I.P.A. 11 de setiembre de 2006 Examen de Matemática II

I.P.A.
11 de setiembre de 2006
Examen de Matemática II - Esp. fı́sica
1.
P (−1)n+1 n (3x + 2)n+2
.
n+1
+∞
P (−1)n+1 n (3x + 2)n+2
Especifique si la misma es condicional o absoluta y exprese
n+1
n=1
en forma independiente del sı́mbolo de sumatoria.
a) Encuentre el conjunto de convergencia de:
b) Clasifique las siguientes series numéricas
¢
¡
¡ ¢
P
i.
(−1)n tan n1 − n1
µ
µ
¶
¶
+∞
P
P
2
2
1
1
n+1
n+1
ii.
(−3)
(−3)
−
, en caso de convergencia calcule
−
4n 5n
4n 5n
n=0
2.
a) Sea K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 + 2y ≥ 0, x2 + y 2 + 4y ≤ 0}
i. Encuentre su centro de masa.
(Suponga que la misma está distribuida homogéneamente).
ii. Represente K y e interprete el resultado anterior.
b) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
i. y 00 + 4y 0 + 5y = senh (x)
µ
¶
x−1
00
ii. y +
y 0 = ex2x
x
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11 de setiembre de 2006
Examen de Matemática II - Esp. fı́sica
3.
(LIBRES)
µ
a) Se considera el campo F : F (x, y, z) =
z
z2
yz
,
, L (x + yz) +
x + yz x + yz
x + yz
¶
i. Investigue si F es conservativo.
ii. En caso afirmativo, encuentre un potencial escalar de F.
b) Sea h : h(x) = sen (x2 ) − e2x + 2 cos(x) − 1 + ax + bx2
i. Discuta según a y b sobre el orden y la parte principal de h en x = 0
ii. Tome a y b de modo que h sea un infinitésimo del mayor orden posible
en x = 0 y grafique a h en algún entorno de centro 0.