Clase Práctica No. 1 Conversión de unidades. Análisis de las dimensiones físicas. Representación gráfica de vectores. Componentes cartesianas y norma de un vector. Adición y sustracción de vectores. Objetivos: 1. Resolver problemas donde se pongan de manifiesto las conversiones de unidades, el análisis dimensional y el uso de las cifras significativas. 2. Realizar operaciones de adición y sustracción de vectores a partir de métodos gráficos y de métodos analíticos a partir de sus componentes cartesianas y los vectores unitarios. Desarrollo: PREGUNTA 1.2.- La densidad del agua es 1,00 g/cm3 ¿Cuánto es esto en kg/m3? Respuestas 𝑔 = 1,00 𝑐𝑚3 = 1,00 10−3 𝑘𝑔 10 −2 3 𝑚3 = 1,00 10−3 𝑘𝑔 10−6 𝑚3 𝑘𝑔 𝑘𝑔 = 1,00 . 10−3 . 106 𝑚3 = 1,00 . 103 𝑚3 PREGUNTA 1.11.- Estime el porcentaje de error al medir: a) Una distancia de 65 cm con un metro b) Una masa de 16 g con una balanza química. c) Un intervalo de tiempo de 4 min con un cronómetro. metro 1 mm Menor división de la escala: Balanza química 1 mg Cronómetro 0,1 s Respuestas 1 .10−3 𝑚 a) 𝑒𝑟 = 65 .10−2 𝑚 = 1,53 . 10−3 = 0,16 % b) 𝑒𝑟 = c) 𝑒𝑟 = 1 .10−3 𝑔 = 6,25 . 10−5 = 0,0063 % 16 𝑔 0,1 𝑠 = 4,17 . 10−4 = 0,042 % 4 . 60 𝑠 PREGUNTA 1.32.- Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax=5,60 cm, Ay=-8,20 cm. b) Ax=-2,70 m, Ay=-9,45 m. c) Ax=-3,75 km, Ay=6,70 km. Respuestas a) A A = √(A2x + A2y ) = 9,93 cm y una dirección con respecto al eje x(+) α = arctg ( y ) = 326º Ax Ay b) A = √(A2x + A2y ) = 9,83 m y una dirección con respecto al eje x(+) α = arctg (A ) = 254º c) A = √(A2x + A2y ) = 7,67 km y una dirección con respecto al eje x(+) α = arctg (A ) = 119º x Ay x PREGUNTA 1.36.- Una empleada postal conduce su camión por la ruta de la figura. Use el método de las componentes para determinar la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante. Dibuje un diagrama de suma vectorial a escala aproximada y muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide con el obtenido con el método de las componentes. 1 Respuestas Rx=R1x+R2x+R2x=0 km+4,0 km+3,1 km cos(45)=6,2 km Ry= R1y+R2y+R2y= 2,6 km + 0 km+3,1 km sen(45)=4,8 km 𝑅𝑦 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 7,8 𝑘𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅 ) = 37º del este 𝑥 PREGUNTA 1.40.- Escriba los vectores de la figura en términos de los vectores unitarios 𝑖̂ y 𝑗̂. Respuestas 𝐴⃗ = (1,23 𝑖̂ + 3,38 𝑗̂) 𝑐𝑚 ⃗⃗ = (−2,07 𝑖̂ − 1,2 𝑗̂) 𝑐𝑚 𝐵 ⃗⃗ (𝟑, 𝟔𝟎 𝐜𝐦) 𝐀 70º 30º ⃗⃗⃗ (𝟐, 𝟒𝟎 𝐜𝐦) 𝐁 PREGUNTA Pa.2 Se conoce que la cantidad A está dada por la expresión A=B+C∙D, donde A=24,5 kW, B=4,8 kW y C=38 mW/s. Hallar el valor de D, exprese el resultado en días. Respuestas 𝐴 − 𝐵 24,5 𝑘𝑊 − 4,8 𝑘𝑊 24,5 . 10 3 𝑊 − 4,8 . 10 3 𝑊 24,5 . 10 3 𝑊 − 4,8 . 10 3 𝑊 𝐷= = = = 𝑚𝑊 𝑊 𝑊 𝐶 −3 38 𝑠 38 . 10 𝑠 38 . 10−3 𝑠 19,7 . 10 3 𝑊𝑠 5,18 . 105 𝑑í𝑎𝑠 6 5 𝐷= = 0,518 . 10 𝑠 = 5,18 . 10 𝑠 = = 150 𝑑í𝑎𝑠 38 . 10−3 𝑊 24 . 3600 Estudio individual: Autopreparación: PREGUNTA 1.1.- ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1,00 m en el vacío? Datos útiles: c= 2,99792458 x 108 m/s Respuestas 𝑥 𝑐=𝑡 𝑥 1,00 𝑚 𝑡 = 𝑐 = 3,00 . 108𝑚 = 3,33 . 10−9 𝑠 = 3,33 𝑛𝑠 𝑠 PREGUNTA 1.5.- El Concorde es el avión comercial más rápido, con una velocidad de crucero de 1450 mi/h (unas 2 veces la velocidad del sonido o Mach 2) a) ¿Cuál es la velocidad crucero en mi/s? b) ¿En m/s? Datos útiles: 1 mi = 1,609344 km Respuestas 𝑚𝑖 a) 𝑣 = 1450 ℎ = 1450 b) 𝑣= 𝑚𝑖 3600 𝑠 1,61 .103 𝑚 4,03 . 10−1 = 𝑠 1450 𝑚𝑖 = 3600 𝑠 𝑚 6,49 . 102 𝑠 = 4,03 . 10−1 2 𝑚𝑖 𝑠 PREGUNTA 1.7.- El consumo de gasolina de un coche pequeño se anuncia como 12,0 km/L. ¿Cuánto es eso en mi/gal? Datos útiles: 1 mi = 1,609344 km 1 gal = 3,785412 L Respuestas a) 12,0 𝑘𝑚 𝐿 = 12,0 1 𝑚𝑖 1,61 1 𝑔𝑎𝑙 3,79 = 12,0 3,79 𝑚𝑖 1,61 𝑔𝑎𝑙 𝑚𝑖 = 28,2 𝑔𝑎𝑙 Para la tarea: PREGUNTA Pa 1 Convertir a m/s a) V1= 54 km/h b) V2= 90 mi/h. Respuestas km 54 .103 𝑚 𝑚 = = 15 𝑠 h 3600 𝑠 mi 90 . 1609 𝑚 𝑚 90 = = 40,225 h 3600 𝑠 𝑠 a) V1 = 54 b) V2 = = 40 𝑚 𝑠 PREGUNTA Pa 3 Cuando el voltaje en una resistencia R dada es de 8,45 V la intensidad de la corriente que pasa por ella es de 2,5 µA. Recordando que de acuerdo con la ley Ohm la intensidad de la corriente es directamente proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia, calcule el valor de R. Respuestas 𝐼= 𝑈 𝑅= 𝑅 𝑈 𝐼 8,45 𝑉 = 2,5 . 10−6 𝐴 = 3380000 Ω = 3,38 . 106 Ω = 3,4 MΩ PREGUNTA 1.12.- Con una regla de madera, usted determina que un lado de un trozo rectangular de lámina mide 13 mm, y usa un micrómetro para medir el ancho del trozo, obteniendo 4,98 mm. Conteste las siguientes preguntas con el número correcto de cifras. a) ¿Qué área tiene el rectángulo? b) ¿Qué razón ancho/largo tiene el rectángulo? c) ¿Qué perímetro tiene el rectángulo? Respuestas a) 𝐴 = 𝑙. 𝑎 = 13 𝑚𝑚 . 4,98 𝑚𝑚 = 64,74 𝑚𝑚2 = 65 𝑚𝑚2 𝑙 4,98 𝑚𝑚 b) 𝑎 = 13 𝑚𝑚 = 0,3831 = 0,38 c) 𝑃 = 2. (𝑙 + 𝑎) = 2. (13 𝑚𝑚 + 4,98 𝑚𝑚) = 2. (17,98 𝑚𝑚) = 35,96 𝑚𝑚 = 36 𝑚𝑚 PREGUNTA 1.15.- La masa de Saturno es de 5,69 . 1026 kg, y su radio 6,03 . 107 m: a) Calcule la densidad media de ese planeta en kg/m3 usando la notación de potencias de 10 y el número correcto de cifras significativas (la densidad media de un objeto es su masa 4𝜋𝑟 3 dividida por su volumen. La fórmula del volumen de una esfera es 3 ). b) Exprese la densidad de Saturno en g/cm3. Un objeto flota en el agua si su densidad media es menor que la del agua, 1,00 g/cm3. Un objeto con la densidad media de Saturno, ¿flotará en agua? Respuestas 𝑚 𝑣 𝑚 3 .𝑚 4𝜋𝑟 3 3 . 5,69 .1026 𝑘𝑔 4𝜋(6,03 . 107 m)3 1,707.1027 𝑘𝑔 2,7552 . 1024 𝑚3 𝑘𝑔 𝑚3 a) = b) 𝑆𝑎𝑡 = 620 𝑚3 y 𝐻2 𝑂 = 1,00 . 103 𝑚3. Si, flotará ya que 𝑆𝑎𝑡 < 𝐻2𝑂 = 4𝜋𝑟3 3 = 𝑘𝑔 = = 𝑘𝑔 3 = 619,54 = 620 𝑘𝑔 𝑚3 PREGUNTA 1.26.- Al oír el cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 8,0 m y 6,0 m. Haga dibujos a escala aproximada mostrando como dichos desplazamientos podrían dar una resultante de magnitud: a) 14 m b) 2,0 m c) 10 m Respuestas c a. b. PREGUNTA 1.27.- Un empleado postal conduce un camión por la ruta que se muestra. Determine la magnitud y dirección del desplazamiento resultante en un diagrama a escala Respuesta PREGUNTA ⃗⃗(18,0 𝑐𝑚) 𝐵 1.28.- Para los vectores de la figura, use un dibujo a escala para obtener la magnitud y dirección de: ⃗⃗ + B ⃗⃗ a) El vector suma de A ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ b) La diferencia de A − B c) A partir de sus respuestas en los dos incisos anteriores deduzca la magnitud y dirección de: 𝐴⃗(12,0 𝑐𝑚) 37o ⃗⃗ −𝐴⃗ − 𝐵 ⃗⃗ − 𝐴⃗ 𝐵 Respuestas a) ⃗⃗(18,0 𝑐𝑚) 𝐵 ⃗⃗(18,0 𝑐𝑚) 𝐵 b) 𝐴⃗(12,0 𝑐𝑚) 𝐴⃗(12,0 𝑐𝑚) 37o 37o ⃗⃗ 𝐴⃗ + 𝐵 c) Magnitud 11,1 cm Ángulo 256,46º con el eje x positivo d) Magnitud 28,3 cm Ángulo 202º con el eje x positivo PREGUNTA 1.29.- Un espeleólogo está explorando una cueva, sigue un pasadizo 210 m al oeste, luego 180m 45ºal este del norte, luego 110 m a 60º al este del sur. Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Determine con un diagrama a escala el cuarto desplazamiento (magnitud y dirección) 4 Respuestas N Escala 1 cm : 100 m 45 m y 45º al este del sur E PREGUNTA 1.30.- Use un dibujo a escala para obtener las componentes x, y de los siguientes vectores. Se da la magnitud del vector y su ángulo con el eje +x en sentido contrario a las agujas del reloj: a) Magnitud 7,40 m, ángulo 30,0º. b) Magnitud 15,0 km, ángulo 225º. c) Magnitud 9,30 cm, ángulo 323º. Respuestas a) b) c) PREGUNTA ⃗⃗ y 𝐶⃗ de la figura: 1.31.- Calcule las componentes x, y de los vectores 𝐴⃗, 𝐵 Respuestas 𝐴𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(37º) = 7,22 𝑚 𝐵𝑥 = 𝐵 𝑐𝑜𝑠(40º) = 11,4 𝑚 𝐶𝑥 = −𝐶 𝑐𝑜𝑠(60º) = 3,0 𝑚 ⃗⃗⃗ (𝟏𝟐, 𝟎 𝒎) 𝑨 37,0 º 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(37º) = 9,58 𝑚 𝐵𝑦 = −𝐵 𝑠𝑒𝑛(40º) = 9,64 𝑚 𝐶𝑦 = −𝐶 𝑠𝑒𝑛(60º) = 5,2 𝑚 60,0 º ⃗⃗ (𝟔, 𝟎 𝒎) 𝑪 40,0 º ⃗⃗⃗ 𝑩 (𝟏𝟓, 𝟎 𝒎) PREGUNTA ⃗⃗ de la figura del ejercicio 1-28 use el método de las componentes para 1.33.- Para los vectores 𝐴⃗ y 𝐵 obtener la magnitud y dirección de: a) ⃗A⃗ − ⃗B⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − A b) B Respuestas a) En x Rx=Ax-Bx=18,0 m cos(37º)-12,0 m cos(180º)=14,37 m –(-12,0 m)= 26,37 m En y Ry=Ay-By=18,0 m sen(37º)-12,0 m sen(180º)=10,83 m +0,00 m= 10,83 m 𝑅𝑦 Resultante: 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 28,5 𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅 ) = 22,4º 𝑥 b) En x Rx=Bx-Ax=12,0 m cos(180º)-18,0 m cos(37º)=(-12,0 m)-14,37 m = -26,37 m En y Ry=By-Ay=12,0 m sen(180º)- 18,0 m sen(37º)= 0,00 m-10,83 m = -10,83 m 𝑅 Resultante: 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 28,5 𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅𝑦 ) = 202,4º 𝑥 PREGUNTA ⃗⃗ tiene como 1.34.- El vector 𝐴⃗ tiene como componentes Ax=3,40 cm y Ay=2,25 cm: el vector 𝐵 componentes Bx=-4,10 cm y By=3,75 cm. Calcule: a) Las componentes de las resultantes de ⃗A⃗ + ⃗B⃗. b) La magnitud y dirección de ⃗A⃗ + ⃗B⃗. ⃗⃗ − B ⃗⃗. c) Las componentes del vector diferencia A ⃗⃗ − B ⃗⃗. d) La magnitud y dirección de A 5 Respuestas a) Rx=Ax+Bx=-0,70 cm y Ry=Ay+By=6,00 cm R b) R = √(R2x + R2y ) = 6,0 cm y una dirección α = arctg (Ry ) = 276,7º c) Rx=Ax-Bx= 7,5 cm y Ry=Ay-By=-1,15 cm d) R = √(R2x + R2y ) = 7,59 cm y una dirección α = arctg ( y ) = 351,3º x R Rx PREGUNTA 1.35. - Un profesor de Física desorientado conduce 4,25 km al sur, 2,75 km al oeste y 1,50 km al norte. Calcule la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, usando el método de las componentes. Dibuje un diagrama de suma vectorial a escala aproximada y muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide con el obtenido con el método de las componentes. Respuestas Rx=RS+RN= -4,25 km+1,50 km=-2,75 km Ry=Ro=-2,75 km 𝑅 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 3,89 𝑘𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑦 ) = 45º del oeste 𝑅𝑥 (suroeste) PREGUNTA 1.37.- El vector 𝐴⃗ es de 2,80 cm y está 60,0º sobre el eje x en el primer ⃗⃗ es de 1,90 cm y está 60.0º por debajo del eje x en cuadrante. 𝐵 el cuarto cuadrante, como se muestra en la figura. Obtenga la magnitud y dirección de: ⃗⃗ + B ⃗⃗. a) A ⃗ ⃗ ⃗⃗. b) A − B ⃗ ⃗ ⃗ c) B − A⃗. Dibuje un diagrama de suma o recta vectorial a escala aproximada y muestre que sus respuestas numéricas concuerdan con las de su dibujo. Respuestas a) En x Rx=Ax+Bx=2,80 cm cos(60º)+1,90 cm cos(300º)= 2,35 cm En y Ry=Ay+By=2,80 cm sen(60º)+1,90 cm sen(300º)= 0,77 cm ⃗⃗ (𝟐, 𝟖𝟎 𝐜𝐦) 𝐀 60º 60º ⃗⃗⃗ (𝟏, 𝟗𝟎 𝐜𝐦) 𝐁 𝑅𝑦 Resultante: 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 2,48 𝑐𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅 ) = 18,1º 𝑥 b) En x Rx=Ax-Bx=2,80 cm cos(60º)-1,90 cm cos(300º)= 0,45 cm En y Ry=Ay-By=2,80 cm sen(60º)-1,90 cm sen(300º)= 4,07 cm 𝑅 Resultante: 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 4,09 𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅𝑦 ) = 83,7º 𝑥 c) En x Rx=Bx-Ax=1,90 cm cos(300º)-2,80 cm cos(60º)= -0,45 cm En y Ry=By-Ay=1,90 cm sen(300º)-2,80 cm sen(60º)= -4,07 cm 𝑅 Resultante: 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 4,09 𝑚 y una dirección 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅𝑦 ) = 264º 𝑥 PREGUNTA 1.38.- Escriba los vectores de la figura del ejercicio 1-28 en términos de los vectores unitarios 𝑖̂ y 𝑗̂. Respuestas 𝐴⃗ = (14,37 𝑖̂ + 10,83 𝑗̂) 𝑚 ⃗⃗ = (−12,0 𝑖̂ + 0 𝑗̂) 𝑚 = (−12,0 𝑖̂) 𝑚 𝐵 6 PREGUNTA 1.39.- Escriba los vectores de la figura del ejercicio 1-31 en términos de los vectores unitarios 𝑖̂ y 𝑗̂. Respuestas 𝐴⃗ = (7,22 𝑖̂ + 9,58 𝑗̂) 𝑚 ⃗⃗ = (11,49 𝑖̂ − 9,64 𝑗̂) 𝑚 𝐵 𝐶⃗ = (−3,00 𝑖̂ − 5,19 𝑗̂) 𝑚 PREGUNTA ⃗⃗ = 3,00 𝑖̂ − 1,00 𝑗̂ : 1.41.- Dados los vectores 𝐴⃗ = 5,00 𝑖̂ + 2,00 𝑗̂ y 𝐵 a) Calcule las magnitudes. b) Escriba una expresión para ⃗A⃗ − ⃗B⃗ usando los vectores unitarios. ⃗⃗ − B ⃗⃗. c) Obtenga la magnitud y dirección de A ⃗⃗, B ⃗⃗ − B ⃗⃗ y A ⃗⃗ y demuestre que coincide con su respuesta d) Dibuje un diagrama vectorial que muestre A en el apartado c Respuestas a) b) c) A = √(A2x + A2y ) = 5,39 y B = √(Bx2 + By2 ) = 3,16 ⃗⃗ − B ⃗⃗ = (5,00 î + 2,00 ĵ ) − (3,00 î − 1,00 ĵ) A = (5,00 − 3,00 )î + (2,00 + 1,00)ĵ = 2,00î + 3,00ĵ 2 2 ⃗A⃗ − ⃗B⃗ = √((A ⃗⃗ − ⃗B⃗) + (A ⃗⃗ − ⃗B⃗) ) = √(2,002 + 3,002 ) = 3,61 x y α = arctg ( ⃗⃗ − B ⃗⃗) (A y ⃗⃗ − ⃗B⃗) (A x ) = 56,3º d) ⃗⃗⃗ −𝐁 ⃗⃗ (𝟑, 𝟔𝟎 𝐜𝐦) 𝐀 70º 30º ⃗⃗⃗ (𝟐, 𝟒𝟎 𝐜𝐦) 𝐁 PREGUNTA 1.50.- Lo que sigue se tomó de una revista: “ El terreno más caro en Japón al 1 ro de enero de 1990 estaba en las áreas céntricas de Ginza y Marunouchi de Tokio: a 37,7 millones de yenes por m2.” A continuación el artículo daba el valor en dólares de EE.UU. de un lote en ese sitio del tamaño de un sello de correos. Suponiendo que un sello de correos mide 7/8 in por 1,0 in, ¿qué valor habrá citado el artículo? En esas fechas, 1 dólar equivalía a 136 yenes. Respuestas 7 ( ) . (1,0) .6,452 . 10−4 𝑚2 1 𝑚2 = 8 37,7 . 106 𝑥 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 136 7 (8) . (1,0) .6,452 . 10−4 𝑚2 37,7 . 106 212,8 . 102 𝑥= . 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 1,56 . 102 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 1 𝑚2 136 136 El área del tamaño de un sello valdría $156 PREGUNTA 1.53.- Un condominio en Los Ángeles cuesta $380000 y tiene un área de 75 m2, el techo está a 3,10m de altura: a) Si el precio es proporcional al volumen, ¿Cuánto cuesta 1 m3 del condominio? b) Un posible comprador del condominio trabaja 40 horas a la semana 50 semanas al año con un salario anual de $60000. ¿Cuántas horas tendría que trabajar el comprador del condominio para pagar 1 m3 del condominio? Respuestas a) $380000 , 75 Un metro valdría: 𝑥 = √ por lo que 1 metro cubico valdría 𝑥 = 3 380000 (√ 75 ) 7 = 71,183 = 360,6 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 b) 60000 40 El trabajador gana en una hora 𝑦 = 50 . Por lo que tendrá que trabajar 𝑧 = 361 30 = 30 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 = 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 PREGUNTA 1.49.- Las ondas de radio generadas por un máser de hidrógeno pueden servir como estándar de frecuencia.la frecuencia de las ondas es de 1420405751,786 Hz (un hertz es un ciclo por segundo). Un reloj controlado por máser de hidrógeno tiene un error de 1 s cada 100000 años. Para lo que sigue, use sólo 3 cifras significativas (el gran número de cifras dadas para la frecuencia sólo ilustra la notable exactitud con que se midió). a) ¿Cuánto dura un ciclo de la onda de radio? b) ¿Cuántos ciclos ocurren en 1 h? c) ¿Cuántos ciclos habrán ocurrido durante la edad de la Tierra, estimada en 4600 millones de años? d) ¿Qué error, en segundos, tendría un reloj de máser de hidrógeno en un intervalo de tiempo semejante? Respuestas # 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 a) 𝑓 = 𝑡 por lo que 𝑡 = 𝑓 = 1,42 .109 Hz = 7,04 . 10−10 𝑠 = 70,4 𝑛𝑠 # 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 b) c) 𝑓 = 𝑡 por lo que # 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 𝑡 . 𝑓 = 3600 𝑠 . 1,42 . 109 Hz = 5,11 . 1012 ciclos # 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 𝑡 . 𝑓 = (4,60 . 109 . 365,25 . 24 . 3600) 𝑠 .1,42 . 109 Hz = 2,06 . 1026 ciclos d) 1𝑠 1,00 . 105 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑋 4,60 .109 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑋= 4,60 .109 𝑎ñ𝑜𝑠 .1 𝑠 1,00 . 105 𝑎ñ𝑜𝑠 = 4,60 . 104 𝑠 PREGUNTA 1.52.- Los físicos, matemáticos y otros a menudo manejan números grandes. Los matemáticos inventaron el curioso nombre de googol para el número 10100. Comparemos algunos números grandes de física con el googol. a) Aproximadamente, ¿cuántos átomos componen la Tierra? Por sencillez, suponga una masa atómica media de 14 g/mol. b) ¿Más o menos cuántos neutrones hay en una estrella de neutrones? Tales estrellas sólo contienen neutrones y tienen aproximadamente 2 veces la masa del Sol. c) Una teoría del origen del universo dice que hace mucho tiempo todo el universo observable ocupaba una esfera de radio aproximadamente igual a la distancia actual de la Tierra al Sol y tenía una densidad media (masa entre volumen) de 1015 g/cm3. Suponiendo que ⅓ de las partículas eran protones, ⅓ neutrones y ⅓ eran electrones, ¿cuántas partículas habían en el universo? Datos útiles: NA = 6,022 x 1023 moléculas/mol mSol = 1,99 x 1030 kg mp = 1,6726231 x 10-27 kg me = 9,1093897 x 10-31 kg mTierra = 5,97 x 1024 kg dT-S = 1,50 x 1011 m mn = 1,6749286 x 10-27 kg Respuestas a) La masa de 1 mol de sustancia de la Tierra es 14 . 103 kg/mol. La cantidad de átomos de la Tierra serán: 𝒎𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 6,0 𝑥 1024 𝑘𝑔 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑁𝑎 = 6,0 . 1023 = 2,6 . 1050 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 = 2,6 . 10−50 𝒈𝒐𝒐𝒈𝒐𝒍 𝒅𝒆 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑘𝑔 𝑚𝑎𝑚 𝑚𝑜𝑙 −3 14 . 10 𝑚𝑜𝑙 b) c) La cantidad de neutrones en ese tipo de estrella serán: mest 2 . (2,0 . 1030 kg) = = 2,35 . 1057 neutrones = 2,35 . 10−43 googol de neutrones mn 1,7 . 10−27 kg La masa del universo sería: kg 3 1018 3 .4 .3,1 . (1,5 . 1011 𝑚)3 4𝜋𝑟𝑢𝑛𝑖𝑣 m 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑣 = 𝑢𝑛𝑖 . 𝑉𝑢𝑛𝑖𝑣 = 𝑢𝑛𝑖 . = = 1,4 . 1052 𝑘𝑔 3 3 La masa total de un protón, neutrón y electrón será: 8 𝑚𝑡 = 𝑚𝑝 + 𝑚𝑛 + 𝑚𝑒 = 1,7 . 10−27 𝑘𝑔 + 1,7 . 10−27 𝑘𝑔 + 9 . 10−31 𝑘𝑔 ≈ 3,4 . 10−27 𝑘𝑔 Por lo que: 1,4 . 1052 𝑘𝑔 . 3 = 1,23 . 1079 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = 1,23 . 10−21 𝒈𝒐𝒐𝒈𝒐𝒍 𝒅𝒆 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 3,4 . 10−27 𝑘𝑔 9
