Enunciado - Pedro Gajardo
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Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Ingenierı́a Civil Matemática
Certamen 1 - Optimización (MAT275)
Profesor: Pedro Gajardo
Ayudante: Rafael Plaza
Fecha: 4 de septiembre 2009
Pregunta 1
Sea X un espacio de Banach y f : X −→ R una función diferenciable que satisface
f (x)
= +∞.
kxk→+∞ kxk
lı́m
1. Para cada x∗ ∈ X ∗ muestre que la función g : X −→ R definida por g(x) = f (x) − hx, x∗ i es
coerciva.
2. Si X es de dimensión finita, utilizando el punto anterior, demuestre que la función gradiente
∇f : X −→ X ∗ (que a cada x ∈ X le asocia ∇f (x) ∈ X ∗ ) es sobreyectiva.
Pregunta 2
Sean v1 , v2 , . . . , vm vectores linealmente independientes en Rn (n > m) y α1 , α2 , . . . , αm constantes en R. Dado el conjunto
C = {x ∈ Rn : hx, vi i = αi i = 1, 2, . . . , m},
muestre que el cono tangente a C en un punto x ∈ C, está dado por
T (C; x) = {d ∈ Rn : hd, vi i = 0 i = 1, 2, . . . , m}.
Pregunta 3
Considere el siguiente problema de minimización en R3
2
2
2
mı́n x − 2x + y − z + 4z
(P )
sujeto a
x − y + 2z = 2.
Encuentre un mı́nimo local de (P) y justifique que existe uno solo. ¿El mı́nimo encontrado es
global?
Tiempo: 90 minutos.
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