PERIODO IV GUIA DE TRABAJO - MATEMATICA FECHA: SEPTIEMBRE-OCTUBRE/ 2020 DOCENTE: ANGELY JARAMILLO INSTITUTO ARIANO “MAS DE 100 AÑOS LABRANDO EL CAMINO TEMA O SUBTEMAS A DESARROLLAR: A LA EXCELENCIA” Identidades Trigonométricas GRADO: 10° 2.2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES 1. PRACTICO EN CONTEXTO Las siguientes expresiones son igualdades que contienen funciones trigonometricas de una misma variable. En el fútbol, patear el balón es una habilidad que requiere mucha coordinación, destreza y precisión de parte del jugador. Los matemáticos y físicos han estudiado este fenómeno, a través de algunos modelos trigonométricos. Por ejemplo, la altura máxima que alcanza un balón que se patea, puede hallarse mediante la fórmula: donde Vo es la velocidad inicial, t es el ℎ= tiempo y g la aceleración de la gravedad. Esta fórmula puede transformarse también en ℎ= utilizando identidades trigonométricas. 2. CONCEPTUALIZACION 2.1. IDENTIDADES. En matemáticas, las expresiones que involucran una igualdad adquieren distintos significados de acuerdo con la situación que se este representando o modelando. Por ejemplo, las siguientes igualdades se cumplen para todos los valores de las variables: 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥 . 𝑥 =𝑥 Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores de los ángulos para los cuales están definidas estas funciones. Estas se pueden establecer en grupos: identidad fundamental, identidades reciprocas, identidades de cociente e identidades pitagóricas. Identidad fundamental Identidades reciprocas Identidades de cocientes PASO V: Nos damos cuenta que = csc 𝑥 = csc 𝑥 Por lo tanto, Identidades pitagóricas 2. Demuestra que 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝. 𝑠𝑒𝑛 ∝ + cos ∝ . 𝑠𝑒𝑛 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝= (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) PASO I: Como todos los términos están en sen y cos, debemos hacer uso de la matemática básica (agrupación de términos y factorización) 2.3 Simplificación de expresiones trigonométricas Algunas expresiones trigonométricas pueden simplificarse, es decir, escribirse de una forma mas simple utilizando las identidades fundamentales. Este proceso, por lo general, requiere de la realización de operaciones y la aplicación de modelos algebraicos para transformar las expresiones y obtener nuevas identidades. 2.3.1Por ejemplo: 1. Demuestra que En nuestro caso sacamos factor común. (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝. 𝑠𝑒𝑛 ∝) + (cos ∝. 𝑠𝑒𝑛 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) = 𝑐𝑜𝑠 ∝ (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) + 𝑠𝑒𝑛 ∝ (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) = PASO II: Agrupamos el factor común. 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝ (cos ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) PASO III: Ubicamos las fórmulas para determinar el valor de la identidad fundamental. Siendo = csc 𝑥 1. (cos ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) = (cos ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) PASO I: Usamos las identidades (formulas) que corresponden para transformar la expresión en senos y cosenos. 1 1 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 + cos 𝑥 PASO II: Aplicamos la suma de fracciones. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 PASO III: Aplicamos la orejita 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 cos 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 (cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) cos 𝑥 PASO IV: Cancelamos identidades iguales de arriba con abajo. cos 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 (cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Por lo tanto, 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝. 𝑠𝑒𝑛 ∝ + cos ∝ . 𝑠𝑒𝑛 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝= (𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑠𝑒𝑛 ∝) 3. Demuestra que − 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 PASO I: Usamos las identidades (formulas) que corresponden para transformar la expresión en senos y cosenos. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 cos 𝛽 −1 1 𝑐𝑜𝑠 𝛽 2+ PASO II: Aplicamos la suma de fracciones y orejita 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛽 (2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 −1= −1 1 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛽 PERIODO IV GUIA DE TRABAJO - MATEMATICA FECHA: SEPTIEMBRE-OCTUBRE/ 2020 DOCENTE: ANGELY JARAMILLO INSTITUTO ARIANO “MAS DE 100 AÑOS LABRANDO EL CAMINO TEMA O SUBTEMAS A DESARROLLAR: A LA EXCELENCIA” Identidades Trigonométricas GRADO: 10° PASO III: Cancelamos términos iguales ACTIVIDAD ESPECIAL: 𝑐𝑜𝑠 𝛽 (2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽) − 1 = (2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽) − 1 𝑐𝑜𝑠 𝛽 A. ELABORA UNA SÍNTESIS SOBRE TU EXPERIENCIA CON LA EDUCACIÓN A DISTANCIA DEBIDO A LA CUARENTENA POR EL COVID-19, MENCIONA ASPECTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS DE ESTA EXPERIENCIA Y ESCRIBE CUÁL FUE LA PARTE MÁS INTERESANTE DE ESTUDIAR DESDE CASA. PASO IV: Buscamos los términos de cos, donde 1 es igual a la identidad fundamental: (2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽) − 1 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − (𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽) B. EN UNA EXPERIENCIA. PASO V: Resolvemos el paréntesis SOLA FRASE, REPRESENTA TU 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − (𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽) = 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 PASO VI: Cancelamos términos iguales con signos diferentes. 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 Por lo tanto, − 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 "Los retos de la vida no están ahí para paralizarte, sino para ayudarte a descubrir quién eres". Bernice Johnson Reagon AHORA TE TOCA A TI. Demuestra las trigonométricas. a. = 𝑐𝑠𝑐 𝜇 . 𝑠𝑒𝑐 𝜇 b. + c. = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 d. . e. siguientes = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = cot 𝜑 = expresiones Chicos: “Un ciclo escolar totalmente diferente que termina, una página que llega a su fin; un peldaño más que subir. La oportunidad comienza de nuevo; no es el fin, solo es el inicio de tu porvenir” LOS QUIERO. Atte: Prof. Angely Jaramillo
