1er Semestre 2014 Pauta certamen Matemáticas 1 - 30 de Abril

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Matemática
1er Semestre 2014
Pauta certamen 1: 30 de Abril
1. Un estudiante tiene tres horas para preparar apresuradamente un examen y
durante este tiempo desea memorizar un conjunto de 60 hechos. De acuerdo con la sicologı́a, se tiene la siguiente ley: la tasa a la que una persona
puede memorizar una cantidad H de hechos es proporcional al número de
hechos que quedan por memorizar. Suponga que cero hechos se memorizan
inicialmente. Además suponga que el estudiante memoriza 15 hechos en los
primeros 20 minutos:
a) (10 puntos) Determine la ecuación diferencial que representa esta ley,
luego exprese H cómo una función del tiempo t
b) (5 puntos) ¿Cuántos hechos memorizará el estudiante en 60 minutos?
c) (5 puntos) ¿En cuanto tiempo logrará memorizar 30 hechos?
Del enunciado
dH
= k (60 − H)
dt
aplicando separación de variables
Z
Z
dH
= −kdt
H − 60
luego
ln |H − 60| = −kt + C
de donde
H (t) = 60 + Je−kt
como H (0) = 0 se sigue
0 = 60 + J ⇒ J = −60
luego
H (t) = 60 − 60e−kt
ahora bien
15 = 60 − 60e−k20
luego
−
1
45
ln
=k
20 60
ası́
t
45
H (t) = 60 − 60e 20 ln 60
se sigue que
60
45
H (60) = 60 − 60e 20 ln 60 ≈ 34. 688
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y
t
30 = 60 − 60e 20
implica
t=
20 ln 21
≈ 48. 188
ln 45
60
2. Evalúe la integral indefinida
Z 2x
ln x
x
+
+√
+ sin x cos x dx
x3 − x
x
x2 − 25
Separamos la integral usando la propiedad de la suma
R
R
R
2x
2dx
a) x2xdx
dx = (x−1)(x+1)
usando fracciones parciales
3 −x =
x(x−1)(x+1)
2
1
1
=
−
(x − 1) (x + 1)
x−1 x+1
integrando
Z
b)
R
ln x
dx
x
c)
R
√ x
dx
x2 −25
2xdx
= ln |x − 1| + ln |x + 1| + C
x3 − x
usando el cambio u = ln x se tiene du = x1 dx ası́
Z
Z
ln x
dx =
udu
x
u2
=
+C
2
(ln x)2
=
+C
2
usando el cambio u = x2 − 25 entonces du = 2xdx luego
Z
d)
R
Z
x
du
√
√
dx =
2 u
x2 − 25
√
=
u+C
√
=
x2 − 25 + C
(sin x cos x) dx usando el cambio u = sin x se tiene du = cos xdx luego
Z
Z
(sin x cos x) dx =
udu
u2
+C
2
(sin x)2
=
+C
2
=
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se sigue
Z 2x
ln x
x
+
+√
+ sin x cos x dx
x3 − x
x
x2 − 25
(ln x)2 √ 2
(sin x)2
+ x − 25 +
+C
= ln |x − 1| + ln |x + 1| +
2
2
3. Determine el valor de m ∈ R de modo que la región (acotada) arriba de
la recta y = mx y debajo de la parábola y = 2x − x2 tenga 36 unidades
cuadradas. Grafique.
Buscamos los puntos de intersección
y = mx
y = 2x − x2
se sigue
2x − x2 = mx
⇔
(2 − m) x − x2 = 0
⇔
x ((2 − m) − x) = 0
ası́
x=0yx=2−m
luego
Z
2−m
2x − x2 − mx dx
A =
Z0 2−m
=
(2 − m) x − x2 dx
0
=
(2 − m) x2 x3
−
2
3
2−m
0
(2 − m) (2 − m)
(2 − m)3
−
2
3
3
(2 − m)
=
6
2
=
ası́
(2 − m)3
= 36
6
m = −4.
4. Hallar
dF
si
dx
Z
g(x)
F (x) =
sin x
sin t
dt
t4 + 1
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Z
cos x
du
.
u4 + 1
1
Desarrollo: Usando el teorema fundamental del cálculo
con g (x) =
√
F 0 (x) =
pero
sin (sin x)
sin g (x) 0
g (x) −
cos x
4
(g (x)) + 1
(sin x)4 + 1
−1
g 0 (x) = q
sin x
4
(cos x) + 1
ası́
F 0 (x) =
sin g (x)
sin (sin x)
− sin x
q
−
cos x
4
(g (x)) + 1 (cos x)4 + 1 (sin x)4 + 1