Alexander Mancipe Peña – Tarea 1

TAREA 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRAL
Guillermo Alexander Mancipe Peña
1012335118
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Cálculo Integral - 100410_63
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI, UNAD
Septiembre 30 de 2019
INTRODUCCIÓN
La presente actividad consta de cuatro (4) ejercicios que abarcan los temas de tipos de
integral indefinida, sumas de Riemann, teoremas de integración e integral definida; los
cuales desarrollarán paso a paso para una mejor retroalimentación.
Estudiante e
Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
3
2
∫ (5
− 5 ) 𝑑𝑥 =
√𝑥 2 √𝑥
Se expresa cada monomio con exponentes fraccionarios
2
1
∫ (3𝑥 −5 − 2𝑥 −5 ) 𝑑𝑥 =
Realizamos la integración de una potencia
2
1
3𝑥 −5+1 2𝑥 −5+1
−
+𝑐 =
2
1
− +1 − +1
5
5
Realizamos la integración de una potencia
3
4
3𝑥 5 2𝑥 5
−
+𝑐 =
4
3
5
5
Organizamos multiplicamos extremos y medios de las fracciones y simplificamos
4
3
5𝑥 5
5
5𝑥 5
−
+𝑐 =
2
5 √𝑥 3 −
55 4
√𝑥 + 𝑐
2
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
i.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área
bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 en el intervalo [-2,2], en donde use
una partición de n=6.
𝑓(𝑥) = Cos 𝑥 + 1
[−2,2]; 𝑛 = 6
Primero determinamos el Δx que va ser el ancho de los rectángulos
∆𝑥 =
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
2 − (−2) 4 2
= = = 0, 6̅
6
6 3
𝑥1 = 𝑎 = −2
𝑥2 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 6̅) = −1, 3̅
𝑥3 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 3 + 2(0, 6̅) = −0, 6̅
𝑥4 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 3 + 3(0, 6̅) = 0
𝑥5 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0, 6̅) = 0, 6̅
𝑥6 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 5(0, 6̅) = 1, 3̅
Reemplazando en la ecuación quedaría
6
𝐴 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥
𝑖
𝐴 = 𝑓(−2) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−1, 3̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−0, 6̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(0) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(0, 6̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(1, 3̅) ∙ 0, 6̅
𝑓(𝑥1 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(−2) + 1]0, 6̅ = 0,39
𝑓(𝑥2 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(−1, 3̅) + 1]0, 6̅ = 0,82
𝑓(𝑥3 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(−0, 6̅) + 1]0, 6̅ = 1,19
𝑓(𝑥4 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(0) + 1]0, 6̅ = 1,33
𝑓(𝑥5 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(0, 6̅) + 1]0, 6̅ = 1,19
𝑓(𝑥6 ) ∙ 0, 6̅ = [cos(1, 3̅) + 1]0, 6̅ = 0,82
𝐴 = 0,39 + 0,82 + 1,19 + 1,33 + 1,19 + 0,82 = 5,75
ii.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del
área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 1 en el intervalo [-2,2], en
donde use una partición de n=12
𝑓(𝑥) = Cos 𝑥 + 1
[−2,2]; 𝑛 = 12
Primero determinamos el Δx que va ser el ancho de los rectángulos
∆𝑥 =
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
2 − (−2)
4
1
=
= = 0, 3̅
12
12 3
𝑥1 = 𝑎 = −2
𝑥2 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = −1, 6̅
𝑥3 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = −1, 3̅
𝑥4 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = −1
𝑥5 = 𝑎 + 2∆𝑥 = 3 + 2(0, 3̅) = −0, 6̅
𝑥6 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = −0, 3̅
𝑥7 = 𝑎 + 3∆𝑥 = 3 + 3(0, 3̅) = 0
𝑥8 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = 0, 3̅
𝑥9 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 4(0, 3̅) = 0, 6̅
𝑥10 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = 1
𝑥11 = 𝑎 + 4∆𝑥 = 3 + 5(0, 3̅) = 1, 3̅
𝑥12 = 𝑎 + 1∆𝑥 = 3 + 1(0, 3̅) = 1, 6̅
Reemplazando en la ecuación quedaría
12
𝐴 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥
𝑖
𝐴 = 𝑓(−2) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−1, 6̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−1, 3̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−1) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−0, 6̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(−0, 3̅)
∙ 0, 6̅ + 𝑓(0) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(0, 3̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(0, 6̅) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(1) ∙ 0, 6̅ + 𝑓(1, 3̅) ∙ 0, 6̅
+ 𝑓(1, 6̅) ∙ 0, 6̅
𝑓(𝑥1 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,19
𝑓(𝑥2 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,30
𝑓(𝑥3 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−1, 3̅) + 1]0, 3̅ = 0,41
𝑓(𝑥4 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,51
𝑓(𝑥5 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−0, 6̅) + 1]0, 3̅ = 0,60
𝑓(𝑥6 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,65
𝑓(𝑥7 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(0) + 1]0, 3̅ = 0,67
𝑓(𝑥8 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,65
𝑓(𝑥9 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(0, 6̅) + 1]0, 3̅ = 0,60
𝑓(𝑥10 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,51
𝑓(𝑥11 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(1, 3̅) + 1]0, 3̅ = 0,41
𝑓(𝑥12 ) ∙ 0, 3̅ = [cos(−2) + 1]0, 3̅ = 0,30
𝐴 = 0,19 + 0,30 + 0,41 + 0,51 + 0,60 + 0,65 + 0,67 + 0,65 + 0,60 + 0,51 + 0,41 + 0,30
= 5,80
iii.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con
respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6
y n=12.
Comparamos los resultados de la integral con las sumas de Riemman con n=6
5,8185949 − 5,750752 = 0,0678596
Comparamos los resultados de la integral con las sumas de Riemman con n=12
5,8185949 − 5,8017247 = 0,0168701
Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando 𝐹′(𝑥) de las siguientes funciones
Ejercicio e.
2√𝑥
𝐹(𝑥) = ∫
(2 + 𝑡)𝑑𝑡
√𝑥
Usando el teorema fundamental del cálculo
𝑑 𝑏(𝑥)
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓[𝑏(𝑥)] ∙ 𝑏´(𝑥) − 𝑓[𝑎(𝑥)] ∙ 𝑎´(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎(𝑥)
𝐹´(𝑥) = (2 + 2√𝑥) (
2
2√𝑥
) − (2 + 1√𝑥) (
1
2√𝑥
Realizamos la distributiva y simplificando
𝐹´(𝑥) = (
2
√𝑥
+
𝐹´(𝑥) =
2√𝑥
√𝑥
2
√𝑥
)−(
+2−
2
2√𝑥
1
√𝑥
−
+
1
2
Operando
𝐹´(𝑥) =
1
√𝑥
+
3 √𝑥 3
=
+
2
𝑥
2
√𝑥
)
2√𝑥
)
Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.
Calcular la siguiente integral definida,
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑐(𝑥)
∫ (
) 𝑑𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)
0
Siga los siguientes pasos:
-
Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
-
Tome un pantallazo de la gráfica.
-
Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de
hallar el área con la integral definida.
𝜋
𝑐𝑠𝑐(𝑥)
∫ (
) 𝑑𝑥 =
1 + 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)
0
Usando las identidades trigonométricas transformamos y simplificamos
𝜋
∫ (
0
𝑐𝑠𝑐(𝑥)
) 𝑑𝑥 =
csc 2(𝑥)
Y como 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1/𝑐𝑠𝑐𝑥
𝜋
𝜋
1
∫ (
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =
0 csc(𝑥)
0
Integramos y evaluamos
−cos(𝑥)|
𝜋
= − cos(𝜋) − [− cos(0)] =
0
Operamos y quedaría
− cos(𝜋) − [− cos(0)] = − (−1) − (−1) = 2
Link del video (Sustentación de los ejercicios):
Conclusiones
La anterior actividad sirvió para afianzar conocimientos previos con respecto a los temas
de integral indefinida, sumas de Riemann, teoremas de integración e integral definida;
Aparte tener una mejor retroalimentación al analizar paso a paso el desarrollo de los
ejercicios.