 2e cosx
a) Hallar la dirección de máximo calor seguida por una partícula que parte de P.
b) Hallar la variación de temperatura experimentada por la partícula si toma, desde P,
la dirección del vector u (1,-2).
Solución
T T
1, 1
,
a) T , 0
4 x y ,0
4
T
b) P
u
u
1 2
T P 1, 1
,
u
5 5
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1
5
Asignatura: Métodos Matemáticos 26
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
16.- Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva intersección de
las superficies xy + z=0, x2 + y2 + z2=9, en el punto P0(2,1,-2).
Solución
La recta tangente es la intersección de los dos planos tangentes a ambas superficies en el
punto P0.
Plano tangente a la primera superficie:
f
P x x 0 f P y y 0 x 2 y z 2 0 , siendo f(x, y) = - x y.
z z0
x
y
Plano tangente a la segunda superfície:
F
P x x 0 F P y y 0 F P z z 0 0 2x y 2z 9 0 , siendo F(x, y, z) =
x
y
z
2
2
2
x + y + z – 9.
x 2 y z 2 0
Ecuación de la recta tangente pedida: t
2 x y 2 z 9 0
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Asignatura: Métodos Matemáticos 27
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
17.- La ecuación cos x x 2 y e xz yz 4 define implícitamente la función
z f x, y .
Suponiendo que se dieran las condiciones de diferenciabilidad adecuadas, calcular:
a) Plano tangente a la superficie en el punto P0 0,1 .
b) Derivada direccional de z en P0 0,1 y en la dirección .
4
c) Ecuación y dibujo aproximado de la curva de nivel que pasa por P0 .
d)
2z
P0 .
x y
Solución:
a) Fx , y, z cosx x 2 y e xz yz 4 0
Para x = 0, y = 1, se obtiene: 1 0 1 z 4 0 z 2
F
F
F
x x 0 y y 0 z z 0 0
z P0
x P0
y P0
Fx x , y, z sen x 2 xy e xz z Fx 0,1,2 2
Fy x, y, z x 2 z Fy 0,1,2 2
Fz x , y, z e xz x y Fz 0,1,2 1
Luego, se tiene que:
2 x 0 2 y 1 1 z 2 0 2 x 2 y z 4 0
b) Si el vector es unitario:
z
u
P0 f P0 u .
, es:
4
2
2
u cos , sen
,2
4 2
4
F 0,1,2
z
P0 Fx 0,1,2 2 ; z P0 y
2
x
Fz 0,1,2
y
Fz 0,1,2
Un vector unitario en la dirección
2
2
, 2 2 0 .
2
2
u
c) Curva de nivel que pasa por P0 0,1 : Se sustituye z por 2 en la ecuación de la
superficie:
e 2 x cos x 4
cos x x 2 y e2 x 2 y 4 y
x2 2
Por tanto,
z
P0 f P0 u 2, 2
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Asignatura: Métodos Matemáticos 28
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
d)
xe
xz
2
F
2z
P0 z y z xz x
x y
x y x Fz
x xe y
y
y z x 2x z x 2 xe xz xz x z e xz
xe
xz
2
Particularizando en P0 (x = 0, y = 1, z = 2), se obtiene:
2z
P0 1 2 2 4
x y
1
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Asignatura: Métodos Matemáticos 29
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
18.- Un posible modelo para el consumo de leche “per cápita” viene dado por la función
z = -1,83x- 1,09 y +140,7 donde x es el consumo de leche desnatada, y el de leche
semidesnatada y z el de leche entera. Una empresa láctea estima para el año un consumo
“per cápita” de 35,1 1 litros de leche desnatada y 40,1 1 litros de leche semidesnatada.
Se pide estimar el máximo error propagado y el error porcentual en la predicción sobre
el consumo de leche entera.
Solución
El error propagado viene dado por la diferencial:
z
z
z dz
P0 x P0 y
x
y
z f (x, y) 1, 83x 1, 09 y 140, 7
f (35.1, 40.1) 1, 83 35.1 1, 09 40.1 140, 7 32.758
z
P0 = -1.83
x
z
P0 = -1.09
y
z dz
z
z
P0 x P0 y = (-1.83). 1 + (-1.09) 1 = - 2.92.
x
y
Error porcentual:
z 2.92
0.08913853104 8.913853104 %
z 32.758
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Asignatura: Métodos Matemáticos 30
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
19.- a) Aplicando la regla de la cadena, calcular la derivada dz/dt a lo largo de la curva
x=cost, y=sent, siendo z e x seny y evaluar si, en t=π/2, z es creciente o decreciente.
b) El radio y la altura de un cilindro circular recto verifican que:
dh
dr
6cm / min, 4cm / min
dt
dt
Si V=r2h es el volumen de dicho cilindro se pide, aplicando la regla de la cadena, hallar
para r=h=5cm, su ritmo de variación, es decir, la derivada,
dV
.
dt
Solución
dz z dx z dy
a)
dt x dt y dt
z
= e x seny
x
z
= e x cos y
y
Llevando estas expresiones a la derivada:
dz z dx z dy
e x seny ( sent ) e x cos y cos t
dt x dt y dt
Sustituyendo x e y en función de t en la expresión anterior:
dz
e cos t sen( sent )( sent ) e cos t cos( sent ) cos t
dt
Para el valor t=π/2:
dz cos( /2)
sen( sen( / 2))( sen( / 2)) e cos( / 2) cos( sen( / 2)) cos( / 2)
e
dt 2
-SIN(1)
dz
Por ser la derivada
( π/2) < 0, z es decreciente en dicho valor de t.
dt
b)
Calculemos:
2
2
dV V dr V dh r h dr r h dh
dr
dh
2 rh r 2
dt
r dt h dt
r
dt
h
dt
dt
dt
Sustituyendo r y h por sus valores concretos, se obtiene:
dV
(5,5) 2 5 5 6 52 4 200·π
dt
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 31
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
20.- La ecuación x ln y y 2 z z 3 10 define de forma implícita a z como función de x e y,
se pide:
a) La derivada direccional de z en el punto P(2,1) en la dirección del vector (2,-2)
b) Las direcciones de la curva de nivel de z en P.
c) El plano tangente y la recta normal en P.
Solución:
z
P
f
P
u
a)
u
Hemos de hallar el vector gradiente de f en forma implícita:
F x, y,z x ln y y 2 z z3 10 0
Fx x, y,z ln y
x
Fy x, y,z 2yz
y
Fz x, y,z y 2 3z 2
El gradiente de z en (x, y) es
x
2 yz
Fx ( P ) Fy ( P)
ln y
y
f P f x ( P ), f y ( P )
,
, 2
2
2
y 3z 2
Fz ( P ) Fz ( P ) y 3 z
Hallemos f(2,1), despejando z en la ecuación implícita para esos valores de x e y:
F 2,1,z 2ln1 12 z z3 10 0 z 2
Luego, z = 2.
El gradiente de z en (2, 1) es:
2
2 1 2
ln1
6
f 2,1 2
0,
, 12
2
2
1 3 2
13
1 3 2
Y la derivada direccional pedida es:
z
P f P u 0,
u
6 2, 2 3 2
13
13 2, 2
b)
Las direcciones de la curva de nivel indican crecimiento nulo, es decir, en P y en dichas
direcciones la derivada es 0, luego la dirección seguida es ortogonal al vector gradiente, por lo
tanto, son las indicadas por los vectores (-1,0), (1,0).
c)
La ecuación del plano tangente en el punto P (x=2, y=1, z=2), es
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Asignatura: Métodos Matemáticos 32
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
z z0
f
f
6
P x x 0 P y y0 z 2 0 x 2 (y 1)
x
y
13
Operando y pasando al primer miembro queda: 6y+13z-32=0
Un vector ortogonal al plano es (0,6,13) por lo que una ecuación de la recta normal en P es
x 2
y 1 6
z 2 13
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 33
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
21.- a) Sea una función diferenciable z = f(x,y) y sean x = s + , y = s, escribir las
ecuaciones de un cambio de variable
z z
z z
,
en función de
,
s
x y
b) La ecuación de Laplace es la ecuación en derivadas parciales
2z
x 2
2z
y 2
0
Comprobar que la siguiente función verifica la ecuación de Laplace z e x seny
Solución
a)
z z x z y z z
s x s y s x y
z z x z y z z
s
x y x y
b)
No hay más que hallar las derivadas segundas, sustituir en la ecuación y ver que se
cumple:
z
2z
x
e seny 2 ex seny
x
x
z
2z
e x cos y 2 e x seny
y
y
2z 2z
ex seny e x seny 0
x 2 y 2
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Asignatura: Métodos Matemáticos 34
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
6 xy
si x,y 0,0
2
2
22.- a) Dada la función f(x, y) = x y
, se pide calcular f (0,0) y
si x,y 0,0
0
la derivada direccional de f en (1, 1) y en la dirección de la curva de nivel.
c) La caja de cambios automática de un Nissan Qasqhai tiene dos piezas con forma de
cono circular recto, aproximar el error propagado y el error relativo cometidos en el
cálculo del área lateral A r r 2 h 2 de uno de los conos si se han obtenido r=13,5
cm y h=20,1 cm con un error máximo de medida de 2 mm.
Solución:
a)
Por estar definida la función f(x, y) de forma distinta en (0,0) que en el resto, el cálculo
f f
de f (0,0) ,
hemos de hacerlo mediante límites:
x y 0,0
6h 0
0
0
f
h2 02
lím
lím lím 0 0
h
0
h
0
h
h h 0
x 0, 0
6·0·h
0
2
2
f
0
0
h
lím
lím lím 0 0
h 0 h
h 0
h
y 0, 0 h0
Luego f (0,0) 0,0
La curva de nivel es el conjunto de puntos (x,y) donde la función tiene el mismo valor,
luego su dirección indica, en cada punto, la dirección de crecimiento cero, luego la
derivada direccional de f en (1,1) y en la dirección de la curva de nivel es 0.
b)
El error propagado es una cota del error obtenida mediante la diferencial de la función
A r r 2 h 2 , es decir, teniendo en cuenta que dA
A
A
dr
dh y tomando
r
h
r=13.5 cm y h=20.1 cm, dr= dh =0,2 cm.
h 2 2r 2
A
A
hr
dA
dr
dh
dr
dh
r
h
r 2 h2
r 2 h2
20,12 2 13,52
13,52 20,12
Luego, el error propagado es
0, 2
20,1 13,5
13,52 20,12
0, 2 26,9842
Ep 26.9842 cm.
El error relativo es el cociente entre el error propagado y el valor (aproximado) del área
medida
Er
Ep
A
26,9842
13,5 13,5 20,1
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2
2
0, 2627730585
Asignatura: Métodos Matemáticos 35
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Luego, Er 0.02627, en porcentaje sería un error porcentual del 2.63%
aproximadamente.
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Asignatura: Métodos Matemáticos 36
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
8 xy
, se pide:
1 x2 y 2
a) Hallar el error porcentual, en la estimación de f(1,-2), si se ha medido x=1 con un
error de ±1% e y=-2 con un error de ±2%.
b) Hallar la curva de nivel correspondiente a z=2 y comprobar que es una hipérbola.
c) Hallar en P(1,-2) la derivada direccional en la dirección de máximo crecimiento.
Solución:
a) El error porcentual se estima con (df(1,-2)/f(1,-2))100.
23.- Sea la función f x, y
8y x y 1
8x x y 1
f
f
dz P dx P dy
dx
dy
2
2 2
2
2 2
x
y
1 x y
1 x y
2
2
2
2
Los datos de los errores de medida que nos proporcionan nos dicen que dx=±1%=±0.01,
dy=±2%=±0.02. Calcularemos, en x=1, y=-2, el error porcentual en valor absoluto
dz
0,01 8 1 2 1 0,02 -0.02666666
8 2 12 2 1
2
1 12 2
z f 1, 2
2 2
8 1 2
1 12 2
2
2
2
1 1
2
22
2
8
3
dz 0,026666
0,01 . Es decir, el error porcentual es aproximadamente un 1%
z
8 / 3
b) Es una hipérbola, como se ve operando y dibujando
8 xy
f x, y
2 8 xy 2 1 x 2 y 2 4 xy x 2 y 2 1 0
2
2
1 x y
c) La dirección de máximo crecimiento es la del gradiente en (1,-2) y el valor de la derivada
direccional es el módulo del gradiente. Las derivadas en (1,-2) están calculadas en el apartado
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Asignatura: Métodos Matemáticos 37
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
a)
8y x 2 y 2 1 8x x 2 y 2 1
f
f
f P P , P
,
2
2
2
2
2
2
x
y
(1,2)
1 x y (1,2)
1 x y
16 , 4
8 2 12 2 2 1 8 12 2 2 1
,
2
2 2
1 12 22
1 12 2
9
9
16 4 4 17
f P ,
9
9 9
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Asignatura: Métodos Matemáticos 38
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
24.- a) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies S x y z = 1 y
S’ x2+ 2y2 + 3z2 =0, respectivamente, en el punto P(1,1,1).
b) ¿Cuál sería la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las
superficies S y S’.
Solución:
a)
Utilizaremos las fórmulas de la derivación implícitas para obtener los gradientes de cada
superficie en el punto indicado
Fx x, y,z yz
F x, y,z xyz 1 0
Fy x, y,z xz
Fz x, y,z xy
El gradiente de S en (x, y) es
F ( P ) Fy ( P ) yz xz z z
,
f P f x ( P ), f y ( P ) x
, ,
Fz ( P ) Fz ( P ) xy xy x y
Hallemos F(1,1,1),
F 1,1,1 1 1 1 1 0
El gradiente de f en (1, 1) es:
1 1
f 1,1 , 1, 1
1 1
La ecuación del plano tangente en el punto P (x=1, y=1, z=1), es
z z0
f
f
P x x 0 P y y0 z 1 1 x 1 1(y 1)
x
y
x+y+z=3
Fx x, y,z 2x
Fy x, y,z 4y
F x, y,z x 2 2y 2 3z 2 0
Fz x, y, z 6z
El gradiente de S’ en (x, y) es
F ( P ) Fy ( P) 2 x 4 y x 2 y
,
f P f x ( P), f y ( P) x
, ,
Fz ( P ) Fz ( P) 6 z 6 z 3 z 3 z
Hallemos F(1,1,1),
F 1,1,1 12 2 12 3 12 6
El gradiente de f en (1, 1) es:
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Asignatura: Métodos Matemáticos 39
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1 2
f 1,1 ,
3 3
La ecuación del plano tangente en el punto P (x=1, y=1, z=1), es
z z0
f
f
1
2
P x x 0 P y y0 z 6 x 1 (y 1)
x
y
3
3
x + 2·y + 3·z = 6
b) La recta tangente a la curva intersección de las superficies S y S' es la determinada por la
intersección de los dos planos obtenidos
x t
y 3 2t
x 2y 3z 0
z t
xyz 3
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Asignatura: Métodos Matemáticos 40
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
25.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio
2
2
u x y
z z z z
de variables:
y probar que
x y u v
v x y
Solución:
x
u
y
x
f
v
y
z z z u z v z u z v z
z z
z
1 1 1 (1)
x y u x v x u y v y u
v u
v
2
z z
u v
2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 41
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
s e n x2 y2
si x,y 0,0
26.- Sea f x, y x 2 y 2
. Se pide:
si x,y 0,0
1
a) Dom f.
b) Estudiar la continuidad de f.
c) Calcular, si existen, las derivadas parciales de f en (0, 0).
d) Calcular, si existen, las derivadas parciales de f en (π, -π).
Solución:
a) El dominio de la función es todo R2
b) En todo (x,y) ≠ (0,0) la función es cociente de funciones continuas cuyo denominador es
distinto de 0.
En (0,0) hemos de estudiar si el límite es 1.
Pasamos a polares
f ( x, y )
s e n r cos r s en
2
r cos r s en
2
2
2
sen r
2 2
r2
sen 2 r 2
1
r 0
r2
lím
Luego f también es continua en (0,0)
c) El cálculo de las derivadas parciales en (0,0) se realiza aplicando la definición
sen(h 2 02 )
1
2
2
0
f
h
0
lím
lím lím 0 0
h
0
h
0
h
h h 0
x 0,0
f
y 0,0
sen(02 h 2 )
1
2
2
0
0
h
lím
lím lím 0 0
h 0
h
0
h
h h 0
d) Al ser la función diferenciable en (x,y)≠(0,0), por ser cociente de funciones diferenciables,
aplicamos las reglas de derivación
2
2
2
2
2
2
f 2x x y cos x y s e n x y
2
x
x 2 y2
2
2
2
2
2
2
f 2y x y cos x y s e n x y
2
y
x 2 y2
Sustituimos en (√π,-√π)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
f
x
f
y
1
1
,
,
Asignatura: Métodos Matemáticos 42
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
27.- Al hacer un levantamiento de una porción triangular de terreno se han medido dos
lados a=150m y b=200m, así como el ángulo comprendido C=60º ¿Cuál es el error
porcentual que tendrá el área de dicho terreno si la cota de error al medir a y b es de
2cm y la de C es de 2º.
Solución:
El error propagado es una cota del error obtenida mediante la diferencial de la función
1
A
A
A
A absenC , es decir, teniendo en cuenta que dA
da
db
dC y tomando
2
a
b
C
a=150 m, b=200 m y C= , da= db =0,02m y dC= .
3
9
A
A
A
1
a
b
C bsenCa asenCb ab cos CC
2
a
b
C
1
200sen 0, 02 150sen 0, 02 150 200 cos 264,8304766
2
3
3
3 9
E P A
Luego, el error propagado es Ep 264,8304766m.
El error relativo es el cociente entre el error propagado y el valor (aproximado) del área
medida
Ep
Er
A
1
1
A absenC 150 200 sen 12990,38105
2
2
3
Luego, Er 0,0203866596, en porcentaje sería un error porcentual del 2,03866596 %
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 43
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
28.- Sea la función f ( x, y) x 2 4 y 2 e1 x
2
y2
, hallar:
x sen (2t )
2
y cos t
a) La derivada de f a lo largo de la curva
b) ¿Es f creciente o decreciente en t=?
Solución:
a)
2
2
2
2
df f dx f dy
2 x x 2 4 y 2 1 e1 x y 2cos(2t ) 2 y x 2 4 y 2 4 e1 x y 2tsen(t 2 )
dt x dt y dt
2 sen(2t ) sen 2 (2t ) 4cos 2 (t 2 ) 1 2cos(2t ) 2cos(t 2 ) sen 2 (2t ) 4cos 2 (t 2 ) 4 2tsen(t 2 ) e1 sen
b)
sen 2 2
df
( ) 16 sen3 2 cos 2 e
-4.350483943
dt
f es decreciente en t=
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Asignatura: Métodos Matemáticos 44
2
(2 t ) cos( t 2 )
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
29.- La ecuación x 3 y 3 z 3 xyz 0 define de forma implícita a z como función de x e
y, se pide:
a) La derivada direccional de z en el punto P(1,-1) en la dirección del vector (1,-2)
b) La dirección en P donde la z tiene el máximo decrecimiento y el valor del máximo
decrecimiento.
c) El plano tangente y la recta normal en P.
Solución:
a) F x, y, z x 3 y3 z3 xyz 0
Para x = 1, y = ‐1, se obtiene: 1 1 z3 1(1)z 0 z 0
F
Fx x, y, z
3x 2 yz Fx 1, 1, 0 3
x
F
3y 2 xz Fy 1, 1, 0 3
Fy x, y, z
y
F
Fz x, y, z
3z 2 xy Fx 1, 1, 0 1
z
z
P f P u .
Si el vector es unitario:
u
v 1
2
Un vector unitario es: u
,
v 5
5
F 1, 1, 0
F 1, 1, 0
z
z
3 ;
3
P x
P y
x
Fz 1, 1, 0
y
Fz 1, 1, 0
Por tanto,
z
u
3
2
1
.
,
5
5
5
P f P u 3, 3
b) El máximo decrecimiento corresponde a un ángulo de 180º cuyo coseno vale -1, luego la
dirección es la opuesta al vector (-3,-3)
u (3,3)
Y el valor del máximo decrecimiento f P = -3•√2
c)
La ecuación del plano tangente en el punto P (x=1, y=-1, z=0), es
f
f
z z 0 P x x 0 P y y0 z 0 3 x 1 3 y 1
x
y
Operando y pasando al primer miembro queda: 3x+3y+z=0
d) Un vector ortogonal al plano es (3,3,1) por lo que una ecuación de la recta normal en P es
x 1 3
y 1 3
z 0
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 45
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
30.- Sea una función diferenciable z=f(x,y) y sean r y las coordenadas polares de cada
punto (x,y), se pide hallar
z z
z z
,
en función de
,
r
x y
Comprobar el resultado anterior considerando el cambio a polares de la función
z 25 5x 2 5y 2
Solución:
x r cos
Cambio a coordenadas polares:
y rsen
z
z z x z y z
cos sen
y
r x r y r x
z
z z x z y z
r(sen) r cos
y
x y x
Ahora para z 25 5x 2 5y 2
z z
z
5x
5y
cos sen
cos
sen
r x
y
25 5x 2 5y 2
25 5x 2 5y 2
5r cos
cos
5rsen
5 r2
5 r2
z z
z
r( sen ) r cos
x
y
5r cos
5r
2
r( sen )
5r
sen
5x
25 5x 5y
5rsen
5 r2
5 r2
2
2
r(sen )
5y
25 5x 2 5y 2
r cos
r cos 0
Por otra parte,
z 25 5x 2 5y 2 25 5 r cos 5 r s en 5 5 r 2
2
2
z
5r
r
5 r2
z
0
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 46
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
31.- La ecuación z 3 2 x z y z - x 0 define una función z f x, y diferenciable en un
entorno del punto P(1, -2). Se pide:
a) El gradiente de z en el punto P y la derivada de segundo orden
b) El plano tangente y la recta normal en P.
c) La derivada direccional en P en la dirección
2z
P .
x2
.
3
Solución:
a) F(x, y, z) = z 3 2 x z y z - x 0 define implícitamente a la función z = f(x,y).
z3 2 z 2 z -1 0 z3 1 z 1
z z
El vector gradiente de f en el punto P es f P ,
x y P
F
z
z
2z 1
1
x 2
P
F
x
x
3z 2x y
3
z
F
z
1
z
z
y
2
P
F
3z 2x y
3
y
y
z
1 1
f P ,
3 3
2
3z
2x
y
2z
1
2z
1
2
3z2 2x y
2z 1
z z
x
x
2
x 2 x x x 3z 2 2x y
3z2 2x y
3z
2
2x y 2
3z
z
z
2z 1 6z 2
x
x
2
2x y
2
1 1
3 2 6 2
z
3 3
2
2 P
9
x
9
2
b) Ecuación del plano tangente a la superficie z en el punto P:
z z0
f
f
1
1
P x x 0 P y y0 z 1 x 1 y 2 x y 3z 2 0
x
y
3
3
Recta normal en P (pasa por P y es perpendicular al plano tangente en P):
x 1
y 2
z 1 3
1 3
c) u cos , sen ,
3
3 2 2
1 3
f
1 1 1 3
P f P u , ,
6
u
3 3 2 2
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 47
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
32.- La temperatura en cada punto de una hoja de metal viene dada por la función:
T(x, y) e x cos y e y cos x .
a) ¿En qué dirección crece la temperatura más rápidamente a partir del punto (0,0)?
b) Calcular el coeficiente de variación de la temperatura (derivada direccional) en dicho
punto y en la dirección de máximo crecimiento de T.
c) ¿En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura a partir de (0,0)?
d) Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a dicha superficie en el
punto (0, ).
e) Estimar mediante la diferencial el incremento de T cuando se pasa del punto (0,0) al
, .
6 6
Solución:
a) La dirección de máximo crecimiento es la del vector gradiente
T T
El vector gradiente de T en el punto P es T P ,
x y P
T
T
e x cos y e y s enx
(0, 0) 1
T T
x
x
u (1,1)
T P
,
T
T
x y P
e x s eny e y cos x
(0, 0) 1
y
x
b)
T
u
1 1
,
P T P 1,1
u
2 2
|u|
2
c) El máximo decrecimiento corresponde a un ángulo de 180º cuyo coseno vale -1, luego la
dirección es la opuesta al vector (1,1)
u (1, 1)
d) Ecuación del plano tangente a la superficie T en el punto Q (0, )
T(0, ) e0 cos e cos 0 e 1
T
T
e x cos y e y s enx
(0, ) 1
T T
x
x
T Q
1, e
,
T
T
x y Q
e x s eny e y cos x
(0, 0) e
y
x
T
T
z z0
Q x x 0 Q y y0 z e 1 1 x 0 e y
x
y
x e y z e e 1 0
Recta normal en (0, , T(0, )) (0, , e 1) perpendicular al plano tangente en dicho punto:
x
y e
z e 1
e) El incremento de T se obtiene a partir de la fórmula de la diferencial total de T
T
T
dT
P dx P dy T (0, 0) 1· 1· 0
x
y
6
6
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 48
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
2
2
33.- Dada la superficie ze x y 3 0 . Se pide:
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = 1. ¿Qué tipo de curva es?
b) Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie en P(2, 2).
c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P
(2,2) al punto (2.01, 1.99).
Solución:
a)
ze x
2
y2
3 ex
2
y2
3 0 x 2 y 2 ln 3
Es una hipérbola equilátera de semiejes a = b = ln 3
b)
F x, y,z ze x
2
y2
3 0
F 2, 2,z ze 2 2 3 0 z 3
2
2
Particularizamos las derivadas en el punto (2, 2, 3):
Fx x, y,z 2xze x
2
y2
Fy x, y, z 2zye x
Fz x, y,z e x
2
y2
2
Fx 2, 2,3 12
y2
Fy 2,2,3 12
Fz 2,2,3 1
Y sustituimos en la ecuación del plano tangente:
F (P)(x 2) F (P)( y 2) F (P)(z 3) 0
x
y
z
12·(x - 2) - 12·(y - 2) + 1·(z - 3) = 0
12·x - 12·y + z - 3 = 0
Recta normal en P:
x 2 12
y 2 12
z 3
c)
f (P) df (P) f x (P) x f y (P) y
F
12
F (P)
z
f (P) 12 0.01 12 (0.01) 0.24
F (P)
y
f y (P)
12
F (P)
z
f x (P)
x
(P)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 49
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
xy y 3
si (x, y) 0,0
34.- Sea la función f ( x, y) x 2 y 2
. Se pide:
0
si (x, y) 0,0
a) Razonar si esta función es continua en el punto (0,0).
b) Hallar, si existen, las derivadas parciales f x 0,0 y f y 0,0 .
Solución:
Límites radiales
xmx m3x 3
m m3 x
m
lim
a) limf (x, y) lim 2
2 2
2
x
0
x
0
x m x
1 m
1 m2
(x,y)(0,0)
ymx
Los límites radiales depende de m, luego, no existe el lim f (x, y) .
(x,y)(0,0)
Por tanto, f no es continua en (0, 0) .
b)
f (h,0) f (0,0)
00
lim
lim 0 0
h 0
h 0
h 0
h
h
3
k
0
2
f (0, k) f (0,0)
k
f y (0,0) lim
lim
lim1 1
k 0
k 0
k 0
k
k
f x (0,0) lim
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 50
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
35.- a) Hallar la derivada direccional de z
xy
en el punto (1,0), según la dirección
x y2
2
del vector u (-1, 1):
a1) Aplicando la definición.
a2) Mediante la diferencial.
b) ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento de z en el punto (1, 0)?
Solución:
a)
1 1
,
2
2
|u|
u
a1)
1 1
,
f 1, 0
f 1, 0
1
f
2 2
(1, 0) lim
lim f
0
0
u
1
1
1
1
1
1
2 2
2 2
lim
2
lim
2
2
0
0
2
1
2
1
1
2
2
2
a2)
f
u
,
1
0
2 2
(0,1) f (1, 0)
u
|u|
y( x y 2 )
f x (1,0) 0
2
2 2
(x y )
1
f
1 1
,
(1,0) (0,1)
2
2
2
2 2
x( x y )
f y (1,0) 1 u
f y ( x, y ) 2
2 2
(x y )
f x ( x, y )
2
b) La dirección de máximo crecimiento de z en el punto (1,0) viene dada por:
f (1, 0) (0, 1)
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Asignatura: Métodos Matemáticos 51
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
36.- Dada la superficie x2 + 2y2 + z2 = 10, con z 0 , se pide:
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = 1. ¿Qué tipo de curva es?
b) Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie en P (2, 1).
c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (2,1)
de su dominio, al (2.01, 0.99).
Solución:
F(x, y, z) x 2 2y 2 z 2 10 0; z 0
Para P(2,1) se tiene que 4 2 z 2 10 z 2 10 6 4
z 2; como z 0, z 2
a)
z 1 x 2 2 y 2 1 10 0
x2 2 y 2 9
Es una elipse de semiejes a = 3, b
x2 y2
1
9 9
2
3
2
b)
Fx (P0 )(x x 0 ) Fy (P0 )(y y 0 ) Fz (P0 )(z z 0 ) 0
Fx 2x Fx (2,1) 4
Fy 4y Fy (2,1) 4
Fz 2z Fz (2,1) 2·2 4
Plano tangente:
4(x-2)+4(y-1)+4(z-2)=0 x-2 y-1 z-2 0
x y z-5 0
Recta normal:
x 2
y 1
z 2
Pues n (1,1,1) es perpendicular al plano tangente en (2,1)
c)
x 0.01
y 0.01
f (2,1) df (2,1) f x (2,1)x f y (2,1)y
f x (2,1)
Fx (2,1)
4
1
4
Fz (2,1)
Fy (2,1)
4
1
f y (2,1)
4
Fz (2,1)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
f (2,1) ( 1)·0.01 ( 1)·( 0.01) 0
Asignatura: Métodos Matemáticos 52
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
37.- a) Deducir cuál es la dirección de máximo crecimiento de una función diferenciable
z=f(x, y) en un punto P( x0 , y0 ).
b) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
lím f ( x, y) = L, entonces obligatoriamente existe el límite a lo largo
b1) Si
x , y x 0 , y 0
de cualquier camino que pasa por (x0,y0) y vale L.
b2) Si f es diferenciable en (x0, y0), entonces f es continua en (x0, y0).
b3) Si f tiene derivadas parciales en (x0,y0), entonces f es continua en (x0, y0).
Solución:
a)
f
u
( P) f ( P)·u | f ( P) |·| u |·cos( ) es máxima cuando
cos( ) 1 siendo:
f (P), u 0º
Luego, la dirección y el sentido de u coincide con los de f (P).
b)
b1) VERDADERO
b2) VERDADERO
b3) FALSO
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Asignatura: Métodos Matemáticos 53
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
xy
38.- a) Hallar la derivada direccional de z
en el punto P(1,0), según la dirección
x y
del vector u (1,1) :
a1) Aplicando la definición.
a2) Mediante la diferencial.
b) Razonar si z es creciente o decreciente en P en la dirección de u .
c) ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento de z en el punto (1, 0)?
Solución:
a)
a1)
1
1
,
2
2
|u|
u
f
1, 0
u
f 1
,0
f 1, 0
1
2
2
lim
1
lim
0
0
2
2
1
2
a2)
( x y) y xy
z`x 1,0 0
( x y) 2
( x y)x xy
z`y
z`y 1,0 1
( x y) 2
z`x
f
1, 0
u
u
1
1
f 1, 0 0, 1
,
u
2
2
1
2
f
1
b) z es decreciente en P en la dirección de u por ser 1,0 0.
u
2
c) La dirección de máximo crecimiento de z en el punto (1, 0) viene dada por:
f 1,0 0, 1
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Asignatura: Métodos Matemáticos 54
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
39.- Dada F (x,y, z ) = x2 + y2 + z2 + xy + 2z −1= 0, se pide:
a) Encontrar las derivadas parciales de primer de la función z=f(x,y) en el punto
(0,-1,0)
b) Hallar en (0,-1) el valor de dz cuando dx = dy = 0.02.
c) Hallar el plano tangente a la superficie F(x,y,z) en el punto (0,-1, 0)
Solución:
a) Para calcular las derivadas parciales de primer orden derivamos implícitamente la función
F(x,y, z)= 0 :
Respecto a x:
z
z
z
z
2x 2z y 2
0 en el punto (0,-1,0) es 0 2 0 1 2 0
x
x
x
x
z
1
0, 1, 0
x
2
Respecto a y:
z
z
z
z
2y 2z x 2 0 en el punto (0,-1,0) es 2 2 0 2 0
y
y
y
y
z
0, 1, 0 1
y
b) Para calcular la diferencial:
dz
3
1
z 2 z
dx dy 0.02 1 0.02
100
2
x
y
c) La ecuación del plano tangente en (0, -1, 0) es z
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1
x y 1 x + 2y – 2z +2 = 0
2
Asignatura: Métodos Matemáticos 55
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
40.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de z respecto de u siendo
z = x2 – 2xy + y2, con x= u + 2v e y = u·v
Solución:
z z x z y
u x u y u
z
2x 2y 2u 2uv 4v
x
z
2x 2y 2u 2uv 4v
y
x
y
1
v
u
u
z z x z y
2u 4uv 4v 2uv 2 4v 2
u x u y u
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Asignatura: Métodos Matemáticos 56
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1
2
2
si (x,y) (0,0)
(2x +3y )sen
2
41.- Sea f : R R la función: f (x, y)
x y2
.
0
si (x,y) = (0,0)
2
Estudiar si f es diferenciable en un punto (a,b).
Solución:
En cualquier punto (a,b) (0,0) es diferenciable por ser composición y producto de funciones
diferenciables, con denominador no nulo.
Obtenemos las derivadas parciales:
f x (0, 0) l í m
h 0
f y (0, 0) l í m
k 0
f (h, 0) f (0, 0)
lí m
h 0
h
f (0, k) f (0, 0)
lí m
k 0
k
2h 2sen
1
0
h
h
3k 2sen
2 l í m hsen
1
0
h
3l í m ksen
1
0
k
h 0
1
0
k
k
k 0
Para que f sea diferenciable en (0,0) se necesita que el límite sea cero:
lí m
f (h, k) f (0, 0) hf 'x (0, 0) kf 'y (0, 0)
(h,k ) (0,0)
h2 k2
lí m
(h,k ) (0,0)
2h 2 3k 2
h2 k2
sen
1
h2 k2
0
Efectivamente en coordenadas polares queda:
Resulta f diferenciable en (0,0), y por lo tanto en todo punto (a,b) .
Nota: a pesar de ser f diferenciable en el punto (0,0) las derivadas parciales no son continuas
en dicho punto.
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Asignatura: Métodos Matemáticos 57
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x 2 y senx seny
x+y+
si (x,y) (0,0)
42.- Sea f : R 2 R la función: f (x, y)
x 2 y2
xy
.
0
si (x,y) = (0,0)
f (0, 0)
respecto del vector u (cos ,sen ) y en particular las
u
f (0, 0) f (0, 0)
derivadas parciales
y
.
y
x
a) Hallar la derivada
b) Estudiar si f es diferenciable en un punto (0,0).
Solución:
a) Según la definición de derivada según un vector:
f (0, 0)
f (h cos , hsen ) f (0, 0)
lím
h 0
u
h
h cos sen cos 2 sen sen(h cos ) sen(h s en )
lím
h 0
h h cos sen
cos sen cos 2 sen lím
sen(h cos ) sen(h s en )
cos sen cos 2 sen lím
h cos h s en
h cos sen
h 0
h 0
h cos sen
cos sen cos 2 sen
Las derivadas parciales se obtienen para 0 y
f (0, 0) f (0, 0)
1
x
i
2
f (0, 0) f (0, 0)
1
y
j
b) Una condición necesaria para que f sea diferenciable en (0,0) es:
f (0, 0) f (0, 0)
f (0, 0)
cos
sen
u
x
y
que en nuestro caso no se cumple puesto que:
cos sen cos 2 sen cos sen
Luego f no es diferenciable en (0,0)
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Asignatura: Métodos Matemáticos 58
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
43.- Sea z = f(x,y) una función con derivadas parciales continuas. Aplicar el cambio de
u xy
2 z
2 z 2 z
2 z z
variables:
a la expresión:
2
2
2
2
2
x
xy y
x y x y
v x y
Solución:
u
z
v
x
y
x
y
Derivando hasta el segundo orden y aplicando la regla de la cadena:
z z u z v z
z
y 2x
x u x v x u
v
z z u z v z
z
x 2y
y u y v y u
v
2
2z
2 z z z
z
2z
2z
z
z
y 2x 2 y
2x y
y 2 2x 2x 2
2
x
x x x u
v
uv
v
v
u
vu
2z 2 2z
2z
z
y
4xy
4x 2 2
2
2
u
uv
v
v
2
2z
2z
z z
z
2z
2z
z
z
x 2y 2 x
2y y
x 2 2y 2x 1
xy x y x u
v
uv
v
u
u
vu
2z
2z
2z
z
2
2
xy
2(x
y
)
4xy
2
2
u
uv
v
u
2
2z
2 z z z
z
2z
2z
z
z
x 2y 2 x
2y x
x 2 2y 2y 2
2
y
y y y u
v
uv
v
v
u
vu
2z
2z
2z
z
2 x2
4xy 2 4y 2 2
u
uv
v
v
Sustituyendo en la expresión dada:
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 59
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
2 z
2 z 2 z
2 z z
2
2
2
x
xy y
x y x y
2 z 2 2 z
2 z
z
4x2 2
4
y
xy
2
2
u
uv
v
v
2
2
2
z
z
z
z
2 2 xy
2( x 2 y 2 ) 2 4 xy
uv
v
u
u
2 z 2 2 z
2 z
z
4
x
xy
4 y2 2
2
2
u
uv
v
v
2 z
z
z
z
y 2x x 2 y
v
v
u
x y u
2 z
2 z 2 z
( x 2 2 xy y 2 ) 2 4
uv v 2
u
2 z
2 z 2 z
(2u v) 2 4
uv v 2
u
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 60
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x3
si x, y (0, 0)
44.- Sea f (x, y) 2x 2 y 2 xy
0
si (x, y) = (0, 0)
a) Hallar el dominio de la función f(x, y).
b) Calcular el límite de f(x, y) en (0, 0) a lo largo del camino y = x – 2 x2.
c) Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen.
d) Calcular
f x, y f x, y
y
en los puntos (0,0) y (2, -1).
y
x
e) Determinar en el punto P(2, -1) el valor de la derivada de f(x,y) en la dirección del
vector u 1, 3 .
Solución
a) La función f(x,y) está definida en aquellos puntos que no anulan el denominador
y x
x x 2 8x 2
2x2 – y2 – xy = 0 y2 + xy – 2x2 = 0 y
2
y 2x
D x, y R 2 / y x; y 2x
b)
lim
(x,y) (0,0)
y x 2x 2
f (x, y) lim
x 0
x3
2x 2 x 2x 2 x x 2x 2
2
1
x3
.
3
4
x 0 6x 2x
6
lim
c) Al aproximarnos al punto (0,0) por rectas de la forma y = mx se obtiene un límite
distinto al del apartado b), por tanto, podemos afirmar que no existe límite de la
función en (0, 0).
x3
x
lim
0.
lim f (x, y) lim 2
( x,y) (0,0)
x 0 2x m 2 x 2 mx 2
x 0 2 m 2 m
y mx
Por no ser continua en (0,0) tampoco es diferenciable , ya que toda función
diferenciable en un punto debe ser continua en dicho punto.
h3
0
f 0, 0
f (h, 0) f (0, 0) 2h 2
1
lim
d)
h 0
2
x
h
h
f 0, 0
f (0, k) f (0, 0) 0 0
lim
0
k 0
y
k
k
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 61
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
En el punto (2, -1) la función es continua y las derivadas parciales son
2
2
2
x 2 2x 2 2xy 3y 2
f x 2x 2xy 3y
f
2, 1
2
2 2
2
2 2
x
x
2x xy y
2x xy y
x 3 2y x
x 3 2y x
f
f
2, 1 2
2 2
y 2x 2 xy y 2 2
y
2x xy y
2, 1
4
9
0
2, 1
e) En (2, -1) la función es diferenciable, ya que se trata del cociente de dos funciones
polinómicas con denominador distinto de cero.
f
4
f
f (2, 1) (2, 1), (2, 1) , 0
y
x
9
1 34 2
u
D f 2, 1 f 2, 1 ,
· , 0
u
2 2 9 9
u
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 62
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x 2y 5
2x y si y 2x
45.- Consideremos f(x,y)=
. Se pide:
1
si y=2x
2
a) ¿Existe el límite:
lím
x,y 1,2
f(x,y) ?
b) ¿Es continua la función en (1,2)?
c) ¿Es diferenciable la función en (1,2)?
Solución:
a) Límites reiterados:
x 2y 5
x 1
1 1
lím lím f (x, y) lím lím
lím
lím ,
x 1 y 2
x 1 y 2
2x y x 1 2x 2 x 1 2 2
x 2y 5
2y 4
lím lím f (x, y) lím lím
lím 2 2
lím
y 2 x 1
y 2 x 1
y
2
2x y
2 y y 2
Luego no coinciden, No existe .
b) No puede ser continua, ya que no existe el límite.
c) No puede ser diferenciable, ya que no es continua.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 63
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x u v
46.- Sea la función z f (x, y) con derivadas parciales continuas y sean
las
y v u
z z
ecuaciones de un cambio de variable, se pide demostrar que
0 y comprobarlo
u v
para z (x y)sen(y x)
Solución:
z z x z y
u x u y u
y
z z x z y
v x v y v
x u v
, luego:
pero
y v u
z z z
z
z z
x
y
y
x
y
1,
1,
1,
1 , por lo tanto,
u x y
x y
v
v
u
u
v
z z z z z z
0
u v x y x y
Para z ( x y ) sen ( y x ) , tenemos que:
z
z
sen y x ( x y ) cos y x , luego:
sen y x ( x y ) cos y x ,
y
x
z z z
2 sen y x 2( x y ) cos y x
u x y
z z
z
2 sen y x 2( x y ) cos y x
x y
v
En consecuencia,
z z
0.
u v
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 64
Diferenciabilidad de funciones de varias variables
x 2u v
47.- Sea la función z = sen (2x + 3y). Se efectúa el cambio de variables:
y v 2u
z
z
u
Hallar
y
en
2
u
v
v 0
Solución:
Aplicando la regla de la cadena, las derivadas parciales de z respecto de u y v son
respectivamente:
z z x z y
u x u y u
y
z z x z y
v x v y v
x 2u v
, luego:
pero
y v 2u
z
z
z
z z
z
x
y
x
y
y
2 2
2,
2,
1,
1 , por lo tanto,
u
x
y
x y
v
u
u
v
v
Por otro lado:
z
2 cos(2x 3y)
x
z
3cos(2x 3y)
y
Particularizando
x
u
2
y
v 0
z
x (, ) 2 cos() 2
z
(, ) 3cos() 3
y
Sustituyendo arriba, se obtiene:
z
z
z
2 2 2 (2) 2 3 2
u
x
y
z
z z
(2) (3) −1
v
x y
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: Métodos Matemáticos 65
Continuidad en un punto
Una función z=f(x,y) es continua en un punto (xo,yo) si y solo si verifica las tres condiciones
siguientes:
1. Existe f(xo,yo), es decir (xo,yo) es un punto del dominio de la función.
2. Existe
lím
( x , y ) x o , y o
3. L=f(xo,yo).
f ( x , y) L , siendo L un número real finito.
Definición
Se dice que la función z=f(x,y) es diferenciable en el punto P0(x0,y0) si y solo si
su incremento total en dicho punto (al pasar del punto P0 a P) se puede escribir en la
forma:
z 0 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 )
f
P0 x x 0 f P0 y y 0 O( v ) ()
x
y
z 0 f (P0 ) x x 0 , y y 0 O( v) siendo v P0 P x x 0 , y y 0 y O( v)
un infinitésimo de orden mayor que v , es decir:
f (P) f (P0 ) f (P0 ) v
O ( v)
0.
lím
lím
v 0 v
v 0
v
Derivadas direccionales
Sea z=f(x,y) una función definida en un subconjunto DR2 y sea P=(x,y)D.
Sea u un vector del plano vectorial euclídeo R2 con u =1, Cuando exista y sea finito el
f ( P hu ) f ( P )
, se denomina derivada direccional de f en P en la dirección del
lím
h 0
h
vector u . Se designa por f’(P, u ).
Derivada respecto de un vector
Sea z=f(x,y) una función definida en un subconjunto DR2 y sea P=(x,y)D.
Sea u un vector del plano vectorial euclídeo R2 :
f ( P hu ) f ( P )
Cuando exista y sea finito el lím
, se denomina derivada de f en el punto P
h 0
h
respecto del vector u .
Gradiente de una función en un punto
Si están definidas las derivadas parciales de una función z=f(x,y) en un punto P=(x,y)D, se
denomina vector gradiente de f en el punto P, o simplemente gradiente de f en P, y se designa
f(P) , al vector
f
f
f(P) = (P), (P) f x (P) i f y (P) j .
y
x
Plano tangente a una superficie en un punto
Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie S definida en un subconjunto DR2 y
P0(x0,y0)D. Designamos por z0=f(x0,y0) y por P0 (x0,y0,z0) el punto correspondiente en la
superficie S.
Cuando exista, el plano tangente a la superficie S en el punto P0, (xo,yo,zo) es:
f
P0 x x 0 f P0 y y 0
z z0
y
x
O bien,
F
F
F
x x 0 y y 0 z z 0 0 FP0 P0 X 0
z P0
x P0
y P
0
Las reglas de la cadena
1. Sea una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas fx, fy, en (x,y) y
x x ( t )
sean dos funciones
diferenciables en t. Entonces la función compuesta
y y( t )
z f x ( t ), y( t ) es diferenciable en t y se verifica que:
dz f dx f dy
dx dy
f x ( t ), y( t ) ,
dt x dt y dt
dt dt
2. Supongamos ahora una función z=f(x,y) que tiene derivadas parciales continuas fx,
fy, en (x,y) y sean dos funciones
x x ( u , v)
. La función compuesta
y y( u , v)
z f x (u, v), y(u, v) es una función de u y v en los puntos donde está definida,
verificándose además que si x e y tienen derivadas parciales continuas respecto de u
y v, entonces existen las derivadas parciales de f respecto de u y v que vienen dadas
por las expresiones:
z z x z y
u x u y u
z z x z y
v x v y v
De manera análoga se podrían definir las reglas de la cadena para funciones de tres o
más variables.
Dominio de definición o campo de existencia.
Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la expresión
analítica de la función.
D x R n tales que, existe y f x
Curva de nivel
Dada la función z=f(x,y) y una constante c. Una curva de nivel es el lugar geométrico de los
puntos del plano para los cuales f(x,y)=c.
Coordenadas polares
Sea O un punto fijo del plano, denominado “polo” y sea la semirrecta de origen O, denominada
“eje polar”. Entonces cualquier punto del plano P, queda determinado por el par (r, θ) siendo r la
distancia euclídea del punto P al polo (r > 0) y θ el argumento, el ángulo formado por el eje
x r cos
y rsen
polar y el segmento OP en el sentido positivo (contrario a las agujas del reloj).
P (x,y)
y
r
θ Argumento
O Polo
x
Eje
Crecimiento
Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera
situados en él “x” y “x+h” se verifica: x x h f x f x h
Si f ’(a)>0, la función f es creciente en a
Concepto de límite
Sean z=f(x,y) una función real de dos variables reales cuyo dominio es un subconjunto DR2 ,
L un número real y (xo,yo) un punto de acumulación del dominio D.
Diremos que el límite de la función z=f(x,y) cuando (x,y) tiende a (xo,yo) es el número L y
escribiremos
lím
( x , y ) x o , y o
f ( x , y) L si y solo si:
Para cualquier número >0, existe un número >0 tal que para todos los puntos (x,y)D, siendo
(x,y) (xo,yo), que verifiquen que d((x,y),(xo,yo))< entonces sus imágenes verifican que
d(f(x,y),L)< . Es decir:
lím
( x , y ) x o , y o
f ( x , y) L 0, 0, tal que, todo (x, y) x o , y o con
x x o 2 y y o 2
f ( x , y) L .
